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广西壮族自治区贺州市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
一、选择题：（共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的标号填在相应的括号内．）
1．（2024八下·贺州期末）下列各数是无理数的是（　　）
A． B． C． D．0
【答案】A
【知识点】无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、是无理数，符合题意，
B、是有理数，不符合题意，
C、是有理数，不符合题意，
D、0是有理数，不符合题意，
故答案为：A．
【分析】利用无理数的定义（无限不循环小数称为无理数）逐个分析判断求解即可.
2．（2024八下·贺州期末）正五边形的内角和是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】（5﹣2）×180°=540°.
故答案为：B.
【分析】多边形的内角和公式为（n-1）·180°，据此计算即可.
3．（2024八下·贺州期末）一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长为（　　）
A．5 B． C． D．5或
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】本题中没有指明哪个是直角边哪个是斜边，故应该分情况进行【分析】
（1）当两边均为直角边时，由勾股定理得，第三边为5；
（2）当4为斜边时，由勾股定理得，第三边为.
故选D.
4．（2024八下·贺州期末）一组数据4，5，6，7，7，8的中位数和众数分别是（　　）
A．7，7 B．7，6.5 C．5.5，7 D．6.5，7
【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数)为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【解答】在这一组数据中7是出现次数最多的，故众数是7，
而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数是6，7，
那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是（6+7)÷2=6.5．
故选：D．
【点评】本题为统计题，考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小)重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数．众数是一组数据中出现次数最多的数．
5．（2024八下·贺州期末）2023年10月3日，国家发展改革委、水利部等7部门联合印发《关于进一步加强水资源节约集约利用的意见》，提出到2025年，全国年用水总量控制在6400亿立方米以内．数据6400亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：6400亿，
故答案为：D．
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
6．（2024八下·贺州期末）如图，在矩形中，两条对角线相交于点O，若．则（　　）
A．10 B．8 C． D．5
【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
故答案为：A．
【分析】利用矩形的性质（①拥有平行四边形所有的性质；②四个角均是直角；③对角线相等）分析求解即可.
7．（2024八下·贺州期末）用长的铁丝制成一个长方形框，框的面积是，此时框的长和宽分别约为（　　）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设框的长为，则宽为，
根据题意得：，
解得：，
∵，即，
∴框的长为，则宽为．
故答案为：A.
【分析】设框的长为，则宽为，根据“ 框的面积是 ”列出方程，再求解即可.
8．（2024八下·贺州期末）如图，中，的平分线交于E，，则的长（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
∵，
∴，，，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】利用平行四边形的性质，可证得DC∥AB，同时可求出DC、AD的长；利用角平分线的概念及等腰三角形的性质可推出AD=DE=BC，然后求出EC的长.
9．（2024八下·贺州期末）近年来，随着我国电子商务的快速发展，网购已成为常态化消费方式．某村快递站今年3月份完成寄件数为6万件，4月份增长了万件，5月份比4月份增长了万件．则月寄件数据的月平均增长率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为，
根据题意，得：，
解得 或（舍去）
故答案为：C．
【分析】设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为，利用“ 五月份完成投递的快递总件数=三月份完成投递的快递总件数 ”列出方程，再求解即可.
10．（2024八下·贺州期末）若是关于的一元二次方程，则的值为（　　）
A． B． C． D．或
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：由题意，得且
解得
a=3，
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程的定义即可求解.
11．（2024八下·贺州期末）如图，在正方形中，点E、M、N分别是上的点，且，已知，，则的值为（　　）
A． B． C． D．4
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：过点作于点，设与相交于点，
∵四边形是正方形，．
，四边形是矩形，
，，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】过点作于点，设与相交于点，先证出，再利用全等三角形的性质及勾股定理求出即可.
12．（2024八下·贺州期末）如图，点P是菱形对角线上一动点，，，点M是边的中点，过点M作交于点N，则周长的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：如图，连接交于点O，
∵四边形是菱形，，，
∴，，
∴，
∵点M是边的中点，，
∴是的中位线，
∴，是边上的中点，
作点关于的对称点，连接交于，
此时，当三点共线时，有最小值，最小值为的长．
∵菱形关于对称，是边上的中点，
∴是的中点，
又∵是边上的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
即的最小值为1，
∵周长，
∴周长的最小值是，
故答案为：D．
【分析】连接交于点O，作点关于的对称点，连接交于，此时，当三点共线时，有最小值，最小值为的长．先证出四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质及线段的和差可得，即的最小值为1，最后利用三角形周长公式求出周长的最小值是即可.
二、填空题：（共6小题，每小题2分，共12分，请将答案直接写在题中的横线上．）
13．（2024八下·贺州期末）化简： =　 　．
【答案】2
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵22=4，∴ =2.
故答案为：2.
【分析】根据算术平方根的定义，求数a的算术平方根，也就是求一个正数x，使得x2=a，则x就是a的算术平方根， 特别地，规定0的算术平方根是0，据此即可解决问题.
14．（2024八下·贺州期末）已知一次函数的图象经过点，则的值为　 　 ．
【答案】2
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：将点代入一次函数，得，
即．
故答案为：2．
【分析】将点A（1，4）代入解析式可得，再求出b的值即可.
15．（2024八下·贺州期末）甲、乙、丙、丁四人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，，，则射击成绩最稳定的是　 　（填“甲、乙、丙、丁”中的一位）．
【答案】丙
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：，，，，
，
射击成绩最稳定的是丙，
故答案为：丙．
【分析】根据方差的意义：方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
16．（2024八下·贺州期末）比较大小：　 　．（填“”“”或“”）
【答案】
【知识点】无理数的大小比较；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：．
【分析】利用估算无理数大小的方法（将无理数转换为有理数比较）分析求解即可.
17．（2024八下·贺州期末）某学习小组同学在元旦互相赠贺年卡一张，全组共赠贺年卡m（常数）张，求这个小组共有同学x个．根据题中的条件，列出关于x的方程为：　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设这个小组的同学共有人，则每人需送出张新年贺卡，
依题意得：．
故答案为：．
【分析】设这个小组的同学共有人，则每人需送出张新年贺卡，再根据“ 全组共赠贺年卡m（常数）张 ”列出方程即可．
18．（2024八下·贺州期末）如图，在矩形中，，为上一点，把沿翻折，点恰好落在边上的点处，则的长是　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵在矩形中，，，
∴，，，
由折叠的性质可得：，，
∴，
∴，
设，则．
在中，由勾股定理可得：
即
解得：，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用勾股定理及线段的和差求出BF的长，设，则，再利用勾股定理可得，即，再求出x的值，最后利用线段的和差求出CE的长即可.
三、解答题：（共8小题，满分72分，解答题要写出文字说明、演算步骤或证明过程．）
19．（2024八下·贺州期末）计算：．
【答案】解：原式

【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】利用含乘方的混合运算的计算方法（先计算乘方，再计算括号，然后计算乘除，最后计算加减）分析求解即可.
20．（2024八下·贺州期末）先化简代数式，再求值：，其中．
【答案】解：原式
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简可得，再将代入计算即可.
21．（2024八下·贺州期末）已知关于x的方程．
（1）求证：不论a取任何实数，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根．
【答案】（1）解：，，
，
，
，
不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.
（2）解：将代入方程得：，
解得：，
将代入方程，整理可得：，
即，
解得：或，
该方程的另一个根．
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根）分析求解即可；
（2）先将x=1代入方程求出a的值，再将a的值代入可得，最后求出x的值即可.
22．（2024八下·贺州期末）为了庆祝我国航天事业的蓬勃发展，某校举办名为“弘扬航天精神，共绘航天梦想”的知识竞赛，并从全校名学生中随机抽取了部分学生的成绩，绘制成如下尚未完成的频数分布表和频数分布直方图，请根据图表，解答下面的问题：
分组 频数 频率
合计
根据以上信息，解答下列问题：
（1） ， ， ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）请估计该校成绩达到分以上（含分）的人数；
（4）请你为该校如何进行航天知识的普及提出一条合理化的建议．
【答案】（1），，
（2）解：补全直方图如下：
（3）解：估计该校成绩达到分以上（含分）的人数为：（人）.
（4）解：该校图书馆应增加一些关于航天知识的书籍，供学生阅读.
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：根据题目中，求得本次调查的人数为：，
则，，
故答案为：，，.
【分析】（1）利用“”的频数除以对应的百分比可得总人数，再求出a、b的值即可；
（2）利用“b”的值作出条形统计图即可；
（3）先求出“80分以上”的频率，再乘以1200可得答案；
（4）根据条形统计图中的数据分析求解即可.
23．（2024八下·贺州期末）如图， 在平行四边形中，
（1）请用无刻度的直尺和圆规完成以下基本作图：作 的平分线交于点E，在线段上截取， 使(保留作图痕迹，不写作法)；
（2）在(1) 所作的图形中， 连接， 求证∶ 四边形是菱形．
【答案】（1）解：如图，，即为所求，
；
（2）证明：∵四边形为平行四边形，
∴且，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
∴，
∴四边形是菱形．
【知识点】等腰三角形的判定；菱形的判定；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）利用角平分线的作图方法和步骤作出∠ABC的角平分线交AD于点E，再以点C为圆心，DE为半径作出弧交BC于点F即可；
（2）先证出四边形是平行四边形，再结合，即可证出四边形是菱形．
24．（2024八下·贺州期末）在一条东西走向河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．
（1）问是否为从村庄到河边的最近路？请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线的长．
【答案】（1）解：是，理由如下：
在中，，，
∴，
∴
∴，
根据垂线段最短，则是从村庄到河边的最近路；
（2）解：设，
在中，由已知得，，，
由勾股定理得：，
∴，
解得：，
答：原来的路线的长为千米．
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）由勾股定理的逆定理得△BCH是直角三角形，且∠CHB=90°，则CH⊥AB，然后由垂线段最短即可得出结论；
（2）设AC=x千米，则AB=x千米，AH=AB-HB=(x-3)千米，然后在Rt△ACH中，由勾股定理得出方程，解方程即可.
25．（2024八下·贺州期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作且DE＝AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．
（1）求证：OE＝CD；
（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，求AE的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OC＝AC，AC⊥BD，
∵DE＝AC，
∴DE＝OC，
∵DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵AC⊥BD，
∴平行四边形OCED是矩形．
∴OE＝CD．
（2）解：∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝2，
∵OA=AC=1，AC⊥BD，AD=2，
∴OD=，
∴在矩形OCED中，CE＝OD＝，
∴在Rt△ACE中，AE＝．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证出四边形OCED是平行四边形，再结合C⊥BD，证出平行四边形OCED是矩形，最后利用矩形的性质可得OE＝CD；
（2）先证出△ABC是等边三角形，再利用等边三角形的性质及勾股定理求出OD的长，再求出AE＝即可．
26．（2024八下·贺州期末）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动．
【操作】如图1，在矩形中，点M在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N．
【猜想】（1）请直接写出线段、的数量关系．
【应用】如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为．
（2）若，，求的长；
（3）猜想、、的数量关系，并加以证明．
【答案】解：（1）；
（2）矩形沿所在直线折叠，
，，，
设，
，
在中，，
，
，解得，
．
（3），
理由如下：
由折叠的性质可得，，
，
，即，
，
又，
，
，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】（1），
理由如下：∵矩形纸片沿所在的直线折叠，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】（1）先利用折叠的性质可得，再利用矩形的性质及平行线可得，再利用等量代换可得，最后利用等角对等边的性质可得；
（2）设，则，再利用勾股定理可得，即，最后求出x的值即可；
（3）先利用折叠的性质可得，， 再利用角的运算和等量代换可得，利用勾股定理可得，再结合，利用等量代换可得.
1 / 1广西壮族自治区贺州市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
一、选择题：（共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的标号填在相应的括号内．）
1．（2024八下·贺州期末）下列各数是无理数的是（　　）
A． B． C． D．0
2．（2024八下·贺州期末）正五边形的内角和是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八下·贺州期末）一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长为（　　）
A．5 B． C． D．5或
4．（2024八下·贺州期末）一组数据4，5，6，7，7，8的中位数和众数分别是（　　）
A．7，7 B．7，6.5 C．5.5，7 D．6.5，7
5．（2024八下·贺州期末）2023年10月3日，国家发展改革委、水利部等7部门联合印发《关于进一步加强水资源节约集约利用的意见》，提出到2025年，全国年用水总量控制在6400亿立方米以内．数据6400亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
6．（2024八下·贺州期末）如图，在矩形中，两条对角线相交于点O，若．则（　　）
A．10 B．8 C． D．5
7．（2024八下·贺州期末）用长的铁丝制成一个长方形框，框的面积是，此时框的长和宽分别约为（　　）
A．， B．， C．， D．，
8．（2024八下·贺州期末）如图，中，的平分线交于E，，则的长（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
9．（2024八下·贺州期末）近年来，随着我国电子商务的快速发展，网购已成为常态化消费方式．某村快递站今年3月份完成寄件数为6万件，4月份增长了万件，5月份比4月份增长了万件．则月寄件数据的月平均增长率为（　　）
A． B． C． D．
10．（2024八下·贺州期末）若是关于的一元二次方程，则的值为（　　）
A． B． C． D．或
11．（2024八下·贺州期末）如图，在正方形中，点E、M、N分别是上的点，且，已知，，则的值为（　　）
A． B． C． D．4
12．（2024八下·贺州期末）如图，点P是菱形对角线上一动点，，，点M是边的中点，过点M作交于点N，则周长的最小值是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：（共6小题，每小题2分，共12分，请将答案直接写在题中的横线上．）
13．（2024八下·贺州期末）化简： =　 　．
14．（2024八下·贺州期末）已知一次函数的图象经过点，则的值为　 　 ．
15．（2024八下·贺州期末）甲、乙、丙、丁四人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，，，则射击成绩最稳定的是　 　（填“甲、乙、丙、丁”中的一位）．
16．（2024八下·贺州期末）比较大小：　 　．（填“”“”或“”）
17．（2024八下·贺州期末）某学习小组同学在元旦互相赠贺年卡一张，全组共赠贺年卡m（常数）张，求这个小组共有同学x个．根据题中的条件，列出关于x的方程为：　 　．
18．（2024八下·贺州期末）如图，在矩形中，，为上一点，把沿翻折，点恰好落在边上的点处，则的长是　 　．
三、解答题：（共8小题，满分72分，解答题要写出文字说明、演算步骤或证明过程．）
19．（2024八下·贺州期末）计算：．
20．（2024八下·贺州期末）先化简代数式，再求值：，其中．
21．（2024八下·贺州期末）已知关于x的方程．
（1）求证：不论a取任何实数，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根．
22．（2024八下·贺州期末）为了庆祝我国航天事业的蓬勃发展，某校举办名为“弘扬航天精神，共绘航天梦想”的知识竞赛，并从全校名学生中随机抽取了部分学生的成绩，绘制成如下尚未完成的频数分布表和频数分布直方图，请根据图表，解答下面的问题：
分组 频数 频率
合计
根据以上信息，解答下列问题：
（1） ， ， ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）请估计该校成绩达到分以上（含分）的人数；
（4）请你为该校如何进行航天知识的普及提出一条合理化的建议．
23．（2024八下·贺州期末）如图， 在平行四边形中，
（1）请用无刻度的直尺和圆规完成以下基本作图：作 的平分线交于点E，在线段上截取， 使(保留作图痕迹，不写作法)；
（2）在(1) 所作的图形中， 连接， 求证∶ 四边形是菱形．
24．（2024八下·贺州期末）在一条东西走向河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．
（1）问是否为从村庄到河边的最近路？请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线的长．
25．（2024八下·贺州期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作且DE＝AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．
（1）求证：OE＝CD；
（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，求AE的长．
26．（2024八下·贺州期末）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动．
【操作】如图1，在矩形中，点M在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N．
【猜想】（1）请直接写出线段、的数量关系．
【应用】如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为．
（2）若，，求的长；
（3）猜想、、的数量关系，并加以证明．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、是无理数，符合题意，
B、是有理数，不符合题意，
C、是有理数，不符合题意，
D、0是有理数，不符合题意，
故答案为：A．
【分析】利用无理数的定义（无限不循环小数称为无理数）逐个分析判断求解即可.
2．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】（5﹣2）×180°=540°.
故答案为：B.
【分析】多边形的内角和公式为（n-1）·180°，据此计算即可.
3．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】本题中没有指明哪个是直角边哪个是斜边，故应该分情况进行【分析】
（1）当两边均为直角边时，由勾股定理得，第三边为5；
（2）当4为斜边时，由勾股定理得，第三边为.
故选D.
4．【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数)为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【解答】在这一组数据中7是出现次数最多的，故众数是7，
而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数是6，7，
那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是（6+7)÷2=6.5．
故选：D．
【点评】本题为统计题，考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小)重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数．众数是一组数据中出现次数最多的数．
5．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：6400亿，
故答案为：D．
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
6．【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
故答案为：A．
【分析】利用矩形的性质（①拥有平行四边形所有的性质；②四个角均是直角；③对角线相等）分析求解即可.
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设框的长为，则宽为，
根据题意得：，
解得：，
∵，即，
∴框的长为，则宽为．
故答案为：A.
【分析】设框的长为，则宽为，根据“ 框的面积是 ”列出方程，再求解即可.
8．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
∵，
∴，，，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】利用平行四边形的性质，可证得DC∥AB，同时可求出DC、AD的长；利用角平分线的概念及等腰三角形的性质可推出AD=DE=BC，然后求出EC的长.
9．【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为，
根据题意，得：，
解得 或（舍去）
故答案为：C．
【分析】设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为，利用“ 五月份完成投递的快递总件数=三月份完成投递的快递总件数 ”列出方程，再求解即可.
10．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：由题意，得且
解得
a=3，
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程的定义即可求解.
11．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：过点作于点，设与相交于点，
∵四边形是正方形，．
，四边形是矩形，
，，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】过点作于点，设与相交于点，先证出，再利用全等三角形的性质及勾股定理求出即可.
12．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：如图，连接交于点O，
∵四边形是菱形，，，
∴，，
∴，
∵点M是边的中点，，
∴是的中位线，
∴，是边上的中点，
作点关于的对称点，连接交于，
此时，当三点共线时，有最小值，最小值为的长．
∵菱形关于对称，是边上的中点，
∴是的中点，
又∵是边上的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
即的最小值为1，
∵周长，
∴周长的最小值是，
故答案为：D．
【分析】连接交于点O，作点关于的对称点，连接交于，此时，当三点共线时，有最小值，最小值为的长．先证出四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质及线段的和差可得，即的最小值为1，最后利用三角形周长公式求出周长的最小值是即可.
13．【答案】2
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵22=4，∴ =2.
故答案为：2.
【分析】根据算术平方根的定义，求数a的算术平方根，也就是求一个正数x，使得x2=a，则x就是a的算术平方根， 特别地，规定0的算术平方根是0，据此即可解决问题.
14．【答案】2
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：将点代入一次函数，得，
即．
故答案为：2．
【分析】将点A（1，4）代入解析式可得，再求出b的值即可.
15．【答案】丙
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：，，，，
，
射击成绩最稳定的是丙，
故答案为：丙．
【分析】根据方差的意义：方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
16．【答案】
【知识点】无理数的大小比较；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：．
【分析】利用估算无理数大小的方法（将无理数转换为有理数比较）分析求解即可.
17．【答案】
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设这个小组的同学共有人，则每人需送出张新年贺卡，
依题意得：．
故答案为：．
【分析】设这个小组的同学共有人，则每人需送出张新年贺卡，再根据“ 全组共赠贺年卡m（常数）张 ”列出方程即可．
18．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵在矩形中，，，
∴，，，
由折叠的性质可得：，，
∴，
∴，
设，则．
在中，由勾股定理可得：
即
解得：，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用勾股定理及线段的和差求出BF的长，设，则，再利用勾股定理可得，即，再求出x的值，最后利用线段的和差求出CE的长即可.
19．【答案】解：原式

【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】利用含乘方的混合运算的计算方法（先计算乘方，再计算括号，然后计算乘除，最后计算加减）分析求解即可.
20．【答案】解：原式
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简可得，再将代入计算即可.
21．【答案】（1）解：，，
，
，
，
不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.
（2）解：将代入方程得：，
解得：，
将代入方程，整理可得：，
即，
解得：或，
该方程的另一个根．
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根）分析求解即可；
（2）先将x=1代入方程求出a的值，再将a的值代入可得，最后求出x的值即可.
22．【答案】（1），，
（2）解：补全直方图如下：
（3）解：估计该校成绩达到分以上（含分）的人数为：（人）.
（4）解：该校图书馆应增加一些关于航天知识的书籍，供学生阅读.
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：根据题目中，求得本次调查的人数为：，
则，，
故答案为：，，.
【分析】（1）利用“”的频数除以对应的百分比可得总人数，再求出a、b的值即可；
（2）利用“b”的值作出条形统计图即可；
（3）先求出“80分以上”的频率，再乘以1200可得答案；
（4）根据条形统计图中的数据分析求解即可.
23．【答案】（1）解：如图，，即为所求，
；
（2）证明：∵四边形为平行四边形，
∴且，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
∴，
∴四边形是菱形．
【知识点】等腰三角形的判定；菱形的判定；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）利用角平分线的作图方法和步骤作出∠ABC的角平分线交AD于点E，再以点C为圆心，DE为半径作出弧交BC于点F即可；
（2）先证出四边形是平行四边形，再结合，即可证出四边形是菱形．
24．【答案】（1）解：是，理由如下：
在中，，，
∴，
∴
∴，
根据垂线段最短，则是从村庄到河边的最近路；
（2）解：设，
在中，由已知得，，，
由勾股定理得：，
∴，
解得：，
答：原来的路线的长为千米．
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）由勾股定理的逆定理得△BCH是直角三角形，且∠CHB=90°，则CH⊥AB，然后由垂线段最短即可得出结论；
（2）设AC=x千米，则AB=x千米，AH=AB-HB=(x-3)千米，然后在Rt△ACH中，由勾股定理得出方程，解方程即可.
25．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OC＝AC，AC⊥BD，
∵DE＝AC，
∴DE＝OC，
∵DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵AC⊥BD，
∴平行四边形OCED是矩形．
∴OE＝CD．
（2）解：∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝2，
∵OA=AC=1，AC⊥BD，AD=2，
∴OD=，
∴在矩形OCED中，CE＝OD＝，
∴在Rt△ACE中，AE＝．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证出四边形OCED是平行四边形，再结合C⊥BD，证出平行四边形OCED是矩形，最后利用矩形的性质可得OE＝CD；
（2）先证出△ABC是等边三角形，再利用等边三角形的性质及勾股定理求出OD的长，再求出AE＝即可．
26．【答案】解：（1）；
（2）矩形沿所在直线折叠，
，，，
设，
，
在中，，
，
，解得，
．
（3），
理由如下：
由折叠的性质可得，，
，
，即，
，
又，
，
，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】（1），
理由如下：∵矩形纸片沿所在的直线折叠，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】（1）先利用折叠的性质可得，再利用矩形的性质及平行线可得，再利用等量代换可得，最后利用等角对等边的性质可得；
（2）设，则，再利用勾股定理可得，即，最后求出x的值即可；
（3）先利用折叠的性质可得，， 再利用角的运算和等量代换可得，利用勾股定理可得，再结合，利用等量代换可得.
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