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广西壮族自治区桂林市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·桂林期末）如果剧院里5排2号记作，那么表示（　　）
A．9排7号 B．7排9号 C．7排7号 D．9排9号
2．（2024八下·桂林期末）以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024八下·桂林期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国著名的《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（　　）
A．4，5，6 B．5，7，8 C．3，4，5 D．5，10，13
4．（2024八下·桂林期末）如图是中国古代建筑中的一个正八边形的窗户，图案对称精美．图中正八边形的内角和为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八下·桂林期末）如图，某学习小组为测量学校与河对岸公园之间的距离，在学校附近选一点，利用测量仪器测得，，．据此，可求得学校与公园之间的距离等于（　　）
A． B． C． D．
6．（2024八下·桂林期末）如图，在四边形中，对角线与相交于点，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
7．（2024八下·桂林期末）下列条件中，能判定四边形是矩形的是（　　）
A．对角线互相平分 B．对角线互相平分且垂直
C．对角线互相平分且相等 D．对角线互相垂直且相等
8．（2024八下·桂林期末）已知点在正比例函数的图象上，则的值是（　　）
A． B． C．6 D．
9．（2024八下·桂林期末）点的位置如图所示，则下列关于点的位置叙述正确的是（　　）
A．北偏西方向 B．与点距离处
C．在点北偏西方向处 D．在点北偏西方向处
10．（2024八下·桂林期末）下列各关系式中，y不是x的函数的是（　　）
A． B． C． D．
11．（2024八下·桂林期末）如图，是中的平分线，于点，于点．若，，，则的长是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
12．（2024八下·桂林期末）某商场在促销活动中，计划销售型和型两种饮水机共20台．若每台型饮水机可盈利150元，每台型饮水机可盈利200元，型饮水机的销售量不小于型饮水机的3倍．则该商场在本次促销活动中销售这两种饮水机能获得的最大利润是（　　）
A．3400元 B．3250元 C．4600元 D．4750元
13．（2024八下·桂林期末）函数y= 中，自变量x的取值范围是　 　．
14．（2024八下·桂林期末）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为　 　．
15．（2024八下·桂林期末）某校对八年级（1）班同学的身高数据进行统计并制作成频数分布直方图，最高的身高为，最矮的身高为，若以为组距，则应分为　 　组．
16．（2024八下·桂林期末）如图，在四边形中，，，，，则的度数为　 　．
17．（2024八下·桂林期末）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，将直线沿轴向上平移4个单位，与轴、轴分别交于点、，则线段的长为　 　．
18．（2024八下·桂林期末）如图，正方形的边长为，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按此规律，则的值为　 　．（结果用含的式子表示）
19．（2024八下·桂林期末）如图，点、、、在同一直线上，，，．
求证：．
20．（2024八下·桂林期末）已知在平面直角坐标系中有三点，，，将平移到的位置，其中点的坐标为．
（1）画出平移后的；
（2）用简洁的语言陈述的平移过程．
21．（2024八下·桂林期末）某校对八年级学生进行了一次视力调查，绘制出频数分布表和频数直方图的一部分如下：
视力 频数（人数） 频率
4 0.08
8 0.16
12 0.24
0.4
6
请根据图表信息回答下列问题：
（1）在频数分布表中，的值为　 　，的值为　 　；
（2）将频数直方图补充完整；
（3）甲同学说：“我的视力情况是此次抽样调查所得数据的中位数”，问甲同学的视力情况在哪个范围内？
（4）若视力在4.9以上（含4.9）均属正常，求视力正常的人数占被调查人数的百分比．
22．（2024八下·桂林期末）已知：一次函数．
（1）在如图所示的平面直角坐标系中，画出该函数的图象；
（2）判断一次函数的图象是否经过点；
（3）利用图象直接写出：当时，的取值范围．
23．（2024八下·桂林期末）如图，在四边形中，，，对角线，交于点，若四边形是矩形，交于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的面积．
24．（2024八下·桂林期末）如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点和点，一次函数的图象分别交轴、轴于点和点，两个一次函数的图象相交于点．
（1）求和的表达式；
（2）求点的坐标；
（3）已知点是直线上的动点，当时，求点的坐标．
25．（2024八下·桂林期末）（1）【模型建立】：三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．如图1，点分别是的边、上的中点，即：是的中位线，
由三角形的中位线定理可得结论：_________且________．（请补全结论）
（2）【模型应用】：如图2，点、分别是四边形的边、上的中点，点是对角线的中点，．求证：．
（3）【模型迁移】：如图3，点、分别是四边形的边、上的中点，，，，直接写出的长．
26．（2024八下·桂林期末）如图，在正方形的边上取点，以为边作正方形，连接，交于，点是上的一点，连接，，
（1）如图1，若点是的中点，，求的长；
（2）如图2，若，，，求的长；
（3）如图3，若点是的中点，，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：∵ 剧院里5排2号记作（5，2），
∴（7，9）表示7排9号.
故答案为：B.
【分析】根据题意得有序数对中，前面的数表示排数，后面的数表示号数，据此即可解题即可.
2．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
3．【答案】C
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
B、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
C、，不是“勾股数”，故本选项符合题意；
D、，是“勾股数”，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据勾股数的定义即可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
5．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：，，，
，
(km)．
故答案为：C．
【分析】根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意；
B、有一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，故此选项符合题意；
C、根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形” 可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意；
D、根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的判定定理逐项进行判断即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A选项不能判定四边形是矩形；
B、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故B选项不能判定四边形是矩形；
C、对角线相互平分且相等的四边形是矩形，故C选项能判定四边形是矩形；
D、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是矩形，故D选项不能判定四边形是矩形；
故答案为：C．
【分析】利用矩形的判定方法（①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形）分析求解即可.
8．【答案】A
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：把点代入正比例函数解析式中，
得，
解得，
故答案为A．
【分析】本题考查图象过点问题．把点代入正比例函数解析式中，通过化简可求出的值.
9．【答案】C
【知识点】方位角
【解析】【解答】解：由题意得：，
点在点北偏西方向处，
故答案为：C．
【分析】先求出的余角，再根据方向角的定义即可求出答案.
10．【答案】A
【知识点】函数的概念
【解析】【解答】解：对于，当时，则，表明对于x的一个取值，y的取值不唯一，故y不是x的函数；
对于、、，在使得代数式有意义的自变量取值范围内，对于任意x的每一个取值，都有唯一y的值与之对应，故y是x的函数；
故答案为：A．
【分析】利用函数的定义（ 在一个变化的过程中，函数中的每个变量x的值，变量y按照一定的法则有一个确定的值与之对应，在这个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量 ）分析求解即可.
11．【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：是的平分线，，，
，
，
，
．
故答案为：B．
【分析】根据角平分线的性质得到，再利用三角形面积公式得到，然后解关于的方程即可求出答案.
12．【答案】B
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设该商场在这一时期内销售获得的利润是元，销售型饮水机台，则销售型饮水机台，
根据题意得：．
解得：，
，
∴随的增大而减小，
∴当时，取最大值，最大值为(元)，
答：该商场在这一时期内销售这两种饮水机能获得的最大利润是元．
故答案为：B．
【分析】设该商场在这一时期内销售获得的利润是元，销售型饮水机台，则销售型饮水机台，根据在同一时期内，型饮水机的销售量不小于型饮水机销售量的3倍可得：，而，由一次函数性质可得答案．
13．【答案】x≠2
【知识点】分式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：要使分式有意义，即：x﹣2≠0，
解得：x≠2．
故答案为：x≠2．
【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不为0．
14．【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：由题意得：点关于轴对称的点为，
故答案为：．
【分析】利用关于y轴对称的点坐标的特征（横坐标变为相反数，纵坐标不变）分析求解即可.
15．【答案】5
【知识点】频数（率）分布表
【解析】【解答】解：，，
应分为5组．
故答案为：5．
【分析】计算最大值与最小值的差．再决定组距与组数，即可求出答案．
16．【答案】135
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：，，
，，
，
，，
，
即，
．
故答案为：135
【分析】根据等腰三角形的性质及已知条件可得，再根据勾股定理可得，然后根据勾股定理逆定理可知，再根据角之间的关系即可求出答案.
17．【答案】
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：把直线沿轴向上平移4个单位，得到直线为，
当时，，
解得 ，即．
故答案为：．
【分析】根据函数图象的平移规律可得直线为，将y=0代入解析式即可求出答案.
18．【答案】
【知识点】勾股定理；勾股数；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：如图所示，为等腰直角三角形
则．
，
即，
同理可得：，
，
故答案为：．
【分析】根据勾股定理可得，从而得到，依次类推，即可得到，找出规律，进而得到的值．
19．【答案】证明：，
，
即．
，
则在和中，
，
．
．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
20．【答案】（1）解：点的坐标为，平移后的对应点的坐标为，
∴如图，即为所求．
（2）解：点平移到点的过程可以是：将点先向左平移5个单位长度，再向上平移5个单位长度．同理得出点B、C的平移过程.
【知识点】平移的性质；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）根据平移的性质作图，即可得出答案；
（2）结合（2）的结论可得出答案．
21．【答案】（1）20；0.12
（2）解：如图所示，
（3）解：；，
中位数落在第3组内，
即甲同学的视力情况在范围内；
（4）解：视力正常的人数占被调查人数的百分比是．
【知识点】频数（率）分布直方图；条形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：抽取的总人数是：（人，
则（人，
，
故答案为：50，0.12．
【分析】（1）视力在的频数与频率可得总人数，用总人数乘以0.4可得a值，用1减去其他范围内的频率可得b值.
（2）补全图形即可.
（3）根据中位数的定义即可求出答案.
（4）用视力在4.9以上（含的人数除以总人数即可求出答案.
22．【答案】（1）解：当时，，
解得：，
点的坐标为；
当时，，
点的坐标为，
作出过、两点的直线方程，
如图所示．
（2）解：当时，，
一次函数的图象是不经过点
（3）
【知识点】一次函数的概念；一次函数的图象；一次函数的其他应用
【解析】【解答】（3）解：观察函数图象，可知：当时，．
【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出与轴或轴交点的坐标，描点、连线，即可画出函数的图象；
（2）将点代入检验即可判断；
（3）当函数图象在x轴下方时，有，结合函数图象即可求出答案.
23．【答案】（1）证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，
，
，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是矩形，
，
∵四边形是菱形，，
，，
，
∴是等边三角形，
，
，
，
∴四边形的面积．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，再根据矩形性质可得，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据矩形性质可得，再根据菱形性质可得，，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，再根据勾股定理可得OA，再根据菱形面积即可求出答案.
24．【答案】（1）解：依题意，将代入，得，
解得．
∴
将代入，得，
解得．
∴；
（2）解：由（1）得出，
∵两个一次函数的图象相交于点．
∴
∴
解得
把代入，解得
∴点的坐标；
（3）解：对于，当时，，
点的坐标为，
对于，当时，
点的坐标为，
，，
，
设点的坐标为，
则，
，
，
解得或，
符合条件的点的坐标为或；
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法分别将点A，D坐标代入两一次函数解析式即可求出答案.
（2）联立两一次函数解析式，解方程组即可求出答案.
（3）根据坐标轴上点的坐标特征可得点的坐标为，点的坐标为，再根据两点间距离可得，，根据三角形面积可得，设点的坐标为，则，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
25．【答案】（1）；；
（2）解：点分别是的中位线，
，
点分别是的中位线，
，
，
，
；
（3）
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）是的中位线，
，；
故答案为：；；
（3）连接，作中点M，连接，，
点是的中位线，，
，，
点分别是的中位线，，
，，
，
，
在直角中，．
【分析】（1）根据三角形中位线定理即可求出答案.
（2）根据三角形中位线定理可得，，则，再根据等边对等角即可求出答案.
（3）连接，作中点M，连接，，根据三角形中位线定理可得，，，，再根据角之间的关系可得，再根据勾股定理即可求出答案.
26．【答案】（1）解：∵四边形是正方形，
∴，
∵点是的中点，，
∴；
（2）解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴
（3）解： 延长交于， 如图：
∵四边形和是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∵是中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴， 即，
∵，是中点，
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据正方形性质可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出答案.
（2）根据正方形性质可得，再根据勾股定理可得AN，再根据三角形面积即可求出答案.
（3）延长交于，根据正方形性质可得，，，则，根据直线平行性质可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得DK，再根据直角三角形斜边上的中线性质及勾股定理即可求出答案.
1 / 1广西壮族自治区桂林市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·桂林期末）如果剧院里5排2号记作，那么表示（　　）
A．9排7号 B．7排9号 C．7排7号 D．9排9号
【答案】B
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：∵ 剧院里5排2号记作（5，2），
∴（7，9）表示7排9号.
故答案为：B.
【分析】根据题意得有序数对中，前面的数表示排数，后面的数表示号数，据此即可解题即可.
2．（2024八下·桂林期末）以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
3．（2024八下·桂林期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国著名的《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（　　）
A．4，5，6 B．5，7，8 C．3，4，5 D．5，10，13
【答案】C
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
B、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
C、，不是“勾股数”，故本选项符合题意；
D、，是“勾股数”，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据勾股数的定义即可求出答案.
4．（2024八下·桂林期末）如图是中国古代建筑中的一个正八边形的窗户，图案对称精美．图中正八边形的内角和为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
5．（2024八下·桂林期末）如图，某学习小组为测量学校与河对岸公园之间的距离，在学校附近选一点，利用测量仪器测得，，．据此，可求得学校与公园之间的距离等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：，，，
，
(km)．
故答案为：C．
【分析】根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
6．（2024八下·桂林期末）如图，在四边形中，对角线与相交于点，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意；
B、有一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，故此选项符合题意；
C、根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形” 可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意；
D、根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的判定定理逐项进行判断即可求出答案.
7．（2024八下·桂林期末）下列条件中，能判定四边形是矩形的是（　　）
A．对角线互相平分 B．对角线互相平分且垂直
C．对角线互相平分且相等 D．对角线互相垂直且相等
【答案】C
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A选项不能判定四边形是矩形；
B、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故B选项不能判定四边形是矩形；
C、对角线相互平分且相等的四边形是矩形，故C选项能判定四边形是矩形；
D、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是矩形，故D选项不能判定四边形是矩形；
故答案为：C．
【分析】利用矩形的判定方法（①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形）分析求解即可.
8．（2024八下·桂林期末）已知点在正比例函数的图象上，则的值是（　　）
A． B． C．6 D．
【答案】A
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：把点代入正比例函数解析式中，
得，
解得，
故答案为A．
【分析】本题考查图象过点问题．把点代入正比例函数解析式中，通过化简可求出的值.
9．（2024八下·桂林期末）点的位置如图所示，则下列关于点的位置叙述正确的是（　　）
A．北偏西方向 B．与点距离处
C．在点北偏西方向处 D．在点北偏西方向处
【答案】C
【知识点】方位角
【解析】【解答】解：由题意得：，
点在点北偏西方向处，
故答案为：C．
【分析】先求出的余角，再根据方向角的定义即可求出答案.
10．（2024八下·桂林期末）下列各关系式中，y不是x的函数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数的概念
【解析】【解答】解：对于，当时，则，表明对于x的一个取值，y的取值不唯一，故y不是x的函数；
对于、、，在使得代数式有意义的自变量取值范围内，对于任意x的每一个取值，都有唯一y的值与之对应，故y是x的函数；
故答案为：A．
【分析】利用函数的定义（ 在一个变化的过程中，函数中的每个变量x的值，变量y按照一定的法则有一个确定的值与之对应，在这个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量 ）分析求解即可.
11．（2024八下·桂林期末）如图，是中的平分线，于点，于点．若，，，则的长是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：是的平分线，，，
，
，
，
．
故答案为：B．
【分析】根据角平分线的性质得到，再利用三角形面积公式得到，然后解关于的方程即可求出答案.
12．（2024八下·桂林期末）某商场在促销活动中，计划销售型和型两种饮水机共20台．若每台型饮水机可盈利150元，每台型饮水机可盈利200元，型饮水机的销售量不小于型饮水机的3倍．则该商场在本次促销活动中销售这两种饮水机能获得的最大利润是（　　）
A．3400元 B．3250元 C．4600元 D．4750元
【答案】B
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设该商场在这一时期内销售获得的利润是元，销售型饮水机台，则销售型饮水机台，
根据题意得：．
解得：，
，
∴随的增大而减小，
∴当时，取最大值，最大值为(元)，
答：该商场在这一时期内销售这两种饮水机能获得的最大利润是元．
故答案为：B．
【分析】设该商场在这一时期内销售获得的利润是元，销售型饮水机台，则销售型饮水机台，根据在同一时期内，型饮水机的销售量不小于型饮水机销售量的3倍可得：，而，由一次函数性质可得答案．
13．（2024八下·桂林期末）函数y= 中，自变量x的取值范围是　 　．
【答案】x≠2
【知识点】分式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：要使分式有意义，即：x﹣2≠0，
解得：x≠2．
故答案为：x≠2．
【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不为0．
14．（2024八下·桂林期末）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：由题意得：点关于轴对称的点为，
故答案为：．
【分析】利用关于y轴对称的点坐标的特征（横坐标变为相反数，纵坐标不变）分析求解即可.
15．（2024八下·桂林期末）某校对八年级（1）班同学的身高数据进行统计并制作成频数分布直方图，最高的身高为，最矮的身高为，若以为组距，则应分为　 　组．
【答案】5
【知识点】频数（率）分布表
【解析】【解答】解：，，
应分为5组．
故答案为：5．
【分析】计算最大值与最小值的差．再决定组距与组数，即可求出答案．
16．（2024八下·桂林期末）如图，在四边形中，，，，，则的度数为　 　．
【答案】135
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：，，
，，
，
，，
，
即，
．
故答案为：135
【分析】根据等腰三角形的性质及已知条件可得，再根据勾股定理可得，然后根据勾股定理逆定理可知，再根据角之间的关系即可求出答案.
17．（2024八下·桂林期末）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，将直线沿轴向上平移4个单位，与轴、轴分别交于点、，则线段的长为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：把直线沿轴向上平移4个单位，得到直线为，
当时，，
解得 ，即．
故答案为：．
【分析】根据函数图象的平移规律可得直线为，将y=0代入解析式即可求出答案.
18．（2024八下·桂林期末）如图，正方形的边长为，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按此规律，则的值为　 　．（结果用含的式子表示）
【答案】
【知识点】勾股定理；勾股数；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：如图所示，为等腰直角三角形
则．
，
即，
同理可得：，
，
故答案为：．
【分析】根据勾股定理可得，从而得到，依次类推，即可得到，找出规律，进而得到的值．
19．（2024八下·桂林期末）如图，点、、、在同一直线上，，，．
求证：．
【答案】证明：，
，
即．
，
则在和中，
，
．
．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
20．（2024八下·桂林期末）已知在平面直角坐标系中有三点，，，将平移到的位置，其中点的坐标为．
（1）画出平移后的；
（2）用简洁的语言陈述的平移过程．
【答案】（1）解：点的坐标为，平移后的对应点的坐标为，
∴如图，即为所求．
（2）解：点平移到点的过程可以是：将点先向左平移5个单位长度，再向上平移5个单位长度．同理得出点B、C的平移过程.
【知识点】平移的性质；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）根据平移的性质作图，即可得出答案；
（2）结合（2）的结论可得出答案．
21．（2024八下·桂林期末）某校对八年级学生进行了一次视力调查，绘制出频数分布表和频数直方图的一部分如下：
视力 频数（人数） 频率
4 0.08
8 0.16
12 0.24
0.4
6
请根据图表信息回答下列问题：
（1）在频数分布表中，的值为　 　，的值为　 　；
（2）将频数直方图补充完整；
（3）甲同学说：“我的视力情况是此次抽样调查所得数据的中位数”，问甲同学的视力情况在哪个范围内？
（4）若视力在4.9以上（含4.9）均属正常，求视力正常的人数占被调查人数的百分比．
【答案】（1）20；0.12
（2）解：如图所示，
（3）解：；，
中位数落在第3组内，
即甲同学的视力情况在范围内；
（4）解：视力正常的人数占被调查人数的百分比是．
【知识点】频数（率）分布直方图；条形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：抽取的总人数是：（人，
则（人，
，
故答案为：50，0.12．
【分析】（1）视力在的频数与频率可得总人数，用总人数乘以0.4可得a值，用1减去其他范围内的频率可得b值.
（2）补全图形即可.
（3）根据中位数的定义即可求出答案.
（4）用视力在4.9以上（含的人数除以总人数即可求出答案.
22．（2024八下·桂林期末）已知：一次函数．
（1）在如图所示的平面直角坐标系中，画出该函数的图象；
（2）判断一次函数的图象是否经过点；
（3）利用图象直接写出：当时，的取值范围．
【答案】（1）解：当时，，
解得：，
点的坐标为；
当时，，
点的坐标为，
作出过、两点的直线方程，
如图所示．
（2）解：当时，，
一次函数的图象是不经过点
（3）
【知识点】一次函数的概念；一次函数的图象；一次函数的其他应用
【解析】【解答】（3）解：观察函数图象，可知：当时，．
【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出与轴或轴交点的坐标，描点、连线，即可画出函数的图象；
（2）将点代入检验即可判断；
（3）当函数图象在x轴下方时，有，结合函数图象即可求出答案.
23．（2024八下·桂林期末）如图，在四边形中，，，对角线，交于点，若四边形是矩形，交于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的面积．
【答案】（1）证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，
，
，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是矩形，
，
∵四边形是菱形，，
，，
，
∴是等边三角形，
，
，
，
∴四边形的面积．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，再根据矩形性质可得，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据矩形性质可得，再根据菱形性质可得，，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，再根据勾股定理可得OA，再根据菱形面积即可求出答案.
24．（2024八下·桂林期末）如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点和点，一次函数的图象分别交轴、轴于点和点，两个一次函数的图象相交于点．
（1）求和的表达式；
（2）求点的坐标；
（3）已知点是直线上的动点，当时，求点的坐标．
【答案】（1）解：依题意，将代入，得，
解得．
∴
将代入，得，
解得．
∴；
（2）解：由（1）得出，
∵两个一次函数的图象相交于点．
∴
∴
解得
把代入，解得
∴点的坐标；
（3）解：对于，当时，，
点的坐标为，
对于，当时，
点的坐标为，
，，
，
设点的坐标为，
则，
，
，
解得或，
符合条件的点的坐标为或；
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法分别将点A，D坐标代入两一次函数解析式即可求出答案.
（2）联立两一次函数解析式，解方程组即可求出答案.
（3）根据坐标轴上点的坐标特征可得点的坐标为，点的坐标为，再根据两点间距离可得，，根据三角形面积可得，设点的坐标为，则，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
25．（2024八下·桂林期末）（1）【模型建立】：三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．如图1，点分别是的边、上的中点，即：是的中位线，
由三角形的中位线定理可得结论：_________且________．（请补全结论）
（2）【模型应用】：如图2，点、分别是四边形的边、上的中点，点是对角线的中点，．求证：．
（3）【模型迁移】：如图3，点、分别是四边形的边、上的中点，，，，直接写出的长．
【答案】（1）；；
（2）解：点分别是的中位线，
，
点分别是的中位线，
，
，
，
；
（3）
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）是的中位线，
，；
故答案为：；；
（3）连接，作中点M，连接，，
点是的中位线，，
，，
点分别是的中位线，，
，，
，
，
在直角中，．
【分析】（1）根据三角形中位线定理即可求出答案.
（2）根据三角形中位线定理可得，，则，再根据等边对等角即可求出答案.
（3）连接，作中点M，连接，，根据三角形中位线定理可得，，，，再根据角之间的关系可得，再根据勾股定理即可求出答案.
26．（2024八下·桂林期末）如图，在正方形的边上取点，以为边作正方形，连接，交于，点是上的一点，连接，，
（1）如图1，若点是的中点，，求的长；
（2）如图2，若，，，求的长；
（3）如图3，若点是的中点，，，求的长．
【答案】（1）解：∵四边形是正方形，
∴，
∵点是的中点，，
∴；
（2）解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴
（3）解： 延长交于， 如图：
∵四边形和是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∵是中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴， 即，
∵，是中点，
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据正方形性质可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出答案.
（2）根据正方形性质可得，再根据勾股定理可得AN，再根据三角形面积即可求出答案.
（3）延长交于，根据正方形性质可得，，，则，根据直线平行性质可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得DK，再根据直角三角形斜边上的中线性质及勾股定理即可求出答案.
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