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广西壮族自治区贵港市桂平市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·桂平期末）点的坐标是，则点A所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2024八下·桂平期末）下面图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024八下·桂平期末）我们把每一组数的频数与数据总数的比叫作这一组数据的频率（relative frequency）．在“relative”中，字母“e”出现的频率是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024八下·桂平期末）由下列线段a，b，c组成三角形，是直角三角形的是（　　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
5．（2024八下·桂平期末）在平面直角坐标系中，点P（﹣5，3）关于x轴对称的点的坐标为（　　）
A．（5，3） B．（5，﹣3）
C．（﹣5，﹣3） D．（3，﹣5）
6．（2024八下·桂平期末）一个n边形的内角和为720°，则n等于（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．（2024八下·桂平期末）下列图象中，表示y不是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024八下·桂平期末）将直线向上平移个单位，可得到直线(　　)
A． B． C． D．
9．（2024八下·桂平期末）如图，在矩形中，，，平分交于点E，点F，分别是的中点，则的长为（　　）
A．5 B． C． D．
10．（2024八下·桂平期末）下列判断错误的是(　　)
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
B．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
C．对顶角相等
D．同旁内角互补
11．（2024八下·桂平期末）某星期日上午10：00，小星从家匀速步行到附近的图书馆，看完书后他匀速跑步回家，已知跑步的速度是步行速度的2倍．下图表示小星离家的距离y（千米）与所用的时间x（分钟）之间的关系，下列说法正确的是（　　）
A．小星在图书馆看书的时间是70分钟
B．小星家与图书馆的距离为4千米
C．小星的步行速度是5千米/小时
D．小星回到家的时刻是上午
12．（2024八下·桂平期末）如图，在正方形中，，与相交于点，是的中点，点在边上，且，为对角线上一点，当对角线平分时，的值为（　　）
A．1 B． C．2 D．
13．（2024八下·桂平期末）分解因式： 　 　.
14．（2024八下·桂平期末）正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点A（-1，5），则k=　 　
15．（2024八下·桂平期末）在中，是斜边的中点，若，则的长是　 　．
16．（2024八下·桂平期末）设矩形的一条对角线长为，两条对角线组成的对顶角中，有一组是，则矩形的周长是　 　．
17．（2024八下·桂平期末）在“ “探索一次函数的系数与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式．分别计算，的值，其中最大的值等于　 　．
18．（2024八下·桂平期末）如图，在菱形中，，，动点、分别在线段、上，且，则的最小值为　 　．
19．（2024八下·桂平期末）计算：．
20．（2024八下·桂平期末）已知．
（1）化简；
（2）若，是菱形两条对角线的长，且该菱形的面积为6，求的值．
21．（2024八下·桂平期末）如图，已知三个顶点的坐标分别为，，，将先向右平移5个单位．再向下平移3个单位，它的对应图形是．
（1）请画出，并直接写出点的坐标；
（2）外有一点M经过同样的平移后得到点，直接写出点M的坐标；
（3）连接线段，，则这两条线段之间的关系是 ．
22．（2024八下·桂平期末）如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与x轴分别交于点A、B．
（1）分别求出这两个函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）根据图象直接写出不等式的解集．
23．（2024八下·桂平期末）已知如图，在中，点E，F分别为，的中点，是对角线，交的延长线于G．
（1）求证：；
（2）若四边形是菱形，求证：四边形是矩形．
24．（2024八下·桂平期末）某校八年级学生进行了一次视力调查，绘制出频数分布表和频数直方图的一部分如下：
视 力 频数（人数） 频率
20 0.1
40 0.2
70 0.35
a 0.3
10 b
请根据图表信息完成下列各题：
（1）在频数分布表中，a的值为______，b的值是______；
（2）将频数直方图补充完整；
（3）小芳同学说“我的视力是此次调查所得数据的中位数”，你觉得小芳同学的视力应在哪个范围内？
（4）若视力在不小于4.9的均属正常，请你求出视力正常的人数占被调查人数的百分比.
25．（2024八下·桂平期末）如图，在中，，，以点为圆心、任意长为半径画圆弧分别交边，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点，连接并延长交于点．
（1）求证：平分；
（2）若，求的周长．
26．（2024八下·桂平期末）综合与实践
【模型探索】如图1，在正方形中，点，分别在边，上，若，则与的数量关系为 　　；
【模型应用】如图2，将边长为2的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在点处，折痕交于点，交于点，求折痕的长度；
【迁移应用】如图3，正方形的边长为12，点是上一点，将沿折叠，使点落在点处，连接；并延长交于点．若，求的长度．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵的横坐标的符号为负，纵坐标的符号为正，
∴点第二象限，
故答案为：B．
【分析】利用四个象限点坐标的符号特点（①第一象限（+，+）；②第二象限（-，+）；③第三象限（-，-）；④第四象限（+，-））求解即可.
2．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、D中的图形均不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项C能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故答案为：C．
【分析】中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.
3．【答案】A
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：在“relative”中，字母“e”出现2次，共有8个字母，
∴字母“e”出现的频率是，
故答案为：A．
【分析】根据频率公式计算可得答案．
4．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A．∵，
∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，故此选项不符合题意；
B．∵，
∴以3，4，5为边能组成直角三角形，故此选项符合题意；
C．∵，
∴以4，5，6为边不能组成直角三角形，故此选项不符合题意；
D．∵
∴以6，8，11为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理逆定理即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：点P（﹣5，3）关于x轴对称的点的坐标为（﹣5，﹣3），
故答案为：C．
【分析】利用关于x轴对称的点坐标的特征（横坐标不变，纵坐标变为相反数）求解即可.
6．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：根据n边形的内角和公式，得：（n-2） 180=720，
解得n=6.
故答案为：C.
【分析】根据n边形的内角和公式（n-2） 180°进行解答即可.
7．【答案】C
【知识点】函数的概念；函数的图象
【解析】【解答】解：A、B、D选项中对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，符合函数的定义，
只有C选项对于x的每一个确定的值，可能会有两个y与之对应，不符合函数的定义．
故答案为：C．
【分析】根据函数的定义逐项进行判断即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解： 将直线向上平移个单位，可得到直线y=2x-1+4，即y=2x+3；
故答案为：A.
【分析】直线的平移规律：左加右减变自变量，上加下减变常数项.
9．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
连接，如图，
∴，
∵点F、G分别为的中点，
∴．
故答案为：D．
【分析】根据矩形性质可得，则，根据角平分线定义可得，则，根据等角对等边可得，再根据边之间的关系可得AE，连接，根据勾股定理可得DE，再根据三角形中位线定理即可求出答案.
10．【答案】D
【知识点】矩形的判定；正方形的判定；对顶角及其性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：A、∵对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，∴A正确，不符合题意；
B、∵对角线相等且互相平分的四边形是矩形，∴B正确，不符合题意；
C、∵对顶角相等，∴C正确，不符合题意；
D、∵两直线平行，同旁内角互补，∴D不正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用正方形的判定、矩形的判定、对顶角的性质及平行线的性质逐项分析判断即可.
11．【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：小星在图书馆看书的时间是分钟，所以A不正确；
由纵坐标，小星家与图书馆的距离为2千米，所以B选项不正确；
小星的步行速度是千米/小时，所以C选项不正确；
小星回到家的时刻是上午时，所以D选项正确；
故答案为：D．
【分析】根据图象信息逐项进行判断即可求出答案.
12．【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；四边形-动点问题；解直角三角形—构造直角三角形
【解析】【解答】解：过点M作NH⊥BD于点H，
设PH=x，
∵在正方形中，
∴∠OBC=45°，即： BOC和 HBM是等腰直角三角形，
∵，BC=，
∴BH=HM=3÷=，BO=4÷=，
∴HO=-=，
∵是的中点，
∴ON=OA=OB=，
∵对角线平分，
∴tan∠OPN=tan∠MPH，
∴，
①当点P在线段BH上时，如图1，
，解得：x=（舍去），
②当点P在线段DH上时，如图2，
，解得：x=，
∴PH=，OP=-=，
∴PN=，
PM=，
∴=，
故答案为：A.
【分析】过点M作NH⊥BD于点H， 设PH=x， 先求出tan∠OPN=tan∠MPH，可得，再分类讨论： ①当点P在线段BH上时， ②当点P在线段DH上时，然后作出图形并利用列出方程求出x的值，再利用勾股定理求出PN和PM的长，最后求出=即可.
13．【答案】x(x-3)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】直接提公因式x即可，即原式=x(x-3).
【分析】由于前后两项有公因式x，利用提公因式法分解因式即可.
14．【答案】-5.
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】∵正比例函数y=kx的图象经过点（-1，5），
∴5=-k，
解得k=-5，
故答案为：-5．
【分析】考查正比例函数图象与坐标点的关系，待定系数的求解
15．【答案】6.5
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解： 在中，是斜边的中点，且，
∴CD=AB=6.5.
故答案为：6.5.
【分析】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，据此解答即可.
16．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，在矩形ABCD中，AC=BD=2cm，∠AOD=120°，
∴OA=OB=OC=OD=2，∠ABC=90°，AB=CD，AD=BC，
∴∠AOB=180°-∠AOD=60°，OA=OB=1cm，
∴△AOB为等边三角形，
∴AB=OA=1cm，
∴BC=，
∴矩形的周长为：2（AB+BC）=2（1+）=2+2（cm）.
故答案为：(2+2)cm.
【分析】由邻补角的定义求出∠AOB=180°-∠AOD=60°，结合矩形的性质可证△AOB为等边三角形，可得AB=OA=1cm，利用勾股定理求出BC，根据矩形的周长为2（AB+BC）即可求解.
17．【答案】5
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：设过，则有：
，
解得：，
则；
同理：，
则分别计算，的最大值为值．
故答案为：5．
【分析】设经过A、B两点的一次函数解析式为y1=k1x+b1，然后将A、B两点的坐标分别代入可得关于字母k1、b1的二元一次方程组，求解得出k1、b1的值，从而求出k1+b1的值，同理求出k2+b2及k3+b3的值，进行比较即可解答．
18．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接．
∵在菱形中，，
∴，，
∴和都为等边三角形，
∴，．
∵，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴当最小时，最小．
由垂线段最短可知当时，最小，
∴，
∴，
∴，即．
故答案为：．
【分析】连接，由菱形的性质可得和都为等边三角形，再证明，可得，，从而推出为等边三角形，得出，当最小时，最小．由垂线段最短可知当时，最小，此时，结合含30度角的直角三角形的性质求出AE，再利用勾股定理求出DE的长，即得EF的最小值．
19．【答案】解：原式
．
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】先算括号里、乘方及乘法，再计算除法，最后计算减法即可.
20．【答案】（1）解：
.
（2）解：∵，是菱形两条对角线的长，且该菱形的面积为6，
∴，
∴，
∴．
∴的值为．
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算；菱形的性质；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】（1）先利用单项式乘多项式和完全平方公式展开吗，再合并同类项即可；
（2）先利用菱形的面积等于对角线乘积的一半可得，再将其代入计算即可．
（1）解：
；
（2）∵，是菱形两条对角线的长，且该菱形的面积为6，
∴，
∴，
∴．
∴的值为．
21．【答案】（1）解：如图，即为所求，
∴.
（2）
（3），
【知识点】平移的性质；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【解答】（2）解：∵将先向右平移5个单位．再向下平移3个单位，它的像是．外有一点M经过同样的平移后得到点，
∴．
故答案为：；
（3）解：由平移的性质可得：，；
故答案为：，.
【分析】（1）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B、C的对应点，再连接并直接求出点的坐标即可；
（2）利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）分析求解即可；
（3）利用平移的性质分析求解即可.
（1）解：如图，即为所求，
∴；
（2）解：∵将先向右平移5个单位．再向下平移3个单位，它的像是．外有一点M经过同样的平移后得到点，
∴．
（3）解：由平移的性质可得：，；
22．【答案】（1）解：∵将点代入，
得，
解得：；
将点代入，
得，
解得：，
∴这两个函数的解析式分别为和.
（2）解：∵在中，令，得，
∴．
∴，
∵在中，令，得，
∴．
∴，
∴，
∴.
（3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系；三角形的面积
【解析】【解答】（3）解：∵，
∴，
由函数图象可知，当时，．
∴当时，．
故答案为：.
【分析】（1）将点P的坐标分别代入解析式和，求出a、b的值即可；
（2）先求出点A、B的坐标，再求出OA和OB的长，再利用线段的和差求出AB的长，最后利用三角形的面积公式求解即可；
（3）结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
（1）∵将点代入，得，
解得；
将点代入，得，
解得，
∴这两个函数的解析式分别为和；
（2）∵在中，令，得，
∴．
∴，
∵在中，令，得，
∴．
∴，
∴，
∴；
（3）∵，
∴，
由函数图象可知，当时，．
∴当时，．
23．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
又∵E、F分别为边、的中点，
∴，，
∴，
∴；
∴；
（2）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，
∵E、F分别为边、的中点，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质；矩形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先利用“SAS”证出，再利用全等三角形的性质可得；
（2）先证出四边形是平行四边形，再结合，证出四边形是矩形即可.
24．【答案】（1）故答案为：60；0.05.
（2）频数直方图补充如图所示：
（3）∵中位数落在第3组内，
∴小芳同学的视力情况在4.6≤x＜4.9范围内；
（4） 视力正常的人数占被调查人数的百分比是=35%.
答： 视力正常的人数占被调查人数的百分比是35%.
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）抽取的总人数是：20÷0.1=200（人），则a=200×0.3=60（人），
b=10÷200=0.05，
故答案为：60；0.05．
（2）根据（1）求出的数据，补全频数分布直方图如下：
（3）∵中位数落在第3组内，
∴小芳同学的视力情况在4.6≤x＜4.9范围内；
（4）视力正常的人数占被调查人数的百分比是=35%.
答： 视力正常的人数占被调查人数的百分比是35%.
【分析】（1）先根据视力在4.0≤x＜4.3的频数和频率求出抽取的人数，再利用求出a，再用求出b即可；
（2）根据（1）求出的数据直接补图即可；
（3）中位数：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数称为这组数据的中位数；据此可以找到中位数落在第3组内；
（4）根据公式，用视力在4.9以上（含4.9）的人数除以总人数即可求出频率．
25．【答案】（1）证明：连接，，
由作图知，，，
在与中，
，
，
，
平分；
（2）解：，，
，
平分；
，
，
，
，
，
的周长．
【知识点】等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）连接FG，EG，根据“SSS”判断出△BEG≌△BFG，由全等三角形的对应角相等得∠FBG=∠EBG，从而根据角平分线的定义可得结论；
（2）根据三角形的内角和定理及角平分线定义得到∠A=∠ABD=∠CBD=30°，由等角对等边得BD=AD=4，根据含30°角直角三角形的性质得CD=BD=2，然后根据勾股定理算出BC，最后根据三角形的周长公式即可得到结论．
（1）证明：连接，，
由作图知，，，
在与中，
，
，
，
平分；
（2）解：，，
，
平分；
，
，
，
，
，
的周长．
26．【答案】解：[模型探索]：，
[模型应用]如图2，过作交于，
将边长为2的正方形折叠，使点落在边的中点处，
点与点关于对称，
，
，
点是边的中点，
，
，
由[模型探索]知，
，，
四边形是平行四边形，
；
[迁移应用]四边形是正方形，
，
，，
，
将沿折叠，使点落在点处，
点与点关于对称，
于，，
由[模型探索]知，，，
，
，
，
．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：[模型探索]；
理由如下：
四边形是正方形，
，，
，
∴，
∵，
∴，
，
，
故答案为：.
【分析】[模型探索]先利用“ASA”证出，再利用全等三角形的性质可得；
[模型应用]连接，过作交于，先利用勾股定理求出，再利用，，证出四边形是平行四边形，最后利用平行四边形的性质可得；
[迁移应用]先求出，，再结合，求出，最后利用线段的和差求出即可．
1 / 1广西壮族自治区贵港市桂平市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·桂平期末）点的坐标是，则点A所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵的横坐标的符号为负，纵坐标的符号为正，
∴点第二象限，
故答案为：B．
【分析】利用四个象限点坐标的符号特点（①第一象限（+，+）；②第二象限（-，+）；③第三象限（-，-）；④第四象限（+，-））求解即可.
2．（2024八下·桂平期末）下面图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、D中的图形均不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项C能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故答案为：C．
【分析】中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.
3．（2024八下·桂平期末）我们把每一组数的频数与数据总数的比叫作这一组数据的频率（relative frequency）．在“relative”中，字母“e”出现的频率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：在“relative”中，字母“e”出现2次，共有8个字母，
∴字母“e”出现的频率是，
故答案为：A．
【分析】根据频率公式计算可得答案．
4．（2024八下·桂平期末）由下列线段a，b，c组成三角形，是直角三角形的是（　　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A．∵，
∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，故此选项不符合题意；
B．∵，
∴以3，4，5为边能组成直角三角形，故此选项符合题意；
C．∵，
∴以4，5，6为边不能组成直角三角形，故此选项不符合题意；
D．∵
∴以6，8，11为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理逆定理即可求出答案.
5．（2024八下·桂平期末）在平面直角坐标系中，点P（﹣5，3）关于x轴对称的点的坐标为（　　）
A．（5，3） B．（5，﹣3）
C．（﹣5，﹣3） D．（3，﹣5）
【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：点P（﹣5，3）关于x轴对称的点的坐标为（﹣5，﹣3），
故答案为：C．
【分析】利用关于x轴对称的点坐标的特征（横坐标不变，纵坐标变为相反数）求解即可.
6．（2024八下·桂平期末）一个n边形的内角和为720°，则n等于（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：根据n边形的内角和公式，得：（n-2） 180=720，
解得n=6.
故答案为：C.
【分析】根据n边形的内角和公式（n-2） 180°进行解答即可.
7．（2024八下·桂平期末）下列图象中，表示y不是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的概念；函数的图象
【解析】【解答】解：A、B、D选项中对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，符合函数的定义，
只有C选项对于x的每一个确定的值，可能会有两个y与之对应，不符合函数的定义．
故答案为：C．
【分析】根据函数的定义逐项进行判断即可求出答案.
8．（2024八下·桂平期末）将直线向上平移个单位，可得到直线(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解： 将直线向上平移个单位，可得到直线y=2x-1+4，即y=2x+3；
故答案为：A.
【分析】直线的平移规律：左加右减变自变量，上加下减变常数项.
9．（2024八下·桂平期末）如图，在矩形中，，，平分交于点E，点F，分别是的中点，则的长为（　　）
A．5 B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
连接，如图，
∴，
∵点F、G分别为的中点，
∴．
故答案为：D．
【分析】根据矩形性质可得，则，根据角平分线定义可得，则，根据等角对等边可得，再根据边之间的关系可得AE，连接，根据勾股定理可得DE，再根据三角形中位线定理即可求出答案.
10．（2024八下·桂平期末）下列判断错误的是(　　)
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
B．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
C．对顶角相等
D．同旁内角互补
【答案】D
【知识点】矩形的判定；正方形的判定；对顶角及其性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：A、∵对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，∴A正确，不符合题意；
B、∵对角线相等且互相平分的四边形是矩形，∴B正确，不符合题意；
C、∵对顶角相等，∴C正确，不符合题意；
D、∵两直线平行，同旁内角互补，∴D不正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用正方形的判定、矩形的判定、对顶角的性质及平行线的性质逐项分析判断即可.
11．（2024八下·桂平期末）某星期日上午10：00，小星从家匀速步行到附近的图书馆，看完书后他匀速跑步回家，已知跑步的速度是步行速度的2倍．下图表示小星离家的距离y（千米）与所用的时间x（分钟）之间的关系，下列说法正确的是（　　）
A．小星在图书馆看书的时间是70分钟
B．小星家与图书馆的距离为4千米
C．小星的步行速度是5千米/小时
D．小星回到家的时刻是上午
【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：小星在图书馆看书的时间是分钟，所以A不正确；
由纵坐标，小星家与图书馆的距离为2千米，所以B选项不正确；
小星的步行速度是千米/小时，所以C选项不正确；
小星回到家的时刻是上午时，所以D选项正确；
故答案为：D．
【分析】根据图象信息逐项进行判断即可求出答案.
12．（2024八下·桂平期末）如图，在正方形中，，与相交于点，是的中点，点在边上，且，为对角线上一点，当对角线平分时，的值为（　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；四边形-动点问题；解直角三角形—构造直角三角形
【解析】【解答】解：过点M作NH⊥BD于点H，
设PH=x，
∵在正方形中，
∴∠OBC=45°，即： BOC和 HBM是等腰直角三角形，
∵，BC=，
∴BH=HM=3÷=，BO=4÷=，
∴HO=-=，
∵是的中点，
∴ON=OA=OB=，
∵对角线平分，
∴tan∠OPN=tan∠MPH，
∴，
①当点P在线段BH上时，如图1，
，解得：x=（舍去），
②当点P在线段DH上时，如图2，
，解得：x=，
∴PH=，OP=-=，
∴PN=，
PM=，
∴=，
故答案为：A.
【分析】过点M作NH⊥BD于点H， 设PH=x， 先求出tan∠OPN=tan∠MPH，可得，再分类讨论： ①当点P在线段BH上时， ②当点P在线段DH上时，然后作出图形并利用列出方程求出x的值，再利用勾股定理求出PN和PM的长，最后求出=即可.
13．（2024八下·桂平期末）分解因式： 　 　.
【答案】x(x-3)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】直接提公因式x即可，即原式=x(x-3).
【分析】由于前后两项有公因式x，利用提公因式法分解因式即可.
14．（2024八下·桂平期末）正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点A（-1，5），则k=　 　
【答案】-5.
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】∵正比例函数y=kx的图象经过点（-1，5），
∴5=-k，
解得k=-5，
故答案为：-5．
【分析】考查正比例函数图象与坐标点的关系，待定系数的求解
15．（2024八下·桂平期末）在中，是斜边的中点，若，则的长是　 　．
【答案】6.5
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解： 在中，是斜边的中点，且，
∴CD=AB=6.5.
故答案为：6.5.
【分析】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，据此解答即可.
16．（2024八下·桂平期末）设矩形的一条对角线长为，两条对角线组成的对顶角中，有一组是，则矩形的周长是　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，在矩形ABCD中，AC=BD=2cm，∠AOD=120°，
∴OA=OB=OC=OD=2，∠ABC=90°，AB=CD，AD=BC，
∴∠AOB=180°-∠AOD=60°，OA=OB=1cm，
∴△AOB为等边三角形，
∴AB=OA=1cm，
∴BC=，
∴矩形的周长为：2（AB+BC）=2（1+）=2+2（cm）.
故答案为：(2+2)cm.
【分析】由邻补角的定义求出∠AOB=180°-∠AOD=60°，结合矩形的性质可证△AOB为等边三角形，可得AB=OA=1cm，利用勾股定理求出BC，根据矩形的周长为2（AB+BC）即可求解.
17．（2024八下·桂平期末）在“ “探索一次函数的系数与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式．分别计算，的值，其中最大的值等于　 　．
【答案】5
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：设过，则有：
，
解得：，
则；
同理：，
则分别计算，的最大值为值．
故答案为：5．
【分析】设经过A、B两点的一次函数解析式为y1=k1x+b1，然后将A、B两点的坐标分别代入可得关于字母k1、b1的二元一次方程组，求解得出k1、b1的值，从而求出k1+b1的值，同理求出k2+b2及k3+b3的值，进行比较即可解答．
18．（2024八下·桂平期末）如图，在菱形中，，，动点、分别在线段、上，且，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接．
∵在菱形中，，
∴，，
∴和都为等边三角形，
∴，．
∵，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴当最小时，最小．
由垂线段最短可知当时，最小，
∴，
∴，
∴，即．
故答案为：．
【分析】连接，由菱形的性质可得和都为等边三角形，再证明，可得，，从而推出为等边三角形，得出，当最小时，最小．由垂线段最短可知当时，最小，此时，结合含30度角的直角三角形的性质求出AE，再利用勾股定理求出DE的长，即得EF的最小值．
19．（2024八下·桂平期末）计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】先算括号里、乘方及乘法，再计算除法，最后计算减法即可.
20．（2024八下·桂平期末）已知．
（1）化简；
（2）若，是菱形两条对角线的长，且该菱形的面积为6，求的值．
【答案】（1）解：
.
（2）解：∵，是菱形两条对角线的长，且该菱形的面积为6，
∴，
∴，
∴．
∴的值为．
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算；菱形的性质；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】（1）先利用单项式乘多项式和完全平方公式展开吗，再合并同类项即可；
（2）先利用菱形的面积等于对角线乘积的一半可得，再将其代入计算即可．
（1）解：
；
（2）∵，是菱形两条对角线的长，且该菱形的面积为6，
∴，
∴，
∴．
∴的值为．
21．（2024八下·桂平期末）如图，已知三个顶点的坐标分别为，，，将先向右平移5个单位．再向下平移3个单位，它的对应图形是．
（1）请画出，并直接写出点的坐标；
（2）外有一点M经过同样的平移后得到点，直接写出点M的坐标；
（3）连接线段，，则这两条线段之间的关系是 ．
【答案】（1）解：如图，即为所求，
∴.
（2）
（3），
【知识点】平移的性质；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【解答】（2）解：∵将先向右平移5个单位．再向下平移3个单位，它的像是．外有一点M经过同样的平移后得到点，
∴．
故答案为：；
（3）解：由平移的性质可得：，；
故答案为：，.
【分析】（1）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B、C的对应点，再连接并直接求出点的坐标即可；
（2）利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）分析求解即可；
（3）利用平移的性质分析求解即可.
（1）解：如图，即为所求，
∴；
（2）解：∵将先向右平移5个单位．再向下平移3个单位，它的像是．外有一点M经过同样的平移后得到点，
∴．
（3）解：由平移的性质可得：，；
22．（2024八下·桂平期末）如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与x轴分别交于点A、B．
（1）分别求出这两个函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）根据图象直接写出不等式的解集．
【答案】（1）解：∵将点代入，
得，
解得：；
将点代入，
得，
解得：，
∴这两个函数的解析式分别为和.
（2）解：∵在中，令，得，
∴．
∴，
∵在中，令，得，
∴．
∴，
∴，
∴.
（3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系；三角形的面积
【解析】【解答】（3）解：∵，
∴，
由函数图象可知，当时，．
∴当时，．
故答案为：.
【分析】（1）将点P的坐标分别代入解析式和，求出a、b的值即可；
（2）先求出点A、B的坐标，再求出OA和OB的长，再利用线段的和差求出AB的长，最后利用三角形的面积公式求解即可；
（3）结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
（1）∵将点代入，得，
解得；
将点代入，得，
解得，
∴这两个函数的解析式分别为和；
（2）∵在中，令，得，
∴．
∴，
∵在中，令，得，
∴．
∴，
∴，
∴；
（3）∵，
∴，
由函数图象可知，当时，．
∴当时，．
23．（2024八下·桂平期末）已知如图，在中，点E，F分别为，的中点，是对角线，交的延长线于G．
（1）求证：；
（2）若四边形是菱形，求证：四边形是矩形．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
又∵E、F分别为边、的中点，
∴，，
∴，
∴；
∴；
（2）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，
∵E、F分别为边、的中点，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质；矩形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先利用“SAS”证出，再利用全等三角形的性质可得；
（2）先证出四边形是平行四边形，再结合，证出四边形是矩形即可.
24．（2024八下·桂平期末）某校八年级学生进行了一次视力调查，绘制出频数分布表和频数直方图的一部分如下：
视 力 频数（人数） 频率
20 0.1
40 0.2
70 0.35
a 0.3
10 b
请根据图表信息完成下列各题：
（1）在频数分布表中，a的值为______，b的值是______；
（2）将频数直方图补充完整；
（3）小芳同学说“我的视力是此次调查所得数据的中位数”，你觉得小芳同学的视力应在哪个范围内？
（4）若视力在不小于4.9的均属正常，请你求出视力正常的人数占被调查人数的百分比.
【答案】（1）故答案为：60；0.05.
（2）频数直方图补充如图所示：
（3）∵中位数落在第3组内，
∴小芳同学的视力情况在4.6≤x＜4.9范围内；
（4） 视力正常的人数占被调查人数的百分比是=35%.
答： 视力正常的人数占被调查人数的百分比是35%.
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）抽取的总人数是：20÷0.1=200（人），则a=200×0.3=60（人），
b=10÷200=0.05，
故答案为：60；0.05．
（2）根据（1）求出的数据，补全频数分布直方图如下：
（3）∵中位数落在第3组内，
∴小芳同学的视力情况在4.6≤x＜4.9范围内；
（4）视力正常的人数占被调查人数的百分比是=35%.
答： 视力正常的人数占被调查人数的百分比是35%.
【分析】（1）先根据视力在4.0≤x＜4.3的频数和频率求出抽取的人数，再利用求出a，再用求出b即可；
（2）根据（1）求出的数据直接补图即可；
（3）中位数：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数称为这组数据的中位数；据此可以找到中位数落在第3组内；
（4）根据公式，用视力在4.9以上（含4.9）的人数除以总人数即可求出频率．
25．（2024八下·桂平期末）如图，在中，，，以点为圆心、任意长为半径画圆弧分别交边，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点，连接并延长交于点．
（1）求证：平分；
（2）若，求的周长．
【答案】（1）证明：连接，，
由作图知，，，
在与中，
，
，
，
平分；
（2）解：，，
，
平分；
，
，
，
，
，
的周长．
【知识点】等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）连接FG，EG，根据“SSS”判断出△BEG≌△BFG，由全等三角形的对应角相等得∠FBG=∠EBG，从而根据角平分线的定义可得结论；
（2）根据三角形的内角和定理及角平分线定义得到∠A=∠ABD=∠CBD=30°，由等角对等边得BD=AD=4，根据含30°角直角三角形的性质得CD=BD=2，然后根据勾股定理算出BC，最后根据三角形的周长公式即可得到结论．
（1）证明：连接，，
由作图知，，，
在与中，
，
，
，
平分；
（2）解：，，
，
平分；
，
，
，
，
，
的周长．
26．（2024八下·桂平期末）综合与实践
【模型探索】如图1，在正方形中，点，分别在边，上，若，则与的数量关系为 　　；
【模型应用】如图2，将边长为2的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在点处，折痕交于点，交于点，求折痕的长度；
【迁移应用】如图3，正方形的边长为12，点是上一点，将沿折叠，使点落在点处，连接；并延长交于点．若，求的长度．
【答案】解：[模型探索]：，
[模型应用]如图2，过作交于，
将边长为2的正方形折叠，使点落在边的中点处，
点与点关于对称，
，
，
点是边的中点，
，
，
由[模型探索]知，
，，
四边形是平行四边形，
；
[迁移应用]四边形是正方形，
，
，，
，
将沿折叠，使点落在点处，
点与点关于对称，
于，，
由[模型探索]知，，，
，
，
，
．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：[模型探索]；
理由如下：
四边形是正方形，
，，
，
∴，
∵，
∴，
，
，
故答案为：.
【分析】[模型探索]先利用“ASA”证出，再利用全等三角形的性质可得；
[模型应用]连接，过作交于，先利用勾股定理求出，再利用，，证出四边形是平行四边形，最后利用平行四边形的性质可得；
[迁移应用]先求出，，再结合，求出，最后利用线段的和差求出即可．
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