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河北省重点中学2025届高三高考模拟（二）数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知函数的定义域为集合，集合，若，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
3.已知且，则二项式的展开式中，常数项为( )
A. B. C. D.
4.已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则( )
A. B. C. D.
5.已知向量，，若，则( )
A. B.
C. D. 无法确定，与有关
6.已知，则( )
A. B. C. D.
7.荀子劝学中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”我们把看作每天的“进步”率是，一年后的值约为；把看作每天的“退步”率是，一年后的值约为，此时一年后的“进步”值是“退步”值的倍那么，大约经过天，“进步”值是“退步”值的倍．
参考数据：，，
A. 天 B. 天 C. 天 D. 天
8.设双曲线的右顶点为，，分别在两条渐近线上，且，，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数，则( )
A.
B. 是函数图象的一条对称轴
C. 的最大值为
D. 是偶函数
10.已知定义在上的函数满足，且当时，，则下列错误的是( )
A. B.
C. D.
11.已知等比数列的首项，在中每相邻两项之间都插入个正数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等比数列，则( )
A. B. 当时，
C. 当时，不是中的 项 D. 若是数列中的项，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设随机事件，，已知，，，则 ．
13.已知函数的图象的相邻两对称轴之间的距离为，且在上恰有个零点，则 ．
14.如图，正四面体的棱长为，以为斜边作等腰直角三角形，正四面体绕直线旋转，则在旋转的过程中，直线，所成角为，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
Ⅰ讨论的单调性；
Ⅱ当时，求证：．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，点为棱上一点，，为的中点．
证明：平面平面．
已知，，点在棱上，且，若直线与平面所成角的正弦值为，求的值．
17.本小题分
“源韵西藏传统服饰活态展示系列活动”圆满举办西藏博物馆为充分发挥阵地优势，传承弘扬中华优秀传统文化、促进各民族交往交流交融、培育引领各族人民文化生活新风尚，在年雪顿节前推出“源韵西藏传统服饰活态展示活动”，与观众一起感受传统文化的雅韵，为游客提供“正本清源”的西藏民俗活态体验其中“西藏服饰文化”项目火爆“出圈”，倍受广大游客喜爱，为了解藏服体验店广告支出和销售额之间的关系，在八廓街附近抽取家藏服体验店，得到了广告支出与销售额数据如下：
体验店
广告支出万元
销售额万元
对进入体验店的名游客进行统计得知，其中女性游客有人，女性游客中体验藏服的有人，男性游客中没有体验藏服的有人．
请将下列列联表补充完整，依据小概率值的独立性检验，能否认为体验藏服与性别有关联；
性别 是否体验藏服 合计
体验藏服 没有体验藏服
女
男
合计
设广告支出为变量万元，销售额为变量万元，根据统计数据计算相关系数，并据此说明可用线性回归模型拟合的关系若，则线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合；
建立的经验回归方程，并预测广告支出为万元时的销售额精确到．
附：参考数据及公式：，，，，，，相关系数，
在线性回归方程中中，，．
，．
18.本小题分
已知椭圆：的离心率为，右焦点，椭圆在第一象限上有一动点，点到直线的距离为，当时，点的纵坐标为．
求椭圆方程及；
证明：；
点，当取最大值时，求椭圆上任意点到直线的最大距离．
19.本小题分
已知数列，，，，且，，若是一个非零常数列，则称是一阶等差数列；若是一个非零常数列，则称是二阶等差数列．
若，，，试写出二阶等差数列的前项，并求；
若，且满足，
判断是否为二阶等差数列，并证明你的结论；
记数列的前项和为，若不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由，得，
则在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：由可得或，即或，
因为集合，
若，
当时，，符合题意；
当时，，则或，
解得或，
即，
当时，，
则或，
解得，
综上，．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：因为，所以，
所以，
所以二项式的展开式中，常数项为：．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：由题意可知：抛物线：的焦点为，准线为，
设，，则，
因为，则，得，
由抛物线定义得．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：向量 ，，
则 ，
因为，所以 ，
则 ．
故选C．
6.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
所以，
即，
所以，即．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：设经过天，
则，
则，
所以．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：由题设，
由角平分线定理可得，
则，，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
由得，解得，
则，即，
所以双曲线的离心率为．
故选B．
9.【答案】
【解析】解：，
对于，由，得的最小正周期为，故A正确；
对于，，故B错误；
对于，的最大值为，故 C错误；
对于，又因为，为偶函数，故 D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：定义在上的函数满足，
取，得，
取，得，则，
当时，，则当，即时，，即，
取，得，解得，即；
对于，由，得，
由，得，当且仅当时等号成立；
当时，，即；
当时，，即，故AC错误；
对于，将，分别取，可得，
又，因此，
则，
即，且不恒为，B错误，D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】对：易知，故 A正确；
对：当时，为等比数列，设公比为，且，，所以，
所以，所以，故 B正确；
对：当时，，所以是数列的第项，故C错误；
对：对数列，，，则公比，
所以，所以，
由是数列中的项，所以，所以，故 D正确．
故选：
12.【答案】
【解析】解：由条件概率的公式得．
故答案为：
13.【答案】
【解析】
，
由题意，知的最小正周期，
所以，即，所以．
若，则．
若在上恰有个零点，则，
即，
．
故答案为．
14.【答案】
【解析】正四面体绕直线旋转，也可以转化为点绕直线旋转，
如图，构造一个正方体，正四面体的顶点是正方体的四个顶点，各棱是正方体的面对角线，是棱的中点，的运动轨迹是以点为圆心，为半径的圆，该圆位于面内，
如图以为坐标原点建立空间直角坐标系，
，，，，，
令，，
，其中，
所以的最大值为．
故答案为．
15..【解析】由的定义域为，，
若，则，在内单调递增，
若，当时，在内单调递减，
当时，，在内单调递增．
综上，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增．
证明：当时，由，得，设，
则，设，则，
则，即在内单调递增，
，，存在，
使得，即，
即，，当时，，在内单调递减，
当时，，在内单调递增，
，
当，即时，，上式取不到等号，
时，．
16.【解析】证明：连接，，
因为，，所以，，
所以，，三点共线，即，
因为，所以，因为，平面，
且，所以平面，
因为平面，所以平面平面．
由题意得，所以，因为，
所以，
又因为，，所以，即，
由知，，所以，，两两相互垂直，
以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
则，
因为，所以，则，
设，所以，则，
设为平面的一个法向量，
则，则，即，
取，得，，
则，
设直线与平面所成角为，
则，
整理得，
解得或舍去，
所以．
17..【解析】根据题意，列联表完成如下：
性别 是否体验藏服 合计
体验藏服 没有体验藏服
女
男
合计
零假设为：性别与体验藏服之间无关联．
根据列联表数据，经计算得到
，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立．
即认为体验藏服与性别之间有关联，此推断犯错误的概率不超过．
由数据可知，
因为，
，
，
，
因为，
所以线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合与的关系．
由数据及公式可得：，
，
故关于的经验回归方程为，
当万元时，销售额预计为万元．
18.【解析】设椭圆的半焦距为，则由已知可得，则椭圆的左焦点为，
又，所以，所以，所以，
所以椭圆的方程为，离心率．
证明：设，则，
所以
．
由可得，所以，
所以当，，三点共线时取最大值，则直线的方程为，
设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为，
联立，消去得，
则，解得，
所以的方程为或，
则直线与直线的距离为或，
所以椭圆上任意点到直线的最大距离为．
19..【解析】因为，由，，
可得，
因为，
由，得，
由，得，
由，得，
由，
得当时，
，
上式对也成立，即有，；
不为二阶等差数列，证明如下：
若，且满足，
可得，
即，即有，
可得数列是首项和公比均为的等比数列，
即有，即，
可得，
，不为非零常数，
故不为二阶等差数列；
数列的前项和，
不等式对于任意恒成立，
即对于任意恒成立，
即对于任意恒成立．
设，则，
故当时，可得，，
当时，可得，即有，
可得数列中最小项为，
则，即有，
则实数的取值范围是
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