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2024级高一5月联考数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知a为实数，若复数为纯虚数，则=（ ）
A． B． C． D．
2. 设是三个不同平面，且，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为（ ）
A. B. C. D.
4．在中，内角的对边分别为，已知，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．等腰或直角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形
5. 已知为所在平面内的一点，为的中点，则（ ）
A. B. C. D.
6．若，则（ ）
A． B． C． D．
7．点在所在平面内，下列说法正确的是（ ）
A．若，则为锐角三角形 B．若点是的重心，则 + =
C．若，则
D．若为边长为2的正三角形，点在线段BC上运动，则
8．如图，底面是边长为2的正方形，半圆面底面，点为圆弧上的动点．当三棱锥的体积最大时，二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9. 已知向量，，下列说法正确的是（ ）
A. (+) B.
C. 与向量平行的单位向量是 D. 向量在向量上的投影向量为
10. 若复数，则（ ）
A. B.
C. z在复平面内对应的点位于第四象限 D. 复数满足，则的最大值为
11. 如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ）
A. 存在点，使得平面
B. 过三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形
C. 异面直线BA1与EF所成的角的大小为
D. 若//平面，则点P的轨迹的长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知圆锥底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为 .
13．圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算圣．索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高约为36m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得建筑物顶A、教堂顶C的仰角分别是45°和60°，在建筑物顶A处测得教堂顶C的仰角为15°，则可估算圣．索菲亚教堂的高度CD约为 m．
14. 三棱锥的顶点都在球的球面上，且，若三棱锥的体积最大值为，则球的表面积为_____.
四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）在平面直角坐标系中，已知，，.
（1）若A，B，C三点共线，求实数m的值；
（2）若，以的边AC所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成一个几何体，求该几何体的表面积.
16．(15分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，E，F分别为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面．
17．(15分）在△中，内角的对边分别为．
(1)求；
(2)若△的面积为，求边上的中线的长．
18. (17分）已知函数，图象的相邻对称轴之间的距离为．（1）求的解析式和函数单调递增区间；；
（2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位得的图象，若关于的方程在上只有一个解，求实数的取值范围．
19. (17分）如图，已知三棱台中，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的大小；
高一5月数学试题答案
一、1. A 2. B 3. B 4．D 5. C 6．C 7.B 8．D 9. AD 10. BCD 11. AC
12. 13. 54 14.
15求证：
16．解析：证明：（1）如图，取中点，连接．分别是和的中点，，且，∵四边形为矩形，且E为AD的中点，，，且，∴四边形为平行四边形，又平面，GD平面，∴平面．
（2）∵底面为矩形，∴．∵平面平面，平面平面，
∴AB⊥平面．而平面， ，又，，平面，
平面，而平面，∴平面平面．
17.【详解】（1）因为，由正弦定理得，因为，由余弦定理得：，又，所以．
（2）由，所以，由（1），所以，
因为为边上的中线，所以，则
，即.故边上的中线的长为.
18. （1），，
，，因为图象的相邻对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为，
所以，得，所以．令．
则，所以的单调递增区间为；【2】由（1）知，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，再向左平移个单位得的图象．令，，则，所以，因为在上只有一个解，由的图象（如图）可得，或，所以的取值范围是.
19.【1】在三棱台中，，，在等腰梯形中，，由余弦定理得：，
则，即，而平面平面，平面平面平面，所以平面.
（2）过，垂足为，因为平面，又平面，所以，
又，，平面，所以平面，平面，得 又，平面，则平面，为与平面所在角，，因此，所以与平面所成角为.

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