资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
初二数学第16周提优练习
（八下内容+相似三角形）
一、选择题（共8题）
1.要了解某初中全校1200名学生的课外阅读情况，若采用抽样调查的方法进行调查，则下面具有代表性的调查方式是（　　）
A．调查100名女生 B．调查100名男生
C．调查九年级100名学生 D．调查七、八、九年级各100名学生
2.若某校有A、B两间阅览室，甲、乙、丙三人各自随机选择去其中一间阅览室看书．则下列事件中的必然事件是（　　）
A．甲、乙都在A阅览室 B．三人中至少有两人在A阅览室
C．甲、乙在同一间阅览室 D．三人中至少有两人在同一间阅览室
3.下列说法中，正确的是（　　）
A．任意两个等边三角形都相似 B．任意两个直角三角形都相似
C．任意两个菱形都相似 D．任意两个矩形都相似
4.如图，已知∠B＝30°，∠D＝130°，△ABC∽△DAC，则∠BCD的度数为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
5.若点A（x1，1），B（x2，1），C（x3，5）都在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　）
A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x3＜x2＜x1 D．x2＜x1＜x3
6.如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD的中点，若AD＝4，CD＝7，则EO的长为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．1.5
第5题 第6题
7.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E是AD的中点，连接BE，AC相交于点F，过F作AD的平行线交AB于点G，若FG＝2，则BC的值是（　　）
A．6 B．5 C．8 D．4
8.如图，在矩形ABCD中，，BC＝6，点P在线段BC上运动，将AP绕点A逆时针旋转60°得到AP'，连接DP'，则DP'的最小值为（　　）
A．3 B． C． D．
第7题 第8题
二、填空题（共8题）
9.若a+3b＝0，则分式的值为　 ．
10.若关于x的分式方程有增根，则a＝　 　 ．
11.如图，C、D是线段AB的两个黄金分割点，AB＝1，求线段CD的长　 　．
12.已知反比例函数，当a≤x≤a+4时，函数的最大值是最小值的3倍，则a＝　 ．
13.如图，正方形ABCD的边长为4，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G，则GH的长为　 ．
14.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形AOBC的顶点A（2，2）在反比例函数的图象上，点B在x轴正半轴上，将该菱形向上平移，使点B的对应点D落在反比例函数的图象上，则图中DE＝　 　．
15.如图，将 ABCD绕点A逆时针旋转到 AEDF的位置，此时点E落在BC上，若，CE＝3，则△ECD的面积为　 ．
第13题 第14题 第15题
16.如图，菱形ABCD的对角线BD长度为6，边长，M为菱形外一个动点，满足BM⊥DM，N为MD中点，连接CN．则当M运动的过程中，CN长度的最大值为　 ．
三、解答题
17．解方程：（1）x2+2x+1＝4； （2）3x26x+1＝0．
18.如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与反比例函数的图象交于点B（2，m），过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，点P是反比例函数的图象上的一点，且∠PBC＝∠ABC．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求点P的坐标．
19.如图，已知CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D作AC的平行线，过点C作CD的垂线，两线相交于点E．
（1）求证：△ABC∽△DEC；
（2）若AB＝8，CE＝3，求△ABC的周长．
20.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，AD是斜边BC上的中线，将△ACD沿AD折叠，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E．
（1）求∠BDE的度数；
（2）求证：BD2＝BE BA．
21.如图，在△ABO中，AO＝AB，点A的坐标为（5，0），点B（2，a）在反比例函数的图象上．若将线段AB绕点A按顺时针方向旋转90°，得到线段AC，点C恰好在反比例函数的图象上．
（1）求k1，k2的值；
（2）若P，Q分别为反比例函数，图象上一点，且以点O，P，Q，A为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标．
22.如图，在矩形纸片ABCD中，E为边AD上的动点，F为边BC上的动点，连接EF．
（1）若AB＝3，BC＝4.
①如图①，点E与点D重合，点F与点B重合，将矩形纸片沿EF折叠，点A落在点G处，设DG与BC相交于H，求CH的长；
②如图②，将矩形纸片沿EF折叠，使点B与点D重合，求折痕EF的长；
（2）如图③，点E为AD的中点，点F与点B重合，将矩形纸片沿EF折叠，点A落在点G处，且点G在矩形ABCD内部，延长BG交CD于点H，若DH＝2CH，求的值．
23.在正方形ABCD中，AB＝2，P为BC边上的动点．连接AP，将AP绕点P顺时针旋转90°得PE．过点E作CD的垂线，垂足为F．连接BF，BF与AP交于点G．
（1）如图1，判断四边形BPEF的形状，并说明理由；
（2）如图2，连接PF，DE，取PF，DE的中点M，N，连接MN．随着点P的运动，MN的长度是否发生变化？若不变，求MN的值；若变化，求MN的取值范围；
（3）若连接CG，则CG的最小值为　 　．
24.已知正方形ABCD，AB＝2，点E是BC边上的一个动点（不与B，C重合），将EA绕点E顺时针旋转90°至EF，连接AF，设EF交CD于点P，AF交CD于点Q．
（1）如图1，若BE＝DQ，求∠BAE的度数；
（2）如图2，①点E在BC上运动的过程中，线段EQ、BE与DQ之间有怎样的数量关系，请证明你的发现；
②若BE＝22，求此时∠BAE的度数．
（3）如图3，连接DF，则AF+DF的最小值是　 　 （直接写出答案）．
答案与解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D A B B D A B
一．选择题（共8小题）
1．要了解某初中全校1200名学生的课外阅读情况，若采用抽样调查的方法进行调查，则下面具有代表性的调查方式是（　　）
A．调查100名女生
B．调查100名男生
C．调查九年级100名学生
D．调查七、八、九年级各100名学生
【解答】解：具有代表性的调查方式是调查七、八、九年级各100名学生，
故选：D．
2．若某校有A、B两间阅览室，甲、乙、丙三人各自随机选择去其中一间阅览室看书．则下列事件中的必然事件是（　　）
A．甲、乙都在A阅览室
B．三人中至少有两人在A阅览室
C．甲、乙在同一间阅览室
D．三人中至少有两人在同一间阅览室
【解答】解：甲、乙、丙同学中至少两人在同一阅览室是必然事件，
故选：D．
3．下列说法中，正确的是（　　）
A．任意两个等边三角形都相似
B．任意两个直角三角形都相似
C．任意两个菱形都相似
D．任意两个矩形都相似
【解答】解：A、任意两个等边三角形的内角等于60°，所以任意两个等边三角形都相似都相似，故选项符合题意；
B、任意两个直角三角形有一对直角相等，但直角的夹边不一定成比例，故都任意两个直角三角形不一定相似，故选项不符合题意；
C、任意两个菱形对应角不一定相等，故任意两个菱形不一定相似，故选项不符合题意；
D、任意两个矩形对应边不一定成比例，故任意两个矩形不一定相似，故选项不符合题意．
故选：A．
4．如图，已知∠B＝30°，∠D＝130°，△ABC∽△DAC，则∠BCD的度数为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【解答】解：∵△ABC∽△DAC，∠D＝130°，
∴∠BAC＝∠D＝130°，∠ACB＝∠ACD，
∴∠ACB＝∠ACD＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣30°﹣130°＝20°，
∴∠BCD＝2∠ACB＝40°，
故选：B．
5．若点A（x1，﹣1），B（x2，1），C（x3，5）都在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　）
A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x3＜x2＜x1 D．x2＜x1＜x3
【解答】解：∵k＝5＞0，
∴反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每一象限y随x的增大而减小，
∵点B（x2，1），C（x3，5），都在反比例函数的图象上，1＜5，
∴x2＞x3＞0．
∵﹣1＜0，A（x1，﹣1）在反比例函数的图象上，
∴x1＜0，
∴x1＜x3＜x2．
故选：B．
6．如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD的中点，若AD＝4，CD＝7，则EO的长为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．1.5
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD＝AB＝7，DO＝OB，
∴∠APD＝∠CDP，
∵DP平分∠ADC，
∴∠ADP＝∠CDP，
∴∠ADP＝∠APD，
∴AP＝AD＝4，
∴PB＝AB﹣AP＝7﹣4＝3，
∵O是BD中点，E是PD中点，
∴OE是△DPB的中位线，
∴OEPB＝1.5．
故选：D．
7．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E是AD的中点，连接BE，AC相交于点F，过F作AD的平行线交AB于点G，若FG＝2，则BC的值是（　　）
A．6 B．5 C．8 D．4
【解答】解：∵E是AD的中点，
∴AD＝2AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝2AE，AD∥BC，
∵AD∥FG，
∴AD∥FG∥BC，
∴△AFG∽△ACB，△BFG∽△BEA，
∴，，
∴，
解得BC＝6，
故选：A．
8．如图，在矩形ABCD中，，BC＝6，点P在线段BC上运动，将AP绕点A逆时针旋转60°得到AP'，连接DP'，则DP'的最小值为（　　）
A．3 B． C． D．
【解答】解：如图，以AB为边作等边△ABE，连接P'E，并延长交AD于F，过点D作DH⊥P'E于H，
∴AB＝AE，∠BAE＝60°，
∵将AP绕点A逆时针旋转60°得到AP'，
∴AP＝AP'，∠PAP'＝60°，
∴∠BAP＝∠EAP'，
在△ABP和△AEP'中，
，
∴△ABP≌△AEP'（SAS），
∴∠AEP'＝∠ABP＝90°，
∴点P'在射线EP'上运动，
当P'与H重合时，DP'最小，
在Rt△AEF中，∠EAF＝30°，AB＝AE＝2，
∴EF＝2，
∴AF＝2EF＝4，
∴DF＝AD﹣AF＝6﹣4＝2，
∴DHDF，
∴DQ的最小值为，
故选：B．
二．填空题（共8小题）
9．若a+3b＝0，则分式的值为　　 ．
【解答】解：∵a+3b＝0，
∴a＝﹣3b，
∴，
故答案为：．
10．若关于x的分式方程有增根，则a＝　﹣3　 ．
【解答】解：方程两边同时乘（x﹣2）得：x+1＝﹣a，
解得：x＝﹣a﹣1，
∵方程有增根，
∴x﹣2＝0，
∴x＝2，
∴﹣a﹣1＝2，
∴a＝﹣3，
故答案为：﹣3．
11．如图，C，D是线段AB的两个黄金分割点，AB＝1，则线段CD＝　2　 ．
【解答】解：∵线段AB＝1，点C是AB黄金分割点，
∴较小线段AD＝BC＝1，
则CD＝AB﹣AD﹣BC＝1﹣22．
故答案为：2．
12．已知反比例函数，当a≤x≤a+4时，函数的最大值是最小值的3倍，则a＝　﹣6或2　 ．
【解答】解：当k＞0时，反比例函数位于一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小．
所以3，解得a＝2．
当k＜0时，反比例函数位于二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大．
所以3×（），解得a＝﹣6，
综上所述 a＝﹣6或2，
故答案为：﹣6或2．
13．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G，则GH的长为 　　 ．
【解答】解：连接EG，AG，
由正方形ABCD的边长为4，点E是CD的中点，HG垂直平分AE，
得EG＝AG，DE＝EC＝2，AE2，AH，
设BG＝x，则CG＝4﹣x，
由EC2+CG2＝EG2＝AG2＝AB2+BG2，
得22+（4﹣x）2＝42+x2，
得x＝0.5，
得GH．
故答案为：．
14．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形AOBC的顶点A（2，2）在反比例函数的图象上，点B在x轴正半轴上，将该菱形向上平移，使点B的对应点D落在反比例函数的图象上，则图中DE＝　　 ．
【解答】解：∵菱形AOBC的顶点A（2，2）在反比例函数的图象上，
∴k＝2×2＝4，
∴反比例函数为y，
由A（2，2）可知OA2，
∴OB＝OA＝2，
∵将该菱形向上平移，使点B的对应点D落在反比例函数的图象上，
∴点D的横坐标为2，
把x＝2代入y得，y，
∴D（2，），
设直线OA为：y＝ax（a≠0），则2＝2a，
解得a＝1，
故直线OA为：y＝x，
∵DE∥OB，E点的纵坐标为，
∴E（，），
∴DE＝2，
故答案为：．
15．如图，将 ABCD绕点A逆时针旋转到 AEDF的位置，此时点E落在BC上，若，CE＝3，则△ECD的面积为 　　 ．
【解答】解：如图，过点A作AM⊥BC于M，过点E作EN⊥AD于N，则四边形AMEN是矩形，
∴AM＝EN，AN＝ME，
∵将 ABCD绕点A逆时针旋转到 AEDF的位置，
∴AB＝AE，DE＝BC，
∵AM⊥BE，
∴BM＝ME，
设BM＝ME＝x，则AN＝x，
∴BC＝3+2x，
∴AD＝DE＝3+2x，
∴DN＝3+x，
∵AM2＝AB2﹣BM2，NE2＝DE2﹣DN2，
∴10﹣x2＝（3+2x）2﹣（3+x）2，
∴x＝1，x（舍去），
∴BM＝1，
∴AM3，
∴△ECD的面积3×3，
故答案为：．
16．如图，菱形ABCD的对角线BD长度为6，边长，M为菱形外一个动点，满足BM⊥DM，N为MD中点，连接CN．则当M运动的过程中，CN长度的最大值为 　　 ．
【解答】解：连接AC，交BD于点O，连接ON，
∵菱形ABCD的对角线BD长度为6，边长AB，
∴AC⊥BD，ODBD＝3，CD，
∴OC1，
∵N为MD中点，
∴ON∥BM，
∵BM⊥DM，
∴ON⊥DM，
∴∠OND＝90°，
取OD的中点E，连接CE，NE，
则：OEOD，CE，NEOD，
∵CN≤CE+NE，
∴当C，N，E三点共线时，CN的长度最大为CE+EN；
故答案为：．
三．解答题（共8小题）
17．解方程：（1）x2+2x+1＝4； （2）3x26x+1＝0．
【解答】因式分解法：x2+2x3＝0 公式法：x=
（x+3）（x1）=0 x1=, x2=1+
x1=3, x1=1
18．如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与反比例函数的图象交于点B（2，m），过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，点P是反比例函数的图象上的一点，且∠PBC＝∠ABC．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求点P的坐标．
【解答】解：（1）∵点B（2，m）在直线的图象上，
∴m4，
∴B（2，4），
∵B（2，4）在反比例函数图象上，
∴k＝8，
∴反比例函数解析式为y；
（2）如图，延长BP交x轴于点D，
在函数中，当y＝0时，x＝﹣6，
∴A（﹣6，0），B（2，4）．
∵BC⊥x轴，∠PBC＝∠ABC．
∴AB＝AD，
∴AC＝CD＝8，
∴OD＝OC+DC＝8+2＝10，
∴D（10，0），
设直线BD的解析式为y＝kx+b，代入点B（2，4）、D（10，0）坐标得：
，解得，
∴直线BD的解析式为y，
联立方程组得，
解得，，
∴P（8，1）．
19．如图，已知CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D作AC的平行线，过点C作CD的垂线，两线相交于点E．
（1）求证：△ABC∽△DEC；
（2）若AB＝8，CE＝3，求△ABC的周长．
【解答】（1）证明：∵DC⊥CE，
∴∠DCE＝90°，
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴DA＝DC，
∴∠A＝∠ACD，
∵AC∥DE，
∴∠ACD＝∠CDE，
∴∠A＝∠CDE，
∵∠ACB＝∠DCE，
∴△ABC∽△DEC；
（2）解：∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴CDAB＝4，
在Rt△DCE中，DE5，
∵△ABC∽△DEC，
∴，即，
∴AC，BC，
∴△ABC的周长8．
20．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，AD是斜边BC上的中线，将△ACD沿AD折叠，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E．
（1）求∠BDE的度数；
（2）求证：BD2＝BE BA．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，∠B＝36°，
∴∠C＝54°，
又∵AD是中线，
∴CD＝AD＝BD，
∴∠C＝∠CAD＝54°，
∴∠ADC＝72°，
由折叠性质可得，
∠ADC＝∠ADF＝72°，
∴∠BDE＝36°；
（2）∵∠CAD＝54°，∠CAB＝90°，
∴∠DAB＝36°＝∠BDE，
又∵∠B＝∠B，
∴△ADB∽△DEB，
∴，
∴BD2＝BE BA．
21．如图，在△ABO中，AO＝AB，点A的坐标为（5，0），点B（2，a）在反比例函数的图象上．若将线段AB绕点A按顺时针方向旋转90°，得到线段AC，点C恰好在反比例函数的图象上．
（1）求k1，k2的值；
（2）若P，Q分别为反比例函数，图象上一点，且以点O，P，Q，A为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标．
【解答】解：（1）过B作BE⊥OA于E，
∵A的坐标为（5，0），点B（2，a），
∴OA＝AB＝5，OE＝2，BE＝n，
∴AE＝5﹣2＝3，
∴n4，
∴B（2，4），
∴k1＝2×4＝8；
过C作CF⊥x轴于F，
∴∠AEB＝∠AFC＝90°，
∵将线段AB绕点A按顺时针方向旋转90°，得到线段AC，
∴AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABE+∠BAE＝∠BAE+∠CAF＝90°，
∴∠ABE＝∠CAF，
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴CF＝AE＝3，AF＝BE＝4，
∴OF＝9，
∴C（9，3），
∵点C恰好在反比例函数的图象上，
∴k2＝9×3＝27；
（2）由（1）知y，y，
∵P，Q分别为反比例函数，图象上一点，
∴设P（a，），Q（b，），
∵以点O，P，Q，A为顶点的四边形为平行四边形，
∴当AO为平行四边形的对角线时，由图象得这种情况不存在；
当AP为平行四边形的对角线时，
，
解得a，
∴P（，）；
当AQ为平行四边形的对角线时，
，
解得a（不合题意），
综上所述，P（，）．
22．如图，在矩形纸片ABCD中，E为边AD上的动点，F为边BC上的动点，连接EF．
（1）若AB＝3，BC＝4
①如图①，点E与点D重合，点F与点B重合，将矩形纸片沿EF折叠，点A落在点G处，设DG与BC相交于H，求CH的长；
②如图②，将矩形纸片沿EF折叠，使点B与点D重合，求折痕EF的长；
（2）如图③，点E为AD的中点，点F与点B重合，将矩形纸片沿EF折叠，点A落在点G处，且点G在矩形ABCD内部，延长BG交CD于点H，若DH＝2CH，求的值．
【解答】（1）解①：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD＝BG，∠G＝∠C＝∠A＝90°，
∵∠BHG＝∠DHC，
∴△BHG≌△DHC（AAS），
∴CH＝GH；
设CH＝GH＝x，
∵AB＝3，BC＝4，
∴BG＝3，BH＝4﹣x，
∵BG2+GH2＝BH2，
即 32+x2＝（4﹣x）2，
解得：
∴；
②如图，连接BE，过点E作EK⊥BC，
由折叠可得：BF＝DF，∠BFE＝∠DFE，
∵EF＝EF，
∴△BFE≌△DFE（SAS），
∴BE＝ED，
由折叠可得：AB＝DG，
∴Rt△ABE≌Rt△GDE（HL），
由①同理可求：
设BF＝DF＝y，则CF＝4﹣y，
∵（4﹣y）2+32＝y2，
解得：
∵，
∴，
∵EK＝AB＝3，；
（2）连接EH，
∵DH＝2CH，点E为AD的中点，
设CH＝x，DE＝y，
则DH＝2x，AD＝2y，
∴EH2＝y2+4x2，
由折叠性质可得：BG＝AB＝CD＝3x，∠BGE＝∠A＝90°，
∴∠EGH＝90°，
∴，
∴BH＝5x，
∴．
∴．
23．在正方形ABCD中，AB＝2，P为BC边上的动点．连接AP，将AP绕点P顺时针旋转90°得PE．过点E作CD的垂线，垂足为F．连接BF，BF与AP交于点G．
（1）如图1，判断四边形BPEF的形状，并说明理由；
（2）如图2，连接PF，DE，取PF，DE的中点M，N，连接MN．随着点P的运动，MN的长度是否发生变化？若不变，求MN的值；若变化，求MN的取值范围；
（3）若连接CG，则CG的最小值为 　1　 ．
【解答】解：（1）四边形BPEF是平行四边形，理由如下：
如图1，过点E作EH⊥直线BC于H，
∵将AP绕点P顺时针旋转90°得PE，
∴AP＝PE，∠APE＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∵EH⊥BC，
∴∠ABC＝∠APE＝∠H＝90°，
∴∠BAP+∠BPA＝90°＝∠HPE+∠APB，
∴∠BAP＝∠EPH，
∴△ABP≌△PHE（ASA），
∴AB＝PH，
∴AB＝BC＝PH，
∴BP＝CH，
∵EF⊥CD，∠DCH＝∠H＝90°，
∴四边形EFCH是矩形，
∴EF∥CH，EF＝CH，
∴EF∥BC，EF＝BP，
∴四边形BPEF是平行四边形；
（2）MN的长度不变，理由如下：
如图2，连接BD，BE，
∵四边形BFEP是平行四边形，
∴FP与BE互相平分，
∵点M是FP的中点，
∴点M是BE的中点，
又∵点N是DE的中点，
∴MNBD，
∵AB＝2＝AD，
∴BD＝2，
∴MN；
（3）如图，取AB中点O，连接OG，GC，OC，
∵四边形BFEP是平行四边形，
∴BF∥PE，
∴∠PGF＝∠APE＝90°＝∠AGB，
∴点G在以AB为直径的圆上运动，
∴当点G，点C，点O三点共线时，CG有最小值，
此时：∵O是AB的中点，
∴OB＝1＝OG，
∵OC，
∴CG的最小值1，
故答案为：1．
24．已知正方形ABCD，AB＝2，点E是BC边上的一个动点（不与B，C重合），将EA绕点E顺时针旋转90°至EF，连接AF，设EF交CD于点P，AF交CD于点Q．
（1）如图1，若BE＝DQ，求∠BAE的度数；
（2）如图2，①点E在BC上运动的过程中，线段EQ、BE与DQ之间有怎样的数量关系，请证明你的发现；
②若BE＝22，求此时∠BAE的度数．
（3）如图3，连接DF，则AF+DF的最小值是 　2　 （直接写出答案）．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，
∵将EA绕点E顺时针旋转90°至EF，
∴AE＝FE，∠AEF＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴∠EAF＝45，
∴∠BAE+∠DAQ＝45°，
∵BE＝DQ，
∴△ABE≌△ADQ（SAS），
∴∠BAE＝∠DAQ＝22.5°；
（2）①EQ＝BE+DQ，理由如下：
如图2，延长CD至H，使DH＝BE，连接AH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°＝∠BAD＝90°，
∴∠ABE＝∠ADH＝90°，
∵BE＝DH，
∴△ABE≌△ADH（SAS），
∴AE＝AH，∠BAE＝∠DAH，
∵将EA绕点E顺时针旋转90°至EF，
∴EA＝EF，∠AEF＝90°，
∴∠EAF＝∠AFE＝45°，
∴∠BAE+∠DAQ＝45°，
∴∠DAQ+∠DAH＝45°＝∠QAH＝∠EAQ，
又∵AQ＝AQ，
∴△AEQ≌△AHQ（SAS），
∴EQ＝HQ，
∴EQ＝HQ＝DH+DQ＝BE+DQ；
②如图2﹣1，在AB上取点M，使BM＝BE，连接ME，CF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴AM＝CE，∠BME＝∠BEM＝45°，
∴∠AME＝135°，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠CEF＝90°，
∵∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠CEF＝∠MAE，
∵AE＝EF，
∴△AME≌△ECF（SAS），
∴CF＝ME，∠AME＝∠ECF＝135°，
∵BE＝22，
∴ME＝CFBE＝4﹣2，EC＝BC﹣BE＝2﹣（22）＝4﹣2，
∴EC＝CF，
∴∠FEC＝∠EFC＝22.5°，
∴∠BAE＝∠FEC＝22.5°；
（3）如图3，连接CF，
由（2）②知：∠ECF＝135°，
∴∠DCF＝45°，
∴点F在∠BCD的外角角平分线上运动，
作点D关于CF的对称点D'，连接D'F，
∴DC＝D'C＝2，AF+DF＝AF+D'F，
∴点A，点F，点D'三点共线时，AF+DF有最小值为AD'的长，
∴AD'2，
∴AF+DF有最小值为2，
故答案为：2．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑