资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2024-2025学年第二学期初二数学第十六周滚动练习卷
一．选择题（共10小题）
1．已知3x＝5y，（x≠0，y≠0）那么下列等式不成立的是（　　）
A． B． C． D．x：2y＝5：6
2．在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分A割法作为一种“优选法“，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2＝AE AB，已知AB为2米，则线段AE的长为（　　）米．
A．+1 B．3﹣ C．3+ D．﹣1
3．下列图形一定是相似图形的是（　　）
A．两个等腰三角形； B．两个面积相等的三角形； C．两个正方形； D．两个菱形。
第2题第4题第5题
4．如图，已知在△ABC中，P为AB上一点，连接CP，以下条件中不能判定△ACP∽△ABC的是（　　）A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C． D．
5．如图，AB∥CD∥EF，AF交BE于点G，若AC＝CG，AG＝FG，则下列结论错误的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
6．如图，在四边形ABCD中，已知∠D＝∠ACB，那么补充下列条件后不能判定△ADC∽△ACB的是（　　）A．AC平分∠DAB； B．∠DCA＝∠B； C．； D．
第6题第7题第8题
7．如图，在△ABC中，∠A＝70°，AB＝3，AC＝5．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（　　）
A． B． C． D．
8．已知如图，在平面直角坐标系中，点A（2，2）在第一象限．点P（m，0）是x轴上一动点，作直线PA交y轴于点C；以点A为旋转心把直线AP逆时针旋转45°得直线AP′，AP′交x轴于点B，交y轴于点Q（0，n）．在点P变化过程中，下列说法错误的是（　　）
A．当m＝0时，n的值不存在
B．若m＜0，且AC＝OQ时，点O是CQ的黄金分割点
C．连接BC，当m＜0，△BOC的周长为定值
D．当m＜0时，mn＝8，而当m＞0时，mn的值不确定
9．如图，在 ABCD中，∠C＝120°，AB＝6，AD＝9，点E在AD上，点F在CD上，AE＝3，∠BEF＝120°，则CF的长是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．
第9题第10题
10．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E．若AE＝3，DE＝3BE，则AD的长为（　　）
A．5 B．6 C．6 D．9
二．填空题（共8小题）
11．线段AB上有一点P，AP：PB＝AB：AP，AP＝8，那么BP＝ 　 　 ．
12．已知，其中x+y+z≠0，则的值为 　 　 ．
13．如果a：b＝2：3，b：c＝1：2，那么a：b：c＝　 　 ．
14．顶角为36°的等腰三角形我们把这种三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为黄金比．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，若CD＝1，则AC的长为 　 　 ．
第14题第16题
15．若两个相似三角形的相似比为2：3，则面积比为 　 　 ；若两个相似多边形的面积比为1：4，则相似比为 　 　 ．
16．如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①∠AED＝∠B，②∠ADE＝∠C，③，④，⑤AC2＝AD AE，使△ADE与△ACB一定相似的有　 　 ．
17．如图，在△ABC中，D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB＝2：3，那么CF：BF的值为 　 　 ．
第17题第18题
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P由点A出发沿AB方向向点B匀速移动，速度为2cm/s，点Q由点D出发沿DA方向向点A匀速移动，速度为1cm/s，如果动点P、Q同时从A、D两点出发，连接PQ、PC，设运动的时间为t（s）（0≤t≤6）．若以Q、A、P为顶点的三角形与△BPC相似时，则t的值为　 　 ．
三．解答题（共10小题）
19．阅读理解题：通过比例的基本性质进行求值。
例如：已知：．①如果a+2b+2c＝16，求a．
数学中引入一种很重要的方法，设k法，过程如下：
解：设，则a＝2k，b＝3k，c＝4k，
所以，2k+2×3k+2×4k＝16，所以，16k＝16．解得：k＝1，所以，a＝2k＝2×1＝2．
②请根据上面方法完成下面问题．
已知，如果a+2c﹣2b＝4，
求：（1）求a+b+c的值； （2）求的值．
20．已知线段a、b、c满足，且a+2b+c＝26．
（1）求a、b、c的值； （2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x．
21．人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618就应用了黄金分割数．设m＝，n＝，请解决下面的问题．
（1）分别求出m+n，mn的值． （2）分别求出m2+n2，的值．
22．如图，D、E分别是AC、AB上的点，△ADE∽△ABC，且DE＝8，BC＝24，CD＝18，AD＝6，求AE、BE的长．
23．如图，矩形ABCD，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝8，DE＝2，求EF的长．
24．已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，DE⊥BC交BC的延长线于点E，BO BD＝BC BE．
（1）求证：四边形ABCD为菱形；
（2）联结AE交DC于点F，如果AE⊥CD，求证：．
25．如图，四边形ABCD是正方形，点G为边CD上一点，连接AG并延长，交BC的延长线于点F，连接BD交AF于点E，连接EC．
求证：
（1）∠DAE＝∠DCE；
（2）△EGC∽△ECF．
26．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，E为AC 边上一点，且∠ADE＝∠B．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）若AC＝8，BC＝6，CE＝1，求BD的长．
27．如果四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形并且相似（不全等），我们就把这条对角线称为“完美对角线”．
（1）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝70°，AB＝AD，AD∥BC，当∠ADC＝145°时，求证：对角线BD是四边形ABCD的“完美对角线．
（2）如图2，在四边形ABCD中，AC平分∠BCD，当∠BAD与∠BCD满足什么关系时，对角线AC是四边形ABCD的“完美对角线”？请说明理由．
28．马超同学在学完相似三角形的性质后对截任意三角形边的线段展开了如下探究：
如图①，△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接BE、CD、线段BE、CD交于点F，已知△ABC的面积为12．
（1）S△ABE＝ 　 　 ；DF：FC＝ 　 　 ；
（2）S四边形ADFE＝ 　 　 ；
如图②，△ABC中，点D为边AB上的动点，过点D作射线分别交边AC及边BC的延长线于点E、F，此时，马超同学发现，线段DF与△ABC的三边（或其延长线）都产生了交点，他把线段DF称为的△ABC的截线段；
深入探究：
（3）截线段上的三个交点D、E、F与△ABC的三个顶点A、B、C所组成的线段（特别是交点所在边所形成的线段如AD、DB：BF、FC等）之间是否存在某种数量关系？爱思考的马超同学立刻展开探究；
根据已有的知识经验，为了找线段之间的关系，可尝试先考虑线段的比，因此，可尝试构造平行线从而得到相似三角形，进而得出线段之间比的关系：对任意△ABC，过点A作AG∥DF交线段BF的延长线于点G，易得，通过多次对比，马超得出了的重要结论，请根据图②沿着马超的思路尝试着证明该结论；
通过以上结论，马超同学发现了一个有趣的事实，对于结论，该结论从结构上看，作为分子的三条线段首字母为△ABC的三个顶点（A、B、C顺序排列），而作为分母的三条线段的第二个字母恰为上方三个字母的延续如（AB、BC、CA），而如字母D、F、E恰为线段AB、BC、CA边上（或延长线上）的点．
方法应用：
（4）如图③，△ABC中，D、E、H为边AB、AC、BC上的点，，，若点H为BC的中点，连接AH交线段DE于点G，请直接写出的值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【解答】解：根据比例的性质逐项分析判断如下：
由条件可知，，，∴，x：2y＝5：6，
∴选项A、C、D成立，但不符合题意，选项B不成立，符合题意，故选：B．
【点评】本题考查了比例的基本性质，解题的关键是：熟练掌握比例的基本性质．
2．【解答】解：∵E为边AB的黄金分割点，即BE2＝AE AB，∴BE＝AB＝（﹣1）米，
∴AE＝AB﹣BE＝2﹣（﹣1）＝（3﹣）米．故选：B．
【点评】本题考查黄金分割，解题的关键是记住黄金分割的定义，属于中考常考题型．
3．【解答】解：A、两个等腰三角形不一定相似，不符合题意；
B、两个面积相等的三角形不一定相似，不符合题意；C、两个正方形一定相似，符合题意；
D、两个菱形不一定相似，不符合题意．故选：C．
【点评】本题考查了相似图形：把形状相同的图形称为相似图形．
4．【解答】解：A、∵∠A＝∠A，∠ACP＝∠B，∴△ACP∽△ABC，
所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC；
B、∵∠A＝∠A，∠APC＝∠ACB，∴△ACP∽△ABC，
所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC；
C、∵，当∠ACP＝∠B时，△ACP∽△ABC，
所以此选项的条件不能判定△ACP∽△ABC；
D、∵，又∠A＝∠A，∴△ACP∽△ABC，所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC，
本题选择不能判定△ACP∽△ABC的条件，故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是关键．
5．【解答】解：∵AB∥CD，∴＝，∵AC＝CG，∴＝＝，故A正确，不符合题意；
∵CD∥EF，∴，∵AC＝CG，AG＝FG，∴FG＝2CG，∴EG＝2DG，
∴＝，故B正确，不符合题意；
∵AB∥CD∥EF，∴＝，∵AG＝FG，∴BG＝EG，∴BE＝2BG，
∵＝＝，∴BG＝2DG，∵BE＝4DG，∴＝，故C错误，符合题意；
∵CD∥EF，∴＝∵BG＝2DG，BE＝4DG，∴DE＝3DG，∴＝＝，
故D正确，不符合题意；故选：C．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理逐一分析四个结论的正误是解题的关键．
6．【解答】解：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB，
∵∠D＝∠ACB，∴△ADC∽△ACB，故A不符合题意；
∵∠DCA＝∠B，∠D＝∠ACB，∴△ADC∽△ACB，故B不符合题意；
∵＝，∠D＝∠ACB不符合“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”这一判定定理的条件，∴＝，∠D＝∠ACB不能证明△ADC与△ACB相似，故C符合题意；
∵＝，∠D＝∠ACB，∴△ADC∽△ACB，故D不符合题意，故选：C．
【点评】此题重点考查相似三角形的判定，正确理解和运用相似三角形的判定定理是解题的关键．
7．【解答】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故该选项不符合题意；B、由于BC的长度不知道，无法判断阴影三角形与原三角形相似，故该选项符合题意；
C、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故该选项不符合题意；
D、AD＝5﹣3.8＝1.2，AE＝3﹣1＝2，∵，，∴，∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，故此选项不符合题意；故选：B．
【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，两组角对应相等，两个三角形相似；两组边对应成比例及其夹角相等，两个三角形相似；三组边对应成比例，两个三角形相似．
8．【解答】解：当m＜0时，过点P作PH⊥PA交AP于点H，分别过点A、P做x轴和y轴的平行线，交点为D、E、F，AF交x轴于点G，AD交y轴于点M，EF交y轴于点L，如图所示：
∵AD∥EF∥x轴，AF∥DE∥y轴，∴四边形DMOP、MAGO、POLE、OGFL为平行四边形，
∵PG⊥ML，∴四边形DMOP、MAGO、POLE、OGFL为矩形，∴AG＝MO＝PD，AM＝GO＝LF，
∵点A（2，2），点P（m，0），∴AM＝AG＝2＝LF＝DP，DM＝OP＝EL＝﹣m，
∴DA＝DM+AM＝2﹣m，∵∠APH＝90°，∠PAH＝45°，
∴∠PHA＝45°，∠DPA+∠EPH＝180°﹣∠APH＝90°，∴△PAH为等腰直角三角形，∴PA＝PH，
∵∠D＝90°，∴∠DPA+∠DAP＝90°，∴∠DAP＝∠EPH，
∵∠E＝∠D＝90°，∴△ADP≌△PEH（AAS），∴DP＝EH＝2，DA＝EP＝2﹣m，
∴HL＝EL﹣EH＝﹣m﹣2，∴H（m+2，m﹣2），
设直线AP为y＝kx+b（k≠0），代入A（2，2），P（m，0），得到，解得，
∴直线AP为：，∴，∴，，
设直线AH为y＝k1x+b1（k1≠0），代入A（2，2），H（m+2，m﹣2），得到，
解得，∴直线AH为：，∴，∵点Q（0，n），∴，，
∴当m＜0时，，∴，当时，AM2+CM2＝AC2，
∴，即，
∵，
OQ OQ＝＝22+＝，∴OC CQ＝OQ OQ，∴，
∴点O是CQ的黄金分割点，故B正确；
∵直线AH为：，∴y＝0时，，∴，∴，
∴，∴△BOC的周长为：
＝
＝＝4，故C正确；
当m＞0时，同理可得出，直线AP为：，直线AH为：，∴，
∵点Q（0，n），∴，∴，故D选项错误；
∵AG＝OG＝2，∠AGO＝90°，∴∠AOB＝45°，当m＝0时，P（0，0），以点A为旋转中心把直线AP逆时针旋转45°得直线AP'，此时AP'为直线AG，与y轴无交点，故点Q不存在，那么A选项正确；故选：D．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，一次函数，勾股定理，黄金分割点，熟练掌握以上知识点并能构造出等腰直角三角形是解题的关键．
第8题第9题
9．【解答】解：连接CE，在 ABCD中，∠C＝120°，AB＝6，AD＝9，AE＝3，
∴DE＝AD﹣AE＝9﹣3＝6，∴DE＝AB＝6，
在 ABCD中，∴AD∥BC，DC＝AB＝6，AD＝BC＝9，
∴∠AEB＝∠EBC，∠BCD+∠D＝180°，又∵∠BCD＝120°，∴∠D＝60°，
∴△DEC为等边三角形，∴∠CEF+∠DEF＝60°，∠DCE＝∠ECB＝60°，EC＝6，
∵∠BEF＝120°，∴∠AEB+∠DEF＝60°，∴∠CEF＝∠AEB，∴∠CEF＝∠EBC，
又∵∠DCE＝∠ECB＝60°，∴△BCE∽△ECF，∴，∴，即CF＝4，故选：C．
【点评】考查等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握是解答本题的关键．
10．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AE⊥BD于点E，∴∠BEA＝∠AEC＝∠BAD＝90°，
∴∠ABE∠DAE＝90°﹣∠BAE，∴△ABE∽△DAE，∴＝，∴DE BE＝AE2，
∵AE＝3，DE＝3BE，∴3BE2＝9，BD＝3BE+BE＝4BE，
∴BE＝或BE＝（不符合题意，舍去），∴DE＝3，BD＝4，
∵cos∠ADB＝＝，∴AD2＝BD DE＝4×3，
∴AD＝6或AD＝﹣6（不符合题意，舍去），故选：B．
【点评】此题重点考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，推导出△ABE∽△DAE，进而求出BE的长是解题的关键．此题也可以通过证明BE＝OE，进而证明△AOB是等边三角形，推导出∠ABD＝60°，∠ADB＝30°，利用含30°角的直角三角形的性质求AD的长．
二．填空题（共8小题）
11．【解答】解：由题意可得：AB＝AP+PB＝8+PB，
∵AP：PB＝AB：AP，∴PB AB＝AP2，∴PB （8+PB）＝82，即PB2+8PB＝64，
解得（负值已舍去），故答案为：．
【点评】本题考查比例性质、解一元二次方程，熟练掌握比例性质是解答的关键．
12．【解答】解：设＝k，则y+y，x+y＝kz，
∴2x+2y+2z＝kx+ky+kz，∴k＝2，∴＝＝．故答案为：．
【点评】本题主要考查比例的性质，设参数并求出参数是解题的关键．
13．【解答】解：∵b：c＝1：2，∴b：c＝3：6，
∵a：b＝2：3，∴a：b：c＝2：3：6，故答案为：2：3：6．
【点评】本题考查了比例的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键．
14．【解答】解：∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝＝72°，
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝36°，∴∠A＝∠ABD＝36°，∴DA＝DB，
∵∠CDB是△ABD的一个外角，∴∠CDB＝∠A+∠ABD＝72°，∴∠CDB＝∠C＝72°，
∴BD＝BC，∴AD＝BD＝BC，∵△BDC是“黄金三角形”，∴＝，∴BC＝，
∴AD＝BC＝，∴AC＝AD+CD＝+1＝，故答案为：．
【点评】本题考查了黄金分割，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
15．【解答】解：若两个相似三角形的相似比为2：3，则面积比为4：9；若两个相似多边形的面积比为1：4，则相似比为1：2．故答案为：4：9；1：2．
【点评】本题考查了相似多边形的性质，熟记性质是解题的关键．
16．【解答】解：∵∠A＝∠A，∠AED＝∠B，∴△ADE∽△ACB，故①符合题意；
∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠C，∴△ADE∽△ACB，故②符合题意；
∵∠A＝∠A，，∴△ADE∽△ACB，故④符合题意；
由，或AC2＝AD AE，不能满足两边成比例且夹角相等，不能证明△ADE与△ACB相似，
故③⑤不符合题意；∴使△ADE与△ACB一定相似的有①②④，故答案为：①②④．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
17．【解答】解：∵D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，AD：DB＝2：3，
∴，∴，故答案为：3：2．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练利用平行线分线段成比例定理是解题的关键．
18．【解答】解：分两种情况：
①当△AQP∽△BPC时，，即，∴t＝或t＝6（舍去），∴t＝；
②当△APQ∽△BPC时，，即，∴t2﹣18t+36＝0，∴t＝9﹣3或t＝9+3，
经检验，t＝9±3是分式方程的解，t＝9+3不符合题意，舍去，
∴当t＝或9﹣3时，以Q、A、P为顶点的三角形与△BPC相似．故答案为：或9﹣3．
【点评】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
三．解答题（共10小题）
19．【解答】解：设，则a＝2k，b＝5k，c＝8k，
∴2k+2×8k﹣2×5k＝4，∴8k＝4，解得：，∴，，．
∴（1）a+b+c＝＝5+＝； （2）．
【点评】本题考查了比例的性质，解一元一次方程，代数式求值，掌握比例的性质，解一元一次方程的方法是解题的关键．
20．【解答】解：（1）设＝＝＝k，则a＝3k，b＝2k，c＝6k，所以，3k+2×2k+6k＝26，
解得k＝2，所以，a＝3×2＝6，b＝2×2＝4，c＝6×2＝12；
（2）∵线段x是线段a、b的比例中项，∴x2＝ab＝6×4＝24，∴线段x＝2．
【点评】考查比例的性质，比例线段，利用“设k法”用k表示出a、b、c可以使计算更加简便．
21．【解答】解：（1）∵m＝，n＝，
∴m+n＝+＝，mn＝×＝1；
（2）∵m+n＝，mn＝1，∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝5﹣2＝3；＝＝＝3．
【点评】本题考查了黄金分割，完全平方公式，分式的加减法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
22．【解答】解：∵△ADE∽△ABC，∴＝＝，
∵CD＝18，AD＝6，∴AC＝AD+CD＝24，∵DE＝8，BC＝24，∴＝＝，
∴AE＝8，AB＝18，∴BE＝AB﹣AE＝10．
【点评】考查相似三角形的性质．注意掌握相似三角形的对应边成比例定理的应用是解此题的关键．
23．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAE＝90°，
∵AB＝6，AE＝8，∴BE＝＝＝10，
∵△ABE∽△DEF，∴＝，即＝，解得EF＝．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质及勾股定理，熟知相似三角形的对应边成比例的知识是解答此题的关键．
24．【解答】证明：（1）∵DE⊥BC，∴∠BED＝90°，
∵BO BD＝BC BE，∴＝，∵∠DBE＝∠CBO，∴△BED∽△BOC，
∴∠BED＝∠BOC＝90°，∴AC⊥BD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形；
（2）如图，过点A作AH⊥BC于点H．
∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠BCD，AD∥BC，
∴∠ACH＝∠ACF∵AH⊥CB，AE⊥CD，
∴∠AHC＝∠AFC＝90°，
∵AC＝AC，∴△ACH≌△ACF（AAS），∴CF＝CH，
∵AD∥BC，AH⊥CB，∴AH⊥AD，
∵DE⊥BE，∴∠AHE＝∠DEH＝∠HAD＝90°，∴四边形AHED是矩形，∴AH＝DE，
∵∠AHC＝∠BOC＝90°，∠BCO＝∠ACH，∴△BOC∽△AHC，∴＝，∴＝＝．
【点评】本题考查菱形的判定和性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADE＝∠CDE＝45°，AD∥BC，
在△ADE和△CDE中，，∴△ADE≌△CDE（SAS），∴∠DAE＝∠DCE，
（2）∵AD∥CF，∴∠DAE＝∠F，∴∠DCE＝∠F，
又∵∠CEG＝∠FEC，∴△EGC∽△ECF．
【点评】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
26．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∵∠ADE＝∠B，
∵∠BAD＝∠CDE，∴△ABD∽△CDE；
（2）解：∵AB＝AC，AC＝8，∴AB＝8，由（1）知，△ABD∽△CDE，
∴，即，∴BD＝2或4，答：BD＝2或4．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
27．【解答】（1）证明：如图1中，
∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝35°，∵∠ADC+∠C＝180°，∠ADC＝145°，
∴∠C＝35°，∴∠ADB＝∠ABD＝∠DBC＝∠C＝35°，
∴△ABD∽△DBC，∴BD是四边形ABCD的“完美对角线”．
（2）解：如图2中，当∠BAD+∠BCD＝180°时，对角线AC是四边形ABCD的“完美对角线”．
理由：∵AC平分∠BCD，∴∠ACB＝∠ACD，
∵∠B+∠ACB+∠BAC＝180°，∠BAD+∠BCD＝∠BAC+∠CAD+∠ACB＝180°，
∴∠DAC＝∠B，∴△ACB∽△DCA，∴对角线AC是四边形ABCD的“完美对角线”．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，四边形的“完美对角线”的定义等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
28．【解答】（1）解：在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，已知△ABC的面积为12，如图①，连接AE，∴S△ABE＝S△ABC＝6，设S△BDF＝a，S△BFC＝b，
∴S△BCD＝S△ABC＝S△BCE＝a+b，S△ADC＝S△ABC＝a+b，
∴S△EFC＝S△BEF﹣S△BFC＝S△BCD﹣S△BFC＝（a+b）﹣b＝a，
∵D是AB的中点，∴S△ADC＝S△BDC＝a+b，∴S四边形ADFE＝S△ADC﹣S△EFC＝（a+b）﹣a＝b，
∵E是AC的中点，∴S△AEF＝S△EFC＝a，∴S△ADF＝S四边形ADFE﹣S△AEF＝b﹣a，
由∵S△ADF＝S△BDF，∴a＝b﹣a，∴b＝2a，∴＝＝＝，
即DF：FC＝1：2，故答案为：6，1：2；
（2）解：∵△ABC的面积为12．
由（1）可得2（a+b）＝12，b＝2a，∴b＝4，即S四边形ADFE＝4，故答案为：4；
（3）证明：∵AG∥DF，∴＝，＝，∴ ＝ ＝1；
（4）解：如图③，延长DE，BC交于点F，由（3）可得：，，
∵，，∴，，∴，
设CF＝a，则BF＝4a，BC＝BF﹣CF＝3a，∵点H为BC的中点，∴，
∴，，∴，∴．
【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了三角形中线的性质，平行线分线段成比例，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑