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9．饮食文化源远流长，“大碗面”是特色美食之一．图②是从正面看到的一个“碗”（ 图①）
合江县 2025 年春期初三学业水平第二次诊断性监测
的形状示意图． 九年级 数学试卷 AB 是eO 的一部分，D是
AB 的中点，连接OD ，与弦 AB 交于点C ，连接
（本卷满分 120分，考试时间 120分钟） OA，OB ．已知 AB = 24 cm，碗深CD = 8cm，则eO 的半径OA为（ ）
一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分） A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm
1． 2025的倒数是（ ） 10．已知某商品每件的进价为 40 元，售价为每件 60 元，每星期可售出该商品 300 件．根据市
1
A． 2025
1
B．-2025 C． D．- 场调查反映：商品的零售价每降价 1 元，则每星期可多售出该商品 20 件．有下列结论：
2025 2025 ①当降价为 3 元时，每星期可售 360 件；②每星期的利润为 6120 元时，可以将该商品的零售
2．“辽宁号”是中国海军航空母舰首舰，满载排水量 67500 吨，数据 67500 用科学记数法表示
价定为 42 元或者 43 元；③每星期的最大利润为 6250 元．其中，正确结论的个数是（ ）
为（ ） A．3 B．2 C．1 D．0
A．675×102 B．67.5×103 C．6.75×104 D．6.75×105 b c
y ax2 bx c(a 0) a = - = M
a a
3．如图是一个三棱柱，它的俯视图是（　　） 11．在抛物线 = + + 中，有 .已知点 2, + 22 ÷ ，
N 4, + 2 是平面4 3 ÷è è 2
上两点，连接 MN，若抛物线 y = ax2 + bx + c的图象与线段MN 有交点时，则 a的取值范围是
（ ）．
A． B． C． D． 4
A．- ＜a
4 4 a 4 4 4＜ B．- 4 4 C． a＜- 或a＞ D． a - 或a
3 5 3 5 3 5 3 5
4 12．如图，半径为 2 的
eO 与 x 轴的正半轴交于点 A，点 B 是eO 上一动点，点 C 为弦 AB 的中
．下列计算正确的是（ ）
2 3
A．3a + 2b = 5ab B． a3 = a5 C． ab 2 = ab2 D． a3 a2 = a 点，直线 y = x - 3与 x 轴，y 轴分别交于点 D，E，则△CDE 面积的最小值为（ ）4
5． 如图，直线 l∥m ，将含有 45°角的三角形板 ABC 的直角顶点 C 放在直线 m 上，若
1 = 25°，则 2的度数为（ ） A．1 B．2 C． 5 D．3
A．15° B． 20° C． 25° D．30° 二．填空题（本大题共 4 个小题，每小题 3 分，共 12 分）
13．函数 y = x + 2 的自变量 x 的取值范围是 ．
14．在如图所示的电路中，随机闭合开关 S1, S2 , S3 中的两个，能让红灯发光的概率是 ．
（第 5 题图） （第 9 题图） （第 12 题图）
6．数据 3，4，4，6，6，7 的中位数是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
7．已知菱形的边长为 6，一个内角为 60°，则菱形较长的对角线长是（　　）
A．6 3 B．6 C．3 3 D．3 （第 14 题图） （第 16 题图） （第 18 题图）
8．关于 x 的方程 x2 - 2(1- a)x + a2 = 0有实数根a , b ，则a + b 的取值范围是（ ） x 2x + a 515．关于 的分式方程 - = 2无解，则 a的值为 ．
x - 2 x
A．a + b
1 1
B．a + b C．a+b 1 D．a + b 1 16．如图，D是等边三角形 ABC 的边 AC 上的动点，连接DB，将DB绕点D逆时针旋转120°，
2 2
得到DE ，连接EA， EC ，若 BC=2，则EA + EC 的最小值为 ．
九年级数学试卷·第 1 页·（共 4 页） 九年级数学试卷·第 2 页·（共 4 页）
2025年四川省泸州市合江县九年级下学期学业水平第二次（5月）诊断性监测数学试题
则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？该方案的购进费用为多少元？
三、解答题（本大题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分） 五、解答题(本大题共 2 个小题，每小题 8 分，共 16 分)
1 2 20250 2cos45° 1 -1 22．如图，将长方体空水槽放置在水平桌面上，已知水槽的高 AC = 20cm ，一束光线从水槽上17．计算： - - - +（ ）．
4 边沿 A 处投射到底部 B 处．现在向水槽注水，当水面上升到 AC 的中点 E 处时停止注水，此时
光线射到水面 O处后发生折射落到底部 D处．已知 A = 45° ，直线 N N 为法线，若测得
18．已知 A，C，F，D 在同一直线上，AF=DC，AB=DE，BC=EF.求证：AB∥DE． DON = 32.1°时 ， 求 B ， D两 点 之 间 的 距 离 ．（ 结 果 精 确 到 0.1cm； 参 考 数 据 ：
sin32.1° 0.531， cos32.1° 0.847， tan32.1° 0.627 ）
2
19 a + 4 a - 4a + 4．化简： ( - a)
a +1 a +1
四、解答题(本大题共 2 个小题，每小题 7 分，共 14 分)
20．为迎接世界读书日，营造爱读书、读好书、善读书的浓厚学习氛围，某校组织开展“书香
校园阅读周”系列活动，拟举办5类主题活动．A：阅读分享会；B：征文比赛；C：名家进校园；
D：知识竞赛；E：经典诵读表演．为了解同学们参与这5类活动的意向，现采用简单随机抽样 （第 22 题图） （第 23 题图） （第 24 题图） （第 25 题图）
的方法抽取部分学生进行调查（每名学生仅选一项），并将调查结果绘制成下面两幅统计图：
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y = mx + n （m＜0）的图象与 x 轴交于点 A（-2，
k
0），与 y 轴交于点 B（0，-2），与双曲线 y = （k＜0）的图象交于点 C，D，连接 CO 并延长
x
与双曲线交于点 E，连接 OD，DE．（1）求一次函数 y = mx + n 的解析式；（2）若 3DE=4OD，
求 k 的值．
六、解答题(本大题共 2 个小题，每小题 12 分，共 24 分)
24．如图，AC 是⊙O 的直径，B，D 为圆上两点，且 B，D 位于 AC 两侧，连接 BD 交 AC 于
请根据统计图提供的信息，解答下列问题： E，点 F 为 BD 延长线上一点，连接 AF，使得∠DAF＝∠ABD，连接 AB，BC，AD.
（1）这次抽样共调查了__________名学生；
（1）求证：AF 为⊙O 的切线；
（2）请把这幅频数分布直方图补充完整；（画图后请标注相应数据） （2）若点 D 为 EF 的中点，AC＝3BC，AF＝2 6 ，求 BF 的长．
（3）扇形统计图中“C ”所对应的圆心角的度数等于__________；
（4）该校共有 2600名学生，请你估计该校想参加“D知识竞赛和E 经典诵读表演”活动的学
生总人数． 25．如图，抛物线 y = -x2 + bx + c经过点 A(-3，0)，B(1，0)，交 y 轴于点 C，点 P 是直线 AC
上方抛物线上一点，其横坐标为 t，连接 BP交直线 AC 于点 D．
21．为了响应习近平总书记提出的“足球进校园”的号召，某中学开设了“足球大课间活动”， （1）求该抛物线的函数表达式；
该校从商店购买了 A 种品牌的足球 50 个， B 种品牌的足球 25 个，共花费 4500 元，已知 （2）在抛物线上是否存在点 P，使△PAC ~△BCO，若存在，求出 t 值；若不存在，请说明理
B 种品牌足球的单价比 A 种品牌足球的单价高 30 元． 由．
（1）求 A，B 两种品牌足球的单价各多少元？ PD（3）点 Q 是抛物线上的点，当 的值最大时，是否存在点 Q 使得△BPQ 是直角三角形，若
（2）根据需要，学校决定再次购进 A， B 两种品牌的足球 50 个，正逢体育用品商店“优惠 BD
A 存在，求出点 Q 坐标；若不存在，请说明理由．促销”活动， 种品牌的足球单价优惠 4 元， B 种品牌的足球单价打 8 折．如果此次学校
购买 A， B 两种品牌足球的总费用不超过 2750 元，且购买 B 种品牌的足球不少于 23 个，
九年级数学试卷·第 3 页·（共 4 页） 九年级数学试卷·第 4 页·（共 4 页）
2025年四川省泸州市合江县九年级下学期学业水平第二次（5月）诊断性监测数学试题
合江县 2025 年春期义务教育阶段学生素养过程性监测
九年级 数学参考答案及评分建议
一．选择题（共 12 小题，每题 3 分，共 36 分）
1.C 2.C 3.A 4.D 5.B 6.B 7.A 8.C 9.A 10.C 11.D 12.B
二．填空题（共 4 小题，每题 3 分，共 12 分）
1
13． x 2 14. 15. 1或-4 16. 2 3
3
三．解答题（共 3 小题，每题 6 分，共计 18 分）
17．解：原式= 2 1 2 1 2 4…………………4 分
2
=2． ………6 分
18. 证明：∵AF＝DC，∴AF CF＝DC CF，
即 AC＝DF，…………2 分
AC DF

在△ABC和△DEF中， AB DE ，

BC EF
∴△ABC≌△DEF（SSS）…………4 分
∴∠BAC=∠EDF…………5分
∴ AB∥DE…………6分
a 4 a2
19. ( a) 4a 4
a 1 a 1
(a 4 a
2 a ) （a 2）
2
解：原式= …………2 分
a 1 a 1
2 a 2 a a 1
= a …………4 分 1 a 2 2
2 a
= ．…………6 分
2 a
四．解答题（共 2 小题，每题 7 分，共计 14 分）
20．（1）解：这次抽样调查的学生人数： 20 10% 200，
故答案为： 200；…………1 分
（2）参加D：知识竞赛的人数有： 200 25 20 70 45 40，
补全条形统计图如下：
…………3分
70
（3）“C ”所对应的圆心角的度数：360 126 ，
200
故答案为：126 ；…………5 分
（4）想参加“D知识竞赛和 E经典诵读表演”活动的学生总人数：
2600 40 45 1105（人）．…………7 分
200
21．（1）解：设 A种品牌足球的单价是 x元，B种品牌足球的单价是 y元，
50x 25y 4500
根据题意得： ，…………2y 分 x 30
x 50
解得： y 80，…………
3 分

答：A种品牌足球的单价是 50 元，B种品牌足球的单价是 80 元；
（2）解：设购买 m个 B种品牌的足球，则购买 50 m 个 A种品牌的足球，
50 4 50 m 80 0.8m 2750
根据题意，得 ，解得： 23 m 25，…………5分
m 23
又∵m为正整数，∴m可以为 23，24，25，
∴共有 3 种购买方案，
方案 1：购买 27 个 A种品牌的足球，23 个 B种品牌的足球，总费用为 50 4 27 80 0.8 23 2714（元）；
方案 2：购买 26 个 A种品牌的足球，24 个 B种品牌的足球，总费用为 50 4 26 80 0.8 24 2732（元）；
方案 3：购买 25 个 A种品牌的足球，25 个 B种品牌的足球，总费用为 50 4 25 80 0.8 25 2750（元）．
∵ 2714 2732 2750 ，∴为了节约资金，学校应选择购买方案 1，总费用为 2714元．…………7 分
五．解答题（共 2 小题，每题 8 分，共计 16 分）
22．解： E是 AC的中点， AC为20cm， AE EC
1
AC 10cm，…………1 分
2
由题意可知，在△ABC中， A 45 ， C 90 ，
ABC 45 A， BC AC 20cm，…………2 分
由题意可知，在△AOE中， A 45 ， AEO 90 ，
AOE 45 A， EO AE 10cm，…………3 分
由题可知 C 90 ， OEC 90 ， ONC 90 ，
四边形CEON 是矩形，…………4分
ON EC 10cm，CN EO 10cm，…………5 分
ND
在Rt OND中， tan DON ，…………6 分
NO
tan 32.1 ND ，
10
ND 10 0.627 6.27 cm ，…………7 分
BD CB CN ND 20 10 6.27 3.73 3.7 cm ，…………8 分
答： B，D两点之间的距离约为3.7cm．
2m n 0
23.解：（1）解：把 A（-2，0），B（0，-2）代入 y mx n，可得 ，…………2 分
n 2
m 1
解得 ；…………3 分
n 2
∴一次函数的解析式为 y x 2…………4 分
y x 2

（2）联立 k ，整理得 2y x 2x k 0
，
x
直线 y x 2 k与双曲线 y 交于点 C，D，
x
点 C，D的横坐标即为方程 x2 2x k 0的两个解，
xC xD 2，…………5 分
设C（t, t 2），则 E（ t, t 2），且 xD 2 t，
把 xD 2 n代入直线解析式可得 y 2 n 2 n ，
∴D（ 2 t, t），
∴OD2 （ t 2）2 t 2， ∴DE 2 （ t 2 t）2 (t 2 t)2 8，…………6 分
OD2 （ t 2）2 t 2 9
∵ 3DE=4OD， ∴ ，
DE 2 8 16
2 5 2 5 C 2 5 , 2 5

解得 t1 ， t2 （舍去）， ，…………7 分2 2 2 2

C 2 5 , 2 5
2 5 k
把 代入反比例函数可得2 2 2 2 5 ， 2
k 2 5 2 5 1 …………8 分
2 2 4
六．解答题（共 2 小题，每题 12 分，共计 24 分）
24．（1）证明：连接CD．
AC是直径， ADC 90 ，
DAC ACD 90 ，…………1 分
ABD ACD，∠DAF＝∠ABD，
DAF ACD，…………2 分
DAF DAC 90 ，
FAC 90 ，…………3 分
∴半径 OA⊥AF于点 A，
AF 为 O的切线．…………4 分
（2）解：如图，过点 B作 BJ EC于 J．
AC是直径， ABC 90 ，
∵AC＝3BC，设 BC a，则 AC 3a，
sin BC 1 BAC ，
AC 3
CJ 1
BJ AC， sin CBJ sin BAC ，
BC 3
CJ 1 a，…………5 分
3
BJ BC 2 CJ 2 a2 1 ( a)2 2 2 a，
3 3
∵点 D为 EF的中点，
∴DA=DE， DAE AED CEB，
DAE CBE， CEB CBE，
CE CB a，…………6分
EJ EC CJ 1 2 a a a， AE AC EC 2a，…………7 分
3 3
2 6 2a
AF / /BJ AF AE ， BJ EJ ， 2 2 2 a，…………8 分a
3 3
a 3，…………9 分
AE 2 3， EJ 2 3 ， BJ 2 6 ，
3 3
EF AF2 AE2 (2 6) 2 (2 3) 2 6，…………10 分
BE EJ 2 BJ 2 (2 3 2 6 )2 ( )2 2，…………11 分
3 3
BF EF BE 6 2 8．…………12 分
25．（1）将点 A(-3，0)，B(1，0)代入 y x2 bx c得，
9 3b c 0
，…………1 分
1 b c 0
b 2
解得 ，…………2 分
c 3
∴该抛物线的函数表达式为： y x2 2x 3；…………3 分
（2）存在点 P使△PAC ~△BCO，，如图所示，作CP AC交抛物线于点 P，连 PA，
∵CP AC，
∴直线CP的表达式为： y x 3，…………4 分
y x 3 x 1
联立 ，解得 ，…………5 分
y x
2 2x 3 y 4
则 P坐标为 1，4 ，…………6 分
∵CP 12 4 3 2 2， AC 32 32 3 2，
CP 1 OB
∴ ， ∴△PAC ~△BCO；…………7 分
AC 3 OC
（3）如图作 PE y轴交 AC于点 M，作 BN∥y轴交 AC的延长线于点 N，
∵ PM∥BN
PD PM
，∴ PMD∽ BND，∴ ，
BD BN
∵ B 1,0 ，∴N（1,4）
PD PM PM
∴ BN 4，∴ ，
BD BN 4
PD
∴ 的值最大时即 PM 有最大值，
BD
∵ PM x2 3x (x 3 ) 9
2 4
∴当 x 3 3 15 时， PM 最大，点 P的坐标为 ,2 2 4
，…………8 分

2
设Q t, t 2t 3 ， B 1,0 3，P ,15 2 4 ，
当△BPQ是直角三角形时，有以下三类情况，
① QPB 90 k 2 19 ， BP kPQ 1，此时直线 PQ解析式为 y x 3 4

y
2 19
x
3 4 x 7 3 7 143联立 1 ， x2 （舍）；∴Q（ ， ）…………9 分
y x2 2x 3 6 2
1 6 36

② QBP 90
2 2
， kBP kBQ 1，此时直线 PQ解析式为 y x 3 3
2 2
y x 3 3 x 11 x 1 Q 11 28联立 1 ， 2 （舍）；∴ （2 ， ）…………10 分
y x2 2x 3 3 3 9
t 2 2t 3 15 t 2 2t 3
③ PQB 90 ， k 4PQ kBQ 1，即 3 1t t 1
2
5
解得 t1 1， t2 ； ∴Q（3 1，4
5 7
），Q（4 ，）…………12 分2 2 4
7 143 11 28 5 7
综上所述，点 Q横坐标为Q（1 ， ），Q（2 ， ），Q（6 36 3 9 3
1，4），Q（4 ，）．2 4

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