资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
初三数学第16周提优讲义
1.（2025 梁溪区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）与一次函数y＝mx+n（m＞0）的图象交于两点，这两点的横坐标分别为1和3，则不等式ax2+bxmx＞nc的解集是 .
2.（2025 海安市一模）如图，AB是半圆O的直径，OC是半径，且OC⊥AB，弦AD经过CO的中点E，连接CD，则的值为　 　 ．
3.（2025 宜兴市二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，BC边上有一动点D，作点B关于直线AD的对称点B'，在点D从点B运动到点C的过程中，点B'的运动路径长为 .
4.（2025 宜兴市二模）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，点A，B分别在x轴、y轴上，点C在函数（k＞0）的图象上．若tan∠BAO=，OA＝2，则k＝ ．
第2题 第3题 第4题
5.(2025 滨湖区二模）已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝m时，函数值分别是M1和M2，若存在实m，使得M1+M2＝0，则称函数y1和y2具有性质P．以下函数y1和y2具有性质P的是（　　）
A．y1＝x2+2x和y2＝x1 B．y1＝x2+2x和y2＝x+1
C．y1和y2＝x1 D．y1和y2＝x+1
6.（2025 宜兴市二模）如图，正方形ABCD中，AB＝3，点M、N分别在AD、BC上，将正方形沿直线MN翻折，使点B落在CD上的点E处．
（1）当点E为CD的中点时，则△CEN的面积是　 　 ；
（2）设EC＝x，AM＝y，则y＝　 　 （用含x的代数式表示）．
7.(2025 滨湖区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是BC边上一点，且BD＝AB．E是BA延长线上一点，连接ED交AC于点F，若∠ADE＝∠B，则EF的长度为 .
8.（2025 梁溪区二模）如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆O上一动点（不与A、B重合），∠ABC的平分线与AC和半圆O分别交于点D、E，与过点A的切线交于点F．
（1）判断△ADF的形状，并说明理由；
（2）若OA＝2，AF＝3，求AC的值．
9.（2025 梁溪区二模）某网店专门销售某种品牌的笔筒，成本为20元/件，每天销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图，其中规定每天笔筒的销售量不低于210件．
（1）写出y与x之间的函数关系式　 ；
（2）当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
10.（2025 宜兴市二模）
（1）如图1，正方形ABCD中，E为AB边上一点，AE＝6，连接DE，过点E作EF⊥DE交BC边于点F，将△ADE沿直线DE折叠后，点A落在点A'处，连接DF，当点A'恰好落在DF上时，直接写出A'F的长为　 　 ；
（2）如图2，在（1）的条件下，若把正方形ABCD改成矩形ABCD，且AD＝mAB，其他条件不变，直接写出A'F的长为 　 （用含m的代数式表示）；
（3）如图3，在（1）的条件下，若把正方形ABCD改成菱形ABCD，且∠B＝60°，∠DEF＝120°，其他条件不变．当BE＝A'F时，求A'F的长．
11.（2025 梁溪区二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC=2，动点E在AD上，从A向D以每秒1个单位长度的速度运动，设运动时间为t（s）（0＜t＜2）．将四边形BCDE沿直线BE翻折得到四边形BC'D'E，连接AC'，AD'．
（1）当t=时，请判断此时△AC'D'的形状并说明理由．
（2）当t为何值时，C正好落在矩形的边所在的直线上，请判断此时△AC'D'的形状并说明理由．
12.（2025 梁溪区二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B（点A在点B左侧），与y轴交于C．一次函数y＝x3的图象经过B、C两点，点D（0，2）．
（1）求b，c的值；
（2）点E在直线BC上，直线DE交x轴于点F，将点D绕点E逆时针旋转90°得到点G．连接GD、GF，当△GDF和△ABC相似时，求点G的坐标．
答案与解析
1．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）与一次函数y＝mx+n（m＞0）的图象交于两点，这两点的横坐标分别为﹣1和3，则不等式ax2+bx﹣mx＞n﹣c的解集是﹣1＜x＜3．
【解答】解：画出大致图象如图所示，
由图可得，不等式ax2+bx﹣mx＞n﹣c的解集是﹣1＜x＜3．
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，BC边上有一动点D，作点B关于直线AD的对称点B'，在点D从点B运动到点C的过程中，点B′的运动路径长为 .
【解答】解：延长BC到点E，使EC＝BC，连接AE、AB′，
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，
∴AC垂直平分BE，
∴AE＝AB＝2BC＝4，
∴∠EAC＝∠BAC＝30°，
∴∠BAE＝2∠BAC＝60°，
∵点B′与点B关于直线AD对称，
∴直线AD垂直平分BB′，
∴AB′＝AB＝4，
∴点B′在以点A为圆心，半径为4的圆上运动，
∵当点D与点C重合时，则点B′与点E重合，
∴点B′的运动路径为以点A为圆心，半径为4的圆上的一段弧，即，
∵，
∴点B′的运动路径长为，
3．如图，AB是半圆O的直径，OC是半径，且OC⊥AB，弦AD经过CO的中点E，连接CD，则的值为　　 ．
【解答】解：∵∠AOC＝90°，
∴由圆周角定理可得∠CDF＝45°，
作CF⊥AD于点F，如图1所示，
∵E为CO中点，
∴设OE＝CE＝a，则AO＝BO＝OC＝2a，
∴tan∠EAO，
∴cos∠EAO，
∵∠EAO＝∠ECF，
∴cos∠ECF＝cos∠EAO，
∴，CFa，
又∵△CFD为等腰直角三角形，
∴CD，
故．
故答案为：．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，点A，B分别在x轴、y轴上，点C在函数的图象上．若，OA＝2，则k＝ 　4+2　 ．
【解答】解：如图，过点C作GH⊥x轴，作BG⊥GH，
∵，OA＝2，
∴OB＝CH＝2，AB＝4，
∵BC＝AC，∠C＝90°，
∴BC＝AC＝2，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACH＝∠CBG，
在△ACH和△CBG中，
，
∴△ACH≌△CBG（AAS），
∴BG＝CH，CG＝AH，
设BG＝CH＝m，则CG＝2m，
在Rt△BCG中，由勾股定理得：
m2+（2）2＝（2）2，
整理得：m2﹣2m+2＝0，
解得：m1或m（舍去），
∴C（，），
∵点C在反比例函数图象上，
∴k＝（）（）＝4+2，
故答案为：4+2．
5．已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝m时，函数值分别是M1和M2，若存在实数m，使得M1+M2＝0，则称函数y1和y2具有性质P．以下函数y1和y2具有性质P的是（　A　）
A．y1＝x2+2x和y2＝﹣x﹣1 B．y1＝x2+2x和y2＝﹣x+1
C．y1和y2＝﹣x﹣1 D．y1和y2＝﹣x+1
【解答】解：A．令y1+y2＝0，则x2+2x﹣x﹣1＝0，解得x或x，即函数y1和y2具有性质P，符合题意；
B．令y1+y2＝0，则x2+2x﹣x+1＝0，整理得，x2+x+1＝0，方程无解，即函数y1和y2不具有性质P，不符合题意；
C．令y1+y2＝0，则x﹣1＝0，整理得，x2+x+1＝0，方程无解，即函数y1和y2不具有性质P，不符合题意；
D．令y1+y2＝0，则x+1＝0，整理得，x2﹣x+1＝0，方程无解，即函数y1和y2不具有性质P，不符合题意；
故选：A．
6.如图，正方形ABCD中，AB＝3，点M、N分别在AD、BC上，将正方形沿直线MN翻折，使点B落在CD上的点E处．
（1）当点E为CD的中点时，则△CEN的面积是　 　 ；
（2）设EC＝x，AM＝y，则y＝　 （用含x的代数式表示）．
【解答】（连接ME，双勾股计算）
7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是BC边上一点，且BD＝AB．E是AB延长线上一点，连接ED交AC于F，若∠ADE＝∠B，则EF的长度为 　　 ．
【解答】解：作AM⊥BC于M，
∵AB＝AC＝5，BC＝8，
∴BM＝CM＝4，
∴AM3，
∵BD＝AB＝5，
∴DM＝5﹣4＝1，
∴AD，CD＝4﹣1＝3，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠ADE＝∠B，
∴∠ADE＝∠C，
∵BD＝AB，
∴∠BAD＝∠BDA，
∵∠BAD＝∠ADE+∠E，∠BDA＝∠C+∠DAC，
∴∠E＝∠DAC，
∴△ADE∽△DCA，
∴，即，
∴DE，
∵∠ADE＝∠C，∠DAF＝∠CAD，
∴△ADF∽△ACD，
∴，即，
∴DF，
∴EF＝DE﹣DF．
故答案为：．
8．如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆O上一动点（不与A、B重合），∠ABC的平分线与AC和半圆O分别交于点D、E，与过点A的切线交于点F．
（1）判断△ADF的形状，并说明理由；
（2）若OA＝2，AF＝3，求AC的值．
【解答】解：（1）△ADF是等腰三角形，
理由：∵AB是⊙O的直径，AF与⊙O相切于点A，
∴∠C＝90°，AF⊥AB，
∴∠BAF＝90°，
∴∠F＝90°﹣∠ABF，∠ADF＝∠BDC＝90°﹣∠CBF，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴90°﹣∠ABF＝90°﹣∠CBF，
∴∠F＝∠ADF，
∴AD＝AF，
∴△ADF是等腰三角形．
（2）∵OA＝2，AD＝AF＝3，
∴AB＝2OA＝4，AC＝3+CD，
∵∠CBD＝∠ABF，
∴tan∠CBD＝tan∠ABF，
∴BCCD，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴（3+CD）2+（CD）2＝42，
解得CD或CD＝﹣3（不符合题意，舍去），
∴AC＝3，
∴AC的值是．
9．某网店专门销售某种品牌的笔筒，成本为20元/件，每天销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图，其中规定每天笔筒的销售量不低于210件．
（1）写出y与x之间的函数关系式 　y＝﹣10x+600　 ；
（2）当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
∴，
解得k＝﹣10，b＝600，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+600，
故答案为：y＝﹣10x+600；
（2）设利润为w元，
则w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣10x+600）＝﹣10（x﹣20）（x﹣60）＝﹣10（x2﹣80x+1200）＝﹣10（x﹣40）2+4000，
∵每天笔筒的销售量不低于210件，
∴﹣10x+600≥210，
解得x≤39，
∵a＝﹣10＜0，
∴x＝39时，w最大＝3990，
∴当销售单价为39元时，每天获取的利润最大，最大利润是3990元．
10．（1）如图1，正方形ABCD中，E为AB边上一点，AE＝6，连接DE，过点E作EF⊥DE交BC边于点F，将△ADE沿直线DE折叠后，点A落在点A'处，连接DF，当点A′恰好落在DF上时，直接写出A'F的长＝ 　3　 ；
（2）如图2，在（1）的条件下，若把正方形ABCD改成矩形ABCD，且AD＝mAB，其他条件不变，直接写出A′F的长＝ 　　 （用含m的代数式表示）；
（3）如图3，在（1）的条件下，若把正方形ABCD改成菱形ABCD，且∠B＝60°，∠DEF＝120°，其他条件不变．当BE＝A'F时，求A'F的长．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝90°，
由翻折性质可知∠EA′D＝∠A＝90°，
∴∠B＝∠EA′F＝90°，
又∵∠BEF＝∠FEA′，EF＝EF，
∴△BEF≌△A′EF（AAS），
∴BE＝A′E，
由翻折性质可知AE＝A′E，∠ADE＝∠FDE，
∴AE＝BE，AB＝2AE＝2A′E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，AD＝2A′E，
∵∠FEA′+∠EFD＝90°，∠EFD+∠FDE＝90″，
∴∠FEA′＝∠FDE，
∴∠ADE＝∠FEA′，
∵∠A＝∠EA'F＝90°，
∴△DAE∽△EA′F，
∴，
∵AD＝2A′E，
∴2，
∵AE＝6，
∴A′F＝3；
故答案为：3；
（2）由（1）可知，AB＝2AE＝2A′E，AD：A′E＝AE：A′F，
∵AD＝mAB，
∴AE＝2mA′F，
∵AE＝6，
∴A′F，
故答案为：；
（3）如图3，过E作EH⊥AD，交DA延长线于H，作∠FED的平分线，交DF于G，
∵∠ADE＝∠EDF，∠EAD＝∠FED＝120°，
∴△AED∽△EFD，
∴，
∴DE2＝AD DF，
设BE＝A′F＝x，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD＝AB＝AE+BE＝6+x，
∴DF＝A'F+A'D＝x+6+x＝6+2x，
∴DE2＝（6+x）（6+2x），
∵EH⊥AD，∠EAH＝60°，
∴∠AEH＝30°，
∴AHAE＝3，EH＝3，
由勾股定理可得：DE2＝DH2+EH2，
∴（3）2+（3+6+x）2＝（6+x）（6+2x），
解得：x＝6，即A′F的长为6．
11．如图，在矩形ABCD中，，动点E在AD上，从A向D以每秒1个单位长度的速度运动，设运动时间为t（s）（0＜t＜2）．将四边形BCDE沿直线BE翻折得到四边形BC′D′E，连接AC′，AD′．
（1）当时，请判断此时△AC′D′的形状并说明理由．
（2）当t为何值时，C正好落在矩形的边所在的直线上，请判断此时△AC′D′的形状并说明理由．
【解答】解：（1）△AC′D′为等腰三角形．理由如下：
如图1，
∵时，，
∴，
∴∠AEB＝60°，
∵AD∥BC，
∴∠EBC＝60°，
由翻折可得：∠EBC'＝∠EBC＝60°，
∴∠ABC'＝30°，
作AH⊥BC'于点H，则，
作AG⊥C′D′于点G，则四边形C′HAG为矩形．
∴，即AG垂直平分C'D'，
∴AC'＝AD'，
∴△ACD′为等腰三角形．
（2）∵，
∴，
∴点C′可能落在BA或DA的延长线上．
①当点C′落在BA的延长线上时，如图2，
则有，
∵∠BAD＝90°，
∴AE＝AB＝t＝2，
由翻折可得：∠C'＝∠C＝90°，
∴△AC'D'为直角三角形，此时t＝2；
②当点C′在线段DA的延长线上时，如图3，
则有∠EBC＝∠EBC′，
∵AD∥BC，
∴∠C′EB＝∠EBC，
∴∠C′EB＝∠EBC′，
∴，
∵AE＝t，
∴，
在Rt△ABC中，AB2+AC'2＝BC'2，
∴，
解得：，
∴，
∴AC'＝C'D′＝2，
∴△AC′D′为等腰三角形，此时t＝2．
12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B（点A在点B左侧），与y轴交于C．一次函数y＝x﹣3的图象经过B、C两点，点D（0，﹣2）．
（1）求b，c的值；
（2）点E在直线BC上，直线DE交x轴于点F，将点D绕点E逆时针旋转90°得到点G．连接GD、GF，当△GDF和△ABC相似时，求点G的坐标．
【解答】解：（1）∵分别把x＝0；y＝0代入y＝x﹣3，得y＝﹣3；x＝3，
∴C（0，﹣3），B（3，0）．
将B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝﹣x2+bx+c得，
，
解得；
（2）∵OC＝OB＝3，
∴∠ABC＝45°，
设K（1，﹣2），
①当点E与点K重合时（如图1），
此时直线DE∥x轴，点F不存在，不符题意，舍去．
②当E在射线KC上时（如图2、图3），
由题意可得：GE＝DE，∠GED＝90°，
∴∠EGD＝∠EDG＝45°，∠GDF＝135°，
∴∠DFG＜45°，∠DGF＜45°，
∴△ABC和△GDF相似不成立．
③当点E在线段KB上时（如图4），
同理可得∠GDF＝45°，
∵∠ABC＝45°，
∴当时，△GDF∽△ABC．
∴，
∵，
∴，
∴，
过点E作MN⊥y轴，过点G作GN⊥MN，
则∠MED＝∠NGE＝90°﹣∠NEG，
∵ED＝EG，∠EMD＝∠ENG，
∴△MED≌△NGE（AAS），
∴EM＝NG，EN＝DM，
由ME∥OF可得，
∴可得，
∴EM＝NG，DM＝EN，
∴；
④当点E在KB延长线时（如图5），
同③可得，
∵，
∴，
∴，∴，
过点E作MN⊥y轴，过点G作NG⊥MN．
同理可得△MED≌△NGE（AAS），
∴EM＝NG，EN＝DM，
由MN∥x轴可得：，
∴可得E（4，1），
由△MED≌△NGE，得G（7，﹣3）．
综上所述，点G坐标为：，（7，﹣3）．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑