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七下数学第16周《图形与证明》
1．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝110°，则∠1+∠2的度数为（　　）
A．80° B．90° C．100° D．110°
2．如图，AD是△ABC的角平分线，B、C、E共线，则α、β、γ之间的数量关系是（　　）
A．α+β＝γ B．2α﹣β＝γ C．2β﹣α＝γ D．2γ﹣α＝β
3．如图．∠A＝65°．∠B＝40°．∠C＝25°．则∠D+∠E＝（　　）
A．25° B．40° C．50° D．65°
4．已知△ABC中，∠A＝65°，将∠B、∠C按照如图所示折叠，若∠ADB′＝35°，则∠1+∠2+∠3＝　 　 °．
5．如图，△ABC中AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠B＝50°，∠C＝70°，则∠DAE＝　 　 °．
6．如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠1＝72°，若∠3＝3∠2，则∠4＝　 　 °．
7．一束光线经过三块平面镜反射，光路如图所示，∠α+∠β＝　 　 °．
8．如图，将四边形纸片ABCD沿MN折叠，点A、D分别落在点A1、D1处．若∠1+∠2＝140°，则∠B+∠C＝　 　 °．
9．若a、b、c是△ABC的三边，请化简|a﹣b﹣c|+|b+c﹣a|﹣|c﹣a﹣b|．
10．计算：
（1）已知三角形三边分别为a，b，c，且a＝4，b＝6，c的长为小于6的偶数，求△ABC的周长；
（2）已知三角形三个内角的度数比为2：3：4，求这个三角形三个内角的度数．
11．如图，AD，AE和AF分别是△ABC的高、角平分线和中线．
（1）对于下面的五个结论：①BC＝2BF；②；③BE＝CE；④AD⊥BC；⑤S△AFB＝S△ADC．其中错误的是 　 　 （只填序号）．
（2）若∠C＝70°，∠ABC＝28°，求∠DAE的度数．
12．观察下列算式，完成问题：
算式①：42﹣22＝12＝4×3，
算式②：62﹣42＝20＝4×5，
算式③：82﹣62＝28＝4×7，
算式④：102﹣82＝36＝4×9，
……
（1）按照以上四个算式的规律，请写出算式⑤：　 　 ；
（2）上述算式用文字表示为：“任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍”，请证明上述命题成立；
（3）命题“任意两个连续奇数的平方差都是4的奇数倍”是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
13．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠A＝∠ABE，∠CDB＝∠CBD，BE与CD交于点F．
（1）若∠A＝40°，∠ACB＝70°，则∠BFD＝　 　 °；
（2）若∠ABC＝∠ACB，求证：∠BDF＝∠BFD．
14．如图，在△AMH中，AN，ME，MF分别为△AMH，△AMN，△MHE的中线，且△AMH的面积为80cm2．
（1）求△AME与△AHE的面积和．
（2）求△MEF的面积．
【典型例题】
1．【概念认识】
如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．
【问题解决】
（1）如图②，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，则∠BDC＝　 　 °；
（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线，且BP⊥CP，求∠A的度数；
【延伸推广】
（3）如图④，直线AC、BD交于点O，∠ADB的三分线所在的直线与∠ACB的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝66°，∠B＝45°，∠ADB＝m°，直接写出∠DPC的度数．
2．Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．
（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α＝50°，则∠1+∠2＝　 　 °；
（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？
（3）若点P在Rt△ABC斜边BA的延长线上运动（CE＜CD），则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．
3．【概念认识】
两条直线相交所形成的锐角或直角称为这两条直线的夹角，如果两条直线的夹角为α，那么我们称这两条直线是“α相交线”例如；如图①，直线m和直线n为“α相交线我们已经知道两条平行线被第三条直线所截，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，那么若两条直线为“α相交线”，它们被第三条直线所截后形成的同位角、内错角、同旁内角之间有什么关系呢？
【初步研究】
（1）如图②，直线m与直线n是“α相交线”，求证：∠1﹣∠2＝α
小明的证法如图③．若直线m与直线n交于点O，直线m与直线n是“α相交线”．∵∠AOB＝α．∴∠1是△ABO的外角，∴　 　 ．即∠1﹣∠2＝α．
请补充完整小明的证明过程，并用另一种不同的方法进行证明
【深入思考】
（2）如图④，直线m与直线n是α相交线，
①①找出直线m与直线n被直线l所截得的内错角，并直接写出内错角与α的关系；
②找出直线m与直线n被直线l所截得的同旁内角，并直接写出每对同旁内角与α的关系；
【综合运用】
（3）如图⑤，已知∠α，用直尺和圆规按下列要求作图，
①如图⑥，点M为直线AB外一点，过点M求作直线，使得所作得直线与直线AB是“α相交线”（作出满足条件的所有直线）；
②如图⑦，用两种不同方法在直线AB外求作一点，使得直线MA和直线MB是“α相交线”．
【巩固练习】
1．如图，点E，A，C在一条直线上，给出下列三项：①AD⊥BC，EG⊥BC，垂足分别为D，G；②∠1＝∠2；③AD平分∠BAC．
（1）若以其中的两项作为条件，剩余的一项作为结论，共能得到 　 　 个真命题；
（2）请你选择其中一个真命题进行证明．
你选择的条件是 　 　 ，结论为 　 　 ．（填写序号）
证明：
2．如图，点B、E、C在同一条直线上，请你从下面三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个真命题．①AB∥CD；②∠1＝∠2，∠3＝∠4；③AE⊥ED．
（1）上述问题有哪几个真命题？
（2）选择（1）中的一个真命题加以证明．
3．如图，在△ABC中，点D在边BC上．
（1）若∠1＝∠2＝35°，∠3＝∠4，求∠DAC的度数；
（2）若AD为△ABC的中线，△ABD的周长比△ACD的周长大3，AB＝9，求AC的长．
4．如图，在△ABC中，AD是中线，AB＝10cm，AC＝6cm．
（1）△ABD与△ACD的周长差为 　 　 cm．
（2）点E在边AB上，连接ED，若三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2cm，求线段AE的长．
5．如图，在三角形ABC中，D，E是AB上的点，F是BC上一点，H，G是AC上的点，FD⊥AB于点D，连接EF，EH，EG．给定三个条件：①EG⊥AB，②∠α＝∠β，③∠C＝∠β+∠EGH．
（1）请在上述三个条件中选择其中两个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 　 　 ，结论是 　 　 （填写序号）；
（2）证明上述命题．
参考答案与试题解析
1．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝110°，则∠1+∠2的度数为（　　）
A．80° B．90° C．100° D．110°
【解答】解：连接AA′．
∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∠BA'C＝110°，
∴∠A′BC+∠A′CB＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝140°，
∴∠BAC＝180°﹣140°＝40°，
∵∠1＝∠DAA′+∠DA′A，∠2＝∠EAA′+∠EA′A，
∵∠DAA′＝∠DA′A，∠EAA′＝∠EA′A，
∴∠1+∠2＝2（∠DAA′+∠EAA′）＝2∠BAC＝80°，
故选：A．
2．如图，AD是△ABC的角平分线，B、C、E共线，则α、β、γ之间的数量关系是（　　）
A．α+β＝γ B．2α﹣β＝γ C．2β﹣α＝γ D．2γ﹣α＝β
【解答】解：∵∠ADC是△ABD的外角，∠ACE是△ACD的外角，
∴β＝α+∠BAD，γ＝β+CAD，
∴∠BAD＝β﹣α，∠CAD＝γ﹣β，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴β﹣α＝γ﹣β，
∴2β﹣α＝γ．
故选：C．
3．如图．∠A＝65°．∠B＝40°．∠C＝25°．则∠D+∠E＝（　　）
A．25° B．40° C．50° D．65°
【解答】解：连接BC，如图所示，
∵∠A＝65°，∠ABE＝40°，∠ACD＝25°，
∴∠1+∠2＝180°﹣∠A﹣∠ABE﹣∠ACD＝180°﹣65°﹣40°﹣25°＝50°，
∵∠D+∠E＝∠1+∠2，
∴∠D+∠E＝50°．
故选：C．
4．已知△ABC中，∠A＝65°，将∠B、∠C按照如图所示折叠，若∠ADB′＝35°，则∠1+∠2+∠3＝　265　 °．
【解答】解：由折叠知：∠B＝∠B′，∠C＝∠C′．
∵∠3＝∠B+∠4，∠4＝∠ADB′+∠B′，
∴∠3＝∠B+∠ADB′+∠B′
＝2∠B+35°．
∵∠1+∠2＝180°﹣∠C′GC+180°﹣∠C′FC
＝360°﹣（∠C′FC+∠C′GC），
∠C′FC+∠C′GC＝360°﹣∠C﹣∠C′
＝360°﹣2∠C，
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠C′FC+∠C′GC）
＝360°﹣（360°﹣2∠C）
＝2∠C．
∴∠1+∠2+∠3
＝2∠C+2∠B+35°
＝2（∠C+∠B）+35°
＝2（180°﹣∠A）+35°
＝2（180°﹣65°）+35°
＝265°．
故答案为：265°．
5．如图，△ABC中AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠B＝50°，∠C＝70°，则∠DAE＝　10　 °．
【解答】解：∵在△ABC中，AE是∠BAC的平分线，且∠B＝50°，∠C＝70°，
∴∠BAE＝∠EAC（180°﹣∠B﹣∠C）（180°﹣50°﹣70°）＝30°．
在△ACD中，∠ADC＝90°，∠C＝70°，
∴∠DAC＝90°﹣70°＝20°，
∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝30°﹣20°＝10°．
故答案为：10．
6．如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠1＝72°，若∠3＝3∠2，则∠4＝　78　 °．
【解答】解：设∠2＝x°，则∠3＝3∠2＝3x°，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC54°，
∴∠ABD＝（54﹣x）°，
∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABD＝（54﹣x）°，
∴∠ADC＝（54+2x）°，
∵AC＝AD，
∴∠4＝∠ADC＝（54+2x）°，
∵∠2+∠BCD+∠3＝180°，
∴x+54+54+2x+3x＝180，
6x＝72，
x＝12，
∴∠4＝78°，
故答案为：78．
7．一束光线经过三块平面镜反射，光路如图所示，∠α+∠β＝　126　 °．
【解答】解：如图，
根据光线反射定律，可知入射光线与反射光线与平面镜的夹角相等，
在四边形ABCD中，
∠ABC＝180°﹣2∠1，∠BCD＝180°﹣2∠2，
∴∠ABC+∠BCD＝180°﹣2∠1+180°﹣2∠2
＝360°﹣2（∠1+∠2），
∵∠1+∠2＝180°﹣117°＝63°，
∴∠ABC+∠BCD＝360°﹣2（∠1+∠2）
＝360°﹣2×63°
＝234°，
在四边形ABCD中，
∵∠ABC+∠BCD+∠α+∠β＝360°，
∴234°+∠α+∠β＝360°，
∴∠α+∠β＝126°．
故答案为：126°．
8．如图，将四边形纸片ABCD沿MN折叠，点A、D分别落在点A1、D1处．若∠1+∠2＝140°，则∠B+∠C＝　110　 °．
【解答】解：∵∠1+∠2＝140°，
∴∠AMN+∠DNM110°．
∵∠A+∠D+（∠AMN+∠DNM）＝360°，∠A+∠D+（∠B+∠C）＝360°，
∴∠B+∠C＝∠AMN+∠DNM＝110°．
故答案为：110．
9．若a、b、c是△ABC的三边，请化简|a﹣b﹣c|+|b+c﹣a|﹣|c﹣a﹣b|．
【解答】解：∵a、b、c是△ABC的三边，
∴a＜b+c，c＜a+b．
即a﹣b﹣c＜0，b+c﹣a＞0，c﹣a﹣b＜0．
∴|a﹣b﹣c|+|b+c﹣a|﹣|c﹣a﹣b|
＝﹣（a﹣b﹣c）+（b+c﹣a）+（c﹣a﹣b）
＝﹣a+b+c+b+c﹣a+c﹣a﹣b
＝﹣3a+b+3c．
10．计算：
（1）已知三角形三边分别为a，b，c，且a＝4，b＝6，c的长为小于6的偶数，求△ABC的周长；
（2）已知三角形三个内角的度数比为2：3：4，求这个三角形三个内角的度数．
【解答】解：（1）∵三角形三边分别为a，b，c，且a＝4，b＝6，
∴b﹣a＜c＜a+b，
∴6﹣4＜c＜6+4，即2＜c＜10，
又∵c的长为小于6的偶数，
∴c＝4，
∴△ABC的周长为a+b+c＝4+6+4＝14，即△ABC的周长为14．
（2）∵三角形三个内角的度数比为2：3：4，
∴这三个内角的度数分别为，，，
∴这个三角形三个内角的度数为40°，60°，80°．
答：这个三角形三个内角的度数为40°，60°，80°．
11．如图，AD，AE和AF分别是△ABC的高、角平分线和中线．
（1）对于下面的五个结论：
①BC＝2BF；
②；
③BE＝CE；
④AD⊥BC；
⑤S△AFB＝S△ADC．
其中错误的是 　③　 （只填序号）．
（2）若∠C＝70°，∠ABC＝28°，求∠DAE的度数．
【解答】解：（1）∵AD，AE和AF分别是△ABC的高、角平分线和中线，
∴AD⊥BC，∠CAE＝∠BAE＝∠CAB，BF＝CF，BC＝2BF，
∵S△AFB＝BF AD，S△AFC＝CF AD，
∴S△AFB＝S△AFC，故①②④⑤正确，③错误，
故答案为：③．
（2）∵∠C＝70°，∠ABC＝28°，
∴∠CAB＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝82°，
∴∠CAE＝∠CAB＝41°，
∵∠ADC＝90°，∠C＝70°，
∴∠DAC＝20°
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠DAC＝41°﹣20°＝21°．
12．观察下列算式，完成问题：
算式①：42﹣22＝12＝4×3，
算式②：62﹣42＝20＝4×5，
算式③：82﹣62＝28＝4×7，
算式④：102﹣82＝36＝4×9，
……
（1）按照以上四个算式的规律，请写出算式⑤：　122﹣102＝44＝4×11　 ；
（2）上述算式用文字表示为：“任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍”，请证明上述命题成立；
（3）命题“任意两个连续奇数的平方差都是4的奇数倍”是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【解答】（1）解：算式⑤：122﹣102＝44＝4×11．
故答案为：122﹣102＝44＝4×11．
（2）证明：设两个连续偶数分别为2m和2m+2，则（2m+2）2﹣（2m）2＝4（2m+1），
∵2m+1是奇数，
∴“任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍”成立．
（3）解：不成立，理由如下：
设两个连续奇数分别为2n﹣1和2n+1，则（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝4×2n，
∵2n是偶数，
∴命题“任意两个连续奇数的平方差都是4的奇数倍”不成立．
13．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠A＝∠ABE，∠CDB＝∠CBD，BE与CD交于点F．
（1）若∠A＝40°，∠ACB＝70°，则∠BFD＝　70　 °；
（2）若∠ABC＝∠ACB，求证：∠BDF＝∠BFD．
【解答】（1）解：∵∠A＝40°，∠ACB＝70°，
∴∠ABC＝180°﹣（40°+70°）＝70°，
∵∠A＝∠ABE，∠CDB＝∠CBD，
∴∠A＝∠ABE＝40°，∠CDB＝∠CBD＝70°，
∴∠BFD＝180°﹣∠ABE﹣∠CDB＝180°﹣40°﹣70°＝70°，
故答案为：70．
（2）证明：如图，设∠A＝α，∠ABC＝β，
∵∠ABC＝∠ACB，
∴180°﹣α＝2β，
∵∠A＝∠ABE＝α，
∴∠CBF＝β﹣α，
∵∠CDB＝∠CBD，
∴∠BDF＝β，∠DCB＝180°﹣2β，
∵∠BFD是△BCF的外角，
∴∠BFD＝∠DCB+∠CBF＝180°﹣2β+（β﹣α）＝180°﹣β﹣α＝2β﹣β＝β，
∴∠BDF＝∠BFD．
14．如图，在△AMH中，AN，ME，MF分别为△AMH，△AMN，△MHE的中线，且△AMH的面积为80cm2．
（1）求△AME与△AHE的面积和．
（2）求△MEF的面积．
【解答】解：（1）∵在△AMH中，AN，ME分别为△AMH，△AMN的中线，△AMH的面积为80cm2．
∴S△AMES△AMNS△AMH＝20cm2，S△AHES△AHNS△AMH＝20cm2，
∴S△AHE+S△AME＝40cm2．
（2）∵MF为△MHE的中线，S△MHE＝S△AMH﹣（S△AHE+S△AME）＝40cm2，
∴S△MEFS△MEH＝20cm2．
15．【概念认识】
如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．
【问题解决】
（1）如图②，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，则∠BDC＝　85°或100　 °；
（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线，且BP⊥CP，求∠A的度数；
【延伸推广】
（3）如图④，直线AC、BD交于点O，∠ADB的三分线所在的直线与∠ACB的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝66°，∠B＝45°，∠ADB＝m°，直接写出∠DPC的度数．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝45°，BD，BD'是∠ABC的“三分线”，
∴∠ABD＝∠DBD'＝∠D'BC∠ABC45°＝15°，
∵∠A＝70°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝70°+15°＝85°或∠BDC＝∠A+∠ABD＝70°+30°＝100°，
故答案为：85°或100；
（2）如图③，∵BP⊥CP，
∴∠BPC＝90°，
∴∠PBC+∠PCB＝90°，
∵BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线，
∴∠PBC∠ABC，∠PCB∠ACB，
∴∠ABC∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝135°，
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣135°＝45°；
（3）四种情况：
①如图1，当DP和CP分别是“邻AD三分线”、“邻BC三分线”时，
∴∠ADE∠ADBm°，∠ACP∠ACB，
∵∠AOD＝∠BOC，
∴∠A+∠ADB＝∠B+∠ACB，
∵∠A＝66°，∠B＝45°，∠ADB＝m°，
∴66°+m°＝45°+∠ACB，
∴∠ACB＝21°+m°，
∴∠ACP∠ACB＝14°m°，
∵∠AED＝∠CEP，
∴∠A+∠ADE＝∠DPC+∠ACP，
∴66°m°＝∠DPC+14°m°，
∴∠DPC＝（52m）°；
②如图2，当DP和CP分别是“邻AD三分线”、“邻AC三分线”时，
∴∠ADE∠ADBm°，∠ACP∠ACB，
由①知：∠ACB＝21°+m°，
同理得：66°m°＝∠DPC+7°m°，
∴∠DPC＝59°；
③如图3，当DP和CP分别是“邻OD三分线”、“邻BC三分线”时，
∴∠ADE∠ADBm°，∠ACP∠ACB，
由①知：∠ACB＝21°+m°，
同理得：66°m°＝∠DPC+14°m°，
∴∠DPC＝52°；
④如图4，当DP和CP分别是“邻OD三分线”、“邻AC三分线”时，
∴∠ADE∠ADBm°，∠ACP∠ACB，
由①知：∠ACB＝21°+m°，
同理得：66°m°＝∠DPC+7°m°，
∴∠DPC＝（59m）°；
综上，∠DPC的度数为59°或52°或（52m）°或（59m）°．
16．如图（1）中是一个五角星，你会求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的值吗？
（2）图中的点A向下移到BE上时，五个角的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有无变化？如图（2）说明你的结论的正确性．
（3）把图（2）中的点C向上移动到BD上时，五个角的和（即∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E）有无变化？如图（3）说明你的结论的正确性．
【解答】解：（1）如图，连接CD．
在△ACD中，根据三角形内角和定理，得出∠A+∠2+∠3+∠ACE+∠ADB＝180°．
∵∠1＝∠B+∠E＝∠2+∠3，
∴∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E＝∠A+∠B+∠E+∠ACE+∠ADB＝∠A+∠2+∠3+∠ACE+∠ADB＝180°；
（2）无变化．
根据平角的定义，得出∠BAC+∠CAD+∠DAE＝180°．
∵∠BAC＝∠C+∠E，∠EAD＝∠B+∠D，
∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠BAC+∠CAD+∠DAE＝180°；
（3）无变化．
∵∠ACB＝∠CAD+∠D，∠ECD＝∠B+∠E，
∴∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E＝∠ACB+∠ACE+∠ECD＝180°．
17．发现与探究
【发现】根据三角形外角的性质可推理得：如图1在四边形ABOC中，判断∠BOC与∠A+∠B+∠C的数量关系．请将如下说理过程补充完整．
解：∠BOC＝∠A+∠B+∠C，理由：延长BO交AC于点M，
∵∠BMC是△ABM的外角，
∴　∠BMC＝∠A+∠B　 ，
同理，∠BOC是△COM的外角，
∴　∠BOC＝∠BMC+∠C　 ，
∴∠BOC＝∠A+∠B+∠C（等量代换）．
【验证】某木材零件如图2所示，图纸要求∠A＝∠B＝15°，∠AEB＝125°，零件样品生产出来后，经测量得到∠C＝90°，请你用“发现”得到的结论判断该零件样品是否符合规格，并说明理由．
【探究】如图3是某公司开发的可调躺椅示意图（数据如图所示），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变，为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝115°，请直接写出，应将图中∠D 　增加　 （填“增加”或“减小”） 　5　 °．
【解答】解：（1）发现：
解：∠BOC＝∠A+∠B+∠C，
理由：延长BO交AC于点M，
∵∠BMC是△ABM的外角，
∴∠BMC＝∠A+∠B，
同理，∠BOC是△COM的外角，
∴∠BOC＝∠BMC+∠C，
∴∠BOC＝∠A+∠B+∠C（等量代换）．
故答案为：∠BMC＝∠A+∠B，∠BOC＝∠BMC+∠C；
（2）验证：
由“发现”可知：∠AEB＝∠A+∠B+∠C，
∴∠C＝∠AEB﹣（∠A+∠B），
∵符合标准的零件∠A＝∠B＝15°，∠AEB＝125°，
∴符合标准的零件∠C＝∠AEB﹣（∠A+∠B）＝125°﹣（15°+15°）＝85°，
∵∠C＝90°≠85°，
∴该零件不符合规格；
（3）探究：
∵∠CAB＝50°，∠CBA＝60°，
∴∠ACB＝∠DCE＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
∴∠EFD＝∠D+∠E+∠DCE＝20°+30°+70°＝120°，
∵∠EFD＝115°＜120°，∠CBA，∠CAB，∠E保持不变，
∴∠D应增加120°﹣115°＝5°
故答案为：增加，5．
18．Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．
（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α＝50°，则∠1+∠2＝　140　 °；
（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？
（3）若点P在Rt△ABC斜边BA的延长线上运动（CE＜CD），则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．
【解答】解：（1）如图，连接PC，
由三角形的外角性质，∠1＝∠PCD+∠CPD，∠2＝∠PCE+∠CPE，
∴∠1+∠2＝∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE＝∠DPE+∠C，
∵∠DPE＝∠α＝50°，∠C＝90°，
∴∠1+∠2＝50°+90°＝140°，
故答案为：140°；
（2）连接PC，
由三角形的外角性质，∠1＝∠PCD+∠CPD，∠2＝∠PCE+∠CPE，
∴∠1+∠2＝∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE＝∠DPE+∠C，
∵∠C＝90°，∠DPE＝∠α，
∴∠1+∠2＝90°+∠α；
（3）如图1，由三角形的外角性质，∠2＝∠C+∠1+∠α，
∴∠2﹣∠1＝90°+∠α；
如图2，∠α＝0°，∠2＝∠1+90°；
如图3，∠2＝∠1﹣∠α+∠C，
∴∠1﹣∠2＝∠α﹣90°．
19．【概念认识】
两条直线相交所形成的锐角或直角称为这两条直线的夹角，如果两条直线的夹角为α，那么我们称这两条直线是“α相交线”例如；如图①，直线m和直线n为“α相交线我们已经知道两条平行线被第三条直线所截，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，那么若两条直线为“α相交线”，它们被第三条直线所截后形成的同位角、内错角、同旁内角之间有什么关系呢？
【初步研究】
（1）如图②，直线m与直线n是“α相交线”，求证：∠1﹣∠2＝α
小明的证法如图③．若直线m与直线n交于点O，直线m与直线n是“α相交线”．∵∠AOB＝α．∴∠1是△ABO的外角，∴　∠1＝∠2+∠AOB　 ．即∠1﹣∠2＝α．
请补充完整小明的证明过程，并用另一种不同的方法进行证明
【深入思考】
（2）如图④，直线m与直线n是α相交线，
①①找出直线m与直线n被直线l所截得的内错角，并直接写出内错角与α的关系；
②找出直线m与直线n被直线l所截得的同旁内角，并直接写出每对同旁内角与α的关系；
【综合运用】
（3）如图⑤，已知∠α，用直尺和圆规按下列要求作图，
①如图⑥，点M为直线AB外一点，过点M求作直线，使得所作得直线与直线AB是“α相交线”（作出满足条件的所有直线）；
②如图⑦，用两种不同方法在直线AB外求作一点，使得直线MA和直线MB是“α相交线”．
【解答】解：（1）如图③．若直线m与直线n交于点O，
直线m与直线n是“α相交线”．
∵∠AOB＝α．
∴∠1是△ABO的外角，
∴∠1＝∠2+∠AOB，
即∠1﹣∠2＝α．
故答案为：∠1＝∠2+∠AOB；
（2）①如图④中，
∴直线m，直线n被直线l所截的内错角为：∠3与∠5，∠4与∠6．
∠3＝∠5+α，∠6＝∠4+α．
②直线m，直线n被直线l所截的同旁内角为：∠3与∠6，∠4与∠5．
∠3+∠6＝∠5+α+∠4+α＝180°+α，∠4+∠5+α＝180°；
（3）①如图，直线MT即为所求；
如图⑦﹣1中，直线AM即为所求；
②如图⑦﹣2中，点M即为所求．
20．如图，点E，A，C在一条直线上，给出下列三项：①AD⊥BC，EG⊥BC，垂足分别为D，G；②∠1＝∠2；③AD平分∠BAC．
（1）若以其中的两项作为条件，剩余的一项作为结论，共能得到 　2　 个真命题；
（2）请你选择其中一个真命题进行证明．
你选择的条件是 　①②或①③　 ，结论为 　③或②　 ．（填写序号）
证明：
【解答】解：（1）若AD⊥BC，FG⊥BC，垂足分别为D、G，AD平分∠BAC，则∠1＝∠2．
若AD⊥BC，FG⊥BC，垂足分别为D、G，∠1＝∠2，则AD平分∠BAC．
故以其中两个事项作为条件，另一个事项作为结论，你能组成2个正确的结论，
故答案为：2；
（2）以①②为条件，③为结论．
理由：∵AD⊥BC，EG⊥BC，
∴AD∥EG，
∴∠1＝∠CAD，∠2＝∠BAD，
∵∠1＝∠2，
∴∠BAD＝∠CAD，即AD平分∠BAC．
以①③为条件，②为结论．
理由：∵AD⊥BC，EG⊥BC，
∴AD∥EG，
∴∠1＝∠CAD，∠2＝∠BAD，
∵∠CAD＝∠BAD，
∴∠1＝∠2．
故答案为：①②，③；或①③，②．
21．如图，点B、E、C在同一条直线上，请你从下面三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个真命题．①AB∥CD；②∠1＝∠2，∠3＝∠4；③AE⊥ED．
（1）上述问题有哪几个真命题？
（2）选择（1）中的一个真命题加以证明．
【解答】解：（1）上述问题有两个真命题，分别是：
命题1：①② ③；命题2：②③ ①．
（2）选择命题1：①② ③．
证明：∵CD∥AB，
∴由平行线的性质可知：∠B+∠C＝180°，
∵∠B+∠1+∠2＝180°，
∴∠C＝∠1+∠2，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠2+∠3＝90°，
∴AE⊥ED．
选取命题2：②③ ①．
证明：由题意可得：∠AED＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，
又∵∠B＝180°﹣∠1﹣∠2，∠C＝180°﹣∠3﹣∠4，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠1﹣∠2+180°﹣∠3﹣∠4＝360°﹣（∠1+∠2+∠3+∠4）＝180，
∴AB∥CD．
22．如图，在△ABC中，点D在边BC上．
（1）若∠1＝∠2＝35°，∠3＝∠4，求∠DAC的度数；
（2）若AD为△ABC的中线，△ABD的周长比△ACD的周长大3，AB＝9，求AC的长．
【解答】解：（1）∵∠1＝∠2＝35°，
∴∠3＝∠1+∠2＝70°，
∴∠3＝∠4＝70°，
∴∠DAC＝180°﹣∠3﹣∠4＝40°；
（2）∵AD为△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∵△ABD的周长比△ACD的周长大3，
∴AB+AD+BD﹣（AC+AD+CD）＝3，
∴AB+AD+BD﹣AC﹣AD﹣CD＝3，
∴AB﹣AC＝3，
∵AB＝9，
∴AC＝6．
23．如图，在△ABC中，AD是中线，AB＝10cm，AC＝6cm．
（1）△ABD与△ACD的周长差为 　4　 cm．
（2）点E在边AB上，连接ED，若三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2cm，求线段AE的长．
【解答】解：（1）∵AD是中线，
∴BD＝CD，
∵△ABD的周长＝AB+AD+BD，△ACD的周长＝AC+CD+AD，
∴△ABD的周长△ACD的周长的差即AB与AC的差，
∵AB﹣AC＝4（cm），
∴△ABD的周长△ACD的周长的差为4cm，
故答案为：4；
（2）①折线BE+BD比折线AE+AC+CD大2cm时，
即BE﹣（AE+AC）＝2cm，
∵AB＝10cm，AC＝6cm，
∴AE＝1cm，
②折线AE+AC+CD比折线BE+BD大2cm时，
即AE+AC﹣BE＝2cm，
∵AB＝10cm，AC＝6cm，
∴AE＝3cm，
综上，线段AE的长为1cm或3cm．
24．如图，在三角形ABC中，D，E是AB上的点，F是BC上一点，H，G是AC上的点，FD⊥AB于点D，连接EF，EH，EG．给定三个条件：①EG⊥AB，②∠α＝∠β，③∠C＝∠β+∠EGH．
（1）请在上述三个条件中选择其中两个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 　①②　 ，结论是 　③　 （填写序号）；
（2）证明上述命题．
【解答】（1）选择的条件是 ①②，结论是 ③；
故答案为：①②，③；
（2）证明：由EG⊥AB，FD⊥AB，
得EG∥FD，
得∠DFE＝∠GEF，
由∠α＝∠β，
得∠BFE＝∠HEF，
得EH∥BC，
得∠C＝∠AHE＝∠β+∠EGH．
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