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八下数学第16周《二次根式拓展提升》
一．试题（共35小题）
1．能使开得尽方n的最小正整数为（　　）
A．1 B．3 C．5 D．7
2．已知n是正整数，是整数，则n的最小值是 　 　 ．
3．若3﹣b，则（　　）
A．b＞3 B．b＜3 C．b≥3 D．b≤3
4．等式 成立的x的取值范围在数轴上可以表示为（　　）
A．B．C． D．
5．把（1﹣a）根号外的因式移入根号内，化简后的结果是　 　 ．
6．写出一个的有理化因式　 　 ．
7．若最简二次根式与3是同类二次根式，则a＝　 　 ．
8．计算的结果是 　 　 ．
9．计算（）的结果是　 　 ．
10．若，则bc的值为 　 　 ．
11．已知a，b都是实数，k为整数，若，则称a与b是关于k的一组“关联数”．
（1）﹣2与 　 　 是关于1的一组“关联数”；
（2）与 　 　 是关于3的一组“关联数”；
（3）若，判断a2与b2是否为关于某整数的一组“关联数”，说明理由．
12．已知，则的值为（　　）
A． B． C． D．以上都不对
13．如果x2﹣3x﹣1＝0，则的值是 　 　 ．
14．已知一等腰三角形的周长为，其中一边长，则这个等腰三角形的腰长为（　　）
A． B． C．或 D．无法确定
15．海伦﹣秦九韶公式告诉我们，若一个三角形ABC三边长分别为a、b、c，记 ，三角形的面积为，如图，请你利用海伦﹣秦九韶公式计算△ABC的面积为（　　）
A． B． C． D．10
16．如图，在长方形ABCD中，无重叠放入面积分别为27和12的两张正方形纸片，则剩余部分的面积为 　 　 ．
17．如图，矩形内三个相邻的正方形的面积分别为4，3，2，则图中阴影部分的面积为 　 　 ．
18．计算：
（1）；
（2）．
19．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
20．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间t（s）和高度h（m）近似满足公式（不考虑阻力的影响）．
（1）求物体从40m的高空落到地面的时间．
（2）已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）E＝10×物体质量（kg）×高度（m），某质量为0.05kg的鸡蛋经过6s落在地上，这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要65J的能量）
21．一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．
设（其中a、b、m、n均为正整数），则有．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样可以把部分的式子化为平方式的方法．
请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b．
得：a＝　 　 ，b＝　 　 ．
（2）化简：．
22．【阅读材料】对于一些特殊类型的根式，我们有一些常用的化简计算方法．
如：，这是利用平方差公式进行化简运算的思路．
除此之外，我们还可以用“平方之后再开方”的方式来化简，即运用性质|a|．
如：对于，设．
由，可知x＞0．
由，解得．
即．
【学以致用】请你根据以上介绍的方法，化简．
23．我校八年级六班的小静、小智、小慧是同一学习小组里的成员，小静在计算时出现了一步如下的错误：．
在小组合作环节中，小智与小慧分别从不同的角度帮助小静对这一错误进行分析：
小智的思路：将，两个式子分别平方后再进行比较；
小慧的思路：以，，为三边构造一个三角形，再由三角形的三边的关系判断与的大小关系．
根据小智与小慧的思路，请解答下列问题：
（1）填空：
∵ 　 　 ， 　 　 ，
∴，
∴．
（2）如图，以，，为三边构造△ABC．
①请判断△ABC是什么特殊的三角形，并说明理由；
②根据图形直接写出与的大小关系．
24．阅读下面内容：
我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：
当a＞0，b＞0时，∵（）2＝a﹣2b≥0．
∴a+b≥2，当且仅当a＝b时取等号．
请利用上述结论解决以下问题：
（1）当x＞0时，x的最小值为　 　 ；
（2）当x＞0时，求当x取何值，y有最小值，最小值是多少？
（3）当x＞3时，求当x取何值，y有最小值，最小值是多少？
（4）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为4和9，求四边形ABCD的面积的最小值．
25．背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．
小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，
∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE．请用a、b、c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、△EBC的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：
S梯形ABCD＝　 　 ，
S△EBC＝　 　 ，
S四边形AECD＝　 　 ，
则它们满足的关系式为 　 　 经化简，可得到勾股定理．
知识运用：
（1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD＝25千米，BC＝16千米，则两个村庄的距离为 　 　 千米（直接填空）；
（2）在（1）的背景下，若AB＝40千米，AD＝24千米，BC＝16千米，要在AB上建造一个供应站P，使得PC＝PD，请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出AP的距离．
知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值（0＜x＜16）
26．（1）的最小值为 　 　 ．
（2）课堂上，老师提问：求的最小值．聪明的小明结合将军饮马和勾股定理的相关知识，利用构图法解出了此题，他的做法如下：
①如图，作一条长为16的线段CD；
②过C在线段CD上方作线段CD的垂线AC，使AC＝3；过D在线段CD下方作线段CD的垂线BD，使BD＝9；
③在线段CD上任取一点O，设CO＝x；
④根据勾股定理计算可得，AO＝　 　 BO＝　 　 （请用含x的代数式表示，不需要化简）；
⑤则AO+BO的最小值即为所求代数式的最小值，最小值为 　 　 ．
（3）请结合第（2）问，直接写出的最小值 　 　 ．
27．成立的条件是（　　）
A．k＞﹣8 B．k≥﹣8 C．k≤﹣8 D．k＜﹣8
28．若a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|　 　 ．
29．下列根式中，能与合并的二次根式为（　　）
A． B． C． D．
30．计算的结果是（　　）
A． B． C．﹣3 D．3
31．计算的结果是 　 　 ．
32．已知x＝2，则x2﹣4x﹣6的值为　 　 ．
33．不等式的正整数解的个数有　 　 个．
34．计算：
（1）（22）；
（2）；
（3）；
（4）．
35．著名数学教育家G 波利亚有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料：
数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a，且，则可变形为，从而达到化去一层根号的目的，例如：
．
解决问题：
（1）根据上述思路，试将予以化简；
（2）根据上述思路，化简并求出的值；
（3）当1≤x≤2时，化简．
参考答案与试题解析
1．能使开得尽方n的最小正整数为（　　）
A．1 B．3 C．5 D．7
【解答】解：∵，且是整数，
∴是整数，
∴3n是一个平方数，
∴最小正整数n为3，
故选：B．
2．已知n是正整数，是整数，则n的最小值是 　7　 ．
【解答】解：∵，且是整数，
∴正整数n的最小值为7，
故答案为：7．
3．若3﹣b，则（　　）
A．b＞3 B．b＜3 C．b≥3 D．b≤3
【解答】解：∵3﹣b，
∴3﹣b≥0，
∴b≤3．
故选：D．
4．等式 成立的x的取值范围在数轴上可以表示为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：，
解得，
∴不等式组的解集为x≥3．
故选：B．
5．把（1﹣a）根号外的因式移入根号内，化简后的结果是　　 ．
【解答】解：由根式可知，1﹣a＜0；
故原式
．
6．写出一个的有理化因式　（答案不唯一）　 ．
【解答】解：∵ 2a+b，
∴的有理化因式为，
故答案为：（答案不唯一）．
7．若最简二次根式与3是同类二次根式，则a＝　﹣1　 ．
【解答】解：由最简二次根式与3是同类二次根式，得
1﹣a＝2．
解得a＝﹣1，
故答案为：﹣1．
8．计算的结果是 　　 ．
【解答】解：原式
．
故答案为：．
9．计算（）的结果是　6　 ．
【解答】解：原式（3）
2
＝2×3
＝6．
故答案为6．
10．若，则bc的值为 　﹣3　 ．
【解答】解：∵a﹣6（b+c）2＝b2+2bc2c2＝b2+2c2+2bc，
∴2bc＝﹣6，
∴bc＝﹣3．
故答案为：﹣3．
11．已知a，b都是实数，k为整数，若，则称a与b是关于k的一组“关联数”．
（1）﹣2与 　4　 是关于1的一组“关联数”；
（2）与 　5　 是关于3的一组“关联数”；
（3）若，判断a2与b2是否为关于某整数的一组“关联数”，说明理由．
【解答】解：（1）设﹣2与x是关于1的一组“关联数”，
∴1，
解得：x＝4，
∴﹣2与4是关于1的一组“关联数”，
故答案为：4；
（2）设1与y是关于3的一组“关联数”，
∴3，
解得：y＝5，
∴1与5是关于3的一组“关联数”，
故答案为：5；
（3）a2与b2是关于3的一组“关联数”，
理由：∵，
∴
＝3，
∴a2与b2是关于3的一组“关联数”．
12．已知，则的值为（　　）
A． B．
C． D．以上都不对
【解答】解：设a，b，则a+b＝10，a2+b2＝49﹣x2+15+x2＝64，
∴（a+b）2＝100，
即a2+b2+2ab＝100，
∴64+2ab＝100，
∴ab＝18，
∵（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝102﹣4×18＝28，
∴a﹣b＝±±2，
即的值为±2．
故选：C．
13．如果x2﹣3x﹣1＝0，则的值是 　2　 ．
【解答】解：当x＝0时，则0﹣3×0﹣1＝﹣1≠0，
故x≠0，
则x2﹣3x﹣1＝0两边同时除以x，
得，
∴，
∴，
∴，
则，
故答案为：2．
14．已知一等腰三角形的周长为，其中一边长，则这个等腰三角形的腰长为（　　）
A． B． C．或 D．无法确定
【解答】解：由题意知，分一边长为腰，一边长为底边两种情况求解；
①当一边长为腰时，则底边长为，
∵，
∴此时不能构成三角形，舍去；
②当一边长为底边时，则腰长为；
综上所述，腰长为，
故选：B．
15．海伦﹣秦九韶公式告诉我们，若一个三角形ABC三边长分别为a、b、c，记 ，三角形的面积为，如图，请你利用海伦﹣秦九韶公式计算△ABC的面积为（　　）
A． B． C． D．10
【解答】解：∵三角形ABC三边长分别为4，5，6，
∵p，
∴三角形ABC的面积为：，
故选：C．
16．如图，在长方形ABCD中，无重叠放入面积分别为27和12的两张正方形纸片，则剩余部分的面积为 　6　 ．
【解答】解：由条件可知两张正方形纸片边长分别为和，
∴剩余部分的面积为，
故答案为：6．
17．如图，矩形内三个相邻的正方形的面积分别为4，3，2，则图中阴影部分的面积为 　225　 ．
【解答】解：三个正方形的边长分别为，，2，
图中阴影部分的面积：（）×2﹣2﹣3＝225．
故答案为：225．
18．计算：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
19．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【解答】解：（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
20．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间t（s）和高度h（m）近似满足公式（不考虑阻力的影响）．
（1）求物体从40m的高空落到地面的时间．
（2）已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）E＝10×物体质量（kg）×高度（m），某质量为0.05kg的鸡蛋经过6s落在地上，这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要65J的能量）
【解答】解：（1）∵，h＝40m，
∴．
（2）∵，t＝6s，
∴，
∴h＝5t2＝180m，
∴E＝10×0.05×180＝90（J），
∴90J＞65J，
对人构成伤害，
故严禁高空抛物．
21．一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．
设（其中a、b、m、n均为正整数），则有．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样可以把部分的式子化为平方式的方法．
请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b．
得：a＝　m2+3n2　 ，b＝　2mn　 ．
（2）化简：．
【解答】解：（1）∵，
∴a＝m2+3n2，b＝2mn，
故答案为：m2+3n2，2mn；
（2）∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴
．
22．【阅读材料】对于一些特殊类型的根式，我们有一些常用的化简计算方法．
如：，这是利用平方差公式进行化简运算的思路．
除此之外，我们还可以用“平方之后再开方”的方式来化简，即运用性质|a|．
如：对于，设．
由，可知x＞0．
由，解得．
即．
【学以致用】请你根据以上介绍的方法，化简．
【解答】解：设x，
∵，
∴x＜0．
∵x26﹣36+326，
∴x．
原式
＝5﹣2
＝5﹣3．
23．我校八年级六班的小静、小智、小慧是同一学习小组里的成员，小静在计算时出现了一步如下的错误：．
在小组合作环节中，小智与小慧分别从不同的角度帮助小静对这一错误进行分析：
小智的思路：将，两个式子分别平方后再进行比较；
小慧的思路：以，，为三边构造一个三角形，再由三角形的三边的关系判断与的大小关系．
根据小智与小慧的思路，请解答下列问题：
（1）填空：
∵ 　18　 ， 　10　 ，
∴，
∴．
（2）如图，以，，为三边构造△ABC．
①请判断△ABC是什么特殊的三角形，并说明理由；
②根据图形直接写出与的大小关系．
【解答】解：（1）∵2+8+218， 10，
故答案为：18，10；
（2）①△ABC为直角三角形；
理由：∵（）2+（）2＝10＝（）2，
∴△ABC为直角三角形；
②．
24．阅读下面内容：
我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：
当a＞0，b＞0时，∵（）2＝a﹣2b≥0．
∴a+b≥2，当且仅当a＝b时取等号．
请利用上述结论解决以下问题：
（1）当x＞0时，x的最小值为　2　 ；
（2）当x＞0时，求当x取何值，y有最小值，最小值是多少？
（3）当x＞3时，求当x取何值，y有最小值，最小值是多少？
（4）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为4和9，求四边形ABCD的面积的最小值．
【解答】解：（1）当x＞0时，，
∴的最小值为 2；
故答案为：2；
（2）∵x＞0，
∴，
而，
当时，即x＝4时，等号成立，
∴y≥8，
∴当x＝4时，有最小值，为8．
（3）∵x＞3，
∴，
而，
当时，即x＝5时，等号成立，
∴y≥4，
∴当x＝5时，有最小值，为4．
（4）设S△AOD＝x，
∵△AOD与△AOB同高，△COD与△BOC同高，
∴S△AOB：S△AOD＝BO：OD＝S△BOC：S△COD，
由题知S△AOB＝4，S△COD＝9，
∴4：x＝S△BOC：9，
∴，
∵S四边形ABCD
，
∵，
∴S四边形ABCD≥13+12＝25，
∴四边形ABCD面积的最小值为 25．
25．背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．
小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，
∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE．请用a、b、c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、△EBC的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：
S梯形ABCD＝　a（a+b）　 ，
S△EBC＝　b（a﹣b）　 ，
S四边形AECD＝　c2　 ，
则它们满足的关系式为 　a（a+b）b（a﹣b）c2　 经化简，可得到勾股定理．
知识运用：
（1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD＝25千米，BC＝16千米，则两个村庄的距离为 　41　 千米（直接填空）；
（2）在（1）的背景下，若AB＝40千米，AD＝24千米，BC＝16千米，要在AB上建造一个供应站P，使得PC＝PD，请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出AP的距离．
知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值（0＜x＜16）
【解答】解：【小试牛刀】S梯形ABCDa（a+b），
S△EBCb（a﹣b），
S四边形AECDc2，
则它们满足的关系式为：a（a+b）b（a﹣b）c2
故答案为：a（a+b），b（a﹣b），c2，a（a+b）b（a﹣b）c2．
【知识运用】（1）如图2①，连接CD，作CE⊥AD于点E，
∵AD⊥AB，BC⊥AB，
∴BC＝AE，CE＝AB，
∴DE＝AD﹣AE＝25﹣16＝9千米，
∴CD41（千米），
∴两个村庄相距41千米．
故答案为：41．
（2）如图2②所示：
设AP＝x千米，则BP＝（40﹣x）千米，
在Rt△ADP中，DP2＝AP2+AD2＝x2+242，
在Rt△BPC中，CP2＝BP2+BC2＝（40﹣x）2+162，
∵PC＝PD，
∴x2+242＝（40﹣x）2+162，
解得x＝16，
即AP＝16千米．
【知识迁移】：如图3，
代数式的最小值为：20．
26．（1）的最小值为 　9　 ．
（2）课堂上，老师提问：求的最小值．聪明的小明结合将军饮马和勾股定理的相关知识，利用构图法解出了此题，他的做法如下：
①如图，作一条长为16的线段CD；
②过C在线段CD上方作线段CD的垂线AC，使AC＝3；过D在线段CD下方作线段CD的垂线BD，使BD＝9；
③在线段CD上任取一点O，设CO＝x；
④根据勾股定理计算可得，AO＝　　 BO＝　　 （请用含x的代数式表示，不需要化简）；
⑤则AO+BO的最小值即为所求代数式的最小值，最小值为 　20　 ．
（3）请结合第（2）问，直接写出的最小值 　10　 ．
【解答】解：（1）∵，
∴9≥9．
故答案为：9．
（2）如图，过B作AC的垂线交AC的延长线于点E，
∵OC2+AC2＝OA2，OD2+BD2＝OB2，
OA，OB．
当A，O，B三点共线时，AO+OB的最小值是线段AB的长．
△ABE中，AE＝3+9＝12，BE＝16，
AB2＝AE2+BE2＝144+256＝400，
AB＝20．
所以AO+BO的最小值是20．
故答案为，，20．
（3）设x﹣2＝a，，
仿照（2）的作法，的最小值10．
故答案为：10．
27．成立的条件是（　　）
A．k＞﹣8 B．k≥﹣8 C．k≤﹣8 D．k＜﹣8
【解答】解：根据二次根式有意义的条件可知：8+k≥0，
解得：k≥﹣8，
故选：B．
28．若a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|　﹣a　 ．
【解答】解：由数轴可知，b＜a＜0＜c，
∴a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＜0，
∴，
故答案为：﹣a．
29．下列根式中，能与合并的二次根式为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：根据二次根式的性质，逐项分析判断如下：
A、不能与合并，故此选项不合题意；
B、不能与合并，故此选项符合题意；
C、能与合并，故此选项不合题意；
D、不能与合并，故此选项不合题意．
故选：C．
30．计算的结果是（　　）
A． B． C．﹣3 D．3
【解答】解：原式＝[（3）]2024
＝（10﹣9）2024
＝1
，
故选：B．
31．计算的结果是 　　 ．
【解答】解：原式，
故答案为：．
32．已知x＝2，则x2﹣4x﹣6的值为　0　 ．
【解答】解：当x＝2时，
x2﹣4x﹣6＝（x﹣2）2﹣10
＝（22）2﹣10
＝（）2﹣10
＝10﹣10
＝0，
故答案为：0．
33．不等式的正整数解的个数有　3　 个．
【解答】解：，
，
∴正整数解为：1，2，3，有3个，
故答案为：3．
34．计算：
（1）（22）；
（2）；
（3）；
（4）．
【解答】解：（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
35．著名数学教育家G 波利亚有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料：
数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a，且，则可变形为，从而达到化去一层根号的目的，例如：
．
解决问题：
（1）根据上述思路，试将予以化简；
（2）根据上述思路，化简并求出的值；
（3）当1≤x≤2时，化简．
【解答】解：（1）原式
．
；
（2）原式
．
＝9；
（3）原式
＝2．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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