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2024--2025学年度九年级第二次模拟
数学
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 下列各数中，为无理数的是（ ）
A. B. 0 C. D.
2. 2025年1月29号《哪吒之魔童闹海》在我国首映，截止3月10号全球累计票房已超过149亿元，目前位列全球影史票房第6名．其中149亿用科学计数法表示为（ ）
A B. C. D.
3. “月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，呈榫卯结构，有利于采来拼装建造月球基地．如图，这是“月壤砖”的示意图，其俯视图为（ ）
A. B.
C. D.
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线 ）的夹角等于入射光线与法线的夹角 ．如图一个平面镜斜着放在水平面上， 形成形状，，在上有一点E， 从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D处反射光线刚好与平行，则的度数为（ ）
A B. C. D.
6. 一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，则的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 6
7. 如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，⊙O的半径为3，∠C＝140°，则弧BD的长为（　　）
A. π B. π C. π D. 2π
8. 已知实数 满足：，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在正六边形中，点，分别为，上的点，若为等边三角形，满足上述条件的的个数为（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 无数个
10. 如图，在菱形中，，，点从点出发，沿运动，过点作直线的垂线，垂足为点，设点运动的路程为，的面积为，则下列图象能正确反映与之间的函数关系的是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 代数式有意义时，应满足的条件是______．
12. 著名的欧拉公式 将自然常数(又叫做欧拉数)与虚数单位、圆周率、自然数和这五个最重要的常数联系在一起，被誉为数学中最美的公式之一，其中，试比较大小： __________(填“”“”或“”)．
13. “四大发明”是中国古代劳动人民的重要创造，具体指印刷术、造纸术、火药和指南针四项发明．小北从主题为《四大发明》的四段影片中随机选取两段观看，选取的两段影片恰好是“造纸术”和“印刷术”的概率为_______．
14. 如图，两个正方形和顶点A重合，点E在射线上，连接
（1）若（），则______（用含的式子表示）；
（2）分别连接，，M为的中点，连接，若，，则的长为_______
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解不等式组：．
16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，的顶点均为格点（网格线的交点），A，B，C的坐标为，，
（1）将绕点O顺时针旋转，得到，画出（其中C的对应点为）；
（2）在所给的网格图内将补成一个四边形，使得四边形为轴对称图形，画出四边形
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 2025年3月14日是第六个“国际数学日”，某校数学兴趣小组举行了一次数学知识竞赛，购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品．已知每支钢笔的售价比自动铅笔贵，且购买10支自动铅笔和5支钢笔共花费90元．求每支自动铅笔和钢笔的售价分别为多少元．
18. 观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
……
按照以上规律．解决下列问题：
（1）写出第5个等式：________；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，在海平面上，C和D是相距 海里的两处灯塔，灯塔C位于灯塔D 西北方向．某一时刻，一艘渔船位于点A处，测得点A位于灯塔C 的北偏西方向，该渔船沿着正东方向行驶一段时间到达点B处，此时渔船位于灯塔D的北偏东方向，灯塔C的东北方向，求该渔船行驶的距离（线段的长）．（结果保留整数，参考数据：）
20. 如图，在中，点C是直径上方半圆上的一个点，直径平分非直径弦于点G，点E是上一点（不与重合），过点E作，垂足分别为，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
六、（本题满分12分）
21. 为营造健康向上的校园足球文化氛围，丰富学生课余体育文化生活、激发学生对足球的兴趣，增强学生体质，某校举行足球运动员选拔赛，报名参加选拔赛的学生需要参加米折返跑、传准、运射、比赛四项指标的考核，每项满分为100分，确定各项得分后再按照下面表格的比例计算出每人的总成绩．
类别 专项素质 专项技术 实战能力
考核指标 米折返跑 传准 运射 比赛
比例
全校共有300名学生参加这次选拔赛．校学生会从中随机抽取名学生的最终比赛成绩进行了分析，把总成绩（满分100分，所有成绩均不低于60分）分成四个等级（D：；C：；B：；A：），并根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______，______；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）参赛同学小祺四项考核指标米折返跑、传准、运射、比赛成绩分别为90分，85分，95分，80分，请你计算出他的总成绩；
（4）该校计划从报名的300名同学中按比赛成绩从高到低选拔48名足球运动员，请你通过计算估计小祺能否入选．
七、（本题满分12分）
22. 【综合与实践】
在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形，请结合已有经验，对下列特殊四边形进行研究． 定义：在四边形中，若有一个角是直角，且从这个直角顶点引出对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为“双垂四边形”．
【初步探究】
（1）如图①，在“双垂四边形”中，若，则________，的值为________；
（2）如图②，在“双垂四边形”中，，，E为线段上一点，且，求的值；
【拓展应用】
（3）如图③，在“双垂四边形”中，，，E为线段上一动点，且，连接，将沿翻折，得到（点F在的下方）．连接，若，请直接写出的面积．
八、（本题满分14分）
23. 已知抛物线过点，抛物线（其中为常数）．
（1）求的值和的顶点坐标．
（2）已知无论为何值，与总交于一个定点，这个定点的坐标为________；
（3）当时，平移抛物线，使其顶点在抛物线上．平移后的抛物线与轴交点记为，顶点为，点为坐标原点．当时，求面积的最大值．
2024--2025学年度九年级第二次模拟
数学
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】C
【3题答案】
【答案】C
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】D
【9题答案】
【答案】D
【10题答案】
【答案】D
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
【11题答案】
【答案】
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】 ①. ②.
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
【15题答案】
【答案】．
【16题答案】
【答案】（1）见解析 （2）见解析
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
【17题答案】
【答案】每支自动铅笔的售价为元，则每支钢笔的售价为元．
【18题答案】
【答案】（1）
（2），证明见解析
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
【19题答案】
【答案】该渔船行驶的距离（线段的长）为海里．
【20题答案】
【答案】（1）见解析 （2）
六、（本题满分12分）
【21题答案】
【答案】（1）150；36
（2）见解析 （3）小祺同学的总成绩是86分；
（4）小祺同学不能入选．
七、（本题满分12分）
【22题答案】
【答案】（1）；；（2）；（3）12
八、（本题满分14分）
【23题答案】
【答案】（1），顶点坐标为
（2）
（3）

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