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第3章 整式的乘除期末复习综合卷
一．选择题（共10小题）
1．计算：2024﹣1＝（　　）
A．﹣2024 B．2024 C． D．
2．在日本核电站排放核废水期间，我国某监测点监测到极微量的人工放射性核素碘﹣131，其浓度为0.0000963贝克/立方米．数据“0.0000963”用科学记数法可表示为（　　）
A．96.3×106 B．963×10﹣7
C．9.63×10﹣5 D．0.963×10﹣4
3．计算（﹣2xy3）3的结果是（　　）
A．﹣6x3y6 B．﹣8x3y6 C．﹣6x3y9 D．﹣8x3y9
4．下列计算正确的是（　　）
A．x2 x2＝2x2 B．（xy）3＝xy3 C．（x4）2＝x8 D．x2+x2＝x4
5．已知2m+3n＝3，则4m×8n的值为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
6．要使多项式（x﹣p）（x﹣q）不含x的一次项，则（　　）
A．p+q＝0 B．pq＝1 C．p＝q D．pq＝﹣1
7．设（x﹣1）3＝ax3+bx2+cx+d，则a﹣b+c﹣d的值为（　　）
A．2 B．8 C．﹣2 D．﹣8
8．若x2+2（m﹣3）x+9是一个完全平方式，则m的值是（　　）
A．0 B．6 C．0或6 D．6或3
9．如图，长为y（cm），宽为x（cm）的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状，大小完全相同的小长方形，其较短的边长为5cm，下列说法中正确的是（　　）
①小长方形的较长边为y﹣15；
②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为x﹣y+5；
③若y为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；
④当x＝25时，阴影A和阴影B的面积和为定值．
A．①③④ B．①④ C．.①③ D．①②③
10．设m＝a+b，n＝ab，p＝a2+b2，q＝a2﹣b2，其中a＝2023+t，b＝2021+t，给出以下结论：
①当n＝4时，p＝12；
②不论t为何值，．
则下列判断正确的是（　　）
A．①，②都对 B．①，②都错 C．①对，②错 D．①错，②对
二．填空题（共6小题）
11．（﹣1）﹣2+（﹣3）0＝　 　 ．
12．已知x2﹣mx+n＝（x﹣3）（x+4），则（m÷n）m＝　 　 ．
13．若（2x+m）（x﹣3）＝2x2+nx﹣6，则m＝　 　 ，n＝　 　 ．
14．已知ab＝a+b+2023，则（a﹣1）（b﹣1）的值为 　 　 ．
15．若代数式ab（5ka﹣3b）﹣（ka﹣b）（3ab﹣4a2）的值与b无关，则常数k的值 　 　 ．
16．有4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中阴影部分的面积为S，则S可以表示为 　 　 .（用含a、b的代数式表示并化简其结果）
三．解答题（共8小题）
17．先化简，再求值：
（1）（2a﹣3）2﹣2a（2a﹣3），其中；
（2），从1，2，3中选择一个合适的数代入并求值．
18．已知x+y＝﹣2，xy＝﹣4．
（1）求x2+y2的值；
（2）求的值；
（3）设a为常数且a≠0，若（x﹣a）（y﹣a）＝﹣4，求a的值．
19．我们将（a+b）2＝a2+2ab+b2进行变形，如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，ab等．根据以上变形解决下列问题：
（1）已知a2+b2＝8，（a+b）2＝48，则ab＝　 　 ．
（2）已知，若x满足（25﹣x）（x﹣10）＝﹣15，求（25﹣x）2+（x﹣10）2的值．
（3）如图，四边形ABED是梯形，DA⊥AB，EB⊥AB，AD＝AC，BE＝BC，连接CD，CE，若AC BC＝10，则图中阴影部分的面积为 　 　 ．
20．甲、乙两商场对某商品进行促销，已知甲商场原售价为a元，乙商场原售价为b元．
（1）甲商场将该商品降价20%后销售，乙商场将该商品降价2元，若在甲商场花60元能买到的件数，在乙商场需花费70元才能买到，请用含a的代数式表示b；
（2）在（1）的条件下，若甲商场降价后的售价为12元，求b的值；
（3）若a＝b，甲、乙两商场把该商品均按原价进行了两次降价，降价的百分比如下表所示，其中x≠y．
商场 第一次降价百分比 第二次降价百分比
甲 x y
乙
如果你是消费者，你会选择去哪家商场更划算？请说明理由．
21．甲地到乙地全程5.5km，小明从甲地走路去乙地，其中有一段上坡路、一段平路和一段下坡路．如果上坡路的平均速度为2km/h，下坡路的平均速度为5km/h．
（1）若小明走路从甲地到乙地需小时，从乙地走路到甲地需小时，来回走平路分别都用了小时，求出小明从甲地到乙地的上坡路和下坡路的路程（请用列方程组的方法解）；
（2）若小明从甲地到乙地，平路上的平均速度为v（km/h），上坡和下坡走的路程分别为1.5km和2km．若小明从乙地到甲地所用的时间与从甲地到乙地的时间相同．求小明从乙地到甲地平路上走的平均速度（用含v的代数式表示）．
22．我们规定两数a、b之间的一种运算，记作[a，b]：如果ac＝b，那么[a，b]＝c；例如23＝8，记作[2，8]＝3．
（1）根据以上规定求出：[4，64]＝　 　 ；[2024，1]＝　 　 ；
（2）小明发现[5，3]+[5，4]＝[5，12]也成立，并证明如下：
设：[5，3]＝x，[5，4]＝y，
∴5x＝3，5y＝4，
5x 5y＝5x+y＝12，
∴[5，12]＝x+y，
∴[5，3]+[5，4]＝x+y＝[5，12]．
根据以上证明，请计算[2024，6]+[2024，7]＝[2024，　 　 ]．
（3）猜想[4，14]﹣[4，7]＝[4，　 　 ]，并说明理由．
23．现要在长方形草坪中规划出3块大小，形状一样的小长方形（图中阴影部分）区域种植鲜花．
（1）如图1，大长方形的相邻两边长分别为60m和45m，求小长方形的相邻两边长．
（2）如图2，设大长方形的相邻两边长分别为a和b，小长方形的相邻两边长分别为x和y．
①1个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．
②若种植鲜花的面积是整块草坪面积的，求x和y满足的关系式（不含a，b）．
24．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式．再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，能解决一些与非负数有关的问题．如：求代数式最大值或最小值等．
求代数式x2+2x+2的最小值，同学们经过探究，合作，交流，最后得到如下的解法：
解：x2+2x+2＝（x2+2x+12﹣12）+2＝（x+1）2+1，
∵（x+1）2是非负数，
∴当（x+1）2＝0时，（x+1）2+1的值最小，最小值为1．
∴x2+2x+2的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列问题：
（1）求代数式y2﹣6y+11的最小值；
（2）求代数式2a2+8a+5的最小值；
（3）若x﹣y＝1，求﹣x2﹣3x﹣y的最大值．
(
1
)第3章 整式的乘除期末复习综合卷
一．选择题（共10小题）
1．计算：2024﹣1＝（　　）
A．﹣2024 B．2024 C． D．
【分析】根据负整数指数幂的意义进行计算，即可解答．
【解答】解：2024﹣1，
故选：D．
2．在日本核电站排放核废水期间，我国某监测点监测到极微量的人工放射性核素碘﹣131，其浓度为0.0000963贝克/立方米．数据“0.0000963”用科学记数法可表示为（　　）
A．96.3×106 B．963×10﹣7
C．9.63×10﹣5 D．0.963×10﹣4
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【解答】解：数据“0.0000963”用科学记数法可表示为9.63×10﹣5；
故选：C．
3．计算（﹣2xy3）3的结果是（　　）
A．﹣6x3y6 B．﹣8x3y6 C．﹣6x3y9 D．﹣8x3y9
【分析】积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，由此计算即可．
【解答】解：（﹣2xy3）3＝﹣8x3y9，
故选：D．
4．下列计算正确的是（　　）
A．x2 x2＝2x2 B．（xy）3＝xy3 C．（x4）2＝x8 D．x2+x2＝x4
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、x2 x2＝x4，故此选项不符合题意；
B、（xy）3＝x3y3，故此选项不符合题意；
C、（x4）2＝x8，故此选项符合题意；
D、x2+x2＝2x2，故此选项不符合题意；
故选：C．
5．已知2m+3n＝3，则4m×8n的值为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】将4m×8n变形为22m+3n，然后代入求值即可．
【解答】解：∵2m+3n＝3，
∴4m×8n
＝（22）m×（23）n
＝22m×23n
＝22m+3n
＝23
＝8，
故选：C．
6．要使多项式（x﹣p）（x﹣q）不含x的一次项，则（　　）
A．p+q＝0 B．pq＝1 C．p＝q D．pq＝﹣1
【分析】先根据多项式乘多项式的法则计算（x﹣p）（x﹣q），然后令x的一次项系数为0即可求解．
【解答】解：（x﹣p）（x﹣q）
＝x2﹣px﹣qx+pq
＝x2﹣（p+q）x+pq，
因为不含x的一次项，
所以﹣（p+q）＝0，
所以p+q＝0，
故选：A．
7．设（x﹣1）3＝ax3+bx2+cx+d，则a﹣b+c﹣d的值为（　　）
A．2 B．8 C．﹣2 D．﹣8
【分析】方法一：先计算（x﹣1）3的值，然后得出a，b，c，d的值，代入求解即可．
方法二：令x＝﹣1，可得﹣a+b﹣c+d＝﹣8，两边同乘以﹣1可得结果．
【解答】解：方法一：∵（x﹣1）3＝x3﹣3x2+3x﹣1＝ax3+bx2+cx+d，
∴a＝1，b＝﹣3，c＝3，d＝﹣1，
∴a﹣b+c﹣d＝1+3+3+1＝8，
故选：B．
方法一：令x＝﹣1，则（x﹣1）3＝x3﹣3x2+3x﹣1＝﹣a+b﹣c+d＝﹣8，
两边同乘以﹣1得：a﹣b+c﹣d＝8，
故选：B．
8．若x2+2（m﹣3）x+9是一个完全平方式，则m的值是（　　）
A．0 B．6 C．0或6 D．6或3
【分析】运用完全平方式的定义进行求解．
【解答】解：∵x2±6x+9是一个完全平方式，
∴2（m﹣3）＝6或2（m﹣3）＝﹣6，
解得m＝6或m＝0，
故选：C．
9．如图，长为y（cm），宽为x（cm）的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状，大小完全相同的小长方形，其较短的边长为5cm，下列说法中正确的是（　　）
①小长方形的较长边为y﹣15；
②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为x﹣y+5；
③若y为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；
④当x＝25时，阴影A和阴影B的面积和为定值．
A．①③④ B．①④ C．.①③ D．①②③
【分析】①观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为（y﹣15）cm，说法①正确；
②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A，B的较短边长，将其相加可得出阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为（2x+5﹣y）cm，说法②错误；
③由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和为2（2x+5），结合x为定值可得出说法③正确；
④由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和为（xy﹣25y+375）cm2，代入x＝15可得出说法④错误．
【解答】解：①∵大长方形的长为y cm，小长方形的宽为5cm，
∴小长方形的长为y﹣3×5＝（y﹣15）cm，说法①正确
②∵大长方形的宽为x cm，小长方形的长为（y﹣15）cm，小长方形的宽为5cm，
∴阴影A的较短边为x﹣2×5＝（x﹣10）cm，阴影B的较短边为x﹣（y﹣15）＝（x﹣y+15）cm，
∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为x﹣10+x﹣y+15＝（2x+5﹣y）cm，说法②错误；
③∵阴影A的较长边为（y﹣15）cm，较短边为（x﹣10）cm，阴影B的较长边为3×5＝15cm，较短边为（x﹣y+15）cm，
∴阴影A的周长为2（y﹣15+x﹣10）＝2（x+y﹣25），阴影B的周长为2（15+x﹣y+15）＝2（x﹣y+30），
∴阴影A和阴影B的周长之和为2（x+y﹣25）+2（x﹣y+30）＝2（2x+5），
∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长之和为定值，说法③错误；
④∵阴影A的较长边为（y﹣15）cm，较短边为（x﹣10）cm，阴影B的较长边为3×5＝15cm，较短边为（x﹣y+15）cm，
∴阴影A的面积为（y﹣15）（x﹣10）＝（xy﹣15x﹣10y+150）cm2，阴影B的面积为15（x﹣y+15）＝（15x﹣15y+225）cm2，
∴阴影A和阴影B的面积之和为xy﹣15x﹣10y+150+15x﹣15y+225＝（xy﹣25y+375）cm2，
当x＝25时，xy﹣25y+375＝375cm2，说法④正确；
综上所述，正确的说法有①④．
故选：B．
10．设m＝a+b，n＝ab，p＝a2+b2，q＝a2﹣b2，其中a＝2023+t，b＝2021+t，给出以下结论：
①当n＝4时，p＝12；
②不论t为何值，．
则下列判断正确的是（　　）
A．①，②都对 B．①，②都错 C．①对，②错 D．①错，②对
【分析】①结合平方差公式可得（2022+t）2＝5，从而通过配方p＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab代入数据求出p＝12；
②当t＝﹣2022时求出m＝0，所以所给式子此时不成立，即可判断．
【解答】解：①由题意知，n＝（2023+t）（2021+t）＝（2022+t+1）（2022+t﹣1）＝4，
所以（2022+t）2﹣1＝4，即（2022+t）2＝5，
p＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（2t+4044）2﹣2n＝4（t+2022）2﹣2n＝4×5﹣2×4＝12，故①正确．
②当t＝﹣2022时，a＝1，b＝﹣1，则m＝0，此时无意义，故②不正确．
故选：C．
二．填空题（共6小题）
11．（﹣1）﹣2+（﹣3）0＝　2　 ．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
【解答】解：原式＝1+1
＝2．
故答案为：2．
12．已知x2﹣mx+n＝（x﹣3）（x+4），则（m÷n）m＝　12　 ．
【分析】已知等式右边利用多项式乘多项式法则计算，合并同类项后再利用多项式相等的条件求出m与n的值，代入原式计算即可求出值．
【解答】解：∵x2﹣mx+n＝（x﹣3）（x+4）＝x2+4x﹣3x﹣12＝x2+x﹣12，
∴﹣m＝1，n＝﹣12，
解得：m＝﹣1，n＝﹣12，
则原式＝[（﹣1）÷（﹣12）]﹣1＝12．
故答案为：12．
13．若（2x+m）（x﹣3）＝2x2+nx﹣6，则m＝　2　 ，n＝　﹣4　 ．
【分析】已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出m与n的值即可．
【解答】解：∵（2x+m）（x﹣3）＝2x2+（m﹣6）x﹣3m＝x2+nx﹣6，
∴m﹣6＝n，﹣3m＝﹣6，
解得：m＝2，n＝﹣4，
故答案为：2；﹣4．
14．已知ab＝a+b+2023，则（a﹣1）（b﹣1）的值为 　2024　 ．
【分析】根据多项式与多项式的乘法法则把（a﹣1）（b﹣1）化简后把ab＝a+b+2023代入计算即可．
【解答】解：∵ab＝a+b+2023，
∴（a﹣1）（b﹣1）
＝ab﹣a﹣b+1
＝a+b+2023﹣a﹣b+1
＝2024．
故答案为：2024．
15．若代数式ab（5ka﹣3b）﹣（ka﹣b）（3ab﹣4a2）的值与b无关，则常数k的值 　2　 ．
【分析】根据单项式乘多项式、多项式乘多项式、合并同类项法则把原式化简，根据题意列出方程，解方程求出k．
【解答】解：原式＝5ka2b﹣3ab2﹣3ka2b+3ab2+4ka3﹣4a2b
＝（5k﹣3k﹣4）a2b+4ka3，
由题意得：5k﹣3k﹣4＝0，
解得：k＝2，
故答案为：2．
16．有4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中阴影部分的面积为S，则S可以表示为 　2ab﹣b2　 .（用含a、b的代数式表示并化简其结果）
【分析】根据题意，图中空白部分面积为2个直角边为a和b的直角三角形，2个边长为（a+b）和b的直角三角形，边长为（a﹣b）的小正方形面积之和，阴影部分面积为边长为（a+b）的正方形面积减去空白部分的面积．
【解答】解：图中空白部分的面积为：2ab+2（a+b）b+（a﹣b）2＝a2+2b2，
则图中阴影部分的面积为：（a+b）2﹣（a2+2b2）＝2ab﹣b2．
三．解答题（共8小题）
17．先化简，再求值：
（1）（2a﹣3）2﹣2a（2a﹣3），其中；
（2），从1，2，3中选择一个合适的数代入并求值．
【分析】（1）根据完全平方公式、单项式乘多项式的运算法则把原式化简，把a的值代入计算即可；
（2）根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算得到答案．
【解答】解：（1）原式＝4a2﹣12a+9﹣（4a2﹣6a）
＝4a2﹣12a+9﹣4a2+6a
＝9﹣6a，
当a时，原式＝9﹣66；
（2）原式＝（）

，
由题意得：x≠1、2，
当x＝3时，原式．
18．已知x+y＝﹣2，xy＝﹣4．
（1）求x2+y2的值；
（2）求的值；
（3）设a为常数且a≠0，若（x﹣a）（y﹣a）＝﹣4，求a的值．
【分析】（1）根据已知条件，利用完全平方公式进行解答即可；
（2）先把分式进行通分，然后把已知条件整体代入进行计算即可；
（3）先根据多项式乘多项式法则把已知等式的左边展开，然后把x+y＝﹣2，xy＝﹣4代入得到关于a的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵x+y＝﹣2，xy＝﹣4，
∴x2+y2
＝（x+y）2﹣2xy
＝（﹣2）2﹣2×（﹣4）
＝4+8
＝12；
（2）∵x+y＝﹣2，xy＝﹣4，
∴
；
（3）∵x+y＝﹣2，xy＝﹣4，
∴（x﹣a）（y﹣a）＝﹣4，
xy﹣ax﹣ay+a2＝﹣4，
xy﹣a（x+y）+a2＝﹣4，
﹣4+2a+a2＝﹣4，
a2+2a＝0，
a（a+2）＝0，
a＝﹣2或0（舍去），
∴a的值为﹣2．
19．我们将（a+b）2＝a2+2ab+b2进行变形，如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，ab等．根据以上变形解决下列问题：
（1）已知a2+b2＝8，（a+b）2＝48，则ab＝　20　 ．
（2）已知，若x满足（25﹣x）（x﹣10）＝﹣15，求（25﹣x）2+（x﹣10）2的值．
（3）如图，四边形ABED是梯形，DA⊥AB，EB⊥AB，AD＝AC，BE＝BC，连接CD，CE，若AC BC＝10，则图中阴影部分的面积为 　10　 ．
【分析】（1）将a2+b2＝8，（a+b）2＝48代入题干中的推导公式就可求得结果；
（2）设25﹣x＝a，x﹣10＝b，则（25﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，再代入计算即可；
（3）设AD＝AC＝a，BE＝BC＝b，则图中阴影部分的面积为（a+b）（a+b）a2b2[（a+b）2﹣（a2+b2）]2ab＝ab＝10．
【解答】（1）∵a2+b2＝8，（a+b）2＝48，
∴ab20，
（2）设25﹣x＝a，x﹣10＝b，
由（a+b）2＝a2+2ab+b2进行变形得，
a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
∴（25﹣x）2+（x﹣10）2
＝[（25﹣x）+（x﹣10）]2﹣2（25﹣x）（x﹣10）
＝152﹣2×（﹣15）
＝225+30
＝255，
（3）设AD＝AC＝a，BE＝BC＝b，
则图中阴影部分的面积为（a+b）（a+b）（a2+b2）
[（a+b）2﹣（a2+b2）]
2ab
＝ab
＝10
20．甲、乙两商场对某商品进行促销，已知甲商场原售价为a元，乙商场原售价为b元．
（1）甲商场将该商品降价20%后销售，乙商场将该商品降价2元，若在甲商场花60元能买到的件数，在乙商场需花费70元才能买到，请用含a的代数式表示b；
（2）在（1）的条件下，若甲商场降价后的售价为12元，求b的值；
（3）若a＝b，甲、乙两商场把该商品均按原价进行了两次降价，降价的百分比如下表所示，其中x≠y．
商场 第一次降价百分比 第二次降价百分比
甲 x y
乙
如果你是消费者，你会选择去哪家商场更划算？请说明理由．
【分析】（1）根据甲商场花60元能买到的件数，在乙商场需花费70元才能买到，列出式子，即可求解；
（2）先求出a的值，代入即可求出b的值；
（3）表示出甲、乙商场按原价进行了两次降价后的价格，然后比较大小，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：在甲商场购买的件数为：，
在乙商场购买的件数为：，
整理得：，
56a﹣60b＝﹣120，
ba+2；
（2）由题意得：（1﹣20%）a＝12，
解得：a＝15，
∴56a﹣60b＝﹣120，
56×15﹣60b＝﹣120，
解得：b＝16；
（3）由题意得：甲商场按原价进行了两次降价后的价格为：a（1﹣x） （1﹣y），
乙商场按原价进行了两次降价后的价格为：b（1﹣y） （1），
b（1） （1）﹣a（1﹣x） （1﹣y），
∵a＝b，
∴原式＝a（1） （1）﹣a（1﹣x） （1﹣y）
＝a[1﹣（x+y）+（）2]﹣a（1﹣x﹣y+xy）
＝a[1﹣x﹣y+（）2]﹣a（1﹣x﹣y+xy）
＝a（1﹣x﹣y）+a（）2﹣a（1﹣x﹣y）﹣axy
＝a[（）2﹣xy]
＝a
＝a 0，
∴选择去甲商场更划算．
21．甲地到乙地全程5.5km，小明从甲地走路去乙地，其中有一段上坡路、一段平路和一段下坡路．如果上坡路的平均速度为2km/h，下坡路的平均速度为5km/h．
（1）若小明走路从甲地到乙地需小时，从乙地走路到甲地需小时，来回走平路分别都用了小时，求出小明从甲地到乙地的上坡路和下坡路的路程（请用列方程组的方法解）；
（2）若小明从甲地到乙地，平路上的平均速度为v（km/h），上坡和下坡走的路程分别为1.5km和2km．若小明从乙地到甲地所用的时间与从甲地到乙地的时间相同．求小明从乙地到甲地平路上走的平均速度（用含v的代数式表示）．
【分析】（1）设从甲地到乙地上坡路长xkm，下坡路长ykm，然后根据路程，时间，速度之间的等量关系列方程组求解；
（2）设从乙地到甲地平路上走的平均速度为a（km/h），然后根据小明从乙地到甲地所用的时间与从甲地到乙地的时间相同列方程求解．
【解答】解：（1）设从甲地到乙地上坡路长xkm，下坡路长ykm，根据题意可得：
，
解得：，
∴小明从甲地到乙地的上坡路路程为2km，下坡路的路程为2.5km；
（2）∵小明从甲地到乙地，平路上的平均速度为v（km/h），上坡和下坡走的路程分别为1.5km和2km，
∴从甲地到乙地的平路路程为5.5﹣1.5﹣2＝2（km），
设从乙地到甲地平路上走的平均速度为a（km/h），根据题意可得：
，
解得：a．
经检验a是原方程的解，且符合题意，
∴小明从乙地到甲地平路上走的平均速度为（km/h）．
22．我们规定两数a、b之间的一种运算，记作[a，b]：如果ac＝b，那么[a，b]＝c；例如23＝8，记作[2，8]＝3．
（1）根据以上规定求出：[4，64]＝　3　 ；[2024，1]＝　0　 ；
（2）小明发现[5，3]+[5，4]＝[5，12]也成立，并证明如下：
设：[5，3]＝x，[5，4]＝y，
∴5x＝3，5y＝4，
5x 5y＝5x+y＝12，
∴[5，12]＝x+y，
∴[5，3]+[5，4]＝x+y＝[5，12]．
根据以上证明，请计算[2024，6]+[2024，7]＝[2024，　42　 ]．
（3）猜想[4，14]﹣[4，7]＝[4，　2　 ]，并说明理由．
【分析】（1）根据如果ac＝b，那么[a，b]＝c，正确将原式进行变形即可得出答案；
（2）设[2024，6]＝m，[2024，7]＝n，则2024m＝6，2024n＝7，再根据同底数幂的乘法得到202442＝m+n，进而得到202442＝m+n，最终得出答案；
（3）设[4，14]＝a，[4，7]＝b，则4a＝14，4b＝7，根据同底数幂的除法可得[4，2]＝a﹣b，进而可得出答案．
【解答】解：（1）设[4，64]＝x，
则4x＝64，
∴x＝3，
设[2024，1]＝y，
则2024y＝1，
∴y＝0．
故答案为：3；0．
（2）设[2024，6]＝m，[2024，7]＝n，
则2024m＝6，2024n＝7，
∴2024m 2024n＝2024m+n＝42，
∴202442＝m+n，
∴[2024，6]+[2024，7]＝[2024，42]．
故答案为：42．
（3）设[4，14]＝a，[4，7]＝b，
∴4a＝14，4b＝7，
∴4a÷4b＝4a﹣b＝14÷7＝2，
∴[4，2]＝a﹣b，
∴[4，14]﹣[4，7]＝[4，2]．
故答案为：2．
23．现要在长方形草坪中规划出3块大小，形状一样的小长方形（图中阴影部分）区域种植鲜花．
（1）如图1，大长方形的相邻两边长分别为60m和45m，求小长方形的相邻两边长．
（2）如图2，设大长方形的相邻两边长分别为a和b，小长方形的相邻两边长分别为x和y．
①1个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．
②若种植鲜花的面积是整块草坪面积的，求x和y满足的关系式（不含a，b）．
【分析】（1）根据大长方形的相邻两边长分别为60m和45m，列出方程组计算可求小长方形的相邻两边长．
（2）①分别求出1个小长方形的周长与大长方形的周长，再求出它们的比值即可求解；
②根据长方形的面积公式即可求解．
【解答】解：（1）依题意有：，
解得．
故小长方形的相邻两边长是10，25；
（2）①∵1个小长方形的周长为2（x+y），1个大长方形的周长为2（2x+y+x+2y）＝6（x+y），
∴2（x+y）：6（x+y）．
故1个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是定值；
②依题意有：（2x+y）（x+2y）＝3×3xy，
化简得x2﹣2xy+y2＝0．
故x和y满足的关系式为x2﹣2xy+y2＝0．
24．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式．再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，能解决一些与非负数有关的问题．如：求代数式最大值或最小值等．
求代数式x2+2x+2的最小值，同学们经过探究，合作，交流，最后得到如下的解法：
解：x2+2x+2＝（x2+2x+12﹣12）+2＝（x+1）2+1，
∵（x+1）2是非负数，
∴当（x+1）2＝0时，（x+1）2+1的值最小，最小值为1．
∴x2+2x+2的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列问题：
（1）求代数式y2﹣6y+11的最小值；
（2）求代数式2a2+8a+5的最小值；
（3）若x﹣y＝1，求﹣x2﹣3x﹣y的最大值．
【分析】（1）将y2﹣6y+11转化为（y﹣3）2+2，即可求出最小值；
（2）将2a2+8a+5转化为2（a+2）2﹣3，即可求出最小值；
（3）将﹣x2﹣3x﹣y转化为﹣（x+2）2+5，即可求出最大值．
【解答】解：（1）y2﹣6y+11
＝y2﹣6y+32﹣32+11
＝（y﹣3）2+2，
∵（y﹣3）2是非负数，
∴当（y﹣3）2＝0时，（y﹣3）2+2的值最小，最小值为2，
∴y2﹣6y+11的最小值是2；
（2）2a2+8a+5
＝2（a2+4a）+5
＝2（a2+4a+4﹣4）+5
＝2[（a+2）2﹣4]+5
＝2（a+2）2﹣8+5
＝2（a+2）2﹣3，
∵（a+2）2是非负数，
∴2（a+2）2是非负数，
∴当2（a+2）2＝0时，2（a+2）2﹣3的值最小，最小值是﹣3，
∴2a2+8a+5的最小值是﹣3；
（3）∵x﹣y＝1，
∴y＝x﹣1，
∴﹣x2﹣3x﹣y
＝﹣x2﹣3x﹣（x﹣1）
＝﹣x2﹣3x﹣x+1
＝﹣x2﹣4x+1
＝﹣（x2+4x）+1
＝﹣（x2+4x+4﹣4）+1
＝﹣[（x+2）2﹣4]+1
＝﹣（x+2）2+4+1
＝﹣（x+2）2+5，
∵（x+2）2为非负数，
∴﹣（x+2）2为非正数，
∴当﹣（x+2）2＝0时，﹣（x+2）2+5有最大值，最大值是5
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