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九下数学第16周《确定性思维在数学解题中的应用》
【板块一：确定性问题】
1．如图，△ABC中，∠ABC＝α．点D在直线BC上，连接AD，将线段AD绕点D逆时针旋转α得到DE，连接AE，CE．
根据条件及图1，你发现哪些结论？试说明理由。根据图2，你再编写一道旋转类几何题
2．将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB′，记旋转角为α，连接BB′，过点D作DE垂直于直线BB′，垂足为点E，连接DB′，CE．
思考：三角形满足什么条件该三角形确定？确定的三角形有何价值？
本题中：变中不变的是什么？模型有哪些？轨迹是什么？
3．问题情境：如图，矩形ABCD，AB=3，BC=4。把矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形纸片AB′C′D′，点B，C，D的对应点为B′，C′，D′。设点B′落在矩形ABCD边或对角线所在直线上。请提出关于线段或角这两类问题并给出解决问题的思路。
【问题解决】
1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC＝10，∠B＝45°，tanC，则⊙O的半径是　 　 ．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4，点P在边BC上，联结AP，将△ABP绕着点A旋转，使得点P与边AC的中点M重合，点B的对应点是点B′，则BB′的长等于　 　 ．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D是AB上一点，连接CD，将△ACD以直线CD为对称轴翻折，得到△A'CD，A′C交AB与点E，当A′D⊥AB时，则AD的长是　 　 ．
4．如图Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为 　 　 ．
5．半圆O的直径AB＝8，C为半圆上一点．
（1）若AC＝6，则BC的长是　 　 ；
（2）①如图①，若D是的中点，且AD＝2，求BC的长；
②如图②，若D、E是的三等分点，且AD＝2，直接写出BC的长．
【板块二：模型构造求最值】
1．如图，在△ABC中，AB＝2，∠ACB＝60°，DC⊥BC，DC＝BC，则AD的长的最大值为 　 　 ．
2．如图，PC是△PAB的角平分线，若AC＝3，BC＝1，则△PAB的面积最大值是 　 　 ．
3．如图，在Rt△ABC中，P是斜边AB边上一点，且BP＝2AP，分别过点A、B作l1、l2平行于CP，若CP＝4，则l1与l2之间的最大距离为 　 　 ．
4．如图，C是∠AOB平分线上的一点，过点C作CP⊥OA，垂足为P，Q是直线OB上的一个动点．若∠AOB＝60°，CP＝2，则的最大值为 　 　 ．
5.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E、F分别是边AB、AD上的点，将矩形ABCD沿着直线EF折叠，使点A与矩形ABCD内部的点P重合，求BP的最小值
【例题】
1．如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止，连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连接EG、FG．
（1）设AE＝x时，△EGF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）P是MG的中点，请直接写出点P的运动路线的长．
2．如图，将边长为3的正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M落在边AD上（点M不与点A，D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，折痕分别与边AB，CD交于点E，F，连接BM．
（1）求证：∠AMB＝∠BMP；
（2）若DP＝1，求MD的长．
∴，
∴∠ACE＝∠ABC＝90°，
∴∠ECB＝∠ACE+∠BCA＝135°；
（3）解：依题意，点D在直线BC上，
∵BA＝BC，∠ABC＝α＝120°，
∴∠BAC＝∠BCA＝30°，
∵线段AD绕点D逆时针旋转120°得到DE，连接AE，CE，
∴DA＝AE，∠ADE＝α＝120°，
则AD＝DE，∠DAE＝30°，
∴△ADE∽△ABC；
当D在线段CB上时，如图：
∵BA＝BC，∠ABC＝α＝120°，
∴AB＝AC，∠ACB＝∠BAC＝30°，
过点B作BH⊥AC，
∵BA＝BC，
∴，AC＝2AH，
∴，
∴，
∵线段AD绕点D逆时针旋转120°得到DE，连接AE，CE，
∴DA＝AE，∠ADE＝α＝120°，
则AD＝DE，∠DAE＝30°，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵，
即，
∴△ABD∽△ACE，
∴∠ACE＝∠ABD＝120°，
∴，
则∠ECF＝180°﹣∠ACE﹣∠ACB＝30°，
∵EF⊥BC，且，
∴，
∴BD＝2，
则CD＝8﹣2＝6，
此时DF＝CD+CF＝6+3＝9；
当D在CB的延长线上时，如图：
∵△ADE∽△ABC，
∴，
∵∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵，
即，
∴△ABD∽△ACE，
∴，
∴∠ACE＝∠ABD＝180°﹣120°＝60°，
∠FCE＝60°﹣∠ACB＝30°，
设DB＝y，
∵EF⊥BC，
∴在Rt△EFC，∠ECF＝30°，
∴，
∴y＝1，
则，
∴DF＝CD﹣CF＝1+8﹣3＝6．
当D在BC的延长线上时，过点D作DH⊥AB的延长线于点H，如图：
∵∠ABC＝120°，DH⊥AB，
∴∠HBD＝60°，∠AHD＝90°，
∴∠HDB＝30°，
设，
设∠CAD＝x°，则∠ADC＝∠ACD﹣x°＝30°﹣x°，
∴∠EDF＝180°﹣∠ADC﹣∠ADE＝180°﹣（30°﹣x°）﹣120°＝30°+x°，
则∠HAD＝∠BAC+∠CAD＝30°+x°＝∠EDF，
∵EF⊥CB，DH⊥AB，
∴∠EFD＝∠AHD＝90°，
∵线段AD绕点D逆时针旋转120°得到DE，连接AE，CE，
∴AD＝DE，
∴△AHD≌△DFE（AAS），
∴，
则，
即DF＝9．
综上：DF＝9或6．
2．将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB′，记旋转角为α，连接BB′，过点D作DE垂直于直线BB′，垂足为点E，连接DB′，CE．
（1）如图1，当α＝60°时，△DEB′的形状为 　等腰直角三角形　 ；
（2）当0°＜α＜360°且α≠90°时，
①（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；
②当四边形B′ECD是平行四边形时，请直接写出的值．
【解答】解：（1）由题知∠BAB′＝60°，∠BAD＝90°，AB＝AD＝AB′，
∴∠B′AD＝30°，且△ABB′为等边三角形，
∴∠AB′B＝60°，，
∴∠DB′E＝180°﹣60°﹣75°＝45°，
∵DE⊥BB′，
∴∠DEB′＝90°，
∴∠B′DE＝45°，
∴△DEB′为等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形；
（2）①（1）中的结论仍然成立；理由如下：
连接BD，如图2：
∵AB＝AB′，∠BAB′＝α，
∴，
∵∠B′AD＝α﹣90°，AD＝AB′，
∴，
∴∠EB′D＝∠AB′D﹣∠AB′B＝45°，
∵DE⊥BB′，
∴∠EDB′＝∠EB′D＝45°，
∴△DEB′是等腰直角三角形，
故（1）中的结论仍然成立；
②四边形B′ECD是平行四边形时，分两种情况讨论：
第一种：以CD为边时，则CD∥B′E，此时点B′在线段BA的延长线上，
如图3：
此时点E与点A重合，
∴BE＝B′E，得；
②当以CD为对角线时，如图4：
此时点F为CD中点，
∵DE⊥BB′，B′C∥DE，
∴CB′⊥BB′，
∵∠BCD＝∠BB′C＝∠CB′F＝90°，
∴∠CBB′+∠BCB′＝∠FCB′+∠BCB′，
∴∠CBB′＝∠FCB′，
∴△CB′F∽△BB′C，
∴，
∴BB′＝2CB′，CB′＝2B′F，
∴BB′＝4B′F，
∵B′E＝2B′F，
∴BE＝6B′F，
∴，
综上：的值为3或1．
3．如图，将四边形ABCD绕点A旋转，使得点B的对应点 B'恰好落在射线BD上，旋转后的四边形为 AB'C'D'，连接BC′交AD于点E．
（1）如图①，若四边形ABCD为正方形，则四边形ABDC′是 　①　 .（填序号）
①平行四边形②矩形③菱形
（2）如图②，若四边形ABCD为矩形，
（Ⅰ）求证AE＝DE；
（Ⅱ）若 AB＝6，BC＝8，B'C'交AD于点F，则EF的长为 　　 ；
（3）如图③，若BC'与AD互相平分，求证AB∥CD．
【解答】（1）解：由旋转可知：AB＝DC′，AB∥DC′，
∴四边形ABDC′是平行四边形，
故答案为：①；
（2）（Ⅰ）证明：连接AC′，C′D，AC，AC与BD相交于点O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB，
∵AB＝AB'，
∴∠OBA＝∠AB'O，
∵∠OAB＝∠C'AB'，
∴∠AB'O＝∠C'AB'，
∴AC′∥BD，
∵AC′＝AC＝BD，
∴四边形ABDC′是平行四边形，
∴AE＝DE；
（Ⅱ）解：由旋转可知：AB＝AB'，
∴∠ABB′＝∠AB'B，
∵∠AB′C′＝∠ABC＝90°，
∴∠CBD＝∠DB′F，
∵AD∥BC，
∴∠CBD＝∠B′DF，
∴∠B′DF＝∠DB′F，
∴FD＝FB′，
∴AF＝AD﹣FD＝8﹣FB′，
在Rt△AB′F中，根据勾股定理得：AF2＝AB′2+FB′2，
∴（8﹣FB′）2＝62+FB′2，
∴FB′，
∵DE＝AE＝4，
∴EF＝DE﹣FD＝DE﹣FB′＝4，
故答案为：．
（3）证明：连接AC′，C′D，连接AC交BD于点O，
∵BC′与AD互相平分，
∴四边形ABDC′是平行四边形，
∴AC′∥BD，AC′＝BD，
∴∠AB'B＝∠C'AB'，AC＝AC′＝BD，
∵AB＝AB'，
∴∠AB'B＝∠ABB'，
∵∠C'AB'＝∠CAB，
∴，
∴OA＝OB，
∴AC﹣OA＝BD﹣OB，
∴OC＝OD，
∴，
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠OCD＝∠CAB，
∴AB∥CD．
4．综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师让每个组准备了一张矩形纸片ABCD．如图1，把矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形纸片AB′C′D′，点B，C，D的对应点为B′，C′，D′，如图2，连接AC、BD，当C′在AD的延长线上时，延长C′B′，交BC于点E，试判断四边形BDC′E的形状，并说明理由．
数学思考：（1）请你解答老师提出的问题；
深入探究：（2）老师将如图1中的矩形ABCD纸片绕点A逆时针方向再次旋转，并让同学们提出新的问题．
①“奋进小组”提出问题：如图3，当点B′落在AD上时，连接CC′，取CC′的中点M，连接AM、AC，试猜想AM、AB、BC三条线段的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；
②“团结小组”提出问题：如图4，当点B′落在BD上时，连接DD′，DD′交B′C′于点F．若CD＝3，AD＝4，求DF的长．请你思考此问题，直接写出结果．
【解答】解：（1）四边形BDC′E是平行四边形，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，OA＝OD，
∴∠ACB＝∠CAD，∠OAD＝∠ODA，
∴∠ACB＝∠ADB，
又∵∠AC′B′＝∠ACB，
∴∠AC′B′＝∠ADB，
∴C′B′∥BD，
∴四边形BDC′E是平行四边形；
（2）①AM；理由如下：
如图3，连接AC′，由旋转可得AC'＝AC，∠CAC'＝∠BAB'＝90°，
∴CC'，
又∵M是CC′的中点，
∴AMCC'，
②过点A作AE⊥BD于点E，如图4，
∵AB＝CD＝3，AD＝4，
∴BD5，
又∵S△ABDBD AEAD AB，
∴AE，
又∵AB′＝AB，
∴EB'＝EB，
∴DB'＝DB﹣BB'＝5，
又∵∠BAB′＝∠DAD′，AB′＝AB，AD′＝AD，
∴∠AB′E＝∠ADD′，
∴∠BDF＝∠BDA+∠ADF＝∠BDA+∠ABD＝90°，
又∵∠EAB′+∠AB′E＝∠DB′F+∠AB′E＝90°，
∴∠EAB′＝∠DB′F，
∴△EAB′∽△DB′F，
∴，即，
解得：DF．
5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC＝10，∠B＝45°，tanC，则⊙O的半径是　　 ．
【解答】解：过点A作AH⊥BC于H，作直径AD，连接BD，
在Rt△AHC中，tanC，即，
设AH＝3x，则HC＝2x，
在Rt△ABH中，∠ABH＝45°，
∴BH＝AH＝3x，
由题意得，2x+3x＝10，
解得，x＝2，
∴AH＝BH＝6，
由勾股定理得，AB6，
由圆周角定理得，∠D＝∠C，
∴tanD＝tanC，
∴BD＝4，
∴AD2，
∴⊙O的半径为，
故答案为：．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4，点P在边BC上，联结AP，将△ABP绕着点A旋转，使得点P与边AC的中点M重合，点B的对应点是点B′，则BB′的长等于　　 ．
【解答】解：如图，延长AB'交BC于E，过点B'作B'D⊥AB于点D，
∵∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4，
∴AC2，
∵点M是AC中点，
∴AM，
∵将△ABP绕着点A旋转，使得点P与边AC的中点M重合，
∴AP＝AM，∠PAB＝∠CAE，AB＝AB'＝2，
∵AP2＝AB2+PB2，
∴PB＝1，
∵2，且∠ABP＝∠ABC＝90°，
∴△ABP∽△CBA，
∴∠PAB＝∠C，
∴∠C＝∠CAE，
∴CE＝AE，
∵AE2＝AB2+BE2，
∴CE2＝4+（4﹣CE）2，
∴CE＝AE，
∴BE，
∵B'D∥BC，
∴△AB'D∽△AEB，
∴，
∴，
∴AD，B'D，
∴BD，
∴BB'，
故答案为：．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D是AB上一点，连接CD，将△ACD以直线CD为对称轴翻折，得到△A'CD，A′C交AB与点E，当A′D⊥AB时，则AD的长是　　 ．
【解答】解：过点C作CH⊥AB于点H．
∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝10，CH，
由折叠可知A'C＝AC＝8，∠A＝∠A'，AD＝A'D，
∵A′D⊥AB，
∴△A'DE∽△ACB，△A'DE∽△CHE，
设AD＝A'D＝x，则CE＝8﹣x，A'E，
∴，即，
解得x，
即AD长为．
故答案为．
8．如图Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为 　　 ．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，
∴BC2，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴PO＝QO，CO＝AO，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作BC的垂线OP′，
∵∠ACB＝∠P′CO，∠CP′O＝∠CAB＝90°，
∴△CAB∽△CP′O，
∴，
∴，
∴OP′，
∴则PQ的最小值为2OP′，
故答案为：．
9．半圆O的直径AB＝8，C为半圆上一点．
（1）若AC＝6，则BC的长是　2　 ；
（2）①如图①，若D是的中点，且AD＝2，求BC的长；
②如图②，若D、E是的三等分点，且AD＝2，直接写出BC的长．
【解答】解：（1）如图1中，连接AC．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC2．
故答案为2．
（2）如图1中，连接OD交AC于H，连接OC，则OA＝OC＝OD＝4．
∵D是的中点，
∴，
∴CD＝AD＝2，OD垂直平分线段AC，
设DH＝x，则OH＝4﹣x，
∵AC⊥OD，
∴∠CHD＝∠CHO＝90°，
∴CD2﹣DH2＝CO2﹣OH2，
∴22﹣x2＝42﹣（4﹣x）2，
解得x，
∴CH，
∵OD垂直平分AC，
∴AC＝2CH，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC7．
②连接AE，AC，过点A作AH⊥ED交ED的延长线于H，过的C作CI⊥DE交DE的延长线于I．
∵D，E，C是的三等分点，
∴，
∴EC＝DE＝AD＝2，∠DEA＝∠EAC，
∴DE∥AC，
∵∠H＝∠I＝90°，
∴∠HAC＝180°﹣90°＝90°，
∴四边形AHIC是矩形，
∴AH＝CI，AC＝HI，
∵AD＝CE，∠H＝∠I＝90°，
∴Rt△AHD≌Rt△CIE（HL），
∴EI＝DH，设DH＝x，则HE＝x+2，
∵∠H＝90°，
∴AE2﹣EH2＝AH2＝AD2﹣DH2，
∴（）2﹣（x+2）2＝22﹣x2，
解得x，
∵EI＝DH，
∴HI＝DH+DE+EI2，
∴AC＝HI，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC．
10．如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D．
（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；
（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；
（3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长．
【解答】（1）证明：连接OA．
∵AB＝AC，
∴，
∴OA⊥BC，
∴∠BAO＝∠CAO，
∵OA＝OB，
∴∠ABD＝∠BAO，
∴∠BAC＝2∠ABD．
（2）解：如图2中，延长AO交BC于H．
①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠DBC＝2∠ABD，
∵∠DBC+∠C+∠BDC＝180°，
∴8∠ABD＝180°，
∴∠C＝3∠ABD＝67.5°．
②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD，
∴∠C＝4∠ABD，
∵∠DBC+∠C+∠CDB＝180°，
∴10∠ABD＝180°，
∴∠BCD＝4∠ABD＝72°．
③若DB＝DC，则D与A重合，这种情形不存在．
综上所述，∠C的值为67.5°或72°．
（3）如图3中，作AE∥BC交BD的延长线于E．
则，
∴，设OB＝OA＝4a，OH＝3a，
∵BH2＝AB2﹣AH2＝OB2﹣OH2，
∴25﹣49a2＝16a2﹣9a2，
∴a2，
∴BH2＝7a2，
∴BH
∴BC＝2BH．
11．如图，在△ABC中，AB＝2，∠ACB＝60°，DC⊥BC，DC＝BC，则AD的长的最大值为 　　 ．
【解答】解：过点D作DE⊥AC，交AC延长线于E，如图所示：
∵∠ACB＝60°，DC⊥BC，
∴∠DCE＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
∴DECD，
设DC＝BC＝x，AC＝y，
则DEx，CEx，
∴AE＝AC+CE＝yx，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2＝AE2+DE2＝（yx）2+（x）2＝x2+y2xy，
∵（x﹣y）2≥0，
∴xy（x2+y2），
当x＝y时，取等号，
∴AD2＝x2+y2xy≤x2+y2（x2+y2），
∴当x＝y时，AD最大，
∵∠ACB＝60°，
∴AD最大时，△ABC为等边三角形，
此时，x＝y＝AB＝2，
AD2＝x2+y2（x2+y2）＝22+22（22+22）＝8+4，
∵AD＞0，
∴AD，
故答案为：．
解法2：如图，在AB的下方作以AB为斜边的等腰直角三角形ABF，连接CF，
则BABF，∠ABF＝45°，
∵DC⊥BC，DC＝BC，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BDBC，∠CBD＝45°，
∴，∠ABF+∠ABC＝∠CBD+∠ABC，
即∠FBC＝∠ABD，
∴△FBC∽△ABD，
∴，
∴ADCF，
当C在△ABC外接圆最高点处时，△ABC为等边三角形，CF取得最大值1，
∴AD最大值为，
故答案为：．
12．“关联”是解决数学问题的重要思维方式．角平分线的有关联想就有很多……
【问题提出】
（1）如图①，PC是△PAB的角平分线，求证：．
小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点B作BD∥PA，交PC的延长线于点D，利用“三角形相似”．小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点C分别作CD⊥PA交PA于点D，作CE⊥PB交PB于点E，利用“等面积法”．
请根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明．
【理解应用】
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，使点C恰好落在边AB上的E点处，落AC＝1，AB＝2，则DE的长为 　　 ．
【深度思考】
（3）如图③，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD为∠BAC的角平分线．AD的垂直平分线EF交BC延长线于点F，连接AF，当BD＝3时，AF的长为 　6　 ．
【拓展升华】
（4）如图④，PC是△PAB的角平分线，若AC＝3，BC＝1，则△PAB的面积最大值是 　3　 ．
【解答】（1）证明：选择小明的思路，如图，过点BD∥AP交PC的延长线于点D，
∵BD∥AP，
∴∠APC＝∠D，
又∵∠ACP＝∠BCD，
∴△ACP∽△BCD，
∴，
∵PC是△PAB的角平分线，
∴∠APC＝∠BPC，
∴∠BPC＝∠D，
∴PB＝BD，
∴；
选择小红的思路，如图，过点C分别作CD⊥PA交PA于点D，作CE⊥PB交PB于点E，作PF⊥BC于点F，
∵PC是△PAB的角平分线，
∴CD＝CE，
∴，，，，
∴BC PF＝PB CE，PA CD＝AC PF，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵将△ACD沿AD所在直线折叠点C恰好落在边AB上的E点处，
∴AD平分∠BAC，
∴，
∵AC＝1，AB＝2，
∴，
∴BD＝2CD，
∵∠BAC＝90°，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（3）解：∵AD为∠BAC的角平分线，
∴，∠BAD＝∠DAC，
∵△ABC中，AB＝6，AC＝4，BD＝3，
∴，
∴CD＝2，
∵AD的垂直平分线EF交BC延长线于F，
∴AF＝DF，
∴∠FAD＝∠FDA，
∵∠FAD＝∠FAC+∠DAC，∠FDA＝∠B+∠BAD，
∴∠B＝∠FAC，
∵∠AFB＝∠CFA，
∴△FBA∽△FAC，
∴，
∴，
∴AF＝6，
故答案为：6．
（4）解：如图，在AP的延长线上截取PE＝PB，
作△APB的外角平分线PD，交AB的延长线于D，
∵PD是△APB的外角平分线，
∴∠BPD＝∠EPD，
又∵PD＝PD，
∴△BPD≌△EPD（SAS），
∴DB＝DE，∠BDP＝∠EDP，
∴，
∵PE＝PB，DB＝DE，
∴，
∵PC是△APB的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴BD＝2，
∴CD＝3，
∵，
∴点P在以半径为的⊙O上，
如图，当P运动到点P′，P′O⊥AD时，
△APB的面积最大，最大值为，
故答案为：3．
13．如图，在Rt△ABC中，P是斜边AB边上一点，且BP＝2AP，分别过点A、B作l1、l2平行于CP，若CP＝4，则l1与l2之间的最大距离为 　9　 ．
【解答】解：方法一：如图，当点A在P的左侧时，以AB为直径作圆，延长AC交l2于点D，过点C作CG⊥l2于点G，取BD的中点E，连接CE，
∵CP∥BD，BP＝2AP，CP＝4，
∴，
∴BD＝12，
∵∠BCD＝90°，E是BD的中点，
∴CEBD＝6，
设l1与l2之间的距离为d，
则dCG6＝9，
则l1与l2之间的最大距离为9；
如图，当点A在P的右侧时，过点A作AG⊥l2于点G，延长CP交AG于点F，
∴PF∥BG，
∴△APF∽△ABG，
∴，
∵BP＝2AP，
设BP＝2x，AP＝x，PF＝a，
∴BG＝3a，AG＝3AF，
过点C作CD⊥l1于点D，
∵l1∥l2，
∴CE⊥l2，
得矩形CEGF，
∴EG＝CF＝CP+PF＝4+a，
∴BE＝EG﹣BG＝4+a﹣3a＝4﹣2a，
在Rt△APF中，根据勾股定理，得
AF，
∴FG＝2AF＝2，
∴CE＝FG＝2，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠CAD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠CCB＝90°，
∴∠CAD＝∠ECB，
∴△CAD∽△ECB，
∴，
∵AD＝EG＝4+a，CE＝2，BE＝4﹣2a，CD＝AF，
∴，
∴（）2＝（2﹣a）（4+a）＝﹣a2﹣2a+8，
∴AF2＝﹣a2﹣2a+8＝﹣（a+1）2+9，
因为二次函数开口向下，当对称轴a＝﹣1时，AF取最大值是9，
a＝﹣1反映的是A在B正上方的左边，
∴a＝﹣1时，AF2取得最大值为9，
∴AF＝3，
∴AG＝3AF＝9，
∴l1与l2之间的最大距离为9．
方法二：如图，延长AC交l2于M点，
∵CP∥l2，BP＝2AP，CP＝4，
∴，
∴MB＝12，
∵∠ACB＝90°
∴∠MCB＝90°，
∴定边定角隐圆，过点C，A作垂直CH，AF，垂足分别为H，F，
距离最大就是AF最大，也就是CH最大，
所以此时CHBM＝6，
∴，
∴AF＝9．
故答案为：9．
14．【经验积累】
如图①，在正方形ABCD中，E是AB上任意一点，连接DE，CE，过点A作AF⊥DE，垂足为F．
（1）求证AD2＝DF DE．
（2）（Ⅰ）求证△CDF∽△EDC；
（Ⅱ）若，则的值为 　　 ．
【方法迁移】
（3）如图②，C是∠AOB平分线上的一点，过点C作CP⊥OA，垂足为P，Q是直线OB上的一个动点．若∠AOB＝60°，CP＝2，则的最大值为 　　 ．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAE＝90°，
∴∠AED+∠ADE＝90°，
∵AF⊥DE，
∴∠DAF+∠ADE＝90°，
∴∠ADF＝∠AED，
∵∠ADF＝∠EDA，
∴△ADF∽△EDA，
∴，
∴AD2＝DF DE．
（2）解①∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，
由（1）知，
∴，
∵∠CDF＝∠EDC，
∴△CDF∽△EDC，
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）解：方法一：过C作CE⊥OB于点E，则CE＝CP＝2，过点E作EF⊥CQ，连接PF，
由（1）中思路很容易得出CE2＝CF CQ，
∴CP2＝CE CQ，
∴，
∵∠PCF＝∠PCQ，
∴△CPF∽△CQP，
∴，
∴要求最大值，则可求PF最小值即可，
∵∠CFE＝90°，CE＝2，
∴点F在以CE为直径的圆上运动，
取CE中点为M，则FM＝CMCE＝1，
∴PF≥PM﹣FM，当且仅当P、F、M三点共线时取等，
∵∠AOB＝60°，
∴∠PCE＝120°，
延长EC到点N，过P作PN⊥EN于点N，则∠PCN＝60°，
∵PC＝2，
∴，
∴MN＝MC+CN＝2，
在Rt△PMN中，PM，
∴PF，
∴，
即最大值为，
故答案为：．
方法二：截取PM＝PC，延长PC至点D，使PD＝PO＝2，在PQ上取点N使得∠PNM＝∠POQ＝120°，如图：
∴△PMN∽△PQO，
∴PM PO＝PN PQ，
∵PC＝PM，PD＝PO，
∴PC PD＝PN PQ，
∴△PND∽△PCQ，
∴，
∵PM＝2，∠PNM＝120°，
∴点N在圆E上，
当DN经过圆心E时最大，
∵EN，DE，
∴DN的最大值为，
∴的最大值为．
故答案为：．
15．如图，将边长为3的正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M落在边AD上（点M不与点A，D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，折痕分别与边AB，CD交于点E，F，连接BM．
（1）求证：∠AMB＝∠BMP；
（2）若DP＝1，求MD的长．
【解答】（1）证明：点B、M关于线段EF对称，由翻折的性质可知：∠MBC＝∠BMP，
∵ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠MBC＝∠AMB，
∴∠AMB＝∠BMP（等量代换）．
（2）解：设MD＝x，则AM＝3﹣x，设AE＝y，则EM＝EB＝3﹣y．
在Rt△AEM中，AE2+AM2＝EM2，
∴y2+（3﹣x）2＝（3﹣y）2，
∴yx2+x．即AEx2+x．
∵∠ABC＝∠EMN＝90°，
∴∠AME+∠DMP＝90°，
又∵∠AEM+∠AME＝90°，
∴∠AEM＝∠DMP，∠A＝∠D，
∴△AEM∽△DMP．
∴，，
整理得：，
∴x．
∴MD．
16．学习了《中心对称图形》后，阿中与茜茜对平行四边形进行了再次探究：
（1）阿中发现：命题“一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形”是个假命题，如何举反例说明呢？茜茜稍作思考说：“取一张如图1所示的等腰三角形纸片ABC，其中AB＝AC，在BC边上取一点D（不是中点），连接AD，沿AD剪开纸片，重新拼接……”，
请你完成茜茜的举反例过程，画出相应的图形，并配以必要的说明；
（2）阿中进一步探究发现：“一组对边相等且一组对角是直角的四边形是矩形”，请你完成证明过程；
已知：如图2，四边形ABCD中，AB＝CD，∠A＝∠C＝90°，求证：四边形ABCD是矩形．
（3）茜茜发现折叠矩形可以得到菱形：如图3，将矩形ABCD折叠，使得A、C两点重合，点B落在点B′，折痕分别交边BC、AD于E、F两点，交AC于O两点，则四边形AECF是菱形．请在框图中补全茜茜的证明思路．
茜茜的证明思路
由折叠易知EF是AC的垂直平分线，可以先证△AOF≌①　△COE　 ，得到②　OE＝OF　 ，又由OA＝OC，可得四边形AECF是平行四边形，再由③　EF⊥AC　 ，于是 AECF是菱形．
（4）茜茜给阿中出了一道思考题：“如图4，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E、F分别是边AB、AD上的点，将矩形ABCD沿着直线EF折叠，使点A与矩形ABCD内部的点P重合，问BP的最小值是多少？”请聪明的你用矩形纸片操作探究一下，直接写出BP的最小值．
【解答】（1）解：等腰三角形纸片ABC，其中AB＝AC，在BC边上取一点D（不是中点），连接AD，沿AD 剪开纸片，重新拼接如图所示，
∴AB＝CD，∠B＝∠C，而BD≠AC，
∴四边形ABDC不是平行四边形，
∴命题“一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形”是个假命题；
（2）证明：连接BD，
∵AB＝CD，∠A＝∠C＝90°，且BD＝BD，
∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），
∴AD＝BC，
∵AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠A＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（3）证明：由折叠知EF是AC的垂直平分线，
∴AO＝OC，∠AOF＝∠COE＝90°，
∵矩形ABCD，
∴AF∥CE，
∴∠FAO＝∠ECO，
∴△AOF≌△COE，
∴OE＝OF，
∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴ AECF是菱形，
故答案为：△COE；OE＝OF；EF⊥AC；
（4）解：如图，连接BF，BD，
∵PB≥FB﹣FP，FA＝FP，
∴PB≥FB﹣FA，此时PB的最小值＝FB﹣FA
∵（FB﹣FA）﹣（BD﹣AD）＝FB﹣FA﹣BD+AF+DF＝FB+DF﹣BD＞0，
∴BD﹣AD＜FB﹣FA，
∴当F与D重合时，FB﹣FA的值最小，由折叠得：AD＝PD＝3，
由勾股定理得：BD，
∵PB≥BD﹣PD，
当P，A，C共线时，BP有最小值，
∴BP3，
则BP的最小值是3．
17．如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止，连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连接EG、FG．
（1）设AE＝x时，△EGF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
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