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第4章 因式分解期末章节综合复习卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列因式分解正确的是（　　）
A．2mn2﹣2m＝2m（n2﹣1）
B．4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2
C．4x2﹣6xy+9y2＝（2x﹣3y）2
D．a2+ab+a＝a（a+b）
2．（3分）下列多项式因式分解的结果中不含因式（x﹣2）的是（　　）
A．x2﹣2x B．x2﹣4 C．x2﹣4x+4 D．x2+4x+4
3．（3分）把2a2﹣8分解因式，结果正确的是（　　）
A．2（a2﹣4） B．2（a﹣2）2
C．2（a+2）（a﹣2） D．2（a+2）2
4．（3分）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（　　）
A．x2+4y2 B．x2﹣4y C．﹣x2+4y2 D．﹣x2﹣4y2
5．（3分）若x2+2（m﹣3）x+9是一个完全平方式，则m的值是（　　）
A．0 B．6 C．0或6 D．6或3
6．（3分）若2m﹣n＝2，2m+n＝3，则4m2+n2+4mn的值为（　　）
A．4 B．6 C．9 D．18
7．（3分）如果x﹣2是ax2﹣bx+2的一个因式，则2a﹣b的值是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
8．（3分）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．小亮要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片（　　）块．
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（3分）已知无论x取何值，等式（x+a）（x+b）＝x2+2x+n恒成立，则关于代数式a3b+ab3﹣2的值有下列结论：①交换a，b的位置，代数式的值不变；②该代数式的值是非正数；③该代数式的值不会小于﹣2，上述结论正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
10．（3分）如图，用1块边长为a的大正方形，4块边长为b的小正方形和4块长为a，宽为b的长方形（a＞b），密铺成正方形ABCD，已知ab＝2，正方形ABCD的面积为S，（　　）
A．若a＝2b+1，则S＝16 B．若a＝2b+2，则S＝25
C．若S＝25，则a＝2b+3 D．若S＝16，则a＝2b+4
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）分解因式：2a3﹣8a2b+8ab＝　 　 ．
12．（3分）已知x2y+xy2＝48，xy＝8，则x+y＝　 　 ．
13．（3分）若（1+m）（2+m）＝3，则（1+m）2+（2+m）2＝　 　 ．
14．（3分）多项式加上一个单项式以后可以配方成为2（m﹣p）2（其中p为常数），那么所加的单项式是 　 　 ．
15．（3分）生活中我们经常用到密码，如手机解锁、密码支付等．为方便记忆，有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解成多个因式，如：将多项式x3﹣9x分解结果为x（x+3）（x﹣3）．当x＝20时，x+3＝23，x﹣3＝17，此时可得到数字密码202317．将多项式x3+mx2+nx因式分解后，利用题目中所示的方法，当x＝12时可以得到密码121415，则mn＝　 　 ．
16．（3分）如图，用9张A类正方形卡片、4张B类正方形卡片，12张C类长方形卡，拼成一个大正方形，则拼成的正方形的边长为　 　 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）分解因式：
（1）5﹣20x2；
（2）﹣x2+4xy﹣4y2；
（3）16x4﹣8x2y2+y4．
18．（6分）下面是某同学对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解的过程：
解：设x2﹣2x＝y
原式＝y（y+2）+1（第一步）
＝y2+2y+1（第二步）
＝（y+1）2（第三步）
＝（x2﹣2x+1）2（第四步）．
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了 　 　 ．
A．提取公因式
B．平方差公式
C．完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？　 　 （填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，则该因式分解的最终结果为 　 　 ．
（3）请你模仿上述方法，对多项式（x2﹣2）（x2﹣6）+4进行因式分解．
19．（8分）若2x2+mx﹣1能分解为（2x+1）（x﹣1），求m的值．
20．（8分）如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式．
（1）求整式M，P；
（2）将整式P因式分解．
21．（10分）已知三个整式x2+4x，4x+4，x2．
（1）从中选出两个进行加法运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解；
（2）从中选出两个分别作为分式的分子与分母，要求这个分式不是最简分式，并对这个分式进行约分．
22．（12分）某公司门前一块长为（6a+2b）米，宽为（4a+2b）米的长方形空地要铺地砖，如图所示，空白的A、B两正方形区域是建筑物，不需要铺地砖．两正方形区域的边长为（a+b）米．
（1）求铺设地砖的面积是多少平方米；
（2）当a＝2，b＝3时，需要铺地砖的面积是多少？
（3）在（2）的条件下，某种道路防滑地砖的规格是：正方形，边长为0.2米，每块1.5元，不考虑其他因素，如果要购买此种地砖，需要多少钱？
23．（12分）定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：a2+d2+bc．
（1）　 　 ；
（2）　 　 ；若是完全平方式，则k＝　 　 ；
（3）若有理数m、n满足 m+3n＝5，且13．
①求mn的值；
②如图，四边形ABCD是长方形，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，连接EG、FH交于点P，且EG、FH将长方形ABCD分割成四个小长方形，若AB＝9n，BF＝3n，CF＝3m，DG＝m，在①的条件下，求图中阴影部分的面积．
24．（10分）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）．我们规定：（a，b） （c，d）＝a2+d2﹣bc．例如：（1，2） （3，4）＝12+42﹣2×3＝11．
（1）若（2x，kx） （y，﹣y）是一个完全平方式，求常数k的值：
（2）若2x+y＝12，且（3x+y，2x2+3y2） （3，x﹣3y）＝104，求xy的值：
（3）在（2）的条件下，将长方形ABCD及长方形CEFG按照如图方式放置，其中点E、G分别在边CD、BC上，连接BD、BF、DF、EG．若AB＝2x，BC＝8x，CE＝y，CG＝4y，求图中阴影部分的面积．
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)第4章 因式分解期末章节综合复习卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列因式分解正确的是（　　）
A．2mn2﹣2m＝2m（n2﹣1）
B．4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2
C．4x2﹣6xy+9y2＝（2x﹣3y）2
D．a2+ab+a＝a（a+b）
【分析】先提公因式，然后运用公式法继续分解，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、2mn2﹣2m＝2m（n2﹣1）＝2m（n+1）（n﹣1），故A不符合题意；
B、4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2，故B符合题意；
C、4x2﹣12xy+9y2＝（2x﹣3y）2，故C不符合题意；
D、a2+ab+a＝a（a+b+1），故D不符合题意；
故选：B．
2．（3分）下列多项式因式分解的结果中不含因式（x﹣2）的是（　　）
A．x2﹣2x B．x2﹣4 C．x2﹣4x+4 D．x2+4x+4
【分析】各式分解得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝x（x﹣2），不符合题意；
B、原式＝（x+2）（x﹣2），不符合题意；
C、原式＝（x﹣2）2，不符合题意；
D、原式＝（x+2）2，符合题意．
故选：D．
3．（3分）把2a2﹣8分解因式，结果正确的是（　　）
A．2（a2﹣4） B．2（a﹣2）2
C．2（a+2）（a﹣2） D．2（a+2）2
【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝2（a2﹣4）＝2（a+2）（a﹣2），
故选：C．
4．（3分）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（　　）
A．x2+4y2 B．x2﹣4y C．﹣x2+4y2 D．﹣x2﹣4y2
【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．
【解答】解：能运用平方差公式分解因式的是﹣x2+4y2＝（2y﹣x）（2y+x）．
故选：C．
5．（3分）若x2+2（m﹣3）x+9是一个完全平方式，则m的值是（　　）
A．0 B．6 C．0或6 D．6或3
【分析】运用完全平方式的定义进行求解．
【解答】解：∵x2±6x+9是一个完全平方式，
∴2（m﹣3）＝6或2（m﹣3）＝﹣6，
解得m＝6或m＝0，
故选：C．
6．（3分）若2m﹣n＝2，2m+n＝3，则4m2+n2+4mn的值为（　　）
A．4 B．6 C．9 D．18
【分析】通过运用完全平方公式法进行因式分解进行求解．
【解答】解：∵2m+n＝3，
∴4m2+n2+4mn
＝（2m+n）2
＝32
＝9，
故选：C．
7．（3分）如果x﹣2是ax2﹣bx+2的一个因式，则2a﹣b的值是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【分析】根据题意可知x＝2是方程ax2﹣bx+2＝0的一个根，然后代入解题即可．
【解答】解：由条件可知当x＝2时，ax2﹣bx+2＝4a﹣2b+2＝0，
解得：2a﹣b＝﹣1，
故选：B．
8．（3分）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．小亮要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片（　　）块．
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据完全平方式进行配方可得此题结果．
【解答】解：∵a2+4b2+4ab＝（a+2b）2，
∴还需取丙纸片4块，
故选：C．
9．（3分）已知无论x取何值，等式（x+a）（x+b）＝x2+2x+n恒成立，则关于代数式a3b+ab3﹣2的值有下列结论：①交换a，b的位置，代数式的值不变；②该代数式的值是非正数；③该代数式的值不会小于﹣2，上述结论正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【分析】由等式（x+a）（x+b）＝x2+2x+n恒成立，表示出a+b＝2，ab＝n，将a3b+ab3﹣2化简为ab[（a+b）2﹣2ab]﹣2，将a+b，ab的值代入然后配方可得．
【解答】解：∵等式（x+a）（x+b）＝x2+2x+n恒成立，
即x2+（a+b）x+ab＝x2+2x+n恒成立，
∴，
∴a3b+ab3﹣2
＝ab（a2+b2）﹣2
＝ab[（a+b）2﹣2ab]﹣2
＝n[22﹣2n]﹣2
＝4n﹣2n2﹣2
＝﹣2n2+4n﹣2
＝﹣2（n﹣1）2≤0，
∵﹣2（n﹣1）2中只与n有关，故①正确；
根据偶次幂为非负数得：﹣2（n﹣1）2≤0，故②正确，③错误；
故选：A．
10．（3分）如图，用1块边长为a的大正方形，4块边长为b的小正方形和4块长为a，宽为b的长方形（a＞b），密铺成正方形ABCD，已知ab＝2，正方形ABCD的面积为S，（　　）
A．若a＝2b+1，则S＝16 B．若a＝2b+2，则S＝25
C．若S＝25，则a＝2b+3 D．若S＝16，则a＝2b+4
【分析】正方形的边长是一个含有两个字母的代数式，根据已知条件，变成含一个字母的代数式，根据正方形面积已知，列一元二次方程，通过求根公式求出字母的值，再对选项加以判定．
【解答】解：由题意，正方形ABCD的边长为a+2b，
ab＝2，a＞b＞0，
若a＝2b+1，则正方形ABCD的边长为a+2b＝4b+1，b（2b+1）＝2，
即2b2+b﹣2＝0，
解得：b（负值不合题意，舍去），
∴b，
∴S＝（4b+1）2＝（41）2＝17，
∴选项A不正确；
若a＝2b+2，则正方形ABCD的边长为a+2b＝4b+2，b（2b+2）＝2，
即b2+b﹣1＝0，
解得：（负值不合题意，舍去），
∴b，
∴S＝（4b+2）2＝（42）2＝20，
∴选项B不正确；
若S＝25，则（a+2b）2＝25，
∵a+2b＞0，
∴a+2b＝5，
∴a＝5﹣2b，
∴b（5﹣2b）＝2，
即2b2﹣5b+2＝0，
解得：b1，b2＝2，
当b时，a＝5﹣2b＝4，
2b+3＝4，
此时，a＝2b+3；
当b＝2时，a﹣5﹣2b＝1，a＜b，不合题意，
∴选项C正确；
若S＝16，则（a+2b）2＝16，
∵a+2b＞0，
∴a+2b＝4，
∴a＝4﹣2b，
∴b（4﹣2b）＝2，
即b2﹣2b+1＝0，
解得：b1＝b2＝1，
当b＝1时，a＝4﹣2b＝2，2b+4＝6，
∴a≠2b+4，
∴选项D不正确；
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）分解因式：2a3﹣8a2b+8ab＝　2a（a2﹣4ab+4b）　 ．
【分析】利用提公因式法进行分解，即可解答．
【解答】解：2a3﹣8a2b+8ab＝2a（a2﹣4ab+4b），
故答案为：2a（a2﹣4ab+4b）．
12．（3分）已知x2y+xy2＝48，xy＝8，则x+y＝　6　 ．
【分析】因式分解可得xy（x+y）＝48，即可求解．
【解答】解：由条件可知xy（x+y）＝48，
∵xy＝8，
∴x+y＝6．
故答案为：6．
13．（3分）若（1+m）（2+m）＝3，则（1+m）2+（2+m）2＝　7　 ．
【分析】先利用多项式乘多项式的法则计算（1+m）（2+m）＝3，得出m2+3m＝1，然后运用完全平方公式将求值的代数式展开，将m2+3m的值整体代入即可．
【解答】解：∵（1+m）（2+m）＝3，
∴2+3m+m2＝3，
∴m2+3m＝1，
∴（1+m）2+（2+m）2
＝1+2m+m2+4+4m+m2
＝2m2+6m+5
＝2（m2+3m）+5
＝2×1+5
＝7．
故答案为：7．
14．（3分）多项式加上一个单项式以后可以配方成为2（m﹣p）2（其中p为常数），那么所加的单项式是 　±m　 ．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可．
【解答】解：∵多项式2m22（m2）加上一个单项式可以配方为2（m﹣p）2（其中p为常数），
∴所加的单项式是±m．
故答案为：±m．
15．（3分）生活中我们经常用到密码，如手机解锁、密码支付等．为方便记忆，有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解成多个因式，如：将多项式x3﹣9x分解结果为x（x+3）（x﹣3）．当x＝20时，x+3＝23，x﹣3＝17，此时可得到数字密码202317．将多项式x3+mx2+nx因式分解后，利用题目中所示的方法，当x＝12时可以得到密码121415，则mn＝　30　 ．
【分析】将x3+mx2+nx分解，根据密码得，分解结果应为x（x+2）（x+3），即x（x2+5x+6），得到对应项m＝5，n＝6，即可解答．
【解答】解：x3+mx2+nx
＝x（x2+mx+n），
∵当x＝12时得到密码121415，
∴分解结果应为x（x+2）（x+3），即x（x2+5x+6），
∴m＝5，n＝6，
∴mn＝30．
故答案为：30．
16．（3分）如图，用9张A类正方形卡片、4张B类正方形卡片，12张C类长方形卡，拼成一个大正方形，则拼成的正方形的边长为　3a+2b　 ．
【分析】根据题意可得：拼成的大正方形的面积＝9a2+12ab+4b2＝（3a+2b）2，即可解答．
【解答】解：根据题意用9张A类正方形卡片、4张B类正方形卡片，12张C类长方形卡，
可拼成的大正方形的面积为：9a2+12ab+4b2＝（3a+2b）2，
故拼成的大正方形边长是：3a+2b，
故答案为：3a+2b．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）分解因式：
（1）5﹣20x2；
（2）﹣x2+4xy﹣4y2；
（3）16x4﹣8x2y2+y4．
【分析】（1）提公因式后利用平方差公式因式分解即可；
（2）提公因式后利用完全平方公式因式分解即可；
（3）利用平方差公式及完全平方公式因式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝5（1﹣4x2）
＝5（1+2x）（1﹣2x）；
（2）原式＝﹣（x2﹣4xy+4y2）
＝﹣（x﹣2y）2；
（3）原式＝（4x2﹣y2）2
＝[（2x+y）（2x﹣y）]2
＝（2x+y）2（2x﹣y）2．
18．（6分）下面是某同学对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解的过程：
解：设x2﹣2x＝y
原式＝y（y+2）+1（第一步）
＝y2+2y+1（第二步）
＝（y+1）2（第三步）
＝（x2﹣2x+1）2（第四步）．
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了 　C　 ．
A．提取公因式
B．平方差公式
C．完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？　不彻底　 （填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，则该因式分解的最终结果为 　（x﹣1）4　 ．
（3）请你模仿上述方法，对多项式（x2﹣2）（x2﹣6）+4进行因式分解．
【分析】（1）根据该同学第二步到第三步运用了完全平方公式即可得出答案；
（2）根据x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，即可得出该同学因式分解的结果不彻底，进而可得出最终结果；
（3）设x2﹣2＝y，则原式＝y（y﹣4）+4＝y2﹣4y+4，据此利用完全平方公式进行因式分解，然后再把x2﹣2＝y代入即可得出答案．
【解答】解：（1）该同学第二步到第三步运用了完全平方公式，
故选：C；
（2）该同学因式分解的结果不彻底，
∵x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴该因式分解的最终结果为：（x﹣1）4，
故答案为：不彻底；（x﹣1）4；
（3）设x2﹣2＝y，
原式＝y（y﹣4）+4
＝y2﹣4y+4
＝（y﹣2）2
＝（x2﹣2﹣2）2
＝（x2﹣4）2
＝（x﹣2）2（x+2）2．
19．（8分）若2x2+mx﹣1能分解为（2x+1）（x﹣1），求m的值．
【分析】先把分解的结果利用多项式乘以多项式法则得到结果为2x2﹣x﹣1，利用多项式相等的条件即可求出m的值．
【解答】解：∵2x2+mx﹣1＝（2x+1）（x﹣1）＝2x2﹣x﹣1，
∴mx＝﹣x，
则m＝﹣1．
20．（8分）如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式．
（1）求整式M，P；
（2）将整式P因式分解．
【分析】（1）根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果；
（2）把P提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：（1）根据题意得：M＝（3x2﹣4x﹣20）﹣3x（x﹣3）
＝3x2﹣4x﹣20﹣3x2+9x
＝5x﹣20；
P＝3x2﹣4x﹣20+（x+2）2
＝3x2﹣4x﹣20+x2+4x+4
＝4x2﹣16；
（2）P＝4x2﹣16
＝4（x2﹣4）
＝4（x+2）（x﹣2）．
21．（10分）已知三个整式x2+4x，4x+4，x2．
（1）从中选出两个进行加法运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解；
（2）从中选出两个分别作为分式的分子与分母，要求这个分式不是最简分式，并对这个分式进行约分．
【分析】（1）先找出两个整式的和，再看看能否分解因式即可；
（2）先找出两个整式分别作为分式的分子与分母，再看看能否约分即可
【解答】解：（1）x2+（4x+4）＝（x+2）2 或 x2+（x2+4x）＝2x2+4x＝2x（x+2）；
（2） 或．
22．（12分）某公司门前一块长为（6a+2b）米，宽为（4a+2b）米的长方形空地要铺地砖，如图所示，空白的A、B两正方形区域是建筑物，不需要铺地砖．两正方形区域的边长为（a+b）米．
（1）求铺设地砖的面积是多少平方米；
（2）当a＝2，b＝3时，需要铺地砖的面积是多少？
（3）在（2）的条件下，某种道路防滑地砖的规格是：正方形，边长为0.2米，每块1.5元，不考虑其他因素，如果要购买此种地砖，需要多少钱？
【分析】（1）根据长方形的面积减去空白的面积表示出铺设地砖的面积即可；
（2）把a与b的值代入计算即可求出值；
（3）求出一片正方形地砖的面积，用总面积除以每块的面积求出正方形地砖的块数，乘以1.5即可得到结果．
【解答】解：（1）根据题意得：铺设地砖的面积为（6a+2b）（4a+2b）﹣2（a+b）2
＝24a2+20ab+4b2﹣2a2﹣4ab﹣2b2
＝22a2+16ab+2b2（平方米）；
（2）当a＝2，b＝3时，原式＝88+96+18＝202（平方米）；
（3）根据题意得：202÷0.22×1.5
＝202÷0.04×1.5
＝7575（元）．
23．（12分）定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：a2+d2+bc．
（1）　11　 ；
（2）　m2+4n2﹣kmn　 ；若是完全平方式，则k＝　±4　 ；
（3）若有理数m、n满足 m+3n＝5，且13．
①求mn的值；
②如图，四边形ABCD是长方形，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，连接EG、FH交于点P，且EG、FH将长方形ABCD分割成四个小长方形，若AB＝9n，BF＝3n，CF＝3m，DG＝m，在①的条件下，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）根据新定义运算的方法进行计算即可；
（2）根据新定义运算的方法即可得出答案，再根据完全平方式的定义确定k的值即可；
（3）①根据新定义运算的方法得到m2+9n2＝13，再将其变为（m+3n）2﹣6mn＝13，代入计算求出mn的值；
②用含有m、n的代数式表示阴影部分的面积，再将其变形为[（m+3n）2﹣7mn]，再将m+3n＝5，mn＝2代入计算即可．
【解答】解：（1）由新定义运算可得，
（﹣1）2+42+（﹣2）×3
＝1+16﹣6
＝11，
故答案为：11；
（2）m2+4n2﹣kmn，
∵m2+4n2﹣kmn是完全平方式，
∴k＝±4，
故答案为：m2+4n2﹣kmn，±4；
（3）①∵13，
∴（m+4n）2+（4m﹣n）2﹣4（4m2+2n2）＝13，
即m2+9n2＝13，
∴（m+3n）2﹣6mn＝13，
∵m+3n＝5，
∴25﹣6mn＝13，
∴mn＝2；
②由题意可知：
S阴影部分＝9n （3n+3m）﹣3mn3m 9n（9n﹣m）（3n+3m）
m2mnn2
（m2﹣mn+9n2）
[（m+3n）2﹣7mn]，
当m+3n＝5，mn＝2时，
原式（25﹣14）
，
即阴影部分的面积为．
24．（10分）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）．我们规定：（a，b） （c，d）＝a2+d2﹣bc．例如：（1，2） （3，4）＝12+42﹣2×3＝11．
（1）若（2x，kx） （y，﹣y）是一个完全平方式，求常数k的值：
（2）若2x+y＝12，且（3x+y，2x2+3y2） （3，x﹣3y）＝104，求xy的值：
（3）在（2）的条件下，将长方形ABCD及长方形CEFG按照如图方式放置，其中点E、G分别在边CD、BC上，连接BD、BF、DF、EG．若AB＝2x，BC＝8x，CE＝y，CG＝4y，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）根据新定义，求出（2x，kx） （y，﹣y），再根据完全平方式的特征，即可求出k；
（2）根据新定义，求出（3x+y，2x2+3y2） （3，x﹣3y）＝104的左边，从而得出方程，再配方将2x+y＝12整体代入，即可求出xy；
（3）根据阴影部分的面积等于三角形BCD的面积﹣三角形BGF的面积﹣三角形CGE的面积﹣三角形DFE的面积，可以把阴影部分的面积表示出来，从得到含有2x+y、xy的整式，再把（2）的条件和结论整体代入即可得解．
【解答】解：（1）（2x）2+y2﹣kx y
＝4x2﹣kxy+y2，
∵4x2﹣kxy+y2是一个完全平方式，
∴k＝±4；
（2）（3x+y）2+（x﹣3y）2﹣3（2x2+3y2），
＝9x2+6xy+y2+x2﹣6xy+9y2﹣6x2﹣9y2
＝4x2+y2
＝（2x+y）2﹣4xy
＝104，
∵2x+y＝12，
∴122﹣4xy＝104
∴xy＝10；
（3）S△BDC 2x 8x＝8x2，
S△BGF（8x﹣4y） y
＝4xy﹣2y2，
S△DEF 4y （2x﹣y）
＝4xy﹣2y2，
S△GEC 4y y＝2y2，
∴S阴＝8x2﹣（4xy﹣2y2）﹣（4xy﹣2y2）﹣2y2
＝2（4x2﹣4xy+y2）
＝2[（2x+y）2﹣8xy]
＝2（144﹣8×10）
＝128
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