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期末重难点检测卷（二）-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册
一．选择题（共8小题）
1．（2024春 丰台区期末）已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么||等于（　　）
A．1 B． C． D．2
2．（2023春 沈阳期末）两个圆锥有等长的母线，它们的侧面展开图恰好拼成一个圆，若它们的侧面积之比为1：2，则它们的体积比是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024春 宁乡市期末）已知一个样本有27个数据，该组数据的第75百分位数是164，则下列叙述正确的是（　　）
A．把这27个数据从小到大排列后，164是第20个数据和第21个数据的平均数
B．把这27个数据从小到大排列后，小于或等于164数据共有20个
C．把这27个数据从小到大排列后，小于或等于164数据共有21个
D．把这27个数据从小到大排列后，164是第21个数据
4．（2023春 临沂期末）图1是边长为1的正六边形ABCDEF，将其沿直线FC折叠成如图2的空间图形A'E'F'﹣B'D'C'，若A'E'，则几何体A'E'F'﹣B'D'C的体积为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024春 芒市校级期末）已知四面体ABCD的每个顶点都在球O（O为球心）的球面上，△ABC为等边三角形，AB＝BD＝2，AD，且AC⊥BD，则二面角A﹣CD﹣O的正切值为（　　）
A． B． C． D．
6．（2021春 海淀区校级期末）在复平面内，复数i（2+i）对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2024春 武汉期末）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．若直线l满足l⊥m，l⊥n，l α，l β，则（　　）
A．α∥β，l∥α
B．α与β相交，且交线平行于l
C．α⊥β，l⊥α
D．α与β相交，且交线垂直于l
8．（2024秋 湖南期末）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，若满足4S＝a2+b2﹣c2，则角C＝（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2024春 梧州期末）下列说法正确的是（　　）
A．△ABC中，D为BC的中点，则
B．向量，可以作为平面向量的一组基底
C．若非零向量与满足，则△ABC为等腰三角形
D．已知点A（1，5），B（4，﹣7），点P是线段AB的三等分点，则点P的坐标可以为（2，﹣1）
（多选）10．（2024春 固始县校级期末）在锐角△ABC中，设a，b，c分别表示角A，B，C对边，a＝1，bcosA﹣cosB＝1，则下列选项正确的有（　　）
A．B＝2A
B．b的取值范围是
C．当时，△ABC的外接圆半径为
D．若当A，B变化时，sinB﹣2λsin2A存在最大值，则正数λ的取值范围为
（多选）11．（2024春 梅州期末）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，M为棱C1D1的中点，N为棱CC1上（含端点）的动点，则下列说法中，不正确的是（　　）
A．当N为棱CC1上的中点时，平面A1MN经过顶点B
B．当N为棱CC1上的中点时，则AN∥平面A1DM
C．当且仅当点N运动到顶点C时，三棱锥A﹣A1MN的体积最大
D．棱CC1上存在点N，使得
三．填空题（共3小题）
12．（2024春 天宁区校级期末）设x，y，z都是正整数，且x∈[5，10]，y∈[11，20]，z∈[21，25]，当x，y，z的取值依次为　 　 时，x，y，z这三个数的方差最小．（若存在多组取值符合条件，只需写出其中一组取值）
13．（2024春 天宁区校级期末）已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，c＝2，则△ABC的面积的最大值为 　 　 ．
14．（2024春 大兴区期末）已知菱形ABCD的边长为2，，沿AC将△ABC折起得到二面角B′﹣AC﹣D．当二面角B′﹣AC﹣D为直二面角时，B′D的长为 　 　 ；当三棱锥B′﹣ACD的体积为时，二面角B′﹣AC﹣D的度数为 　 　 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2024春 四川期末）已知平面向量．
（1）若，求实数t的值；
（2）若与的夹角为，求实数t的值．
16．（2024春 三台县校级期末）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCcosB，a2+b2﹣c2．
（1）求B；
（2）若△ABC的面积为3，求c．
17．（2024春 连云港期末）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点．求证：
（1）BD1∥EAC；
（2）平面EAC⊥平面AB1C．
18．（2024春 宁乡市期末）如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序实数对（x，y）叫做向量在坐标系Oxy中的坐标，记作．在此坐标系Oxy中，若，E，F分别是OB，BP的中点，AE，AF分别与OP交于R，T两点．
（1）求；
（2）求的坐标；
（3）若点M在线段AF上运动，设，求xy的最大值．
19．（2024春 杭州期末）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：
记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不高于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.30．
（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；
（2）求甲离子残留百分比的第75百分位数；
（3）估计乙离子残留百分比的均值．（同一组数据用该组区间的中点值为代表）
期末重难点检测卷（二）-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A D D A B B A
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 AC ACD BCD
一．选择题（共8小题）
1．（2024春 丰台区期末）已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么||等于（　　）
A．1 B． C． D．2
【解答】解：∵、均为单位向量，它们的夹角为60°
∴||＝||＝1，
∴
＝1
∴1
故选：A．
2．（2023春 沈阳期末）两个圆锥有等长的母线，它们的侧面展开图恰好拼成一个圆，若它们的侧面积之比为1：2，则它们的体积比是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：设圆锥母线长为l，侧面积较小的圆锥的半径为r，
侧面积较大的圆锥半径为R，它们的高分别为h，H，
则πrl：（πRl）＝1：2，∴R＝2r，
∵两圆锥的侧面展开图恰好拼成一个圆，
∴2π2π，∴l＝3r，
由勾股定理得h2，
同理，H，
∴两个圆锥的体积比为（）：（）＝1：．
故选：A．
3．（2024春 宁乡市期末）已知一个样本有27个数据，该组数据的第75百分位数是164，则下列叙述正确的是（　　）
A．把这27个数据从小到大排列后，164是第20个数据和第21个数据的平均数
B．把这27个数据从小到大排列后，小于或等于164数据共有20个
C．把这27个数据从小到大排列后，小于或等于164数据共有21个
D．把这27个数据从小到大排列后，164是第21个数据
【解答】解：因为27×75%＝20.125，所以把这27个数据从小到大排列后，第21个数据是164，选项A错误，选项D正确；
小于或等于164数据可能有21个，也可能多于21个，选项B、C错误．
故选：D．
4．（2023春 临沂期末）图1是边长为1的正六边形ABCDEF，将其沿直线FC折叠成如图2的空间图形A'E'F'﹣B'D'C'，若A'E'，则几何体A'E'F'﹣B'D'C的体积为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，
过A′作A′G⊥C′F′，垂足为G，
连接E′G，则E′G⊥C′F′，
过B′作B′H⊥C′F′，垂足为H，
连接D′H，则D′H⊥C′F′，
所以A′G∥B′H，又A′G 平面B′HD′，B′H 平面B′HD′，
所以A′G∥平面B′HD′，
同理E′G∥平面B′HD′，又A′G∩E′G＝G，
所以平面A′GE′∥平面B′HD′，即三棱柱A′GE′﹣B′HD′为直三棱柱，
∵A′F′＝1，∠A′F′G＝60°，
所以，
同理求得，
又，
在△A′GE′中，cos∠A′GE′，
又0＜∠A′GE′＜π，∴∠A′GE′＝120°，
∴S△A′GE′A′G E′G sin∠A′GE′，
∴空间几何体FAE′﹣CB′D的体积为：
．
故选：D．
5．（2024春 芒市校级期末）已知四面体ABCD的每个顶点都在球O（O为球心）的球面上，△ABC为等边三角形，AB＝BD＝2，AD，且AC⊥BD，则二面角A﹣CD﹣O的正切值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：作出图形，如图所示：
△ABC为等边三角形，设△ABC的中心为G，过G作直线l⊥平面ABC，
则球心O在直线l上，取AC的中点M，连接BM、DM，则BM⊥AC，BD∩BM＝B，
∵AC⊥BD，BD 平面BDM，BM 平面BDM，
∴CA⊥平面BDM，
∴AC⊥DM，∴AD＝DC，
又AD2+DC2＝4＝AC2，则△ADC是直角三角形，且∠ADC＝90°，DMAC＝1，
∴DM2+BM2＝4＝BD2，∴△BDM是直角三角形，且∠BMD＝90°，
又AC∩DM＝M，AC 平面ACD，MD 平面ACD，
∴BM⊥平面ADC，
∴球心O在直线MB上，即O与G重合，
过点M作MH⊥CD于点H，连接OH，
∵BM⊥平面ADC，CD 平面ADC，
∴OM⊥CD，
又MH∩OM＝M，MH 平面OMH，OM 平面OMH，
∴CD⊥平面OMH，
∴OH⊥CD，则∠OHM为二面角A﹣CD﹣O的平面角，
∵O为△ABC的中心，则OM，HM，
∴tan∠OHM，
故选：A．
6．（2021春 海淀区校级期末）在复平面内，复数i（2+i）对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵i（2+i）＝2i+i2＝﹣1+2i，
∴根据复数的几何意义可知对应的点的坐标为（﹣1，2），
∴对应的复数位于第二象限，
故选：B．
7．（2024春 武汉期末）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．若直线l满足l⊥m，l⊥n，l α，l β，则（　　）
A．α∥β，l∥α
B．α与β相交，且交线平行于l
C．α⊥β，l⊥α
D．α与β相交，且交线垂直于l
【解答】解：如果α∥β，由m⊥α，可得m⊥β，又n⊥β，可得m∥n，与m，n为异面直线矛盾，故A错误；
如果α⊥β，又m⊥平面α，n⊥平面β，由线面垂直和面面垂直的性质，可得m⊥n，
将m，n平移至相交直线，可得l垂直于相交直线确定的平面，可得l可能平行于α，故C错误；
平移m，n至相交直线，设相交直线确定的平面为γ，可得α⊥γ，β⊥γ，由α、β相交，设交线为n，可得n⊥γ，
由1⊥m，1⊥n，l α，l β，可得l⊥γ，所以l∥n，故B正确；D错误．
故选：B．
8．（2024秋 湖南期末）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，若满足4S＝a2+b2﹣c2，则角C＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵SabsinC，cosC，且4S＝a2+b2﹣c2，
∴2absinC＝2abcosC，
整理得：sinC＝cosC，即tanC＝1，
∴C．
故选：A．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2024春 梧州期末）下列说法正确的是（　　）
A．△ABC中，D为BC的中点，则
B．向量，可以作为平面向量的一组基底
C．若非零向量与满足，则△ABC为等腰三角形
D．已知点A（1，5），B（4，﹣7），点P是线段AB的三等分点，则点P的坐标可以为（2，﹣1）
【解答】解：对于A，由题意得，
则，A正确；
对于B，因为，不能作为平面向量的一组基底，B错误；
对于C，因为和分别表示与向量和同向的单位向量，
所以以和为邻边的平行四边形是菱形，在∠BAC的平分线上，
又，则∠BAC的平分线垂直于BC，即AB＝AC，
故△ABC为等腰三角形，C正确；
对于D，若点P是线段AB的三等分点，则或，
由A（1，5），B（4，﹣7）可得，
所以（2，﹣8）或（1，﹣4），
即点P的坐标可以为（3，﹣3）或（2，1），D错误．
故选：AC．
（多选）10．（2024春 固始县校级期末）在锐角△ABC中，设a，b，c分别表示角A，B，C对边，a＝1，bcosA﹣cosB＝1，则下列选项正确的有（　　）
A．B＝2A
B．b的取值范围是
C．当时，△ABC的外接圆半径为
D．若当A，B变化时，sinB﹣2λsin2A存在最大值，则正数λ的取值范围为
【解答】解：对于A：a＝1，且bcosA﹣cosB＝1，即bcosA﹣acosB＝a，
由正弦定理得：sinBcosA﹣sinAcosB＝sinA，即sin（B﹣A）＝sinA，
∴B﹣A＝A或B﹣A+A＝π（舍去），∴B＝2A，故A正确；
对于B：由正弦定理，则，
∵△ABC为锐角三角形，则，即，
∴，所以，故B不正确；
对于C：∵b＝2cosA且，∴，∴，
由正弦定理，求得，
即△ABC 的外接圆半径为，故C正确；
对于D：
，
且tanφ＝λ，∵，即，
要使得有最大值，即有最大值，
此时，当sin（2A+φ）有最大值时，
即时，有最大值为，
此时，，
又，∴，∴，
∴λ的取值范围为，故D正确．
故选：ACD．
（多选）11．（2024春 梅州期末）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，M为棱C1D1的中点，N为棱CC1上（含端点）的动点，则下列说法中，不正确的是（　　）
A．当N为棱CC1上的中点时，平面A1MN经过顶点B
B．当N为棱CC1上的中点时，则AN∥平面A1DM
C．当且仅当点N运动到顶点C时，三棱锥A﹣A1MN的体积最大
D．棱CC1上存在点N，使得
【解答】解：连接A1B，A1M，A1N，MN，BN，D1C，
因为M，N分别为D1C1，C1C的中点，所以MN∥D1C，
又在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B∥D1C，
所以A1B∥MN，所以A1，B，M，N四点共面，故A正确；
假设当N为棱CC1上的中点时，AN∥平面A1DM，
连接D1A，D1N分别交A1D，DM于I，J，连接IJ，
因为AN 平面D1AN，平面D1AN∩平面A1DM＝IJ，
所以IJ∥AN，显然不成立，
所以AN与平面A1DM不平行，故B错误；
因为CC1∥A1A，CC1 平面A1AM，A1A 平面A1AM，
所以CC1∥平面A1AM，又点N为棱CC1上（含端点）的动点，
所以点N到平面A1AM的距离为定值，
又，△A1MN的面积为定值，
所以三棱锥A﹣A1MN的体积为定值；故C错误；
如图将正方体侧面展开，连接BM，
在△B1BM中，B1M＝3，B1B＝2，所以，
此时即为|BN|+|MN|的最小值，又，
所以棱CC1上不存在点N，使得，故D错误．
故选：BCD．
三．填空题（共3小题）
12．（2024春 天宁区校级期末）设x，y，z都是正整数，且x∈[5，10]，y∈[11，20]，z∈[21，25]，当x，y，z的取值依次为　10，15，21（或10，16，21）　 时，x，y，z这三个数的方差最小．（若存在多组取值符合条件，只需写出其中一组取值）
【解答】解：设，根据方差的定义得，
，
要使方差最小，三个数据x，y，z应尽量集中，故x＝10，z＝21，
则，
关于y的二次函数的图象关于对称，根据二次函数图象及性质，又y∈[11，20]且y为正整数，
所以当y＝15或y＝16时，方差相等且最小，最小值为．
故满足条件的x，y，z为10，15，21或10，16，21．
故答案为：10，15，21（或10，16，21）．
13．（2024春 天宁区校级期末）已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，c＝2，则△ABC的面积的最大值为 　　 ．
【解答】解：在△ABC中，由题意，，
由余弦定理，有a2+b2﹣c2＝2abcosC，
则有，整理得，
由C∈（0，π），得C为锐角，
又sin2C+cos2C＝1，解得，
由c＝2及余弦定理，
得，
解得ab≤3，当且仅当时取等号，
因此，
所以△ABC面积的最大值为．
故答案为：．
14．（2024春 大兴区期末）已知菱形ABCD的边长为2，，沿AC将△ABC折起得到二面角B′﹣AC﹣D．当二面角B′﹣AC﹣D为直二面角时，B′D的长为 　　 ；当三棱锥B′﹣ACD的体积为时，二面角B′﹣AC﹣D的度数为 　60°或120°　 ．
【解答】解：如图将菱形ABCD沿AC把△ABC折起，得到二面角B'﹣AC﹣D，
取AC的中点E，连接B′E，ED，
因为菱形ABCD的边长为2，，
所以AB'＝B'C＝AC＝AD＝CD＝2，
所以B′E⊥AC，ED⊥AC，且，
所以∠B'ED为二面角B'﹣AC﹣D的平面角，
如图：当二面角B'﹣AC﹣D为直二面角时，此时∠B'ED＝90°，
所以，
当三棱锥B'﹣ACD的体积为时，记B'到平面ACD的距离为d，
即，
解得，
如图：过点B'作B'O⊥ED，由B′E⊥AC，ED⊥AC，且B′E∩ED＝E，B′E，ED 面B′ED，
所以AC⊥面B'ED，
因为B'O 面B′ED，所以AC⊥B′O，
又因为AC∩ED＝E，AC，ED 面ACD，
所以B'O⊥面ACD，
故B'到平面ACD的距离为，
由B′O⊥ED，所以△B′OE为直角三角形，
因为，所以，
由∠B′ED为二面角B'﹣AC﹣D的平面角，所以∠B'ED∈[0，π]，
所以∠B'ED＝60°或∠B'ED＝120°．
故答案为：；60°或120°．
四．解答题（共5小题）
15．（2024春 四川期末）已知平面向量．
（1）若，求实数t的值；
（2）若与的夹角为，求实数t的值．
【解答】解：（1）由，可得，
因为，
所以，
解得；
（2）因为（1，﹣1），（1，2），
所以，
故，
解得．
16．（2024春 三台县校级期末）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCcosB，a2+b2﹣c2．
（1）求B；
（2）若△ABC的面积为3，求c．
【解答】解：（1）因为a2+b2﹣c2，
所以由余弦定理得cosC，结合C为三角形的内角，可得C．
因为sinCcosB，所以cosB，结合B∈（0，π），得B；
（2）由（1）可知A＝π﹣B﹣C，设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理得b＝2RsinB，c＝2RsinC，
由S△ABCbcsinA，得 sin，
即 ，解得R2＝4，所以R＝2（舍负），可得c．
17．（2024春 连云港期末）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点．求证：
（1）BD1∥EAC；
（2）平面EAC⊥平面AB1C．
【解答】证明：（1）连结BD，交AC于点O，连结OE，
∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点．
∴OE∥BD1，
∵OE 平面AEC，BD1 平面AEC，
∴BD1∥EAC．
解：（2）以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱 长为2，
E（0，0，1），A（2，0，0），C（0，2，0），B1（2，2，2），
（﹣2，2，0），（﹣2，0，1），（0，2，2），
设平面AEC的法向量（x，y，z），
则，取x＝1，得（1，1，2），
设平面AB1C的法向量（x，y，z），
则，取x＝1，得（1，1，﹣1）．
∵1+1﹣2＝0，
∴平面EAC⊥平面AB1C．
18．（2024春 宁乡市期末）如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序实数对（x，y）叫做向量在坐标系Oxy中的坐标，记作．在此坐标系Oxy中，若，E，F分别是OB，BP的中点，AE，AF分别与OP交于R，T两点．
（1）求；
（2）求的坐标；
（3）若点M在线段AF上运动，设，求xy的最大值．
【解答】解：（1）因为，
所以，
所以；
（2）因为，，，
所以，，，
所以，
所以四边形OAPB是平行四边形，
所以△PFT～△OAT，△OER∽△PAR，
因为E，F分别是OB，BP的中点，所以，，
所以，，所以，
因为，
则，所以；
（3）由（2）知，，
因为点M在线段AF上运动，所以设其中0≤λ≤1，
因为，所以，
所以，
因为不共线，则，解得，
所以3（λ﹣1）2+3，
因为0≤λ≤1，所以当λ＝1时，xy取得最大值3．
19．（2024春 杭州期末）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：
记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不高于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.30．
（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；
（2）求甲离子残留百分比的第75百分位数；
（3）估计乙离子残留百分比的均值．（同一组数据用该组区间的中点值为代表）
【解答】解：（1）由已知得0.30＝b+0.05+0.15，解得b＝0.10，
所以a＝1﹣0.20﹣0.15﹣0.30＝0.35．
（2）根据直方图，易知甲离子残留百分比的第75百分位数在区间[4.5，5.5），设为x，
则0.15+0.20+0.30+（x﹣4.5）×0.20＝0.75，解得x＝5.0，
所以甲离子残留百分比的第75百分位数为5.0．
（3）乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15＝6.00．
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