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期末重难点检测卷（一）-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2024）必修第二册
一．选择题（共8小题）
1．（2024春 会宁县校级期末）抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则（　　）
A．A B
B．A＝B
C．A+B表示向上的点数是1或2或3
D．AB表示向上的点数是1或2或3
2．（2024春 凉州区校级期末）已知向量（x，1），（1，﹣2），且⊥，则||＝（　　）
A． B． C． D．10
3．（2024春 奎屯市校级期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a+c的最小值为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．7
4．（2024秋 达州期末）如图所示，梯形A'B'C'D'是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，A'D'＝2B'C'＝2，A'B'＝1，则平面图形ABCD的面积为（　　）
A． B．2 C．3 D．
5．（2024春 天心区校级期末）已知M（﹣2，7），N（10，﹣2），点P是线段MN上的点，且2，则点P的坐标是（　　）
A．（﹣14，16） B．（22，﹣11） C．（6，1） D．（2，4）
6．（2024春 鼓楼区校级期末）已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为（　　）
A．8π B．12π C．16π D．24π
7．（2023春 哈尔滨期末）若复数z是纯虚数，则实数a的值是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
8．（2023春 浦东新区校级期末）已知复数z1＝1﹣i，复数z2＝x+yi，x，y∈R，z1，z2所对应的向量分别为，，其中O为坐标原点，则以下命题错误的是（　　）
A．若，则x+y＝0
B．若，则
C．若，则z1z2＝0
D．若，则|z1+z2|＝|z1﹣z2|
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2024春 蒙城县校级期末）若平面向量，，其中n，m∈R，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则∥
B．若，则与同向的单位向量为
C．若n＝1，且与的夹角为锐角，则实数m的取值范围为
D．若，则z＝2n+4m的最小值为4
（多选）10．（2024春 共和县校级期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cosA，角A的角平分线交BC于点D，AD，cosB，则下列说法正确的是（　　）
A．AC＝2 B．
C． D．△ABD的面积为
（多选）11．（2024春 越秀区校级期末）《九章算术》里说：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”．如图，底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，沿截面PAC将一个“堑堵”截成两部分，其三棱锥称为“鳖臑”．在鳖臑P﹣ABC中，PA⊥AB，AB＝2，其外接球的体积为，当此鳖臑的体积V最大时，下列结论正确的是（　　）
A．
B．V＝6
C．直线PC与平面PAB所成角的正弦值
D．P﹣ABC内切球的半径为
三．填空题（共3小题）
12．（2024春 徐州期末）在△ABC中，已知AB＝4，AC＝7，BC边的中线，那么BC＝　 　 ．
13．（2024春 垫江县校级期末）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为　 　 ．
14．（2024春 辽宁期末）某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）如图，已知锐角△ABC外接圆的半径为4，且三条圆弧沿△ABC三边翻折后交于点P．若AB＝6，则cos∠PAC＝ 　 　 ；若AC：AB：BC＝6：5：4，则PA+PB+PC的值为 　 　 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2024春 郾城区校级期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcosA＝（2c+a）cos（π﹣B）
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b，△ABC的面积为，求a+c的值．
16．（2024春 三门峡期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，外接圆半径长为R；已知，且．
（1）求B；
（2）若R＝1，，求△ABC的周长．
17．（2024秋 秦皇岛期末）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．
（1）求证：C1F∥平面ABE；
（2）求三棱锥E﹣ABC的体积．
18．（2024秋 洪雅县期末）2023年以来，河北省文化和旅游厅制定出台推动文旅市场恢复振兴的系列措施，以丰富的旅游业态和高品质的文旅服务不断提升游客出游体验，促进文旅消费增长的同时，也使“这么近，那么美，周末到河北”成为休闲度假新时尚．现为进一步发展河北文旅，提升河北经济，在5月份对来冀旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中b＝4a．
（1）求图中a的值并估计满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）若有超过60%的人满意度在75分及以上，则认为该月文旅成绩合格．河北省5月份文旅成绩合格了吗？
（3）河北文旅6月份继续对来冀旅游的游客发起满意度调查，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现知6月1日﹣6月15日调查的4万份数据中其满意度的平均值为80，方差为75；6月16日﹣6月30日调查的6万份数据中满意度的平均值为90，方差为70．由这些数据计算6月份的总样本的平均数与方差．
19．（2024春 辽宁期末）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，P是线段A1B上的动点．
（1）求证：平面BDD1B1⊥平面A1BC1；
（2）PB1与平面A1BC1所成的角的余弦值为，求PB的长．
期末重难点检测卷（一）-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2024）必修第二册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B B C D C D C
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 BD AD ACD
一．选择题（共8小题）
1．（2024春 会宁县校级期末）抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则（　　）
A．A B
B．A＝B
C．A+B表示向上的点数是1或2或3
D．AB表示向上的点数是1或2或3
【解答】解：抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，
对于A，事件B不包含事件A，故A错误；
对于B，事件A与事件B不相等，故B错误；
对于C，A+B表示向上的点数是1或2或3，故C正确；
对于D，AB表示向上的点数是2，故D错误．
故选：C．
2．（2024春 凉州区校级期末）已知向量（x，1），（1，﹣2），且⊥，则||＝（　　）
A． B． C． D．10
【解答】解：由题意可得 （x，1） （1，﹣2）＝x﹣2＝0，解得 x＝2．
再由（x+1，﹣1）＝（3，﹣1），可得||，
故选：B．
3．（2024春 奎屯市校级期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a+c的最小值为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．7
【解答】解：由题意得 acsin120°asin60°csin60°，
即ac＝a+c，
得1，
得4a+c＝（4a+c）（ ）5≥25＝4+5＝9，
当且仅当，即c＝2a时，取等号，
故选：B．
4．（2024秋 达州期末）如图所示，梯形A'B'C'D'是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，A'D'＝2B'C'＝2，A'B'＝1，则平面图形ABCD的面积为（　　）
A． B．2 C．3 D．
【解答】解：根据题意，四边形A'B'C'D'是梯形，其中A'D'＝2B'C'＝2，A'B'＝1，
其高h＝A′B′×sin45°，
则其面积S′＝（A′D′+B′C′），
则平面图形ABCD的面积S＝2S′＝3；
故选：C．
5．（2024春 天心区校级期末）已知M（﹣2，7），N（10，﹣2），点P是线段MN上的点，且2，则点P的坐标是（　　）
A．（﹣14，16） B．（22，﹣11） C．（6，1） D．（2，4）
【解答】解：D设P（x，y），则，，
∵2，∴，∴
∴P点的坐标为 （2，4），故选D．
6．（2024春 鼓楼区校级期末）已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为（　　）
A．8π B．12π C．16π D．24π
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，因为圆锥的母线长为l＝6，侧面展开图的圆心角为，
根据圆锥底面圆的周长等于展开图扇形的弧长，得2πr，解得r＝2，
所以该圆锥的表面积为S．
故选：C．
7．（2023春 哈尔滨期末）若复数z是纯虚数，则实数a的值是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【解答】解：∵是纯虚数，
∴，解得：a＝1．
故选：D．
8．（2023春 浦东新区校级期末）已知复数z1＝1﹣i，复数z2＝x+yi，x，y∈R，z1，z2所对应的向量分别为，，其中O为坐标原点，则以下命题错误的是（　　）
A．若，则x+y＝0
B．若，则
C．若，则z1z2＝0
D．若，则|z1+z2|＝|z1﹣z2|
【解答】解：对于选项A，当时，
则1×y＝（﹣1）×x，则x+y＝0，即选项A正确；
对于选项B，结合A，x∈R，即选项B正确；
对于选项C，若，则x＝y，
则z1z2＝（1﹣i）（x+xi）＝2x≠0，故C错误；
对于选项D，若，则x＝y，
则z1+z2＝1+x+（x﹣1）i，z1﹣z2＝1﹣x+（﹣x﹣1）i，
则|z1+z2|＝|z1﹣z2|，即选项D正确．
故选：C．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2024春 蒙城县校级期末）若平面向量，，其中n，m∈R，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则∥
B．若，则与同向的单位向量为
C．若n＝1，且与的夹角为锐角，则实数m的取值范围为
D．若，则z＝2n+4m的最小值为4
【解答】解：由，，
A选项：，
则，解得，则，，
所以，不共线，A选项错误；
B选项：，则，解得m＝0，n＝﹣2，
即，，，
所以与同向的单位向量为，B选项正确；
C选项：n＝1时，，
又与的夹角为锐角，
则，解得，且m≠3，
即，C选项错误；
D选项：由，得，即2m+n＝2，
所以，
当且仅当2n＝22m，即n＝2m＝1时，等号成立，D选项正确．
故选：BD．
（多选）10．（2024春 共和县校级期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cosA，角A的角平分线交BC于点D，AD，cosB，则下列说法正确的是（　　）
A．AC＝2 B．
C． D．△ABD的面积为
【解答】解：在△ABC中，由余弦定理知，cosA，
化简得a2+b2＝c2，
所以△ABC为直角三角形，且C＝90°，
因为cosB，所以可设AB＝5x，BC＝4x，则AC＝3x，
因为角A的角平分线交BC于点D，所以∠CAD＝∠BAD，
所以，即，整理得，即选项C错误；
所以CDBCx，BDBCx，
在△ACD中，由勾股定理知，AD2＝AC2+CD2，即5＝（3x）2+（x）2，解得x＝±（舍负），
所以AC＝3x＝2，AB＝5x，即选项A正确，选项B错误；
所以△ABD的面积SAC BD2，即选项D正确．
故选：AD．
（多选）11．（2024春 越秀区校级期末）《九章算术》里说：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”．如图，底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，沿截面PAC将一个“堑堵”截成两部分，其三棱锥称为“鳖臑”．在鳖臑P﹣ABC中，PA⊥AB，AB＝2，其外接球的体积为，当此鳖臑的体积V最大时，下列结论正确的是（　　）
A．
B．V＝6
C．直线PC与平面PAB所成角的正弦值
D．P﹣ABC内切球的半径为
【解答】解：由题可知，PC的中点即为P﹣ABC的外接球的球心，
设外接球的半径为R，则，得R＝2，
因为PA2+AB2+BC2＝PC2＝4R2，所以PA2+BC2＝12，
鳖臑P﹣ABC的体积，
当且仅当时，（VP﹣ABC）max＝2，故A项正确，B项错误；
因为三棱柱为直三棱柱，故BC⊥平面PAB，又PA 平面PAB，故BC⊥PA，
因为PA⊥AB，AB∩BC＝B，所以PA⊥平面ABC，
所以直线PC与平面PAB所成角即为，故C项正确；
设P﹣ABC的内切球半径为r，
由等体积法，得，
所以，故D项正确；
故选：ACD．
三．填空题（共3小题）
12．（2024春 徐州期末）在△ABC中，已知AB＝4，AC＝7，BC边的中线，那么BC＝　9　 ．
【解答】解：因为已知AB＝4，AC＝7，因为D是BC边的中点，
根据正弦定理：．
又设cos∠BAD＝x，cos∠CAD
根据余弦定理：BD2＝AB2+AD2﹣2AB AD x＝AC2+AD2﹣2AC AD 解得：x
所以BD2＝AB2+AD2﹣2AB AD x
BD，BC＝9．
故答案为9．
13．（2024春 垫江县校级期末）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为　　 ．
【解答】解：连接A1C1，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
∴A1A⊥平面A1B1C1D1，则∠AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成角．
在△AC1A1中，sin∠AC1A1．
故答案为：．
14．（2024春 辽宁期末）某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）如图，已知锐角△ABC外接圆的半径为4，且三条圆弧沿△ABC三边翻折后交于点P．若AB＝6，则cos∠PAC＝ 　　 ；若AC：AB：BC＝6：5：4，则PA+PB+PC的值为 　　 ．
【解答】解：设外接圆半径为R，则R＝4，
由正弦定理可得2R＝8，
即sin∠ACB，
由于∠ACB是锐角，
所以cos∠ACB，
由题意可知P为三角形ABC的垂心，即AP⊥BC，
所以∠PAC∠ACB，
所以sin∠PAC＝cos∠ACB，
cos∠PAC，
设∠CAB＝θ，∠CBA＝α，∠ACB＝β，
则∠PACβ，∠PBAθ，∠PABα，
由于AC：AB：BC＝6：5：4，
不妨设AC＝6，AB＝5，BC＝4，
由余弦定理可得cosθ，cosα，cosβ，
设AD，CE，BF为三角形的三条高，
由于∠ECB+∠EBC，∠PCD+∠CPD，
所以∠EBC＝∠CPD，
则∠APC＝π﹣∠CPD＝π﹣∠EBC＝π﹣∠ABC，
所以2R＝8，
同理可得2R＝8，
所以PA+PB+PC＝8（cosθ+cosα+cosβ）＝8（）．
故答案为：；．
四．解答题（共5小题）
15．（2024春 郾城区校级期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcosA＝（2c+a）cos（π﹣B）
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b，△ABC的面积为，求a+c的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中bcosA＝（2c+a）cos（π﹣B），
∴由正弦定理可得sinBcosA＝2sinC（﹣cosB）+sinA（﹣cosB），
∴sinBcosA+sinAcosB＝﹣2sinCcosB，
∴sin（A+B）＝﹣2sinCcosB＝sinC，
∴，由0＜B＜π可得；
（Ⅱ）∵，∴ac＝4，
由余弦定理可得b2＝a2+c2﹣2accosB＝（a+c）2﹣2ac+ac＝21，
∴（a+c）2＝25，∴a+c＝5
16．（2024春 三门峡期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，外接圆半径长为R；已知，且．
（1）求B；
（2）若R＝1，，求△ABC的周长．
【解答】解：（1）由得，bcosC＝（2a﹣c）cosB，
由正弦定理可得a＝2R sinA，b＝2R sinB，c＝2R sinC，
得2RsinBcosC＝2×2RsinAcosB﹣2RsinCsinB，
整理得sin（B+C）＝2sinAcosB，
因为sin（B+C）＝sin（π﹣A）＝sinA，则sinA＝2sinAcosB，
因为A∈（0，π），sinA≠0，所以，
因为B∈（0，π），所以；
（2）因为，故，且，
故，
又因为，所以，
因为，可得，
又b2＝a2+c2﹣2accosB＝（a+c）2﹣3ac＝3，
所以，故周长为．
17．（2024秋 秦皇岛期末）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．
（1）求证：C1F∥平面ABE；
（2）求三棱锥E﹣ABC的体积．
【解答】（1）证明：取AB中点G，连接EG，FG，则
∵F是BC的中点，
∴；
∵E是A1C1的中点，
∴FG∥EC1，FG＝EC1，
∴四边形FGEC1为平行四边形，
∴C1F∥EG，
∵C1F 平面ABE，EG 平面ABE，
∴C1F∥平面ABE；
（2）∵AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，
∴，
∴．
18．（2024秋 洪雅县期末）2023年以来，河北省文化和旅游厅制定出台推动文旅市场恢复振兴的系列措施，以丰富的旅游业态和高品质的文旅服务不断提升游客出游体验，促进文旅消费增长的同时，也使“这么近，那么美，周末到河北”成为休闲度假新时尚．现为进一步发展河北文旅，提升河北经济，在5月份对来冀旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中b＝4a．
（1）求图中a的值并估计满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）若有超过60%的人满意度在75分及以上，则认为该月文旅成绩合格．河北省5月份文旅成绩合格了吗？
（3）河北文旅6月份继续对来冀旅游的游客发起满意度调查，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现知6月1日﹣6月15日调查的4万份数据中其满意度的平均值为80，方差为75；6月16日﹣6月30日调查的6万份数据中满意度的平均值为90，方差为70．由这些数据计算6月份的总样本的平均数与方差．
【解答】解：（1）由题意得a+4a+0.05＝0.1，所以a＝0.01，
故估计满意度得分的平均值为65×0.15+75×0.35+85×0.4+95×0.1＝79.5分．
（2）超过60%的人满意度在75分及以上，即为40%分位数大于或等于75分，
又由满意度在[60，70）的频率为0.15＜0.4，满意度在[60，80）的频率为0.5＞0.4，
得40%分位数位于[70，80），由（分），
可以估计40%分位数为，
所以有超过60%的人满意度在75分及以上，河北省5月份文旅成绩合格了．
（3）把6月1日﹣6月15日的样本记为x1，x2，…，x40000，其平均数记为，方差记为，
把6月16日﹣6月30日的样本记为y1，y2，…，y60000，其平均数记为，方差记为，
则总样本平均数（分），
由方差的定义，总样本方差s2
，
所以总样本平均值为86分，总样本方差为96．
19．（2024春 辽宁期末）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，P是线段A1B上的动点．
（1）求证：平面BDD1B1⊥平面A1BC1；
（2）PB1与平面A1BC1所成的角的余弦值为，求PB的长．
【解答】解：（1）因为DD1⊥平面A1B1C1D1，且A1C1 平面A1B1C1D，可得A1C1⊥DD1，
四边形A1B1C1D1为正方形，则A1C1⊥B1D1，
且B1D1∩DD1＝D1，B1D1，DD1 平面BDD1B1，可得A1C1⊥平面BDD1B1，
且A1C1 平面A1BC1，所以平面 BDD1B1⊥平面 A1BC1．
（2）设B1在平面A1BC1上的射影点为E，连接EP，EB1，
可知△A1BC1是以边长为的等边三角形，则，
因为，即，解得，
设PB1与平面 A1BC1所成的角的大小为，
则cosθ，sinθ，即，
解得，
在△BPB1中，由余弦定理，得，
即，解得．
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