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期末重难点检测卷（二）-2024-2025学年高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第二册
一．选择题（共8小题）
1．（2024春 闵行区校级期末）已知等差数列{an}中，a1+a4+a7，那么cos（a3+a5）＝（　　）
A． B． C． D．
2．（2024春 徐汇区校级期末）已知{an}是等比数列，公比为q，若存在无穷多个不同的n（n∈N，n≥1）满足an+2≤an≤an+1，则下列选项之中，不可能成立的为（　　）
A．q＞0 B．q＜0 C．|q|＜1 D．|q|＞1
3．（2024春 闵行区期末）已知等差数列﹣2024，﹣2020，…，则该数列的前n项和Sn（　　）
A．无最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值
C．有最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值
4．（2017春 石泉县校级期末）数列1，1+2，1+2+22，…，1+2+22+…+2n﹣1，…的前n项和为（　　）
A．2n﹣n﹣1 B．2n+1﹣n﹣2 C．2n D．2n+1﹣n
5．（2025春 台州期末）已知函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为3x﹣y+2＝0，则f（1）+f′（1）＝（　　）
A．﹣4 B．3 C．4 D．8
6．（2025 广州模拟）若直线l与函数f（x）＝ex﹣2（x＞1）和g（x）＝lnx的图象分别相切于点A，B，则|AB|＝（　　）
A．2 B． C． D．
7．（2025春 台州期末）已知定义域为[﹣3，5]的函数f（x）的导函数为f′（x）且f′（x）的图象如图所示，则下列判断中正确的（　　）
A．f（x）在（3，5）上单调递增
B．f（x）有极大值f（4）
C．f（x）有3个极值点
D．f（x）在x＝1处取得最大值
8．（2025春 沈阳期末）牛顿迭代法亦称切线法，它是求函数零点近似解的另一种方法，若定义xk（k∈N）是函数零点近似解的初始值，过点Pk（xk，f（xk））的切线为y＝f′（xk）（x﹣xk）+f（xk），切线与x轴交点的横坐标xk+1，即为函数零点近似解的下一个初始值以此类推，满足精度的初始值即为函数零点的近似解，设函数f（x）＝x2﹣2，满足x0＝2应用上述方法，则x2＝（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 贵州期末）已知Sn是等差数列的前n项和，且S10＞0，a6＜0，则下列说法正确的是（　　）
A．{an}的公差d＜0 B．a4+a5+a6＜0
C．S11＞0 D．S5≥Sn
（多选）10．（2025春 临沂期末）已知f′（x）是函数f（x）的导函数，f′（x）的图象如图，则下列说法正确的是（　　）
A．f（x）在x＝2处取得极小值
B．f（x）在（1，2）上单调递增
C．f′（x）在区间（﹣1，1）内单调递减
D．f′（x）在x＝1处取得极大值
（多选）11．（2025春 济宁校级期末）已知函数f（x）＝x3﹣3x2，则下列说法正确的是（　　）
A．x＝2是函数f（x）的一个极小值点
B．函数f（x）的对称中心为（1，﹣2）
C．过点（1，﹣2）能作两条不同直线与y＝f（x）相切
D．函数y＝f[f（x）]+2有5个零点
三．填空题（共3小题）
12．（2025 黑龙江校级模拟）设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，，则 　 　 ．
13．（2025 东西湖区校级模拟）已知等比数列{an}及等差数列{bn}，其中b1＝0，公差d≠0．将这两个数列的对应项相加，得一新数列1，1，2，…，则这个新数列的前10项之和为　 　 ．
14．（2025春 南宁校级期末）已知函数g（x）＝x3+mx，若曲线y＝g（x）在x＝0处的切线也与曲线h（x）＝﹣2lnx相切，则实数m＝ 　 　 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 奉贤区校级期末）已知数列{an}的各项均为正数，a1，且an（n≥2）．
（1）求证：数列{}是等差数列；
（2）若数列{bn}满足bn，求数列{bn}中的最大项与最小项．
16．（2025春 浦东新区校级期末）党的十八大以来，我国防沙治沙工作取得显著成效，《全国防沙治沙规划（2021﹣2030年）》的提出明确了今后一个阶段防沙治沙工作的总体思路，工作重点和目标任务．某地区政府顺势提出了沙漠治理的十年计划．已知第1年该地区有土地1万平方千米，其中70%是沙漠，30%是绿洲．从第2年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造成绿洲，而原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀后又变成沙漠．设第n年的绿洲面积为an万平方千米，其中1≤n≤10，n∈N．
（1）证明：为等比数列；
（2）假设把沙漠改造成绿洲的改造费为每万平方千米2亿元，请计算该地区政府完成沙漠治理计划总共需要拨款的费用．
17．（2025 十堰模拟）已知函数f（x）＝ln（ax）+x（a＜0）．
（1）若直线y＝﹣1与曲线y＝f（x）相切，求a的值；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）若f（x）≤0，求a的取值范围．
18．（2025春 浦东新区校级期末）已知数列{an}，{bn}，{cn}满足（an+1﹣an）（bn+1﹣bn）＝cn（n∈N*）．
（1）若an＝n（n∈N*），bn＝n，求c1+c2的值；
（2）若an＝2n+3（n∈N*），cn＝n2，求数列{bn}的最小项；
（3）若bn，cn＝2n+n（n∈N*），当a1＝2时，判断是否存在互异的正整数p、q使得ap＝aq，并说明理由．
19．（2025 宝山区校级模拟）设定义域为R的函数y＝f（x）在R上可导，导函数为y＝f'（x）．若区间I及实数t满足：f（x+t）≥t f'（x）对任意x∈I成立，则称函数y＝f（x）为I上的“M（t）函数”．
（1）判断y＝x2+3x是否为（0，+∞）上的M（1）函数，说明理由；
（2）若实数t满足：y＝sinx为上的M（t）函数，求t的取值范围；
（3）已知函数y＝f（x）存在最大值．对于：
P：对任意x∈R，f'（x）≤0与f（x）≥0恒成立，
Q：对任意正整数n，y＝f（x）都是R上的M（n）函数，
问：P是否为Q的充分条件？P是否为Q的必要条件？证明你的结论．
期末重难点检测卷（二）-2024-2025学年高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第二册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C A B D C C C
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 AD AC ABD
一．选择题（共8小题）
1．（2024春 闵行区校级期末）已知等差数列{an}中，a1+a4+a7，那么cos（a3+a5）＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵等差数列{an}中，a1+a4+a7，
∴a1+a4+a7＝3a4，∴，
∴a3+a5＝2a4，
∴cos（a3+a5）＝coscos．
故选：B．
2．（2024春 徐汇区校级期末）已知{an}是等比数列，公比为q，若存在无穷多个不同的n（n∈N，n≥1）满足an+2≤an≤an+1，则下列选项之中，不可能成立的为（　　）
A．q＞0 B．q＜0 C．|q|＜1 D．|q|＞1
【解答】解：{an}是等比数列，公比为q，存在无穷多个不同的n（n∈N，n≥1）满足an+2≤an≤an+1，
当q＞0时，则：
当q＝1时，则{an}为非零常数列，∴an+2＝an＝an+1，q＝1符合题意，故A可能成立；
当q≠1时，则{an}为单调数列，∴an+2≤an≤an+1恒不成立，∴q＞0且q≠1不合题意；
当q＜0时，可得，则：
①当q＝﹣1时，若a1＞0，n为偶数时，则an+2＝an＜0＜an+1；
若a1＜0时，n为奇数时，则an+2＝an＜0＜an+1；
∴q＝﹣1符合题意，故B可能成立；
②当q＜﹣1，若a1＞0，n为偶数时，则an+2＜0，an＜0，an+1＞0，
且，即an+2＜an＜an+1；
若a1＜0，n为奇数时，则an+2＜0，an＜0，an+1＞0，且，
即an+2＜an＜an+1；故q＜﹣1符合题意，故D可能成立；
③当﹣1＜q＜0，∵an+2≤an≤an+1，∴，
∵﹣1＜q＜0，则q2﹣1＜0，1﹣p＞0，可得，
则an＝0，这与等比数列相矛盾，
故﹣1＜q＜0和0＜q＜1均不合题意，故C不可能成立．
故选：C．
3．（2024春 闵行区期末）已知等差数列﹣2024，﹣2020，…，则该数列的前n项和Sn（　　）
A．无最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值
C．有最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值
【解答】解：由题意可知，首项a1＝﹣2024，公差d＝4，
故2024n+2n2﹣2n＝2n2﹣2026n，
故该数列的前n项和Sn无最大值，有最小值．
故选：A．
4．（2017春 石泉县校级期末）数列1，1+2，1+2+22，…，1+2+22+…+2n﹣1，…的前n项和为（　　）
A．2n﹣n﹣1 B．2n+1﹣n﹣2 C．2n D．2n+1﹣n
【解答】解：∵1+2+22+…+2n﹣1，
∴数列1，1+2，1+2+22，…，1+2+22+…+2n﹣1，…的前n项和：
（21+22+…+2n）﹣n
．
故选：B．
5．（2025春 台州期末）已知函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为3x﹣y+2＝0，则f（1）+f′（1）＝（　　）
A．﹣4 B．3 C．4 D．8
【解答】解：根据题意可得f′（1）＝3，
又x＝1时，y＝5，所以f（1）＝5，
所以f（1）+f′（1）＝8．
故选：D．
6．（2025 广州模拟）若直线l与函数f（x）＝ex﹣2（x＞1）和g（x）＝lnx的图象分别相切于点A，B，则|AB|＝（　　）
A．2 B． C． D．
【解答】解：因为f（x）＝ex﹣2与g（x）＝lnx的导数分别为：
f′（x）＝ex﹣2与g′（x），
设A（m，em﹣2），B（n，lnn），m＞1，
则根据题意可得，
所以m﹣2＝﹣lnn，所以m＝2﹣lnn，
所以，
所以n﹣1＝lnn（n﹣1），所以n＝1或n＝e，
当n＝e时，m＝2﹣lnn＝1不满足m＞1，
所以n＝1，m＝2，
所以A（2，1），B（1，0），
所以|AB|．
故选：C．
7．（2025春 台州期末）已知定义域为[﹣3，5]的函数f（x）的导函数为f′（x）且f′（x）的图象如图所示，则下列判断中正确的（　　）
A．f（x）在（3，5）上单调递增
B．f（x）有极大值f（4）
C．f（x）有3个极值点
D．f（x）在x＝1处取得最大值
【解答】解：由题图知，在（0，2），（4，5]上f′（x）＞0，则f（x）在（0，2），（4，5]上单调递增，
在[﹣3，0），（2，4）上f′（x）＜0，则f（x）在[﹣3，0），（2，4）上单调递减，
所以f（x）在（3，5）上不单调，f（4）为极小值，且共有3个极值点，x＝1处不是最大值．
故选：C．
8．（2025春 沈阳期末）牛顿迭代法亦称切线法，它是求函数零点近似解的另一种方法，若定义xk（k∈N）是函数零点近似解的初始值，过点Pk（xk，f（xk））的切线为y＝f′（xk）（x﹣xk）+f（xk），切线与x轴交点的横坐标xk+1，即为函数零点近似解的下一个初始值以此类推，满足精度的初始值即为函数零点的近似解，设函数f（x）＝x2﹣2，满足x0＝2应用上述方法，则x2＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，因为f（x）＝x2﹣2，
所以f′（x）＝2x，
又以点Pk（xk，f（xk））为切点的切线为y＝f′（xk）（x﹣xk）+f（xk），
即切线方程为：y＝2xkx2，
令y＝0得：x＝xk+1，
又由x0＝2，则x1＝1，x2．
故选：C．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 贵州期末）已知Sn是等差数列的前n项和，且S10＞0，a6＜0，则下列说法正确的是（　　）
A．{an}的公差d＜0 B．a4+a5+a6＜0
C．S11＞0 D．S5≥Sn
【解答】解：等差数列中，由，a6＜0，可得a5＞0，
因此d＝a6﹣a5＜0，A正确，
a4+a5+a6＝3a5＞0，B错误，
，C错误，
由于a6＜0，故a5＞0，故S5是Sn中最大的项，故S5≥Sn，D正确．
故选：AD．
（多选）10．（2025春 临沂期末）已知f′（x）是函数f（x）的导函数，f′（x）的图象如图，则下列说法正确的是（　　）
A．f（x）在x＝2处取得极小值
B．f（x）在（1，2）上单调递增
C．f′（x）在区间（﹣1，1）内单调递减
D．f′（x）在x＝1处取得极大值
【解答】解：由f′（x）的图象可知：当x＜2时，f′（x）≤0，f（x）单调递减，当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
对于A，x＝2是f（x）的极小值点，故A正确，
对于B，f（x）在（1，2）上单调递减，B错误，
对于C，f′（x）在区间（﹣1，1）内单调递减，C正确，
对于D，f′（x）在x＝1处取得极小值，D错误，
故选：AC．
（多选）11．（2025春 济宁校级期末）已知函数f（x）＝x3﹣3x2，则下列说法正确的是（　　）
A．x＝2是函数f（x）的一个极小值点
B．函数f（x）的对称中心为（1，﹣2）
C．过点（1，﹣2）能作两条不同直线与y＝f（x）相切
D．函数y＝f[f（x）]+2有5个零点
【解答】解：f（x）＝x3﹣3x2，则f′（x）＝3x2﹣6x＝3x（x﹣2），
A，0＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）在（0，2）上单调递减；x＜0或x＞2时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，0），（2，+∞）上单调递增；
所以x＝2是函数f（x）的一个极小值点，正确；
B，f（x）+f（2﹣x）＝x3﹣3x2﹣x3﹣x2+4x2+4x﹣4x﹣4＝﹣4，
所以函数f（x）关于（1，﹣2）成中心对称，正确；
C，设过点（1，﹣2）的切线与函数y＝f（x）的切点为（x0，y0），则切线方程为，
则，整理得，解得x0＝1，
过点（1，﹣2）只能作一条直线与y＝f（x）相切，错误；
D，因为f（﹣1）＝f（2）＝﹣4，f（0）＝f（3）＝0，
令f（x）＝t，则f（t）＝﹣2有三个根，如图所示，
﹣1＜t1＜0＜t2＜2＜t3＜3，
所以方程f（x）＝t1有3个不同的根，方程f（x）＝t2和f（x）＝t3均有1个根，
故方程f[f（x）]+2＝0有5个根，即y＝f[f（x）]+2有5个零点，正确．
故选：ABD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025 黑龙江校级模拟）设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，，则 　　 ．
【解答】解：因为，
所以．
故答案为：．
13．（2025 东西湖区校级模拟）已知等比数列{an}及等差数列{bn}，其中b1＝0，公差d≠0．将这两个数列的对应项相加，得一新数列1，1，2，…，则这个新数列的前10项之和为　978　 ．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，则由题意可得 a1+0＝1，a1q+d＝1，2d＝2．
解得 a1＝1，q＝2，d＝﹣1．
故有an＝2n﹣1，bn＝0+（n﹣1）（﹣1）＝1﹣n．
故新数列的通项为cn＝an+bn＝2n﹣1+1﹣n．
故这个新数列的前10项之和等于等比数列的前10项和加上等差数列的前10项和，
即 978，
故答案为978．
14．（2025春 南宁校级期末）已知函数g（x）＝x3+mx，若曲线y＝g（x）在x＝0处的切线也与曲线h（x）＝﹣2lnx相切，则实数m＝ 　　 ．
【解答】解：因为g（x）＝x3+mx，所以g′（x）＝3x2+m，
所以g（0）＝0，g′（0）＝m，
所以g（x）在x＝0处的切线方程为y﹣g（0）＝g′（0）（x﹣0），即y＝mx；
因为h（x）＝﹣2lnx，所以h′（x），
设y＝mx与曲线h（x）＝﹣2lnx切于点（x0，﹣2lnx0），则h′（x0），
所以，且﹣2lnx0＝mx0，则﹣2lnx0＝mx0，可得﹣2lnx0＝﹣2，解得x0＝e，
所以．
故答案为：．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 奉贤区校级期末）已知数列{an}的各项均为正数，a1，且an（n≥2）．
（1）求证：数列{}是等差数列；
（2）若数列{bn}满足bn，求数列{bn}中的最大项与最小项．
【解答】解：（1）证明：∵{an}的各项均为正数，a1，且an（n≥2），
∴ ，
∴数列{}是等差数列．
（2）∵ ，
∴满足bn，
又f（n）是增函数，，
∴数列{bn}中的最大项为b1＝2，最小项为b2．
16．（2025春 浦东新区校级期末）党的十八大以来，我国防沙治沙工作取得显著成效，《全国防沙治沙规划（2021﹣2030年）》的提出明确了今后一个阶段防沙治沙工作的总体思路，工作重点和目标任务．某地区政府顺势提出了沙漠治理的十年计划．已知第1年该地区有土地1万平方千米，其中70%是沙漠，30%是绿洲．从第2年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造成绿洲，而原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀后又变成沙漠．设第n年的绿洲面积为an万平方千米，其中1≤n≤10，n∈N．
（1）证明：为等比数列；
（2）假设把沙漠改造成绿洲的改造费为每万平方千米2亿元，请计算该地区政府完成沙漠治理计划总共需要拨款的费用．
【解答】解：（1）证明：由题意，当n≥2时，
an＝（1﹣4%）an﹣1+（1﹣an﹣1）×16%＝0.96an﹣1+0.16﹣0.16an﹣1，
变形为an，，
所以数列{an}是以为首项，为公比的等比数列；
（2）由（1）可得an，
所以数列{an}的通项公式为an，
则1﹣an，
由题意可知，该地区政府完成沙漠治理计划时，把沙漠改造成绿洲的面积为：
S[]，
所以所需改造费用为2S1.27（亿元）．
17．（2025 十堰模拟）已知函数f（x）＝ln（ax）+x（a＜0）．
（1）若直线y＝﹣1与曲线y＝f（x）相切，求a的值；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）若f（x）≤0，求a的取值范围．
【解答】解：（1），
令，解得x＝﹣1，
所以直线y＝﹣1与曲线y＝f（x）相切的切点为（﹣1，﹣1），
所以f（﹣1）＝ln（﹣a）﹣1＝﹣1，解得a＝﹣1．
（2）因为a＜0，所以f（x）的定义域为（﹣∞，0），
当x∈（﹣∞，﹣1）时，f'（x）＞0，当x∈（﹣1，0）时，f'（x）＜0，
所以f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，在（﹣1，0）上单调递减．
（3）由（2）可得f（x）max＝f（﹣1）＝ln（﹣a）﹣1，
因为f（x）≤0，所以ln（﹣a）﹣1≤0，解得a≥﹣e，
故a的取值范围为[﹣e，0）．
18．（2025春 浦东新区校级期末）已知数列{an}，{bn}，{cn}满足（an+1﹣an）（bn+1﹣bn）＝cn（n∈N*）．
（1）若an＝n（n∈N*），bn＝n，求c1+c2的值；
（2）若an＝2n+3（n∈N*），cn＝n2，求数列{bn}的最小项；
（3）若bn，cn＝2n+n（n∈N*），当a1＝2时，判断是否存在互异的正整数p、q使得ap＝aq，并说明理由．
【解答】解：（1）由an＝n（n∈N*），可得an+1﹣an＝1，
由bn＝n，可得bn+1﹣bn＝11，
则cn＝（an+1﹣an）（bn+1﹣bn）＝1，
可得c1+c2＝11；
（2）由an＝2n+3（n∈N*），可得an+1﹣an＝2，
由cn＝n2，可得bn+1﹣bncnn（n），
可得n＝1，2时，bn+1﹣bn＜0，即b3＜b2＜b1，
当n≥3时，bn+1﹣bn＞0，即b3＜b4＜...＜bn，
所以数列{bn}的最小项为b3．
（3）由bn，可得
bn+1﹣bn（﹣1）n+1（﹣1）n
＝（﹣1）n+1，由cn＝2n+n（n∈N*），
可得an+1﹣an（﹣1）n+1（n+2n），
当n为奇数时，an+1﹣an＝n+2n，
可得an+2﹣an+1＝﹣（n+1）﹣2n+1，
两式相加可得an+2﹣an＝﹣1﹣2n＜0，由a1＝2，
当n为奇数时，an≤2且an单调递减，不存在互异的奇数p、q使得ap＝aq；
n为偶数时，an+1﹣an＝﹣n﹣2n，
可得an+2﹣an+1＝（n+1）+2n+1，
两式相加可得an+2﹣an＝1+2n＞0，由a1＝2，
a2﹣a1＝2+1＝3，所以a2＝5，
当n为偶数时，an≥5且an单调递增，不存在互异的偶数p、q使得ap＝aq；
当n为奇数时，an≤2，当n为偶数时，an≥5，所以不存在一奇一偶的正整数p、q使得ap＝aq．
综上，可得数列{an}中不存在互异的正整数p、q使得ap＝aq．
19．（2025 宝山区校级模拟）设定义域为R的函数y＝f（x）在R上可导，导函数为y＝f'（x）．若区间I及实数t满足：f（x+t）≥t f'（x）对任意x∈I成立，则称函数y＝f（x）为I上的“M（t）函数”．
（1）判断y＝x2+3x是否为（0，+∞）上的M（1）函数，说明理由；
（2）若实数t满足：y＝sinx为上的M（t）函数，求t的取值范围；
（3）已知函数y＝f（x）存在最大值．对于：
P：对任意x∈R，f'（x）≤0与f（x）≥0恒成立，
Q：对任意正整数n，y＝f（x）都是R上的M（n）函数，
问：P是否为Q的充分条件？P是否为Q的必要条件？证明你的结论．
【解答】解：（1）设定义域为R的函数y＝f（x）在R上可导，导函数为y＝f'（x）．
若区间I及实数t满足：f（x+t）≥t f'（x）对任意x∈I成立，
则称函数y＝f（x）为I上的“M（t）函数”．（x2+3x）′＝2x+3．
∵（x+1）2+3（x+1）≥1 （2x+3）等价于x2+2x≥0，在（0，+∞）时恒成立，
∴y＝x2+3x是（0，+∞）上的M（1）函数．
（2）实数t满足：，
即．①
特别地，在①中取，可知，
反之，当时，①成立．
令φ（t）＝sint﹣t，由于φ'（t）＝cost﹣1≤0，且φ'（t）＝0的t为离散的点，
故y＝φ（t）为严格减函数，又φ（0）＝0，所以sint﹣t≥0 t≤0．
cost≥0 [2k，2k]，
从而t的取值范围是：{t|t≤0且t∈[2k，2k]}．
（3）若P成立，则对任意正整数n，有：f（x+n）≥0≥n f'（x）（ x∈R），
即y＝f（x）为R上的M（n）函数，Q成立．故P为Q的充分条件．
若Q成立，即对任意正整数n，有：f（x+n）≥n f'（x）（ x∈R）②，
记函数y＝f（x）的最大值为K．
先证明f'（x）≤0恒成立．
反证法，假如存在x1∈R使得f'（x1）＞0，则取正整数n，使得n f'（x1）＞K，
此时有n f'（x1）＞K≥f（x1+n），与②矛盾．
这意味着y＝f（x）为R上的严格减函数．
再证明f（x）≥0恒成立．
取x0为y＝f（x）的一个最大值点，
则当x≤x0时，由单调性知f（x）≥f（x0）＝K，但f（x）≤K，所以f（x）＝K（ x≤x0），
于是f'（x）＝0（ x＜x0）．
对任意x2∈R，可取一个与x2有关的正整数n，使得x2﹣n＜x0，
由②知：f（x2）≥n f'（x2﹣n）＝0．
于是P成立．故P也为Q的必要条件．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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