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2024-2025 学年高二下学期 3 月月考数学试卷
一、选择题 1．班主任从甲、乙、丙三位同学中安排四门不同学科的课代表，要求每门学科有且只
有一位课代表，每位同学至多担任两门学科的课代表，则不同的安排方案共有( )
A.60 种 B.54 种 C.48 种 D.36 种
2．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘 3 再加上 1；若是偶数，就将该数除以 2.
反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环图 ，这就是数
学史上著名的“冰霓猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列 满足： ，
则 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3．二项式 的展开式中 的系数为( )
A.60 B. C. D.12
4．已知 M、N 两点坐标分别为 ， .直线 MK、NK 相交于点 K，且它们的斜
率之和是 3，则点 K 的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
5．函数 的导函数 的图象如图所示,给出下列选项正确的是( )
A. 是函数 的极大值点;
B. 是函数 的最小值点;
C. 在区间 上单调递增;
D. 在 处切线的斜率小于零.
6．已知数列 的首项 ，其前 n 项和 满足 ，则 ( )
A. B. C. D.
7．已知 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，点 P 在双曲
线上， ，圆 ，直线 与圆 O 相交于 A，B 两点，直
线 与圆 O 相交于 M，N 两点.若四边形 AMBN 的面积为 ，则 C 的离心率为( )
A. B. C. D.
8．已知函数 ，则 在区间 上的最大值为( )
A.-2 B.2 C.-4 D.4
二、多项选择题
9．函数 的图像可能是( )
A. B.
C. D.
10．数列 的通项公式为 , ,前 n 项和为 ,下列结论中正确的是( )
A. 的最小值为
B.存在正整数 ,使得
C.存在正整数 ,使得
D.记 ,则数列 有最小项
11．已知抛物线 的焦点为 F,点 M,N 在抛物线 C 上,则( )
A.若 M,N,F 三点共线,且 ,则直线 的倾斜角的余弦值为
B.若 M,N,F 三点共线,且直线 的倾斜角为 ,则 的面积为
C.若点 在抛物线 C 上,且 M,N 异于点 A, ,则点 M,N 到直线 的距
离之积为定值
D.若点 在抛物线 C 上,且 M,N 异于点 A, ,其中 ,则
三、填空题
12．在某市举行的数学竞赛中，A，B，C 三所学校分别有 1 名、2 名、3 名同学获一
等奖，将这 6 名同学排成一排合影，若要求同校的同学相邻，有种不同的排法
________.（用数字作答）
13．如图,在梯形 中, , ,P 是 边所在直线上的动点,若该梯形
的面积为 ,则 的最小值为_________________.
14．数列 满足 ,则 ____________,
的整数部分是____________．
四、解答题
15．已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 有两个零点，求实数 a 的取值范围.
16．已知数列 中, , .
(1)求证： 是等比数列,并求 的通项公式;
(2)数列 满足 ,数列 的前 n 项和为 ,若不等式
对一切 恒成立,求 的取值范围.
17．已知椭圆 过点 ，且离心率为 .设 A，B 为椭圆 C
的左、右顶点，P 为椭圆上异于 A，B 的一点，直线 ， 分别与直线 相交
于 M，N 两点，且直线 与椭圆 C 交于另一点 H.
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)求证：直线 与 的斜率之积为定值；
(3)判断三点 A，H，N 是否共线：并证明你的结论.
18．已知数列 满足 .
(1)设 ，求数列 的通项公式；
(2)若数列 的前 n 项和为 ，且 ，求 的值.
19．已知函数 .
（1）讨论 的单调性;
（2）若 有两个零点, 为 的导函数.
（i）求实数 a 的取值范围;
（ii）记 较小的一个零点为 ,证明: .
参考答案 1．答案：B
解析：第一种情况，甲、乙、丙三位同学都有安排时，
先从 3 个人中选 1 个人，让他担任两门学科的课代表，有 种结果，
然后从 4 门学科中选 2 门学科给同一个人，有 种结果，
余下的两个学科给剩下的两个人，有 种结果，
所以不同的安排方案共有 种，
第二种情况，甲、乙、丙三位同学中只有两人被安排时，
先选两人出来，有 种结果，
再将四门不同学科分成两堆，有 种结果，
将学科分给学生，有 种结果，
所以不同的安排方案共有 种，
综合得不同的安排方案共有 种.
故选：B.
2．答案：B
解析：由题意可得 ， ， ，
， ， ， ， ， ，…，按照此规律下去，
可得 ， ， ， ，
令 ，解得 ， .
故选：B.
3．答案：C
解析： 展开式的通项 ,
令 ,解得 ,所以 ,即 的系数为 .
故选：C.
4．答案：A
解析：设 ，则直线 KM 的斜率为 ，直线 KN 的斜率为 ，
依据题意可知， ，化简得 ，因为直线 KM、
KN 的斜率存在，所以 ，
所以点 K 的轨迹方程为 .故选 A.
5．答案：C
解析：由函数 的导函数 的图象可知,
A. 左侧的导数小于 0,而右侧的导数大于 0,所以 是函数 的极小值点,故 A
错误,不符合题意;
B. 左侧的导数大于 0,右侧的导数大于 0, 不是函数 的最小值点,故 B 错误,
不符合题意;
C.当 时, , 单调递增,故 C 正确,符合题意;
D.由图象得 ,所以 在 处切线的斜率大于零,故 D 错误,不符合题意;
故选：C.
6．答案：C
解析：因为 ，所以 ，两式相减得 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 .故选 C.
7．答案：D
解析：根据对称性不妨设点 P 在第一象限，如图所示，
圆 ，圆心为 ，半径为 ，
设 ， ，点 P 在双曲线上，
，则有 ， ，可得 ，
过 O 作 MN 的垂线，垂足为 D，O 为 的中点，
则 ， ，
同理， ，由 ，
四边形 AMBN 的面积为 ，
，
化简得 ，则有 ，
则 C 的离心率 .
故选：D
8．答案：B
解析：因为 ，
所以函数 的导函数为 ，
令 ，可得 或 ，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
当 时， 。函数 在 上单调递减，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
又 ， ，
所以 在区间 上的最大值为 2.
故选：B.
9．答案：ABC
解析： ，当 时， ，A 选项正确；
， ，
，
时， 有两个根 ， ，
且 ， 时 ， ，根据极值点判断，故 C 选项正确，D 选项
错误；
当 时， 有两个根 ，
且 ， ，此时 ， ，故 B 选项正确.
故选：ABC.
10．答案：ABD
解析：对于 A:因为 , ,令 ,解得 ,
又 , , ,所以当 或 时 取得最小值,最小值为 ,故 A 正确;
对于 B:令 ,解得: 或 （舍去）,即 ,
,即存在正整数 , ,使得 ,故 B 正确;
对于 C:由 知,当 时 ,且单调递增,
当 且 时, , ,则 ;
当 且 时, ,当且仅当 时等号成立,
而 且 时, ,故等号不成立,即 .
综上知,不存在正整数 ,使得 ,故 C 错误;
对于 D:由 知, , , ,
当 时 ,且单调递增,
由 知, , , ,
当 时数列 有最小项 ,故 D 正确;
故选:ABD.
11．答案：BCD
解析：对 A,设抛物线 ,设直线 ,
设 , ,联立 ,
则 , , ,
由于 ,可得 ,代入上式得： , ,
解得： ,且直线 的斜率为 ,
设直线 MN 的倾斜角为 ,则 ,且 ,
则 ,解得 ,故 A 错误;
对 B,设抛物线 ,且直线 的倾斜角为 ,
设直线 ： ,
设 , ,联立 ,
则 , ,
,故 B 正确;
对 C,由于点 在抛物线 C 上,此时抛物线 ,
设 , ,
设直线 ,
联立
则 ,解得 （舍去,此时 重合）或 ,
则点 到直线 的距离为 ,
同理可得,因为 ,则 到直线 的距离为 ,
故所求距离之积为 ,故 C 正确;
对 D,由于点 在抛物线 C 上,此时抛物线 ,
设直线 ,
与抛物线方程联立可得 ,
则 ,则 ,用 替换可得 ,
则 ,
则 , ,
故直线 ,即 ,
则点 F 到直线 MN 的距离 ,
而
即 ,
,
得 ,
令 ,
故 ,
,
当且仅当 时等号成立,故 D 正确;
故选：BCD.
12．答案：72
解析：利用捆绑法将每个学校的同学看成一个整体，
则共有 种排法.
故答案为：72.
13．答案：16
解析：取 的中点 O,作 ,垂足为 H,
则
,
因为该梯形的面积为 ,且 , ,
则 ,即 ,
可得 ,
所以 的最小值为 16.
故答案为：16.
14．答案：①. ②.1
解析：① ,则 , ;
② ,则 ,
则 ,即 ,
故
,
又 ,得 ,即 ,
则 ,
则 ,故 ,
则 的整数部分是 1.
故答案为： ;1.
15．答案：(1)答案见解析
(2)
解析：（1） 的定义域为 ，
若 ，则 ，则 在 单调递减；
若 ，则由 得 .
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
综上，当 时， 在 单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）若 ，由（1）知， 至多有一个零点.
若 ，由（1）知，当 时， 取得最小值，
最小值为 .
①当 时，由于 ，故 只有一个零点；
②当 时，因为 单调递增， 单调递增，
所以 单调递增，所以 ，
，故 没有零点；
③当 时，由于 ，即 ，
又 ，
故 在 有一个零点.
设正整数 满足 ，
则 ，
故 在 有一个零点.
综上，a 的取值范围为 .
16．答案：(1)证明见解析, ;
(2) .
解析：(1)由 得 ,即 ,
又 ,所以 是以 是为首项, 为公比的等比数列.
所以 ,即 .
(2) ,所以 ,
.
两式相减得 ,所以 ,
所以 . 令 ,易知 单调递增,
若 n 为偶数,则 ,所以 ;
若 n 为奇数,则 ,所以 ,所以 .
综上所述 .
17．答案：(1)
(2)定值为 ，证明见解析.
(3)三点 A，H，N 共线，证明见解析.
解析：(1)由题知： ，
所以椭圆 .
(2)由题知： ， 存在，
且不为零，设 ， ， ，
则 ，即 .
.
所以直线 与 的斜率之积为定值 .
(3)A，H，N 三点共线，证明如下：
设直线 ，
则直线 ，
将 代入直线 ， 得： ， ，
，设直线 ，
联立 ，
设 ，则 ，解得 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
，
所以 ，A 为公共点，
所以 A，H，N 三点共线.
18．答案：(1) ；
(2) 或 .
解析：(1)由 YI5，
当 时， ER5，
①-②则 ，
又 满足上式，
所以 .
(2)由(1)，知 ，
则 ，故 ，
所以 ，且 ，
若 n 为偶数， ，则 ；
若 n 为奇数， ，则 ；
故 ，
解得 或 .
19．答案：（1）当 时,函数 在 单调递减;
当 时,函数 在 上单调递减,在 单调递增.
（2）（i）
（ii）见解析
解析：（1）函数 的定义域为 , ,
①当 时, ,函数 在 单调递减;
②当 时,令 ,解得 ,
当 时, ,函数 单调递减;
当 时, ,函数 单调递增.
综上所述,当 时,函数 在 单调递减;
当 时,函数 在 上单调递减,在 单调递增.
（2）（i）若 ,由（1）知, 至多有一个零点;
若 ,由（1）知,当 时, 取得最小值,最小值为 .
因为当 时, ;
当 时, ,
所以函数 有两个零点当且仅当 .
设 ,函数 在 单调递增.
因为 , 的解集为 .
综上所述,a 的取值范围是 .
（ii）因为 ,由 ,结合（i）知 ,
要证 ,即证 ,即 ,
当 时,因为 , ,不等式恒成立;
当 时,由 得 .
即证 .
即证 .
即证 .
设 , ,由 ,
所以 在 单调递增.所以 ,故原不等式成立.
所以 .

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