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柳铁一中 2025 届高考适应性考试（一）
数学学科参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C D A C B C C D ABD AC ACD
4 7 3 2π
填空题：12. /0.8 13. 9 14 π ， + 4 3
5 3 3
1．C【解】B ={x∣lnx 1}={x∣0 x e}，所以 A B = 1,2 ．故选：C
2．D【解】由 z i =1，可得： z = i z = i ，故 z 的虚部为 1．故选：D
1 2 2 2 2
3．A【解】由条件a b =1 1 cos60
= ， a b = (a b) = a +b 2a b =1+1 1=1故选：A
2
1+ tan 1
4．C【解】 = 2 tan = .故选：C.
1 tan 3
5．B【解】由题可得 r 1 3 r +1，解得：2 r 4．故选：B
1 1 1 1 1 1 b a 1 b a
6．C【解】由题设a +b = 4，则 + = (a + b)( + ) = (2+ + ) (2+ 2 ) =1，
a b 4 a b 4 a b 4 a b
1 1
当且仅当a = b = 2时取等号，即 + 的最小值为 1.故选：C
a b
AC 1
7．【详解】解：如图所示：因为 APB = 2 APC,sin APC = = ，
PC PC
t2
2
22 2 t t
4 t2 1 2
P 2设 t, ，则 PC = t + 3 = + 9 = (t 4) +8，当 t 2 = 4 时， PC 取得最小值2 2 ，
4 4 16 2 16
2
1 3
此时， APB最大，cos APB最小，且 (cos APB) =1 2sin2 APC =1 2 =
min
2 2 4
8．D【详解】设 BF1 = t ，由 AF = 3 BF AF = 2a 3t, BF = 2a t1 1 ，得 AF1 = 3t ，由椭圆定义可知 2 2 ，
π
F AB = , △ABF 2 2 2
π 4a
2 在 2 中，由余弦定理得 (2a t) = (4t) + (2a 3t) 2 4t (2a 3t ) cos ，解得 t = 或 t = 0（舍
3 3 9
2 2
4a 2a 2 4a 2a 4a 2a π去）， 在 F1AF2 中， AF1 = , AF2 = , F1F2 = 2c， (2c) = + 2 cos ，解得a = 3c, 离
3 3 3 3 3 3 3
c 3
心率e = = .
a 3
3 1 3 3 1 7 3 1 1
9．ABD【详解】依题意， P(A) = = ，P(B) =1 P(B) =1 (1 )(1 ) = ，P(C) = P(B) = (1 )(1 ) = .
4 2 8 4 2 8 4 2 8
对于 A，因“两人都击中”的对立事件为“至多 1 人击中”，即包括“无人击中”，“1 人击中”，故事件A 与 C 是互斥事
件，即 A 正确；对于 B，因“至少 1 人击中”包括“1 人击中”，“2 人击中”两种情况，故其对立事件即“无人击中”，即
3 3 7 21
B 正确；对于 C，依题意，因 A B = A，则P(A B) = P(A) = ，而P(A)(B) = = P(A B)，故事件 A 与
8 8 8 64
7
B 不相互独立，即 C 错误；对于 D，因 A B = B ，故P(A B) = P(B) = ，故 D 正确.
8
1
10．AC【详解】当a = 0时， f (x) = sin2x，为奇函数，且T = π，故 AC 正确；
2
若 f (x)为偶函数，则 f ( x) = sin ( x) cos( x)+ asin ( x) = sinx (cosx asin x) = sinxcosx+ asin
2x，
1 a a
f (x) f ( x) = 2sinxcosx = 0恒成立，矛盾，故 B 错误；因为 f (x) = sin xcos x + asin2 x = sin 2x cos 2x + ，所以
2 2 2
2 2
1 1 1
f (x) = + a + a = 0，无解，故 D 错误． max
2 2 2
2
11．ACD【详解】由 f (2x)+ f (2y) = 2 f (x+ y) f (x y) ，令 x = y = 0 ，则 2 f (0) = 2 f (0) ，又 f (0) 0 ，
所以 f (0) =1 ，故 A 正确；因为 x = 0时 f (0) =1 ，则 f ( x) = f (x)不成立，所以 f (x) 不是奇函数，故 B 错
2 2
误；令 x =1, y = 0可得 f (2)+ f (0) = 2 f (1) 1+1= 2 f (1) = 0 ，所以 f (1) = 0 ，
令 x = y +1 ，则 f (2y + 2)+ f (2y) = 2 f (2y +1) f (1) = 0 f (2y + 2) = f (2y) ，令 2y = t ，则
f (t + 2) = f (t ) f (t + 4) = f (t + 2) = f (t ) ，所以 f (x) 的周期为 4，故 C 正确；
答案第 1 页，共 4 页
由 f (x+ 2) = f (x) ，得 f (3) = f (1) = 0, f (4) = f (2) =1 ，所以 f (1)+ 2 f (2)+ +100 f (100)
= (0 2+0+ 4)+ (0 6+0+8)+ + (0 98+0+100) = 2 25 = 50 ，故 D 正确.
4
12． /0.8【详解】数列 an 中，由 an+1 an = 2n + 2，得an+1 = an + 2n + 2，而a1 = 2，
5
1 1 1 1 1 1 1 1
则 a2 = a1 + 4 = 6,a3 = a2 + 6 =12,a = a +8 = 20 ，所以 + + + = + + +4 3
a1 a2 a3 a4 1 2 2 3 3 4 4 5
1 1 1 1 1 1 1 1 4 4
= (1 )+ ( )+ ( )+ ( ) =1 = .故答案为：
2 2 3 3 4 4 5 5 5 5
13．9【解】某考生从 6 所大学中选择 4 所进行报名，其中甲、乙两所学校至多报一所，则该考生报名的可能情况有
C1 32 C4 +C
4
4 = 9种．故答案为：9.
7 3 2π
14． π + 4 3 【解】设圆台高为 h，已知 r =1， R = 2 ，母线长 l = 2，
3 3
2
则 h = l2 (R r)2 22 (2 1) = 3，
1 7 3
所以圆台体积为V = 3 (π 12 + π 4π + π 22 ) = π；圆台侧面展开图是一个扇环，设其所在扇形所对圆心角
3 3
2πR 2πr 2πR
为 ,半径为R ,则 2πR = R 且 2πr = (R 2) = R 2 = 2πR 2 ,解得 = = π,如图，OE = R l = l = 2，
2 π
过A 作 AB 与小半圆切于点B,连接OB 并延长至B ，
过D作CD与小半圆切于点C ，且两切线交于点F , 连接OC 并延长至C ，则 AB ⊥OB ,CD ⊥OC ，
由题意知爬行过程中必然经过线段BB 中某一点和CC 中某一点，所以 AB,CD 是爬行的最短距离时的部分路径.
所以B,C 是爬行最短路径时经过的点，则BC 也是爬行的最短路径的另一部分，
1 π π
由上可知，OB = 2 = OA，故 AOB = ， AB = 42 22 = 2 3，同理 DOC = ，CD = 2 3 ，
2 3 3
π 1 2π 2π 2π
所以 BOC = , 所以BC = 4π = ，所以爬行的最短距离为2 3 + 2 3 + = 4 3 + .
3 6 3 3 3
2
15.解:（1）乙、丙两人均没有晋级的概率为 (1 q) ,...............2 分
1
乙、丙两人有且仅有一人晋级的概率为C2q (1 q)，.................4 分
2 p = (1 q) 4 1
故 解得 p = ，q = ............................6 分
p = C
1
2q (1 q) , 9 3
（2） 的所有可能取值为 0，1，2，3..........................7 分
1 2 1
P ( = 0) = (1 q) ， P ( = 3) = q2，......................9 分
2 2
1 2 1 1
由题知 (1 q) = q2 ，解得q = ，.........................10 分
2 2 2
1 1 3
所以 ~ B 3, ，所以E ( ) = 3 = .............13 分
2 2 2
a b c
16.解:（1）由正弦定理 = = = 2R （ R 为 ABC 外接圆半径），……………………………..1 分
sinA sinB sinC
a b c
将 sinA = ，sinB = ,sinC = 代入sin2 A+ sinBsinC = sin2B + sin2C ，
2R 2R 2R
2 2 2
a b c b c
可得 + = + ，
2R 2R 2R 2R 2R
化简后得到a2 + bc = b2 + c2，即b2 + c2 a2 = bc ．……………………………………..3 分
b2 + c2 a2 bc 1
根据余弦定理cos A = ，把b2 + c2 a2 = bc 代入可得 cosA = = ．…………………. 5 分
2bc 2bc 2
π
因为0 A π，所以 A = ；……………………………………. 6 分
3
（2）在△ABD中，根据余弦定理BD2 = AB2 + AD2 2AB ADcosA．……………………………………. 8 分
b π
因为D为 AC 中点，设 AB = c, AD = ，已知BD = 3, A = ，
2 3
b2 b π b2 bc
则9 = c2 + 2c cos ，即9 = c2 + ．……………………………………. 10 分
4 2 3 4 2
答案第 2 页，共 4 页
2 b
2
2 b
2 b
根据基本不等式c + 2 c = bc （当且仅当 c = 时取等号）．
4 4 2
b22 bc bc bc b所以9 = c + bc = ，即bc 18，当且仅当c = 时取等号．……………………………………. 13 分
4 2 2 2 2
2
b 2 b b2b bc b b
将 c = 代入9 = c2 + ，可得9 = + ， 2 4 2 2 4 2 2
解得b = 6， c = 3，满足条件，所以bc的最大值为 18．……………………………………. 15 分
x2 y2
17.解:（1）双曲线3x2 y2
=1
= 可化为 ……………………………………. 1 分
3
1 1 2 3 2
S ABF = F1F2 AB = 2 = 4 =121 2 2 3 3 ，即 = 3……………………………………. 3 分
3
y2
双曲线 C的标准方程为 x2 =1．……………………………………. 5 分
3
（2）设直线 l的方程为 x = ty + 2(t 0)， A(x1, y1 )，B (x2 , y2 )，……………………………………. 6 分
3x2 y2 = 3 2
联立双曲线 C与直线 l： ，消去 x可得： (3t 1) y2 +12ty +9 = 0，……………………………8 分
x = ty + 2
2
Δ = (12t ) 4 9(3t2 1) 0，则 = t2 +1 0 恒成立，……………………………………. 9 分
12t 9 2 1
又直线与双曲线交于右支两点，故 y1 + y2 = ， y y2 1 2 = 0，即 t ，…………………. 11 分 3t 1 3t2 1 3
4 2 6t
进而可得 x1 + x2 = ，即 AB中点 M ,2 为 3t2 2
，……………………………………. 12 分
3t 1 1 3t 1
6t 2
线段 AB的中垂线为 y + = t x +2 2 ，……………………………………. 13 分 3t 1 3t 1
2
8 8 6t + 6
则D ,0 ，即 DF2 2 = 2+ = ．
3t 1 3t
2 1 3t2 1
2 2 DF
2 2 2 12t 9 6t + 6 2AB = 1+ t ( y + y ) 4y y = 1+ t 4 = ．即 为定值 1．……………………. 15 分 1 2 1 2
3t
2 1 3t
2 1 3t2 1 AB
18.解：（1）不妨设 AB = 2 ，则BC =CE = 4，
∵ ABC = 60 ， BC = 2AB=4，由余弦定理可得：
2 2 2 1AC = AB + BC 2AB BC cos ABC = 4+16 16 =12，……………………………………. 1 分
2
所以 AB2 + AC2 = 4+12 =16 = BC2 ，
即 BCA = 30 ， BAC = 90 ， AB ⊥ AC ， …………………………………….2 分
所以 AC = 2 3，又因为 AC2 + AE2 =12+ 4 =CE2，所以 AC ⊥ AE，
又因为 AB AE = A，所以 AC ⊥平面 AEB，……………………………………. 4 分
BE 平面 AEB，所以EB ⊥ AC .……………………………………. 5 分
（2）①EF 与BC 异面直线，理由如下：
取 AB 的中点为 O，连结EO， EAB 为等边三角形.
所以EO ⊥ BA， EO = 3 由（1）知 AC ⊥平面 AEB，……………………………………. 6 分
所以EO ⊥ AC ， AB AC = A，所以EO ⊥平面 ABC ，又由 AB ⊥ AC .……………………………………. 7 分
则以 A为原点， AB，AC分别为 x轴，y轴，
以过 A平行于EO的直线为 z轴，建立空间直角坐标系.
A(0,0,0)，B (2,0,0)，D ( 2,2 3,0)，C (0,2 3,0)，E (1,0, 3)，
设F (x, y, z)，EF = (x 1, y, z 3)， AB = (2,0,0)， AD = ( 2,2 3,0)，
DC = (2,0,0)，CF = (x, y 2 3, z)， CF = (x + 2, y 2 3, z)
2 2
因为 2EF = 7 ，所以 (x 1) + y + (z 3) = 7 ，
2 2 2
因为FD = FC ，所以 x2 + ( y 2 3 ) + z2 = (x + 2) + ( y 2 3 ) + z2 ，
答案第 3 页，共 4 页
因为EF = AB + AD，可得 (x 1, y, z 3) = (2,0,0)+ ( 2,2 3,0)，……………………………………. 10 分
x = 2 2 +1
2
所以 y = 2 3 ，把 z = 3 代入上面两式得， (x 1) + y2 = 7和4x + 4 = 0 ，

z = 3
x = 1
所以 ，又 0 ，所以F ( 1, 3, 3)，……………………………………. 12 分
y = 3
所以EF = ( 2, 3,0)，BC = ( 2,2 3,0)，所以EF kBC ，EF 与BC 不平行，
又因为EF = AB + AD，则EF 和平面 ABCD共面，则 EF在平面 ABCD内，或EF / / 平面 ABCD，
又因为点 E在平面 ABCD外，所以EF / / 平面 ABCD，
所以EF 与BC 不相交.即EF 与BC 异面直线；…………………………..14 分
②由（1）知 AC = (0,2 3,0)为平面 AEB 的法向量，
设平面FCD的法向量为m = (x , y , z )，DF = (1, 3, 31 1 1 )，DC = (2,0,0)，
m DF = 0 x1 3y，所以 1
+ 3z1 = 0
，取 y1 =1，则 z1 =1，m = (0,1,1) …………………….15 分
m DC = 0 2x1 = 0
设平面 ABE与平面FCD夹角为
2 3 2
cos = cos AC,m = = ，所以 = ，所以平面 ABE与平面 FCD的夹角为 ……………………17 分
2 3 2 2 4 4
x 1 1 x
19.解:（1）因为 f (x) = ln(x +1) ， x 1，所以 f (x) = =2 2 ........1 分
x +1 x +1 (x +1) (x +1)
当 x ( 1,0)时， f (x) 0， f (x) 单调递减，当 x (0,+ )时， f (x) 0， f (x) 单调递增，
从而 f (x)min = f (0) = 0，则 f (x) 0 ..............4 分
x2 xn
（ 2 n n 12）因为 g(x) =1 x + + + ( 1)n ，n N* ，所以 g (x) = 1+ x x + + ( 1) x ，.............5 分
2 n
1+ ( x)n n
当 x 0时， g (x) = ，当 x = 0时， g
1+ ( x)
(x) = 1，故 g (x) = ， x 0,+ ) ...............6 分
1+ x 1+ x
当 n 为奇数时， g (x) 0在[0,+ )上恒成立，则 g(x)在[0,+ )上单调递减，
因为 g(0) =1 0， g(n) 0，所以 g(x)在[0,+ )上的零点个数为 1........................8 分
xn 1
当 n 为偶数时， g (x) = ，则当 x [0,1) 时， g (x) 0， g(x)单调递减，
x +1
1 1 1 1 1
当 x (1,+ )时， g (x) 0， g(x)单调递增，从而 g(x)min = g(1) = (1 1)+ ( )+ + ( )+ 0，
2 3 n 2 n 1 n
所以 g(x)在[0,+ )上的零点个数为 0.....................10 分
综上可得：当n 为奇数时， g(x)在[0,+ )上的零点个数为 1，
当 n 为偶数时， g(x)在[0,+ )上的零点个数为 0.........................11 分
1 1 1 1
（3）由（2）可知，当n = 2k ， k N* 时， g(x)min = g(1) =1 1+ + + ...........12 分
2 3 2k 1 2k
1 1 1 1
要证 x 0， g(x) 1 ln 2，即证1 1+ + + 1 ln 2，
2 3 2k 1 2k
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
即证1 + + + ln 2，即证1+ + + + 2( + + + ) ln 2，
2 3 4 2k 1 2k 2 3 2k 2 4 2k
1 1 1
即证 + + + ln 2 ....................13 分
k +1 k + 2 2k
x 1 n+1 1
由（1）可知， f (x) = ln(1+ x) 0 ，当且仅当 x = 0时，等号成立.令 x = ，可得 ln ，..................15 分
x +1 n n n+1
1 1 1 k +1 k + 2 2k 2k
故 + + + ln + ln + + ln = ln = ln 2 ........16 分
k +1 k + 2 2k k k +1 2k 1 k
从而 x 0， g(x) 1 ln 2 ..................17 分
答案第 4 页，共 4 页柳铁一中 2025 届高考适应性考试（一）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1．已知集合 A = 1,1,2,3 ，B = x lnx 1 ，则 A B =（ ）
A． 1 B． 1,1 C． 1,2 D． 1,1, 2
2．已知 z 是复数 z 的共轭复数， z i =1（ i 为虚数单位），则 z 的虚部是（ ）
A． i B． -i C． 1 D．1
3．已知a,b 都是单位向量，夹角为60 ，则 a b 的值为（ ）
A．1 B．2 C． 2 D． 3

4． 已知 tan + = 2，则 tan =（ ）
4
1 1
A．3 B．2 C． D．
3 2
2
5．已知圆 x2 + y2 =1和圆 (x 3) + y2 = r2 (r 0)有公共点，则 r 的取值范围为（ ）
A． 2,+ ) B． 2,4 C． 3,4 D． 1,4
1 1
6．若随机变量 X N (2, 2 )，且P(X a) = P(X b)(a 0,b 0)，则 + 的最小值为（ ）
a b
1 1
A． B． C．1 D．2
4 2
2
7．已知 2 2P 为抛物线 x = 4y上的一点，过 P 作圆 x + ( y 3) =1的两条切线，切点分别为A ， B ，则
cos APB的最小值是（ ）
1 2 3 7
A． B． C． D．
2 3 4 9
x2 y2
8．已知椭圆C : + =1(a b 0)的左、右焦点分别为F , F ，过F1 2 1的直线与C 交于 A, B两点，若
a2 b2
π
AF1 = 3 BF1 ，且 F2 AB = ，则C 的离心率为（ ）
3
1 1 2 3
A． B． C． D．
3 2 2 3
试卷第 1 页，共 4 页
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6 分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
3 1
9．射击场，甲乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子的概率分别为 , . 记事件A 为 “两人都击中”，
4 2
事件 B 为 “至少 1 人击中”，事件 C 为 “无人击中”，则下列说法正确的是（ ）
A．事件A 与 C 是互斥事件 B．事件 B 与 C 是对立事件
7
C．事件 A 与 B 相互独立 D．P(A B) =
8
10．已知函数 f (x) = sinx (cosx+ asinx)，则存在实数 a ，使得（ ）
A． f (x)的最小正周期为 π B． f (x)是偶函数
C． f (x)是奇函数 D． f (x)的最大值为 0
11．对任意的 x ， y R，函数 f (x)满足 f (2x)+ f (2y) = 2 f (x+ y) f (x y)，且 f (0) 0， f (2) = 1，
则（ ）
A． f (0) =1 B． f (x)是奇函数
C．4 为函数 f (x)的一个周期 D． f (1)+ 2 f (2)+ +100 f (100) = 50
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
1
12．已知数列 an 满足a1 = 2,an+1 an = 2n+ 2(n N+ )，则数列 的前 4 项的和为
an
13．2025 年，省属“三位一体”综合评价招生政策进行了调整，每位考生限报四所大学．某考生从 6 所大
学中选择 4 所进行报名，其中甲、乙两所学校至多报一所，则该考生报名的可能情况有 种．
14．已知圆台上下底面半径分别为 1，2，母线长为 2，则圆台的体积等于 ；A 为下底面圆周上一
定点，一只蚂蚁从点A 出发，绕着圆台的侧面爬行一周又回到点A ，则爬行的最短距离为
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. （13 分）在某次运动会中，甲，乙、丙三名跳水运动员参加小组赛，已知甲晋级的概率为
p(0 p 1)，乙、丙晋级的概率均为q (0 q 1)，且三人是否晋级相互对立.
(1)若甲晋级的概率与乙、丙两人均没有晋级的概率相等，与乙、丙两人有且仅有一人晋级的概率也相
等，求 p ， q ；
1
(2)若 p = ，记三个人中晋级的人数为 ，若 = 0时的概率和 = 3时的概率相等，求E ( ) .
2
试卷第 2 页，共 4 页
16.（15 分）已知在 ABC中，sin2 A+ sinBsinC = sin2B + sin2C ，其中内角 A,B,C 的对边分别为a,b,c．
(1)求角A 的大小；
(2)若D为 AC 的中点，且BD = 3，求bc的最大值．
2 2
17.（15 分）已知F1， F2 分别为双曲线 C：3x y = ( 0)的左、右焦点，过F2 的直线 l与双曲线 C的
右支交于 A，B两点．当 l与 x轴垂直时， ABF1 面积为 12．
(1)求双曲线 C的标准方程；
DF2
(2)当 l与 x轴不垂直时，作线段 AB的中垂线，交 x轴于点 D．试判断 是否为定值．若是，请求出该
AB
定值；若不是，请说明理由．
试卷第 3 页，共 4 页
18．（17 分）如图，在四棱锥E ABCD中，底面 ABCD为平行四边形， EAB 为等边三角形，
7
ABC = 60 ，BC =CE = 2AB，EF = AB + AD ( 0)，EF = BC .
4
(1)求证：EB ⊥ AC；
(2)若 FD = FC ，
①判断直线EF 与直线BC 的位置关系，并说明理由；
②求平面 ABE与平面FCD的夹角.
x x2 nn x
19．（17 分）已知函数 f (x) = ln (x +1) ， g (x) =1 x + + + ( 1) ，n N* .
x +1 2 n
(1)证明： f (x) 0 .
(2)讨论函数 g ( x)在 0,+ )上的零点个数.
(3)当 n = 2k ， k N*时，证明： x 0， g (x) 1 ln 2
试卷第 4 页，共 4 页

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