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备战2025年中考数学模拟卷04（四川成都专用）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
A卷（共100分）
第I卷（选择题，共32分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1．2024的绝对值的相反数是（ ）
A． B．2024 C． D．
2．如图是一个正方体盒子的展开图，其六个面上分别写有“数”，“核”，“心”，“素”，“养”，把展开图折叠成正方体后，有“养”字一面的相对面上的字是（ ）
A．核 B．心 C．数 D．学
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．服装店老板在清点库存时发现，某种男士衬衫L码卖得最多，他考虑以后要多进L码的男士衬衫，他参考的是下列统计量中的（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
6．下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的矩形是正方形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线相等的菱形是正方形
7．《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，其卷八方程第十题题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为x和y，则可列方程组是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，△ABC是等腰三角形，，．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点F，交于点G，分别以点F和点G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线交于点D；分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线交AB于点E，连接．下列结论：①；②△AED≌△BCD；③；④中，正确的有（ ）个.
A．1 B．2 C．3 D．4
第II卷（非选择题，共68分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．若满足，则的立方根为________．
10．在一个不透明的盒子里，放进了8个黑球和若干个白球，它们除颜色外其余都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记下球的颜色后又把它放回．不断地摸出放回后，统计得到黑球的频率逐渐稳定在左右．则据此估计盒子中白球个数为_______．
11．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边长为，长直角边长为，那么的值是_______．
12．某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径，母线．制作这种外包装需要用如图扇形材料，将扇形围成圆锥时，，恰好重合，则的大小是________．
13．如图，已知在矩形 中， ，点是的中点，点为边 上的动点，将矩形 绕点 逆时针旋转，得到矩形，在矩形 绕点 逆时针旋转的过程中，记 的对应点是点，则线段长度的最大值与最小值的差为________．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．(1)计算：．
(2)已知关于的不等式组恰有两个整数解，求的取值范围．
15．月日被定为“国际数学日”，某校数学兴趣小组为调查学生对相关知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如下的频数分布直方图和扇形统计图．
(1)__________，__________，补全频数分布直方图；
(2)在扇形统计图中，“”这组的扇形圆心角为__________；
(3)测试结束后，九年级一班从本班获得优秀（测试成绩分）的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两名宣讲数学知识，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率．
17．如图是一个广场的改造平面示意图，已知斜坡长，坡角为，，现计划在斜坡中点处挖去部分，修建一个平行于水平地面的平台和一条新的斜坡．（，结果精确到）
(1)若改造后的新的斜坡的坡比为，求平台的长是多少米？
(2)一幢建筑物距离点远（即），小亮在点测得建筑物顶部的仰角为．点，，，，，，在同一个平面内，点，，在同一条直线上，且，问建筑物高为多少米？
17．如图，是⊙O的直径，是⊙O的切线，交⊙O于E，点D在上，满足．
(1)求证：是⊙O的切线；
(2)求证：；
(3)若，求的值．
18．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点与轴交于点，与轴交于点，已知点坐标为，点的坐标为．
(1)求反比例函数的表达式和一次函数的表达式；
(2)观察图像直接写出时的取值范围是_____．
(3)若为轴上一动点，请直接写出当是以为腰的等腰三角形时，点的坐标．
B卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．若是一元二次方程的两个实数根，则的值为_________．
20．如图，在平面直角坐标系中，将边长为的正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点继续旋转至次得到正方形，则点的坐标是_______．
21．如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且，并满足，那么称这个四位数为“长寿数”，例如：四位数4128，，是“长寿数”；又如四位数7143，，不是“长寿数”，则最小的“长寿数”是______；已知“长寿数”（其中），将的千位数字与百位数字的和记为，个位数字与十位数字的差记为，若能被14整除，则满足条件的的最小值为________．
22．如图，已知△ABC和均是等边三角形，点在同一条直线上，与相交于点，与交于点，与相交于点，连接，则下列结论：①；②；③；④；⑤；其中正确结论的序号是_________．
23．定义：，若函数，则该函数的最小值为_______．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．如图，某校的饮水机有温开水、热开水两种出水口，其中，温开水档设置2个出水口，热开水档设置1个出水口．加热状态下，热开水档不出水，但不影响温水档的使用．生活中，我们通常会将温开水和热开水混合得到合适温度的饮用水．小海对如何能够快速地调配出特定温度的饮用水进行了研究．首先，小海测得容积为的水杯在该饮水机接满一杯热开水用时21秒，接满一杯温开水用时14秒．若两个温开水出水口同时使用，则每一个出水口流速减半（不同温度的出水口流速互不影响）．接着，他通过查询资料得知：不同温度的水之间由于存在温度差引起热能的传递，此物理现象称为“热传递”．小海从物理实验室借来相关器材，进行实验，并将数据记录如表．
记录次数 热水初温 热水体积 温水初温 温水体积 混合水温 热水降低的温度 温水升高的温度
第一次 75 300 25 300 50 25 m
第二次 80 400 20 200 60 20 40
第三次 90 150 30 450 45 n 15
根据以上信息，解决下列问题（不计热损失）：
(1)请写出表2中m和n的值以及，，，之间的数量关系式；
(2)若小海想用学校的饮水机接满一杯且水温为的饮用水，需要接多少毫升的热开水？
(3)体育课后，小海至饮水机处接水，发现前一位同学离开后，饮水机的温度显示器显示“”，处于加热状态．已知饮水机从“”加热到“”需用时5分钟．小海要给他的大容量水壶装满的饮用水，这时距离上课仅剩6分钟，若从饮水机处回到教室至少需30秒，请问小海能否在下一节课上课前回到教室？（在接水过程中，另一个温开水出水口一直在使用）．
25．如图1，抛物线与x轴交于点，B，与y轴交于点C，直线的解析式为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)P是上方抛物线上一点，过点P作的平行线与交于点E，与x轴交于点Q，若，求点P的坐标；
(3)如图2，P是上方抛物线上一点，过点P作的垂线，交抛物线于另一点D，Q为平面内一点，若直线，与抛物线均只有一个公共点，求证：点Q在某条定直线上．
26．问题探究
（1）如图，在△ABC中，，，分别为AB，，边上的点，，交DE于点，求证：；
（2）如图，在正方形中，点、分别在边AB、上，连接DE、，且．若，求的长；
问题解决
（3）如图是某公园中的一个矩形花园，米，米．园林设计师想在矩形的左侧扩建一个三角形区域种植玫瑰花．按照设计要求，在的延长线上，点在边上，且满足，连接、，与相交于点，为方便游客休息，设计师想在处修建一个亭子，从点到点处修一条小路（亭子大小忽略不计），且满足点到点的距离最小，这样的点是否存在，若存在，求的最小值；若不存在，说明理由．
参考答案
A卷（共100分）
第I卷（选择题，共32分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1 2 3 4 5 6 7 8
A C C B B D D D
第II卷（非选择题，共68分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9． 10． 11．25 12． 13．10
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．(1)解：
．
(2)解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
则不等式组的解集是．
不等式组只有两个整数解，是0和1．
根据题意，得，
解得．
15．（1）解：，
，
∴，
故答案为：；；
测试成绩为（含）的人数为（人），
补全频数分布直方图如图所示，
（2）在扇形统计图中，“”这组的扇形圆心角为，
故答案为：；
（3）画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有：甲乙、乙甲，共种，
∴恰好抽到甲、乙两名同学的概率为．
16．（1）解：，
．
斜坡长，斜坡中点为，
．
．
新的斜坡的坡比为
．解得．
．
答∶ 平台的长是米．
（2）解：设米，
，斜坡中点为，
．
则(米)．
如图，作于．
，，
四边形为矩形．
，．
，
．
在，，即
解得∶．
答∶ 建筑物高为米．
17．（1）证明：连接，如图所示：
∵是⊙O的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴是⊙O的切线；
（2）证明：由（1）可知：，
∵是⊙O的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由题意可设，则，
由（2）可知，
∴，解得：，（负根舍去），
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴．
18．（1）解：∵点坐标为，
把点A的坐标代入中得：，
∴反比例函数的解析式是：；
把点B的坐标代入中，得：，解得，
∴
把A、B两点的坐标代入中得：，解得：，
∴一次函数的解析式为：；
（2）解：由图象得：时x的取值范围是：或；故答案为：或；
（3）解：当是等腰三角形时，且为腰时，存在以下两种情况：
①当点P在y轴的正半轴上时，
,所以，点P的坐标为；
②当点P在y轴的负半轴上时，
,
∴
当时，过点B作轴于点M，则
∴ ∴
综上，点P的坐标为或或．
B卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．11 20． 21．2108 22． ①②④⑤ 23．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（1）解：由题意得：，，
由表格知，第一次：，，，，则；
第二次：，，，，则；
第三次：，，，，则；
故，，，之间的数量关系式为；
（2）解：设需要接x毫升的热开水，则需要毫升温水，
根据（1）中数量关系得：，解得：，
答：需要接50毫升的热开水；
（3）解：设需要接y毫升的热开水，则需要毫升温水，
根据（1）中数量关系得：，解得：，
接开水的时间：，
接温水时间：，则接温水可以在烧开水过程中完成，
小海所需总时间：
答：小海能在下一节课上课前回到教室．
25．（1）解：直线的解析式为．
时，时，，
，
，解得，
故抛物线的解析式为；
（2）解：过点作轴交的延长线于点，设，直线的解析式为，设
代入点，得，解得，
直线的解析式为，
，得，
，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，代入得
，解得，
故直线的解析式为，
，
设直线的解析式为，代入，
得，
直线的解析式为，
时，，解得（舍去），，即；
（3）解：过点分别作轴，轴的平行线交于点，直线与交于点，
，，
，
，
，，
，
设，，
，
，，
，，
设直线的解析式为，
联立，得，
该方程有两个相等的实数根，
，即，
直线的解析式为，
同理直线的解析式为，
由，得，
点在定直线上．
26．（1）证明：，
，，
，，
，
；
（2）解：，
，，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
又，
，
，
，
；
（3）解：这样的点存在，的最小值为米，理由如下：
如图，过点作于，交于，交于，
，
设，则，
由（1）可知：，
，
，
设，则，
四边形为矩形，且米，米，
米，米，，，
，，
，
四边形为矩形，
，
，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，
整理，得：，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
整理，得：，
当时，为最小，最小值为，
的最小值为：米，
答：从点到点处修一条小路（亭子大小忽略不计），且满足点到点的距离最小，这样的点存在，的最小值为米．

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