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沈阳二中 25 届高三第六次模拟考试---数学答案
1.B解：若 Sn 1 2Sn 1 3Sn n 2 ，则 Sn 1 Sn 2 Sn Sn 1 ，即 an 1 2an n 2 ，
根据等比数列的定义， an 是公比为 2的等比数列不成立；
若 an 是公比为 2的等比数列，则 an 1 2an n 2 ，即 Sn 1 Sn 2 Sn Sn 1 ，
所以 Sn 1 2Sn 1 3Sn n 2 成立；所以“ Sn 1 2Sn 1 3Sn对 n 2恒成立”是“ an 是公比为 2的等比数列”
的必要不充分条件
2. 解： + 2 = (1 ) +
2
1 = 1 + +
2(1+ )
(1 )(1+ ) = 1 + + 1 + = 2 + 2 ，
所以复数 + 2 2 对应的点为(2,2)，所以复数 + 对应的点位于直线 = 上.故选： ．
3. 解：因为 + + = 0，所以 = ，所以
2
=
2
+
2
+ 2 · ，即 1 = 1 + 2 +
2 × 1 × 2cos cos = 2，即 2 ，又 ∈ [0°, 180°]，所以 = 135
．故选： ．
4.B解：球的半径为 3，则AA1 = 2,则旋转一周所得圆柱体的体积为 16π
4
5.D解：由 N , 2
16 4 2 8 9 2
在抛物线上，可得：4p ，得 p ，由抛物线方程 x y，得到 y x ，
3 9 9 9 8
9 4 4 9 4
∴ y x，当 x 时，可得以点 N , 2 为切点的切线斜率为： 3，所以切线方程为4 3 3 4 3
y 2 3 4 x ，即3x y 2 0．又切线过点 a,b ，故3a b 2，故选项 A正确；因为3a b 2，
3
所 以 b 2 3a ， 又 a,b 均 为 正 实 数 ， 所 以
0 a 2
2
．a2 b2 (2 3 2 3a)2 a2 10a2 12a 4 10 a

3 5
，
5
3 2
当 a 时， a2 b2 取得最小值，最小值为 ，故选项 B正确；5 5
2 b b 3a b
1 3a b 3a b 1 2 3，当且仅当 ，即b 3a 1时取等，故选项 C 正
b 3a b 3a b 3a b 3a
确；因为3a b 2，所以 b 1 3 a 2 9，
1 3 1 9 1
所以 b 1 3 a 2 1 9
b 1 a 2 b 1 3 a 2 9 b 1 3 a

2
1
1 3 a 2 9 b 1 1 16
10 10 2 9 9 b 1 3 a 2

9 9
3 a 2 9 b 1 9
当且仅当 ，即b 1 a 2 时取等号，故选项 D错误．b 1 3 a 2 4
6.A解：设事件 A表示“从中随机取出 n个球，这 n个球颜色相同”，事件 B 表示“这 n个球都是黑球”，则 P
C n n n
（A） 2n
C2n 1 C
n ， P(AB)
2n 1
n ，C4n 1 C4n 1
C n2n 1
P(AB) C n nP(B | A) 4n 1
C2n 1 1
P(A) C n n2n C2n 1 C
n C n2n 2n 1 3
C n4n 1
7.B解：如图，设以 AB为直径的圆的圆心为E， F 2 3,0 ，显然两圆内切，
OE 4 1所以 BA 1，又OE为△ABF的中位线，所以 OE BF ，所以
2 2
1 BF 4 1 BA BA BF 8 4 3，所以 B的轨迹为以A， F 为焦点
2 2
的椭圆，
2a 8 a 4，c 2 3 b a 2 c 2 16 12 2 ，显然当 B为椭圆短轴顶点即 0,2 时，S△BCD
1 1
的面积最大，最大值为 BO CD 2 8 8
2 2
8.B解：方法一：令 g x 为 f x 的切线，设切点坐标 x0, y0 ,将 a和 b均用x0表示
方法二： + ≤ + ≤ 1 + + 2 ≤ 1 + + 2,
令 y = a 1 x + b + 2，则当 y = 0 时，x = b+2 , b+2 1当 = 时取得最大值，
a 1 a 1 e2
+2 1
即 的最小值是
1 e2
9. 解：当 = 0 时， = sin cos = 12 sin2 ， ∈ ，则 ( )的最小正周期为 ，故 A正确； ( ) =
1
2 sin2 = ，则 ( )是奇函数，故 C正确；
( ) = sin (cos + ) = 1 sin2 + · 1 cos2 = 12 2 2 sin2
cos2 + 2 2，
若 ( )是偶函数，则 ( ) = ( )对于任意 都成立，
又 ( ) = 12 sin( 2 )

2 cos( 2 ) +

2 =
1
2 sin2

2 cos2 +

2，
2
1 sin2 cos2 + = 1 sin2 则 2 2 2 2 2 cos2 +

2，
化简得 sin2 = 0，对于任意 都成立，这是不可能的，故 B错误；
2
( ) = 12 sin2
cos2
2 +
= 1+ 2 2 sin(2 ) +

2，其中 tan = ，
2
若 ( ) 0 1+ + 的最大值为 ，则 2 2 = 0，此方程无实数根，故 D错误．故选： ．
10. ABC.解：对于 A，取 BD的中点为 E，连接 AE ,CE .由已知得 BD AE,BD CE，AE、CE 平
面 AEC，所以 BD 平面 AEC，又 AC 平面 AEC，所以 AC BD，故 A正确；
对于 B，因为O1,O2分别为 ABD, CBD的重心，所以O1 AE,O2 CE，
AO1 2,CO2 AO CO且 2 1 2 OO / /AC OO ABC, AC O1E O2E
，所以 O E O E ，所以 1 2 ，又 1 2 平面 平面 ABC，1 2
所以O1O2 / /平面 ABC，故 B正确；
对于 C，由 BD AE,BD CE得二面角 A BD C的平面角为 AEC，因为
π
AB BC CD DA 2,BD 2 3 ，则 AE CE 1，因为 AC 1，所以 AEC ，故 C正确；
3
21
对于 D，应为线与面所成角的正弦值为 故选：ABC.
7
11.ABD
12.【答案】3 5
根据空间向量的线性表示可达 1 = 1 ，即可由模长公式求解.
故 1 2
2 2
= 1 = 1 + 2 + 2 + 2 1 + 2 + 2 1 ，
故 1 2 = 32 + 32 + 32 + 2 × 3 × 3cos60 + 0 + 2 × 3 × 3cos60 = 45，
故 1 = 45 = 3 5，
13. 2 3【答案】
3
设∠ = ，在△ 中，由正弦定理可得 = ①，
sin∠ sin
由 ⊥ π π可得∠ = ，则∠ = ，∠ = π ∠ ∠ = π 2π π + = π，在
2 2 3 2 6
△ 中，由正弦定理可得 = ②，
sin∠ sin∠
2π π
sin∠ = sin∠
sin 4 sin
①②两式相除，得 ，即 3π = 6
2 3 2 3
，整理得 tan = ，故 tan∠ = .
sin∠ sin sin6 1 sin 3 3
3
14.④⑤
15.（1）设等差数列 的公差为 ，
= 0 1 + 1 + + 1 10 10当 时，则 = = ，与 = 1 矛盾，不合题意；
1 2 2 3 2 110 11 1 21
当 ≠ 0 1 + 1 + + 1 = 1 1 1时， + 1 1 + + 1 1
1 2 2 3 10 11 1 2 2 3 10 11
= 1 1 1 = 1 1 1 = 10 = 10，
11 1+10 1+10 21
解 = 2，所以 = 1 + 2 1 = 2 1，即 = 2 1. -----------------4 分
当 = 1 时， 1 = 1 = 2 1 2，得 1 = 2，当 ≥ 2时， = 2 2 ①，
1 = 2 1 2 ②，
①-②得 = 2 2

1，即 = 2 1，即 = 2， 1
数列 是以 2为首项，2为公比的等比数列，所以 = 2 × 2 1 = 2 .即 = 2 ；----8分
2 1 c =
2 2 2 2
c c = +1 = +2 +1（ ）由（ ）知： 2 1，则 +1 2 2 1 2 ，
所以c1 < 2 < c3 > 4 > 5 > ··· >
9
所以当 = 3 时，c 有最大值c3 = . --------------13 分4
16 1
2 2 = 1
16.(1 （) 方法 1）当双曲线焦点在 x轴上时，设双曲线方程为 = 1 > 0, > 0 ，由题意得，3
2 2
2 2 16 9 ，
2 2 = 1
2
解得 = 4
2 2
2 ，双曲线方程为 = 1． = 3 4 3
1 16
2 2 2 2 = 1
当双曲线焦点在 y轴上时，设双曲线方程为 3
2

2
= 1 > 0, > 0 ，由题意得， 9 16 ，方程组无 = 1
2 2
解．
2 2
综上，双曲线方程为 = 1． ------------------4 分
4 3
4 3 2
（方法 2）设双曲线方程为 2 2 = 1 > 0 = 1，则 3 ，
42 ( 3)2 = 1
= 1 , = 1
2 2
解得 ，∴所求双曲线方程为 = 1．
4 3 4 3
（2）由已知得直线 的斜率存在，设其方程为 = + ，设 1, 1 , 2, 2
= +
所以 2 2 3 4 2 2 8 4 2 12 = 0， = 1
4 3
所以Δ = 8 2 4 3 4 2 4 2 12 = 48 2 4 2 + 3 > 0，
2
由题意知 3 4 2 0， 1 + =
8 4 +12
2 3 4 2
, 1 2 = ，3 4 2
4
又因为∠ 的平分线与 轴垂直，所以 + = 0， ---------------------8 分
3
即 1 + 2 3 = 0，所以 1 3 2 4 + 2 3 1 4 = 0，即 2 1 2 + 3 4 1 + 4 4 2 1 2
8 3 = 0，
4 2 2 +12 + 3 4 8 所以 2 2 8 3 = 0，3 4 3 4
即 24 + 1 + 4 3 = 0，所以 = 1或 = 3 4 ， ----------------12 分
当 = 3 4 时，直线 的方程为 = + 3 4 = 4 + 3，
即直线 过点 4,3 3π，不符合题意，所以 = 1，设倾斜角为 0 ≤ < π ，即 = tan = 1， = ，即
4
3π直线 的倾斜角为定值 . -----------------------15 分
4
17.（1）由题意， ~ 500 , 2.52 ， 500 5的概率等于 500 5 .
= 500令 ，则 ~ 0 , 1 . 因此， 500 5 = 2 = 2 1 Φ 2 ≈ 0.0456.
2.5
故净含量误差不小于 5g的概率约为 0.046. ------------------4分
（2）检测员的判断是合理的。因为如果生产线不出现异常，由（1）可知，随机抽取 2包检查，其净含量
误差不小于 5g的概率约为 0.046 × 0.046 = 2.116 × 10 3，几乎为零，但这样的事件竟然发生了，所以有
理由认为生产线出现了异常，检测员的判断是合理的。
（发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为设备运转异常，需对设备进行检修。酌情给分）。
------------------8分
（3） 可能的取值为 0、1、2、3.
由（1）可知，任取一包糖果，净含量小于 497.5g的概率为Φ 1 = 1 Φ 1 ≈ 0.1587.
故 服从二项分布 3 , 0.1587 ，记 = 0.1587， ------------------12分
( = 0) = C03 1 3 = 0.595, = 1 = C13 1 2 = 0.337， = 2 = C2 23 1 =
0.064, = 3 = C3 33 = 0.004
从而 的分布列为
0 1 2 3
0.595 0.337 0.064 0.004
因此 (x) = = 3 × 0.1587 ≈ 0.476. ------------------15分
18. （1）当 = 时， ( ) = e ，
则 '( ) = ，故 '(0) = 1 ，-----2分
又∵ (0) = 1，所以 = 0 处的切线方程为 1 = (1 )( 0)，即 = (1 ) + 1--4分
5
（2） '( ) = ( 1) + 2( ) = ( ) 2( ) = ( 2)( )-- 6分
当 < 2时， ∈ ( ∞, ) ∪ (ln2, + ∞) '( )>0， ( )在( ∞, )，(ln2, + ∞)上单调递增 ∈
( , 2)时 '( )<0， ( )在( , 2)单调递减; -----7分
当 > 2时， ∈ ( ∞, ln2) ∪ ( , + ∞) '( )>0， ( )在( ∞, ln2), ( , + ∞)上单调递增， ∈
( 2, )时 '( )<0， ( )在( 2, )单调递减;-----8分
当 = 2时, ∈ 时 '( )>0恒成立， ( )在( ∞, + ∞)单调递增.-----9 分
综上所述，当 < 2时， ( )在( ∞, )，(ln2, + ∞)上单调递增，( , 2)单调递减;
当 > 2时， ( )在( ∞, ln2), ( , + ∞)上单调递增，( 2, )单调递减;
当 = 2时, ( )在( ∞, + ∞)单调递增.-----10分
（3）由题意得 ( + cos 2) ≥ 0对于任意的 ∈ , + ∞ 恒成立， 且当 x=0时，等号成立.
2
令 ( ) = + cos 2则 '( ) = sin ， '(0) = 1 , (0)= 0 + 1 2 = 0
①若 ≥ 0，则 ( ) ≥ (0).
令 ( ) = sin , 则 '( ) = cos ，显然 '( ) ≥ 0在[0，+∞)上恒成立，
∴ ( )在[0，十∞)上单调递增，即 '( )在[0，十∞)上单调递增.
当 1 < 0，即 > 1 时， '(0) < 0.
又∵ '( ) = sin , 易证 ≥ + 1，
∴ '( ) ≥ + 1 sin = 1 sin ≥ 0,
∴ 0 ∈ (0, ]，使 '( 0) = 0，
∴ 0 ∈ (0, 0)时， '( 0) < 0,即 ( )在(0, 0)上单调递减，
∴对 ∈ (0, 0), ( ) < (0) = 0，不符合题意;----12分
当 1 ≥ 0,即 ≤ 1时， '( ) ≥ '(0) = 1 ≥ 0,
∴ ( )在[0, + ∞)上单调递增，
∴ ∈ [0, + ∞), ( ) ≥ (0) = 0， ( ) ≥ 0，符合题意，所以 ≤ 1;---14分

②当 ≤ < 0 时，只需证明当 ≤ 1时， ( ) < 0 即可.
2
1 + sin
'( ) = sin ≥ sin 1 = (1 )
2cos( + ) 1
令 ( ) = 1+sin [ ≤ < 0) '( ) = cos sin 1，则 = 4 ∈
, 0 ,
2 2
∴ + ∈ , 2，∴ 1 ≥ cos( + ) ≥
4 4 4 4 2
易得 '( ) ≥ 0,即 ( ) 在 ,0 上单调递增，故 ∈ , 0 时， ( ) ≤ (0) = 1，
2 2
6
∴ 1 1+sin ' ≥ 0，∴ ( ) ≥ 0，即 ( )

在 ,0 上单调递增，
2
所以 ( ) ≤ (0) = 0，即当 ≤ 1时， ( ) ≥ 0 在 , 0 上恒成立，-----16分
2
综上所述， 的取值范围是( ∞,1]. -----17分
19.（1）解：
x OQ cos x 4cos cos 0 2

y OQ sin

y 4cos sin

z OP sin
z 4sin 2 2


设 A x1, y1, z1 ，B x2 , y2 , z2

x 4 2 3 1 6
2 2

y 4
2 1
1 2 A 6, 2, 2 2
2 2

z 4
2
1 2 2
2
2 1
x2 4 2

2
2

2 3
y2 4 6 B 2, 6, 2 22 2 ------------3
2
z2 4 2
2 2

AB 2
2
2 26 2 2 6 2 2 2 2 48 AB 4 3
设 AOB ，则 sin 1 2 3 3 1 2 8 d 4
2 4 2 2 3 3 3 ---------6
（2）设平面 AOB 的法向量为 n x , y , z

OA

n 0 6, 2,2 2 x , y , z 0

OB n

0 2, 6, 2 2 x , y , z 0
6x 2y 2 2z 0
令 z 2，则得： x 3 1， y 3 1
2x 6y 2 2z 0

此时 n 3 1, 3 1, 2
7

P x, y, z AOB OP n 设 为平面 上任意一点，则由 0得 x, y, z 3 1, 3 1, 2 0
平面 AOB的方程为： 3 1 x 3 1 y 2z 0 ----------------------------9

设Q x, y, z 为直线 AB上任意一点，则： AQ AB
x 6, y 2, z 2 2 2 6, 6 2, 2 2 2 2
x 6 2 6
y 2 6 2 直线 AB x 6 y 2 z 2 2的方程为：
2 6 6 2 4 2 …………12

z 2 2 4 2
3
（3）设C x3 , y3 , z3 3 arcsin ， 3 3 4

x 4 6 2 4 3 3
3 2 3
y 4 6 2 4 3

3 C
4 3 4 3 4 3
, , 3 2 3 3 3 3

z3 4
3 4 3
3 3
VO ABC VC AOB
n 4 3 4 3 4 3 3 1, 3 1, 2 h OC
n
, , 3 3 3

2 23 1 3 2 1 2
4 3 1
3 1 3 1 8 2
3 2 3 3 …………15
V 1 8 1 8 1 32 3 C AOB S3 3 △AOB
4 3 2
3 3 2 9 …………17
8沈阳二中 25 届高三第六次模拟考试
数 学
说明：
1.测试时间：120 分钟 总分：150 分
2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上。
2. 答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答
案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知 Sn是数列 an 的前 n项和，则“ Sn 1 2Sn 1 3Sn对 n 2恒成立”是“ an 是公
比为 2的等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2.已知 = 1 2，则在复平面内，复数 + 对应的点位于( )
A. 实轴上 B. 虚轴上
C. 直线 = 上 D. 直线 = 上
3.已知| | = | | = 1，| | = 2， + + = 0，设 与 的夹角为 ，
则 =( )
A. 240 B. 225 C. 135 D. 90
4.在直三棱柱 1 1 1中， = = 2， ⊥ ，若该棱柱外接球的表面
积为 12 ，则侧面 1 1 绕直线 1旋转一周所得到的旋转体的体积为( )
A. 12 B. 16 C. 20 D. 24
1
5. 已知 a、b均为正实数，且过点M a,b 2的直线与抛物线 x 2 py p 0 相
4
切于点 N 3 , 2 ，下列说法错误的是（ ）
2
A. 3a b 2 B. a2 b2 的最小值为
5
C. 2 b 3 1b 3a 的最小值为 3 D. a 2 b 1的最小值为 2
6．一个盒子中装有 2n个白球和 2n 1个黑球 (n N* 且 n 2 )，从中随机取出 n个
球，发现这 n个球颜色相同，则这 n个球都是黑球的概率为 ( )
1 n n n
A． B． C． D．
3 2n 1 2n 2 2n 3
7. 已知点 A( 2 3,0) 2 2,C、D 是 O : x y 16与 x轴的交点．点 B满足：以 A、
B为直径的圆与 O相切，则 BCD面积的最大值为（ ）
A. 4 3 B. 8 C. 12 D. 16
8.已知函数 f (x) ln x x,g(x) ax b.若不等式 f (x) g(x)在 x (0, )恒
b 2
成立，则 的最小值是 ( )
a 1
1 1
A.1 B. 2 C. 1 D. e e
二、多选题：本题共 3 小题，每题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求。
9.已知函数 ( ) = sin (cos + )，则存在实数 ，使得( )
A. ( )的最小正周期为 B. ( )是偶函数
C. ( )是奇函数 D. ( )的最大值为 0
2
10. 在三棱锥 A BCD中，已知 AB BC CD DA 2,BD 2 3,O1,O 2分别
为△ABD，△CBD的重心，以下说法正确的是（ ）
A. AC BD
B. O1O2 / /平面 ABC
2π
C. 若 AC 3，则二面角 A BD C的大小为
3
D.若 AC 2，则 AD 21与平面 ABC所成角的余弦值为
7
11.已知函数 f (x) ex (x 1)，g(x) x3 ax2 4 ,用min{m,n}表示m,n中的
最小值，设函数h(x) min{ f (x),g(x)}，则（ ）
A.x1是g(x)的极值点，若g(x1)=g(x2（) x1 x2）,则2x1 x2 a
B.若f (x1) f (x2 )，则x1+x2 0
C.方程 5f [ f (x)] 4 0有且只有一个根.
D.若h(x)有三个零点，则a (3,5)
三 填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱 1 1 1 1，底面 是正方形，
1 = 3, = 3，且∠ 1 = ∠ = 60 1 ，则向量 1 的模长为 ．
3
13．如图，在平面四边形 中，∠ = 2π，∠ = π， ⊥ ， = 4 ，
3 6
则 tan∠ = .
14.下列说法正确的有______________
①函数 y f (1 x)与函数 y f (1 x)关于直线 x 1对称
②若 A、B、C 两两独立，则 P(A B C)= P(A)P(B)P(C)
③方程 x3 1（ x C,其中 C 为复数集）的解集为{1}
④通过最小二乘法以模型 y cekx 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设
z ln y，将其变换后得到线性方程 z 0.3x 4，则 c，k的值分别是 e4 和 0.3.
⑤平面直角坐标系 xOy 中，已知点O(0,0) , A(x1, y1) , B(x2 , y2 ) ,不在同一条直线
1
上，则三角形OAB的面积为 x1y2 x2 2
y1
四 解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明 证明过程或
演算步骤.
1 1 1 10
15．（13 分）已知 是等差数列， 1 = 1, + + + = ，数列 1 2 2 3 10 11 21
的前 项和为 且满足 = 2 2.
(1)求数列 和 的通项公式；
( +1)2
(2)设数列 满足c = ，求c 的最大值．b +1
4
2 2
16．（15 分）已知双曲线 : 2

2 = 1（ > 0， > 0
4 3
）经过 ( , 1)， 4, 3
3
两点，
(1)求 的方程；
(2)若直线 : = + 交 于 ， 两点，点 4,3 （异于点 ， ），∠ 的平分
线与 轴垂直，求证： 的倾斜角为定值.
17．（15 分）某公司生产的糖果每包标识“净含量 500g”，但公司承认实际的净
含量存在误差. 已知每包糖果的实际净含量 （单位：g）服从正态分布 500 , 2.52 .
(1)随机抽取 1 包该公司生产的糖果，求其净含量误差不小于 5g 的概率（精确到
0.001）；
(2)随机抽取 2 包该公司生产的糖果，其净含量误差均不小于 5g，检测员根据抽检
结果，判断生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明
理由。
(3)随机抽取 3 包该公司生产的糖果，记其中净含量小于 497.5g 的包数为 . 求
的分布列和期望（精确到 0.001）.
2 x
说明：对任何一个正态分布 X～N( ， )来说，通过 Z＝ 1 转化为标准正态

分布 Z～N(0,1)，从而查标准正态分布表得到 P(X参考数据：Φ 1 ≈ 0.8413，Φ 2 ≈ 0.9772，Φ 3 ≈ 0.9987，其中 = Φ 为标
准正态分布函数，具有性质Φ + Φ = 1.
5
18.（17 分）已知函数 ( ) = e ( ∈ ).
(1)若 = ，求 ( )在 = 0 处的切线方程；
(2)讨论 ( ) = ( ( ) + )( 1) ( )2的单调性；
(3)若 ∈ , + ∞ 时， ( ) 2 cos ，求 a的取值范围.
2
19.（17 分）以原点为球心，4 为半径的球，球面上任一点 P x, y, z 在 xOy面上
的射影为Q .Q在 x轴及 y轴上的射影分别为 N 及M .设 NOQ ，
QOP ，关于角度 及 规定： 以 x 轴正向为始边，逆时针为正. P点在上
半球面时， 为正；在下半球面时， 为负.

已知球面上 A点对应的 ， 为 1 ， 1 ；球面上 B 点对应的 ， 为4 6
2 ，
2
4 2
.
3
（1）求 A，B间的球面距离 d .
（2）在空间直角坐标系Oxyz中，
①求平面 AOB的方程.
②求直线 AB的方程.
3
（3）球面上C点对应的 ， 为 3 arcsin ， 3 ，求四面体O ABC3 4
的体积.
注 1：球面距离是指球面上两点之间的最短路径长度，这条路径是通过这两点的大
圆上的劣弧（大圆是过球心的平面与球面相交形成的圆）.
注 2：空间中，平面的位置可由一非零向量和一点唯一确定，直线的位置可由一非
零向量和一点唯一确定.
6

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