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6.7用相似三角形解决问题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在同一时刻，身高米的小强在阳光下的影长为米，一棵大树的影长为米，则树的高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
2．如图，某仓库阳光从窗户射入照到地面上，垂直地面的窗户边框在地面上的影长，窗户下檐到地面的距离，那么窗户的高为（　　）m．
A． B． C． D．
3．在相同的时刻，物高与影长成比例．如果高为米人测竿的影长为米，那么高为米的旗杆的影长是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
4．如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，．则木杆在轴上的影长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸．视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为（ ）
A．3米 B．4米 C．5米 D．6米
6．如图，路灯灯柱OP的长为9米，身高1．8米的小明从距离路灯的底部（点O）20米的点A处，沿AO所在的直线行走14米到点B处时，人影的长度（ ）
A．变长了1.5米 B．变短了2.5米 C．变长了3.5米 D．变短了3.5米
7．如图是测量河宽的示意图，测得，，，则河宽的长为（ ）
A． B． C． D．
8．已知小明同学的身高，经太阳光照射，在地面的影长为，若此时测得一塔在同一地面的影长为，则塔高为( )
A． B． C． D．
9．如图，物理课上张明做小孔成像实验，已知蜡烛与成像板之间的距离BB′为36cm，要使烛焰的像A′B′是烛焰AB的2倍，则蜡烛与成像板之间的小孔纸板应放在离蜡烛（　　）cm的地方．
A．12 B．24 C．18 D．9
10．如图所示是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，求出这支蜡烛在暗盒中所成像的长（ ）
A． B． C． D．
11．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其下卷有题如下：“今有竿不知长短，度其影得一丈五尺．别立一表，长一尺五寸，影得五寸．问竿长几何？”
译文：“有一根竹竿不知道它的长短，量出它在太阳下的影子长一丈五尺．同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长是五寸，则这根竹竿的长度为多少尺？”可得这根竹竿的长度为（ ） （提示：丈尺，尺寸）
A．五丈 B．四丈五尺 C．五尺 D．四尺五寸
12．如图， ABCD的面积为20，点E，F，G为对角线AC的四等分点，连接BE并延长交AD于H，连接HF并延长交BC于点M，则的面积为　　
A．10 B． C．4 D．5
二、填空题
13．如图所示，某种品牌小轿车左右两个参照点A和F的距离为米，这两个参照点到地面的距离米，若驾驶员的眼睛点P到地面的距离米，则驾驶员的视野盲区的长度为 米．

14．在同一时刻，小红测得小亮的影长为，教学楼的影长为，已知小亮的身高为，那么教学楼的高度为 m．
15．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为 m.
16．在同一时刻太阳光下，身高的小华在地面上形成的影长是米，此时测得一棵大树在地面上的影长是米，则大树的实际高度是 ．
17．圆内接正方形ABCD的边长为2，弦AE平分BC边，与BC交于F，则弦AE的长为 .
三、解答题
18．某村计划在新农村改造过程中，拟筹资金2000元，计划在一块上、下底分别为10米、20米的梯形空地上种植花草（如图所示，)，村委会想在地带与地带种植单价为10元的太阳花，当地带种满花后，已经花了500元，请你计算一下，若继续在地带种植同样的太阳花，资金是否够用？并说明理由.
19．折纸中的数学:打开本指书刊幅面的规格大小．如图①，将一张矩形印刷用纸对折后可以得到2开纸，再对折得到4开纸，以此类推可以得到8开纸、16开纸……
若这张矩形印刷用纸的短边长为a．

（1）如图②，若将这张矩形印刷用纸ABCD（AB＞BC）进行折叠，使得BC与AB重合，点C落在点F处，得到折痕BE；展开后，再次折叠该纸，使点A落在E处，此时折痕恰好经过点B，得到折痕BG，求的值．
（2）如图③，②中的矩形纸片ABCD折成2开纸BCIH和4开纸AMNH，它们的对角线分别是HC、HM．说明HC⊥HM．
（3）将图①中的2开纸、4开纸、8开纸和16开纸按如图④所示的方式摆放，依次连接点A、B、M、I，则四边形ABMI的面积是 .（用含a的代数式表示）
20．如图，为了测量一个大峡谷的宽度，地质勘探人员在对面的岩石上观察到一个特别明显的标志点O，再在他们所在的这一侧选点A，B，D，使，，然后确定和的交点C，测得，，，请你帮助他们算出峡谷的宽．
21．数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前一棵小树的高度，课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，同一时刻，她发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙上，她先测得留在墙壁上的影高为1.3m，又测得地面上的影长为2.4m，请你帮她计算一下树的高度是多少？
22．如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米．
（1）求路灯A的高度；
（2）当王华再向前走2米，到达F处时，他的影长是多少？
23．一块直角三角形木板，一直角边是米，另一直角边长是米，要把它加工成面积最大的正方形桌面，甲、乙二人的加式方法分别如图所示，请运用所有知识说明谁的加工方法符合要求．
24．如图，某测量工作人员眼睛A与标杆顶端F、电视塔顶端E在同一直线上，已知此人眼睛距地面1.6米，标杆高为3.2米，且米，米，求电视塔的高．

《6.7用相似三角形解决问题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D A B D D D C A D
题号 11 12
答案 B B
1．D
【分析】根据在同一时刻，物高和影长成正比，由已知列出比例式即可求得结果．
【详解】解：∵在同一时刻，
∴小强影长：小强身高=大树影长：大树高，
即0.8：1.6=4.8：大树高，解得大树高=9.6米，
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形在测量高度是的应用，把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质解决问题是解题的关键是．
2．D
【分析】本题考查了相似三角形的应用，平行投影，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键．
根据题意可得：，然后证明A字模型相似，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
【详解】解：由题意得：，
，
，
∴，
∴，
解得：，
∴窗户的高为，
故选：D．
3．A
【分析】根据题意，利用物高和影长成比例，带入题目中的数据求出旗杆影长．
【详解】根据题意解：标杆的高：标杆的影长旗杆的高：旗杆的影长，
即：旗杆的影长，
∴ 旗杆的影长米．
故选．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是利用比例关系进行计算．
4．B
【分析】利用中心投影，过点P作PE⊥CD于点E交AB于点M，证明，然后利用相似比可求出CD的长．
【详解】解：如图，过点P作PE⊥CD于点E交AB于点M，
根据题意得：，
∴，
∵，A，B．
∴PE=2，AB=3，ME=1，
∴PM=1，
∴，即，
解得：CD=6，．
故选：B
【点睛】本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．
5．D
【分析】本题考查了相似三角形的应用，由题意知：，得出对应边成比例即可得出．根据题意得出是解决问题的关键．
【详解】解：由题意知：，则，，
∴，
∴，
∴，
∴，
经检验，是所列方程的解，
故选：D．
6．D
【分析】设小明在A处的影长为x米，B处的影长为y米，根据AD∥OP，BC∥OP可知△ADM∽△OPM，△BCN∽OPN，进而可得边之间的比例关系，继而可求答案.
【详解】设小明在A处的影长为x米，B处的影长为y米．
∵AD∥OP，BC∥OP，
∴△ADM∽△OPM，△BCN∽OPN，
∴，，
∵AD=BC，∴，
即，
∴x=5,y=1.5，∴x-y=3.5，故变短了3.5米．故选D．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，能够熟练运用相似三角形的性质与判定是解题的关键.
7．D
【分析】由两角对应相等可得△BAD∽△CED，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB．
【详解】解：∵∠ADB＝∠EDC，∠ABC＝∠ECD＝90°，
∴△ABD∽△ECD，
∴，，
解得：AB＝（米）．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用；解题关键是证明两个三角形相似，熟练运用比例式求解．
8．C
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
【详解】根据相同时刻的物高与影长成比例，
设旗杆的高度为xm，则可列比例为，解得，
得x＝45米．
故选C．
【点睛】本题主要考查同一时刻物高和影长成正比．考查利用所学知识解决实际问题的能力．
9．A
【详解】∵AB∥A′B′，
∴△AOB∽△A′OB′，
∴AB：A′B′=OD：OD′，
即1：2=OD：（36﹣OD），
解得：OD=12cm．
∴蜡烛与成像板之间的小孔纸应放在离蜡烛12cm的地方．
故选A．
10．D
【分析】过O作直线OE⊥AB，交CD于F，由CD//AB可得△OAB∽△OCD，根据相似三角形对应边的比等于对应高的比列方程求出CD的值即可.
【详解】过O作直线OE⊥AB，交CD于F，
∵AB//CD，
∴OF⊥CD，OE=12，OF=2，
∴△OAB∽△OCD，
∵OE、OF分别是△OAB和△OCD的高，
∴，即，
解得：CD=1.
故选D.
【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键在于理解小孔成像原理给我们带来的已知条件，熟记相似三角形对应边的比等于对应高的比是解题关键.
11．B
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．
【详解】设竹竿的长度为x尺，
∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，
∴，
解得x=45（尺）．
故选B．
【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．
12．B
【分析】首先连接CH，由四边形ABCD是平行四边形，可证得△AEH∽△CEB，△AFH∽△CFM，然后根据相似三角形的对应边成比例，求得BM：BC=2：3，继而求得答案．
【详解】连接CH，
四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴△AEH∽△CEB，△AFH∽△CFM，
点E，F，G为对角线AC的四等分点，
∴AE：EC=1：3，AF：FC=1：1，
∴AH：BC=AE：EC=1：3，AH：CM=AF：FC=1：1，
∴CM=AH，
∴CM：BC=1：3，
∴BM：BC=2：3，
∵ ABCD的面积为20，
，
．
故选B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质.此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
13．9
【分析】本题考查视点、视角和盲区，相似三角形的判定和性质，解题的关键是证明，推出，由此求解即可．
【详解】解：设与交于，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：9．

14．18
【分析】教学楼的高度为，再根据同一时刻物高与影长影长成正比即可得出结论．
【详解】解：设教学楼的高度为，
∵小亮的影长为，教学楼的影长为，小亮的身高为，
∴，解得，
即教学楼的高度为．
故答案为：18．
【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．
15．24．
【详解】试题解析：
设这栋建筑物的高度为
由题意得
解得：
即这栋建筑物的高度为
故答案为24．
16．米
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
【详解】设树高为x米，
因为人的高度：人的影长=树的高度：树的影长，
所以1.6：0.8=x：4.8，
所以x=4.8×2=9.6，
故答案为9.6米．
【点睛】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，找出相似的三角形，根据对应边成比例列出方程是解题的关键.
17．.
【分析】根据圆周角定理求得∠AEC=90°，由勾股定理求出AF的长，再证明△AFB∽△CFE，根据相似三角形对应边比例即可求出EF的长．
【详解】解：如图
∵四边形ABCD为圆内正方形，
∴AC必过圆心O，且∠AEC=∠ABC=90°，
∵AB=2，BF=．
∴AF==
∵∠CFE=∠AFB，
∴AFB∽△CFE，
∴
∴
∴EF＝
∴AE=AF+EF=
【点睛】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；证明三角形相似是解决问题的关键．
18．资金不够用，见解析.
【分析】首先根据梯形的性质可得AD∥BC；接下来结合相似三角形的判定有△AMD∽△CMB，根据相似三角形的性质进一步可求得的值；此时再结合题目信息可求得△AMD的面积，从而求出△BMC的面积；再根据太阳花的价格，可得在三角形地带种植太阳花的费用，即可解答.
【详解】解：资金不够用.理由如下：
∵，
∴，.
∴.
∵，，
∴.
∴(平方米），
∴平方米.
∴还需要资金(元).
∵剩余资金为(元），，
∴资金不够用.
【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质，相似三角形的应用，解题关键在于得出.
19．（1）；（2）详见解析；（3）.
【分析】(1)有折叠的性质，第一次折叠可得BC＝CE＝a，BE＝a，二次折叠
AB＝BE＝a，可得的值；
（2）由矩形的性质可得△MAH∽△HBC，可得结论.
(3) 由折叠的性质可得答案.
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠C＝90°．
∵第一次折叠使点C落在AB上的F处，并使折痕经过点B，
∴∠CBE＝∠FBE＝45°．
∴∠CBE＝∠CEB＝45°．
∴BC＝CE＝a，BE＝a．
∵第二次折叠纸片，使点A落在E处，得到折痕BG，
∴AB＝BE＝a．
∴＝
（2）根据题意和（1）中的结论，有AH＝BH＝a，AM＝a．
∴＝＝．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝90°．
∴△MAH∽△HBC．
∴∠AHM＝∠BCH．
∵∠BCH＋∠BHC＝90°．
∴∠AHM＋∠BHC＝90°．
∴∠MHC＝90°．
∴HC⊥HM．
（3）a2．
【点睛】本题主要考查矩形的性质及折叠，综合性大，需综合运用所学知识求解.
20．
【分析】只需要证明得到即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴峡谷的宽为．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，证明得到是解题的关键．
21．m
【分析】利用同一时刻不同物体的物高与影长的比相等，求出影长为2.4m的树高，再加上墙上的影高即为所求．
【详解】解：设影长为2.4m的树高为m：
由题意得：，
解得：，
∴树高为：m．
【点睛】本题考查利用物高和影长比求物高．熟练掌握同一时刻，不同物体的物高与影长的比值相等是解题的关键．
22．（1）路灯A有6米高（2）王华的影子长米．
【详解】试题分析：22. 解：（1）由题可知AB//MC//NE，
∴，而MC=NE
∴
∵CD=1米，EF=2米，BF=BD+4，∴BD=4米，∴AB==6米
所以路灯A有6米高
（2） 依题意，设影长为x，则解得米
答：王华的影子长米．
考点：相似三角形性质
点评：本题难度较低，主要考查学生对相似三角形性质解决实际生活问题的能力．为中考常考题型，要求学生牢固掌握解题技巧．
23．乙加工的方法合理
【分析】根据相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例；相似三角形的对应高的比等于相似比，求解即可．
【详解】解：乙加工的方法合理．
设甲加工桌面长，过点作，垂足是，与相交于点，
∵，
∴，
∴，
∴：．
又，，根据勾股定理得：，
∵，
∴，
∴：，
即，
故此可求得；
设乙加工桌面长，
∵，
∴，
∴，
即：，
解得，
很明显，故，
∴乙加工的方法合理．
【点睛】考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应边的比相等，相似三角形的对应高之比等于相似比，解决问题的关键是将实际问题转化为数学问题进行解答.
24．电视塔高为
【分析】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比列出方程，通过解方程求解即可．
【详解】解：如图，过点作于点，交于点．

∵
∴．
∴四边形是矩形，即．
∴．
又
，
，即 ，
∴
∴．
答：电视塔的高为．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质与判定，能构造相似三角形是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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