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8.5概率帮你做估计
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．做任意抛掷一只纸杯的重复实验，获得如下数据：
抛掷总次数 杯口朝上 杯口朝下 横卧
100 0.21 0.38 0.41
200 0.22 0.38 0.40
500 0.22 0.38 0.40
根据频率的稳定性，估计任意抛掷一只纸杯时杯口朝上的概率约是（ ）
A．0.21 B．0.22 C．0.38 D．0.40
2．如图，已知点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段，在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为2的线段的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．做重复试验：抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次，经过统计得“凸面向上”的频率约为0.44，则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面向上”的概率约为(　　)
A．0.22 B．0.56 C．0.50 D．0.44
4．在一个不透明的袋中装有若干个红球和4个黑球，每个球除颜色外完全相同，摇匀后从中摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复这一过程，共摸球200次，其中有80次摸到黑球，估计袋中红球的个数是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．在一个不透明的盒子中装有a个球，这些球除颜色外无其他差别，这a个球中只有4个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则a的值约为（ ）
A．12 B．15 C．18 D．20
6．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的概率是0.2，则估计盒子中大约有红球（　　）
A．12个 B．16个 C．20个 D．25个
7．木箱里装有仅颜色不同的9张红色和若干张蓝色卡片，随机从木箱里摸出一张卡片后记下颜色后再放回，经过多次的重复实验，发现摸到红色卡片的频率稳定在0.6附近，则估计木箱中蓝色卡片有（ ）
A．6张 B．8张 C．10张 D．4张
8．动物学家通过大量的调查估计，某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.6，则现年20岁的这种动物活到25岁的概率是（　　）
A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.48
9．某淘宝商家为“双大促”提前进行了预热抽奖，通过后台的数据显示转盘指针落在“元优惠券”区域的统计数据如下表．若随机转动转盘一次，得到“元优惠券”的概率为（精确到）（ ）
转动转盘的次数
落在“元优惠券”区域的次数
落在“元优惠券”区域的频率
A． B． C． D．
10．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数 20 80 100 200 400 1000
射中九环以上次数 18 68 82 168 332 830
射中九环以上频率 0.90 0.85 0.82 0.84 0.83 0.83
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击1次时“射中九环以上”的概率约是（ ）
A．0.83 B．0.85 C．0.86 D．0.90
11．一个不透明的口袋里装有除颜色都相同的5个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法，先将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了100次，其中有10次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球大约有个（ ）
A．45 B．48 C．50 D．55
12．在一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球4个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在0.2，那么可以估算出m的值为（　　）
A．8 B．12 C．16 D．20
二、填空题
13．乌鲁木齐市林业局要考察一种树苗移植的成活率，对该市这种树苗移植成活情况进行了调查统计，并绘制了统计图，根据统计图提供的信息，估计该树苗成活的概率为 ．
14．2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据：
幼树移植数（棵） 100 1000 5000 8000 10000 15000 20000
幼树移植成活数（棵） 87 893 4485 7224 8983 13443 18044
幼树移植成活的频率 0.870 0.893 0.897 0.903 0.898 0.896 0.902
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是 ．（结果精确到0.1）
15．某种油菜籽在相同条件下的发芽试验，结果如表所示：
每批粒数n 100 300 400 600 1000 2000 3000
发芽的频数m 96 284 380 571 948 1902 2848
发芽的频率 0.960 0.947 0.950 0.952 0.948 0.951 0.949
那么可以估计这种油菜籽发芽的概率是 （结果精确到0.01）．
16．为考察一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示：
移植总数 40 150 300 500 700 1000 1500
成活数 35 134 271 451 631 899 1350
成活的频率 0.875 0.893 0.903 0.902 0.901 0.899 0.900
估计这种幼苗移植成活的概率是 （结果精确到0.1）
17．某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如表：
累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000
盖面朝上次数 28 54 106 158 264 527 1056 1587 2650
盖面朝上频率 0.5600 0.5400 0.5300 0.5267 0.5280 0.5270 0.5280 0.5290 0.530
随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近于 （精确到0.01）．
三、解答题
18．研究问题：一个不透明的盒中装有若干个白球，怎样估算白球的数量？
操作方法：先从盒中摸出8个球，画上记号放回盒中，再进行摸球实验．摸球实验的要求：先搅拌均匀，每次摸出一个球，放回盒中，再继续．
统计结果如表：
摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000
摸到有记号球的次数m 25 44 57 105 160 199
摸到有记号球的频率 0.25 0.22 0.19
（1）请你完成上表中数据，并估计摸到有记号球的概率是多少？
（2）估计盒中共有球多少个？没有记号球有多少个？
19．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共5个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出1个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601
摸到白球的频率
(1)完成上表；
(2)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近__________；随机摸出一个球，摸到白球的概率是__________，摸到黑球的概率是__________．（保留一位小数）
(3)试估算口袋中黑球、白球的个数．
20．在课堂上，老师将除颜色外都相同的1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让全班同学依次进行摸球试验，每次随机摸出一个球，记下颜色不放回搅匀，下表是试验得到的一组数据．
摸球的次数n 100 150 200 500 800
摸到黑球的次数m 26 37 49 124 200
摸到黑球的频率 0.26 0.247 0.245 0.248 0.25
(1)估算口袋中白球的个数为______．
(2)用画树状图或列表的方法计算连续两名同学都摸出白球的概率．
21．某商场“五一”期间为进行有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘．商场规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据：
转动转盘的次数n 100 200 400 500 800 1000
落在“可乐”区域的次数m 60 122 240 298 b 604
落在“可乐”区域的频率” 0.6 0.61 0.6 a 0.59 0.604

(1)______，______；
(2)请估计当n很大时，频率将会接近______，假如你去转动该转盘一次，你获得“可乐”的概率是______；（结果精确到0.1）
(3)转盘中，表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角是多少度？
22．为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中打捞了200条鱼，在每一条鱼身上做好标记后，把这些鱼放归鱼塘，经过一段时间后，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次试验后，试验数据如下表：
每次打捞鱼数a 20 50 100 200 300 500
每次打捞鱼中带标记的鱼数b 3 6 11 19 31 n
0.150 0.120 m 0.095 0.103 0.100
根据表中的数据，回答下列问题：
(1)求表中m，n的值；
(2)随机从鱼塘打捞一条鱼，估计打捞到的鱼是带标记的鱼的概率，并利用概率估计值计算这个鱼塘中约有多少条鱼．
23．某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并做如下规定：顾客购物80元以上就获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据.
转动转盘的次数 100 150 200 500 800 1000
落在“洗衣粉”区域的次数 68 111 136 345 564 701
落在“洗衣粉”区域的频率 0.68 a 0.68 0.69 b 0.70
(1) ， ；
(2)转动该转盘一次，获得洗衣粉的概率的估计值是多少
24．某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，同时规定：顾客购物满元就能获得一次转动转盘的机会，如表是活动中的统计数据：
转动转盘的次数
落在“谢谢参与”区域的次数
落在“谢谢参与”区域的频率
(1)填空：______，______；
(2)若继续转动转盘，当很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近多少？若晓慧去转动该转盘一次，则她转到“谢谢参与”的概率约是多少？结果保留一位小数
《8.5概率帮你做估计》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D B C D B A B C A
题号 11 12
答案 A D
1．B
【分析】经过大量实验，杯口朝上的频率既是概率．
【详解】解：根据表格通过大量实验，杯口朝上的频率为0.22，则估计任意抛掷一只纸杯时杯口朝上的概率约是，
故选B．
【点睛】本题考查频率估计概率，掌握频率与概率之间的联系是解题的关键．
2．D
【分析】先求出连接两点所得的所有线段总数，再用列举法求出取到长度为2的线段条数，由此能求出在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为2的线段的概率．
【详解】∵点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，
连接任意两点均可得到一条线段，
∴连接两点所得的所有线段总数n==15条，
∵取到长度为2的线段有：FC、AD、EB共3条
∴在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为2的线段的概率为：
p＝．
故选：D
【点睛】此题主要考查了正多边形和圆以及几何概率，正确利用正六边形的性质得出AD的长是解题关键．
3．B
【分析】由于事件“凸面向上”和“凹面向上”是对立事件，根据对立事件的概率和为1计算即可．
【详解】瓶盖只有两面，“凸面向上”的频率约为0.44，
则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面向上”的概率约为1-0.44=0.56，
故答案为0.56．
【点睛】本题考查了概率的意义、等可能事件的概率，解答此题关键是要明白瓶盖只有两面，即凸面和凹面．
4．C
【分析】利用频率估计概率可估计黑球的概率，然后根据概率公式构建方程求解即可．
【详解】设袋中红球的个数是个，由题意得：
，
解得，
经检验，是所列方程的解，
所以，袋中红球有6个，
故选：C．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确．
5．D
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，得出摸到红球的概率为0.2，然后根据概率公式，列出方程求解即可．
【详解】解：∵通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，
∴摸到红球的概率为0.2，
∴，
解得，a=20，
经检验a=20是原方程的解，
故D正确．
故选：D．
【点睛】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，解题的关键是根据红球的频率得到摸到红球的概率．
6．B
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【详解】解：设盒子中有红球x个，由题意可得：=0.2，
解得：x=16，
经检验，x=16是分式方程的解，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率及解分式方程，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据黄球的概率得到相应的等量关系
7．A
【分析】根据概率的求法，找准两点：一是全部情况的总数，二是符合条件的情况数目，求解即可；
【详解】解：设木箱中蓝色卡片x个，根据题意可得，
=0.6，
解得：x=6，
经检验，x=6是原方程的解，
则估计木箱中蓝色卡片有6张；
故答案为：A．
【点睛】此题考查了用频率估计概率，解题的关键是准确计算．
8．B
【详解】设共有这种动物x只，则活到20岁的只数为0.8x，活到25岁的只数为0.6x，
所以现年20岁到这种动物活到25岁的概率为=0.75，
故选B．
9．C
【分析】本题考查多次随机事件的概率等于频率，根据表格直接求解即可得到答案；
【详解】解：由表可得，
得到“元优惠券”的概率为，
精确到为：，
故选：C．
10．A
【分析】本题主要考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解答此题的关键．
【详解】解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.83附近，
∴这名运动员射击1次时“射中九环以上”的概率约是0.83．
故选：A．
11．A
【分析】小亮共摸了100次，其中10次摸到白球，则有90次摸到红球；摸到白球与摸到红球的次数之比为1：9，由此可估计口袋中白球和红球个数之比为1：9；即可计算出红球数．
【详解】∵小亮共摸了100次，其中10次摸到白球，则有90次摸到红球，
∴白球与红球的数量之比为1：9，
∵白球有5个，
∴红球有9×5=45（个），
故选A．
12．D
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，根据红球的个数除以总数等于频率，求解即可．
【详解】解：∵大量重复试验后发现，摸到红球的频率在0.2，
∴任意摸出一个球，摸到红球的概率为0.2，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是利用红球的个数除以总数等于频率．
13．0.9
【分析】结合统计图，利用频率去估计概率即可．
【详解】解：由统计图可知，该树苗成活的频率在0.9附近摆动，
∴估计该树苗成活的概率为0.9，
故答案为：0.9．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
14．0.9
【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【详解】∵幼树移植数20000时，幼树移植成活的频率是0.902，
∴估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为0.902，精确到0.1，即为0.9，
故答案为：0.9．
【点睛】本题考查了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．
15．0.95
【分析】观察表格得到这种油菜籽发芽的频率稳定在0.95附近，即可估计出这种油菜发芽的概率．
【详解】解：观察表格得到这种油菜籽发芽的频率稳定在0.95附近，
则这种油菜籽发芽的概率是0.95，
故答案为：0.95．
【点睛】此题考查了利用频率估计概率，从表格中的数据确定出这种油菜籽发芽的频率是解本题的关键．
16．0.9
【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率直接回答即可．
【详解】解∶根据表中数据，试验频率逐渐稳定在0.9左右．
这种幼苗在此条件下移植成活的概率是0.9；
故答案为 ∶0.9．
17．
【分析】本题考查了利用频率估计概率，熟练掌握频率估计概率的方法是解题关键．随着实验次数的增多，频率逐渐稳定到某个常数附近，可用这个常数表示概率，由此即可得．
【详解】解：由表格可知，随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近于，
故答案为：．
18．（1）0.21，0.20，0.20；0.20；（2）40个，32个
【分析】（1）根据表格中n和m的数值代入求解即可；
（2）根据题意得出得出摸到有记号球的概率是0.2，然后求出盒中球的总个数，即可求出没有记号球的个数．
【详解】解：（1）根据105÷500＝0.21，160÷800＝0.2，199÷1000≈0.2，
故摸到有记号球的概率是：0.2；
（2）根据图表可以得出摸到有记号球的概率是0.2，
设盒中共有x个球，可列方程：＝0.2，
解得：x＝40，
故没有记号球有40－8＝32个．
【点睛】此题考查了利用频率估计概率问题，解题的关键是熟练掌握频率和概率的关系．
19．(1)见解析
(2)；，
(3)黑球2个，白球3个
【分析】本题考查了求频率、利用频率估计概率、已知概率求数量，熟练掌握利用频率估计概率的方法是解题关键．
（1）利用计算即可得；
（2）根据表格数据可得摸到白球的频率；利用频率估计概率即可得摸到白球的概率，再利用1减去摸到白球的概率即可得摸到黑球的概率；
（3）利用口袋中黑、白球的总数乘以它们的概率即可得．
【详解】（1）解：，，
则完成表格如下：
摸球的次数 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数 58 96 116 295 484 601
摸到白球的频率
（2）解：根据表格数据可估计，当很大时，摸到白球的频率将会接近，
所以随机摸出一个球，摸到白球的概率是，摸到黑球的概率是，
故答案为：；；．
（3）解：因为口袋里只有黑、白两种颜色的球共5个，且摸到白球的概率是，摸到黑球的概率是，
所以口袋中黑球的个数是，白球的个数是．
20．(1)口袋中白球的个数为3个
(2)
【分析】（1）先利用表格中数据估算出得到白球的频率，然后再求白球的个数即可；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到白球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】（1）解：由表格中数据可得到，摸到黑球的频率稳定在0.25，
故1÷0.25﹣1＝3（个）．
答：口袋中白球的个数为3个．
（2）解：画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，两次都摸到白球的有9种情况，
∴两次都摸到白球的概率为：．
【点睛】本题主要考查了频率与概率、树状图法与列表法求概率等知识点，解题关键在于掌握概率=所求情况数与总情况数之比．
21．(1)0.6，472；
(2)0.6；0.6；
(3)144°．
【分析】（1）根据频率的定义计算m=298时的频率和频率为0.59时的频数；
（2）从表中频率的变化，可得到估计当很大时，频率将会接近，然后根据利用频率估计概率得“可乐”的概率约是；
（3）可根据获得“洗衣粉”的概率为 ，然后根据扇形统计图的意义，用乘以即可得到表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角．
【详解】（1）解：÷≈；；
故答案为：，；
（2）解：估计当很大时，频率将会接近，假如你去转动该转盘一次，你获得“可乐”的概率约是；
故答案为：；；
（3）解：，
所以表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
22．(1)，
(2)这个鱼塘中约有2000条鱼
【分析】本题考查了用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．
（1）根据频率=频数÷总数求解即可；
（2）用200除以打捞到的鱼是带标记的鱼的概率可得总条数，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，，
，
解得；
（2）解：根据表中的数据发现随着每次打捞鱼数的增加，带标记的鱼的频率趋于0.100左右，
∴打捞到带标记的鱼的概率约为0.100，
故（条），
∴这个鱼塘中约有2000条鱼．
23．(1)0.74；0.705
(2)0.70
【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（1）根据频率频数总数，计算即可得出答案；
（2）利用频率估计概率求解即可．
【详解】（1）解： ，；
故答案为：，；
（2）解：根据大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，可知获得洗衣粉的概率的估计值是0.70．
24．(1)；
(2)
【分析】根据频率和频数的关系求得和的值即可；
利用大量重复试验中的频率稳定值估计概率即可．
【详解】（1）解：；；
故答案为：；；
（2）若继续不停转动转盘，当很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近，晓慧转到“谢谢参与”的概率约是．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
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