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第五章二元一次方程组
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知方程4x+3y-6z=0与方程x+3y-3z=0有相同的解．那么x：y：z为（ ）
A．3：2：3 B．1：2：3 C．2：3：2 D．3：2：1
2．《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（　　）
A． B．
C． D．
3．若，则（　　）
A．7 B．10 C．11 D．12
4．我国古代数学问题：现有甲、乙两钱袋，甲袋装的黄金比乙袋装的黄金多9枚，从甲袋取8枚黄金放到乙袋，乙袋的黄金数量就是甲袋的三倍．设甲袋原有黄金枚，乙袋原有黄金枚，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
5．若方程组是二元一次方程组，则“……”可以是（ ）
A． B． C． D．
6．将变形，用含x的代数式表示y，正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．若与互为相反数，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．27
8．当x＝1时，若二元一次方程2x+y＝5与kx﹣3y＝6有相同的解，则k＝（　　）
A．﹣14 B．﹣15 C．15 D．13
9．已知是方程的解，则m的值是（ ）
A．1 B． C． D．2
10．解为的方程组是（ ）
A． B． C． D．
11．已知方程组的解为，则A，B的值分别为（ ）
A．2，3 B．1，3 C．5，1 D．2，4
12．用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是（　　）
A．①×2﹣② B．②×（﹣3）﹣① C．①×（﹣2）+② D．①﹣②×3
二、填空题
13．已知关于x，y的方程组的解满足，则k的值为 ．
14．若是二元一次方程，则 ．
15．一个两位数的各位数字之和为7，十位数字与个位数字互换后，所得新数比原数大9，则原来的两位数是 ．
16．请写一个解为的二元一次方程组 ．
17．已知方程组与有相同的解，则 ．
三、解答题
18．
(1)解方程组：．
(2)解方程组：．
19．某船在静水中的速度为，该船于下午1点从A地出发，逆流而上，下午到达B地，停泊后返回，下午4点回到A地．求A，B两地的距离及水流的速度．
20．已知：用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
(2)某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．
①根据题意可列出关于a，b的二元一次方程________________．
②请你帮该物流公司设计租车方案．（直接写出所有可能的租车方案即可）
21．解方程组
(1)；
(2)．
22．小明和爸爸去超市买了12袋牛奶和24个面包，花去60元．两天后去该超市时，全场商品打8折，他们花去60元，却比上次多买了同样的4袋牛奶和3个面包．打折前牛奶和面包的单价各是多少元？
23．某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量为120万立方，原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工150天完成．由于特殊情况，公司抽调甲队外援施工，由乙队先单独施工40天后甲队返回，两队又共同施工了110天，这时甲、乙两队共完成土方量103.2万立方．甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为多少万立方？
24．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某公司计划购进一批新能源汽车，通过调查，将获取的相关数据整理如下表：
购买数量（单位：辆） 总费用（单位：万元）
甲型汽车 乙型汽车
2 1 60
3 4 115
(1)求甲、乙两种型号的汽车每辆分别为多少万元？
(2)若该公司计划正好用150万元购进甲、乙两种型号的汽车若干辆（两种型号汽车均购买），请直接写出该公司的购买方案．
《第五章二元一次方程组》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B B B A D B C C B
题号 11 12
答案 C D
1．A
【分析】根据方程4x+3y-6z=0与方程x+3y-3z=0有相同的解，用x表示出y和z，然后求出比值即可．
【详解】解：∵方程4x+3y-6z=0①与方程x+3y-3z=0②有相同的解，
∴①-②得：，即，
①-②×2得：，即，
∴=3：2：3，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了解方程组，解题的关键是将其中一个字母看作已知数，进行解方程组．
2．B
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设雀每只两，燕每只两，根据“五只雀、六只燕，共重两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重”可列出方程组，从而可得答案．
【详解】解：设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为：
．
故选：B．
3．B
【分析】设，，则原式变为，求出x、y的值，代入即可得出答案．
【详解】解：设，，则原式变为，
解方程组得：，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是将转化为方程组．
4．B
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．设甲袋原有黄金枚，乙袋原有黄金枚，根据题意列出方程，即可求解．
【详解】解：设甲袋原有黄金枚，乙袋原有黄金枚，由题意可得，
；
故选：B．
5．A
【分析】根据二元一次方程组的定义逐一判断即可解题．
【详解】A. 能组成二元一次方程组，符合题意；
B.是二元二次方程，不能组成二元一次方程组，不符合题意；
C. 是分式方程，不能组成二元一次方程组，不符合题意；
D. 是一元二次方程，不能组成二元一次方程组，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查二元一次方程组的定义，理解二元一次方程组的定义是解题的关键．
6．D
【分析】先移项得，再化简得系数化为即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了解二元一次方程，熟练掌握等式的基本性质，理解等式的性质对方程进行变形处理是解题的关键．
7．B
【分析】首先根据与互为相反数，可得：，所以，据此求出、的值各是多少；然后应用代入法，求出的值为多少即可．
【详解】解：与互为相反数，
，
，
①②，可得：，
解得③，
把③代入①，解得，
原方程组的解是，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，解题的关键是要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用．
8．C
【分析】先将代入方程可得，再将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得．
【详解】解：由题意，将代入方程得：，解得，
当时，二元一次方程与有相同的解，
是二元一次方程的解，
，
解得，
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义（使二元一次方程等号左右两边的值相等的两个未知数的值是这个二元一次方程的解）是解题关键．
9．C
【分析】此题考查了二元一次方程解的定义和一元一次方程的解法，熟练掌握二元一次方程解的定义是解题的关键．根据方程解的定义，把代入方程进行求解即可．
【详解】∵是方程的解，
∴，
解得．
故选：C
10．B
【分析】根据二元一次方程组解的定义可知，将代入原方程组，则必须能使原方程组成立，将依次代入各选项计算，即可解答．
【详解】解：把分别代入四个方程组：
A、，∴不是方程组的解，故此选项不符合题意；
B、，∴是方程组的解，故此选项符合题意；
C、，∴不是方程组的解，故此选项不符合题意；
D、，∴不是方程组的解，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解的概念；一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解；一般地，二元一次方程组两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解；熟练掌握定义是解题的关键．
11．C
【分析】本题考查的是二元一次方程组的解的含义，熟记方程组的解满足方程组中的两个方程是解本题的关键．把代入②可得，把代入①得：，从而可得答案．
【详解】解：∵方程组的解为，
∴，解得：，
∴，
把代入①得：，
故选：C．
12．D
【分析】根据加减消元法逐项判断即可．
【详解】解：用加减消元法解二元一次方程组时，
消去x；
消去y；
消去x；
消去y，
则无法消元的是．
故选：D．
【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，只有当两个二元一次方程未知数的系数相同或相反时才可以用加减法消元，系数相同相减消元，系数相反相加消元．
13．1
【分析】两个方程相加可得，再整体代入求值即可求k的值．
【详解】，
得，
∵
∴
解得，
故答案为：1．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，利用整体思想是解题的关键．
14．6
【分析】此题考查了二元一次方程的定义，利用二元一次方程的定义求出m，n的值，然后代入计算即可．
【详解】解∶ 是二元一次方程，
，
解得∶
故答案为：6．
15．
【分析】本题考查二元一次方程组的应用—数字问题，熟练掌握二元一次方程组的应用是解题的关键，设原两位数的十位数为，个位数为，根据题意找到数量关系，列出二元一次方程组，求解即可得到答案
【详解】解：设原两位数的十位数为，个位数为，由题可得：
解得：
∴原两位数为．
故答案为：34
16．
（答案不唯一）
【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要根据二次一次方程组的定义和二元一次方程组的解写出一个方程组即可．
【详解】解：解为的二元一次方程组是，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了二次一次方程组的定义和二元一次方程组的解，能熟记二元一次方程组的定义是解此题的关键．
17．4
【分析】根据题意，重新构造新的方程组，解出x，y的值，再代入，得出m，n的值．
【详解】解：∵方程组与有相同的解，
∴联立方程组，
解得，
将代入，，
解得，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法解二元一次方程组，代入求值是解题的关键．
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据加减消元法，化去y求出x的值再代入求y即可得到答案；
（2）根据加减消元法，化去x求出y的值再代入求x即可得到答案．
【详解】（1）解：，
由①得，③，
由得，
，
解得，
把代入②，得，
解得，
∴原方程组的解为；
（2）解：，
由，得．
由，得．
，得．
，
将代入，得．
，
这个方程组的解为．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决本题的关键．
19．两地的距离为，水流的速度为
【分析】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，列出方程组求解是解题关键．
设两地的距离为，水流的速度为，根据题意，列出方程组求解即可．
【详解】解：由题知，从A地出发逆流而上到达B地所用时间为，
从B地出发顺流而下到达A地所用时间为，
设两地的距离为，水流的速度为．
根据题意，得
解得，
∴两地的距离为，水流的速度为．
20．(1)1辆A型车装满货物一次可运3吨，1辆B型车装满货物一次可运4吨
(2)①；②有3种租车方案：A型车9辆，B型车1辆；A型车5辆，B型车4辆；A型车1辆，B型车7辆
【分析】（1）设每辆A型车、B型车都装满货物一次可以分别运货x吨、y吨，根据题意可得出二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据（1）所求可得，再结合a、b都是正整数进行求解即可．
【详解】（1）解：设每辆A型车、B型车都装满货物一次可以分别运货x吨、y吨，
依题意列方程组得：
，
解方程组，得：，
∴1辆A型车装满货物一次可运3吨，1辆B型车装满货物一次可运4吨．
（2）解：①结合题意和（1）得：，
②∵a、b都是正整数
∴或或
答：有3种租车方案：
方案一：A型车9辆，B型车1辆；
方案二：A型车5辆，B型车4辆；
方案三：A型车1辆，B型车7辆．
【点睛】本题考查了二元一次方程（组）的应用，根据数量关系列出二元一次方程（组）是解题的关键．
21．(1)
(2)
【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数．
（1）方程组利用代入消元法求解即可；
（2）方程组利用加减消元法求解即可．
【详解】（1）解：
由①得：，
把③代入②得：，
解得，
把代入③得：，
则方程组的解为；
（2）解：
得：，
解得，
把代入①得：
解得，
则方程组的解为．
22．打折前牛奶的单价是3元，面包的单价是1元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，
设打折前牛奶的单价是元，面包的单价是元，根据两次购买牛奶和面包的总价均为60元，列出方程组，求出解即可．
【详解】解：设打折前牛奶的单价是元，面包的单价是元，根据题意，得
，
解得
答：打折前牛奶的单价是3元，面包的单价是1元．
23．甲队原计划平均每天的施工土方量为0.42万立方，乙队原计划平均每天的施工土方量为0.38万立方．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设甲队原计划平均每天的施工土方量为x万立方，乙队原计划平均每天的施工土方量为y万立方，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出结果．
【详解】解：设甲队原计划平均每天的施工土方量为x万立方，
乙队原计划平均每天的施工土方量为y万立方，
根据题意，得
解得：
所以，甲队原计划平均每天的施工土方量为0.42万立方，乙队原计划平均每天的施工土方量为0.38万立方．
24．(1)甲万元，乙万元
(2)共有种购买方案：
方案：甲辆，乙辆
方案：甲辆，乙辆
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键．
（1）设甲型汽车的单价是x万元，乙型汽车的单价是y万元，根据“总价单价数量”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可得出答案；
（2）设购买m辆甲型汽车，n辆乙型汽车，根据“总价单价数量”，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案．
【详解】（1）解：设甲型汽车的单价是x万元，乙型汽车的单价是y万元，
根据题意得：，
解得：，
答：甲型汽车的单价是25万元，乙型汽车的单价是10万元；
（2）解：设购买m辆甲型汽车，n辆乙型汽车，
根据题意得：，
∴，，，
又∵m，n均为正整数，
∴或，
∴该公司共有2种购买方案，
方案1：购买4辆甲型汽车，5辆乙型汽车；
方案2：购买2辆甲型汽车，10辆乙型汽车．
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