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【精准提分】专题08 整式的乘法（二）（浙教2024）
【11个基础题型+2个压轴题型】
【基础题型一】判断是否能用乘法公式 1
【基础题型二】利用平方差公式进行简便计算（选填题） 5
【基础题型三】运用乘法公式计算----“知二求一”题型 8
【基础题型四】运用乘法公式计算----“配凑法”题型 11
【基础题型五】运用乘法公式计算----“首位互倒”题型 16
【基础题型六】运用乘法公式计算----“公式变形”题型 19
【基础题型七】已知完全平方展开式求参数的值 23
【基础题型八】利用乘整式混合运算进行计算 26
【基础题型九】整式混合运算化简求值 37
【基础题型十】科学记数法表示绝对值小于1的数 43
【基础题型十一】乘法公式与几何图形 46
【压轴题型十二】完全平方公式与几何图形中面积问题 51
【压轴题型十三】完全平方公式与几何图形中最值问题 65
【基础题型一】判断是否能用乘法公式
例题1（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）下列各式不能使用平方差公式的是（　　）
A． B．
C． D．
解题思路：根据平方差公式对各选项分别进行判断．本题考查了平方差公式．运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
【答案】B
【详解】解：A、存在相同的项与互为相反数的项，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
B、存在相同的项，没有相反项，不能用平方差公式计算．故本选项符合题意；
C、中存在相同的项与互为相反数的项，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
D、中存在相同的项与互为相反数的项，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
故选：B．
【变式1-1】（24-25七年级下·湖南郴州·期中）下列能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平方差公式：，其特点是：①两个二项式相乘，②有一项相同，另一项互为相反数，③a和b既可以代表单项式，也可以代表多项式．根据公式逐项分析即可．
【详解】解：A．无相同的项，故不能用平方差公式计算；
B．故能用平方差公式计算；
C．无相反的项，故不能用平方差公式计算；
D．无相同的项，故不能用平方差公式计算；
故选B．
【变式1-2】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）下列整式乘法能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平方差公式，根据平方差公式的特点逐一判断即可，掌握本题主要考查了平方差公式是解题的关键．
【详解】解：A、，不能用平方差公式计算，故选项不符合题意；
B、，能用平方差公式计算，故选项符合题意；
C、，不能用平方差公式计算，故选项不符合题意；
D、，不能用平方差公式计算，故选项不符合题意；
故选：B．
【变式1-3】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）下列计算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的完全平方公式的应用，根据完全平方公式的结构特点：两项平方项的符号相同，另一项是这两数积的2倍，逐一判断即可．
【详解】解：A．，原计算错误，不合题意；
B．，原计算错误，不符合题意；
C．，原计算正确，符合题意；
D．，原计算错误，不合题意；
故选：C．
【变式1-4】（2025·四川绵阳·三模）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了整式的乘法，解决本题的关键是根据整式的乘法法则分别计算出各项的正确结果，根据正确结果判断正误即可．
【详解】解：A选项：根据平方差公式可得：
，
故A选项正确；
B选项：根据多项式乘以多项式的法则可得：
，
故B选项错误；
C选项：根据单项式乘以多项式的法则可得：
，
故C选项错误；
D选项：根据完全平方公式可得：
，
故D选项错误．
故选：A．
【变式1-5】（24-25七年级下·江西萍乡·期中）下列乘法公式运用正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了平方差公式和完全平方公式，利用乘法公式计算即可得到答案．
【详解】解：A、，本选项错误；
B、，本选项错误，
C、，本选项错误；
D、，本选项正确；
故选：D．
【变式1-6】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）下列乘法公式运用正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了利用乘法公式，利用乘法公式计算即可得到答案．
【详解】解：A、，本选项错误；
B、，本选项正确；
C、，本选项错误；
D、，本选项错误，
故选：B．
【基础题型二】利用平方差公式进行简便计算（选填题）
例题2（24-25七年级下·全国·期中）计算： ．
【答案】
【详解】解：原式
．
【变式2-1】（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）的个位数字是 ．
【答案】
【分析】本题考查了平方差公式的运用，能灵活运用平方差公式进行计算是解此题的关键.利用平方差公式求解，进而找到规律，即可求解．
【详解】解：
．
∵，，，，，，…，
∴的末位数字是，
∴的末位数字是．
故答案为：．
【变式2-2】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）若，，则 (填“”“”或“”)．
【答案】
【分析】本题考查了利用完全平方公式和平方差公式进行计算、有理数的大小比较，先利用完全平方公式和平方差公式求出、的值，比较即可得解．
【详解】解：，
，
∴，
故答案为：．
【变式2-3】（24-25七年级下·广东深圳·期中） ．
【答案】
【分析】本题考查了利用平方差公式进行简便运算，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
把原式化为，再计算即可．
【详解】解：，
，
，
，
故答案为：．
【变式2-4】（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）利用乘法公式计算下列各题：
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，正确计算是解题的关键；
（1）根据完全平方公式计算即可；
（2）将式子变形为，再根据平方差公式计算即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
【变式2-5】（24-25七年级下·重庆·期中）用简便方法计算：
(1)
(2)
【答案】(1)(2)16
【分析】本题考查了完全平方公式以及平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）运用平方差公式进行简便运算，即可作答．
（2）运用完全平方公式进行简便运算，即可作答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【基础题型三】运用乘法公式计算----“知二求一”题型
例题3（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）已知，，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：
【变式3-1】（24-25七年级下·河北邯郸·期中）若，，则的值为 ．
【答案】9
【分析】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．根据完全平方公式：，即可解答．
【详解】解：∵，，
∴
，
故答案为：9．
【变式3-2】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）若满足，则 ．
【答案】12
【分析】本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式即可得出答案，掌握完全平方公式是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
，
得：，
故答案为：．
【变式3-3】（24-25八年级上·山东滨州·期中）已知，，则的值为 ．
【答案】26
【分析】此题考查了完全平方公式，正确掌握完全平方公式是解题的关键．利用完全平方公式展开然后代入求解即可．
【详解】∵，，
∴
．
故答案为：26．
【变式3-4】（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）已知实数a，b满足，，则的值为 ．
【答案】54
【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，将变形就，再整体代入计算即可得去答案．
【详解】解：∵ ，，
∴
，
故答案为：54．
【变式3-5】（23-24八年级上·辽宁铁岭·期末）已知，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查完全平方公式，求平方根，解题的关键是掌握完全平方公式．
利用完全平方公式进行计算，然后求平方根即可．
【详解】解：∵，，
∴．
∴．
故答案是：．
【变式3-6】（2024八年级·全国·期末）已知，则 ．
【答案】22
【分析】本题考查完全平方公式、代数式求值，利用完全平方公式求解即可．
【详解】解：∵，
∴
，
故答案为：22．
【基础题型四】运用乘法公式计算----“配凑法”题型
例题4（24-25八年级上·重庆巫山·期末）已知，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
【变式4-1】（24-25八年级上·福建漳州·期中）若x，y是自然数，且满足，则 ．
【答案】2或4
【分析】本题考查了完全平方公式，代数式求值，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．先根据完全平方公式变形，再结合x， y是自然数讨论即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵x， y是自然数，
∴或．
∴，，或，，
，，或，，．
当，，时，
解得：，，
，
当，，时，
解得：，，
，
当，，时，
解得：，，
，
当，，时，
解得：，，
，
故答案为：2或4．
【变式4-2】（24-25八年级上·四川乐山·期末）解方程：，则 ， ．
【答案】
【分析】本题考查了完全平方公式，由完全平方公式可得，结合非负数的性质可得，，从而得解，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴，即，
∵，，
∴，，
∴，，
故答案为：，．
【变式4-3】（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）已知．
（1）代数式值是 ；
（2）若，则a的值是 ．
【答案】 2022 5或
【分析】本题考查了求整式的值，完全平方公式；
（1）将式子化为，代值计算，即可求解；
（2）将等式化为，求出的值，将代入计算，即可求解；
能熟练利用完全平方公式及整体代换法求解是解题的关键．
【详解】解：（1）原式
；
（2）∵，
∴，
，
或，
，
，
或，
解得：或；
故答案为：；或．
【变式4-4】（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期中）已知，则代数式的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了完全平方公式的运用，非负数的性质，代数式求值，由已知可得，进而根据非负数的性质可得，，再代入代数式计算即可求解，掌握完全平方公式的运用是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【变式4-5】（2024八年级·全国·期末）若，则 ．
【答案】9
【分析】本题考查完全平方公式，代数式求值，先根据完全平方公式得出，求出，，再代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴
故答案为：9．
【变式4-6】（23-24七年级上·上海青浦·期中）已知，满足，则 ．
【答案】0
【分析】本题主要考查了完全平方公式“”，熟记完全平方公式是解题关键．先将转化为，再根据偶次方的非负性求解即可得．
【详解】解：
，
，
，
又，
，
故答案为：0．
【变式4-7】（23-24八年级上·四川内江·期中）已知，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，熟知完全平方公式是解题的关键．把已知条件下左边用完全平方公式得到，则由非负数的性质可得a、b的值，据此代值计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式4-8】（23-24八年级上·四川巴中·期中）已知，，，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了完全平方公式的应用．，据此即可求解．熟记公式形式是解题关键．
【详解】解：
∵，，，
∴，，，
∴
故答案为：．
【变式4-9】（23-24八年级上·江西宜春·期末）已知，，，那么的值为 ．
【答案】3
【分析】分别求出、、的值，然后利用完全平方公式将题目中的式子变形，再整体代入即可．
【详解】解：∵，，，
∴，，，
∴
故答案为：3．
【基础题型五】运用乘法公式计算----“首位互倒”题型
例题5（24-25七年级下·安徽亳州·期中）若，则
（1） ；
（2） ；
【答案】 3 7
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：3；
（2）∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：7．
【变式5-1】（24-25七年级下·安徽安庆·期中）已知，则a，b之间的关系式是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查完全平方公式， 非负数的性质：绝对值， 根据非负数的性质得出，，再将第一个等式运用完全平方公式，将第二个等式代入即可．
【详解】解：由已知等式，得，，
由此可得：，，
则，
故答案为：．
【变式5-2】（24-25七年级下·四川达州·期中）已知，则等于 ．
【答案】5
【分析】本题考查完全平方公式，等式两边同时除以，得到，进而得到，利用完全平方公式进行求值即可．
【详解】解：∵，且当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：5．
【变式5-3】（24-25七年级下·全国·期中）已知，则 ．
【答案】7
【分析】本题主要考查完全平方公式，解题的关键是将已知等式两边平方．
将两边分别平方，从而可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：7．
【变式5-4】（2025·四川广安·模拟预测）若，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了完全平方公式，等式的性质，整体代入思想，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
先由得，再通过，然后代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴
，
故答案为：．
【变式5-5】（23-24八年级上·湖南长沙·期末）已知：，则代数式的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查分式的求值，完全平方公式的应用．解题的关键是将变形为．
首先将变形为，得到，进行求解即可．
【详解】∵
∴
∴
∴，
即：，
∴．
故答案为：14．
【变式5-6】（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）已知，则的值为 ．
【答案】50
【分析】本题考查代数式求值，完全平方公式，利用完全平方公式求得的值后代入中计算即可．
【详解】解：，
，
，
，
故答案为：50．
【基础题型六】运用乘法公式计算----“公式变形”题型
例题6（24-25七年级下·全国·期中）如果，那么 ．
【答案】0
【详解】解：∵，又，
∴，
故答案为：0．
【变式6-1】（24-25七年级下·重庆·期中）若满足，则 ．
【答案】
【分析】本题考查代数式求值，涉及完全平方公式、多项式乘以多项式和整体代入法求代数式的值等知识，先由条件得到，再由多项式乘以多项式将恒等变形为，将整体代入即可得到答案．熟练掌握整体代入法求代数式值的方法是解决问题的关键．
【详解】解：，
，则，
，
，
故答案为：．
【变式6-2】（24-25七年级上·上海普陀·期末）如果，那么 ．
【答案】/
【分析】本题考查了完全平方公式，根据题意得到，利用完全平方公式展开，再合并同类项即可．
【详解】解：∵，
∴
故答案为：．
【变式6-3】（24-25七年级下·安徽马鞍山·期中）若，则 ．
【答案】6
【分析】本题考查求一个数的平方根，利用平方差公式得到，根据平方根的定义进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：6．
【变式6-4】（2025七年级下·全国·期中）如果等式恒成立，其中B，C为常数， ．
【答案】11
【分析】此题考查了整式的混合运算和多项式相等．因为恒成立，根据对应相等即可得出答案．
【详解】解：∵恒成立，
∴，，
∴，
故．
故答案为：11．
【变式6-5】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）已知，，，则的值是 ．
【答案】9
【分析】本题考查了平方差公式，代数式求值，正确计算是解题的关键．
先利用平方差公式计算，再结合已知条件得出，再将要求的代数式变形为，代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：9．
【变式6-6】（24-25七年级下·江苏南京·期中）已知，代数式 ．
【答案】2025
【分析】本题考查了完全平方公式，代数式求值，利用整体代入思想解题是关键．首先利用完全平方公式展开，然后再代入求值即可．
【详解】解：∵
∴
．
故答案为：2025．
【变式6-7】（2025七年级下·全国·期中）已知，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了平方差公式的应用，利用平方差公式将变形为，即可得解，熟练掌握平方差公式是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
【变式6-8】（2025七年级下·全国·期中）若，则m的值是 ．
【答案】2025
【分析】本题考查了平方差公式的应用，由平方差公式得，即可求解；能熟练利用平方差公式进行运算是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2025．
【变式6-9】（24-25八年级上·重庆巴南·期末）已知，，则的值为 ．
【答案】19
【分析】本题考查了完全平方公式的计算，掌握完全平方公式的计算是解题的关键．
运用完全平方公式展开得到，，即可求解．
【详解】解：已知，，
∴，
∴，
∴，
故答案为： ．
【变式6-10】（24-25七年级下·全国·期中）若，则m，n的值分别为 ．
【答案】0，
【分析】本题主要考查平方差公式及恒等式，根据平方差公式得出，即可解答．
【详解】解：，
则，
故答案为：，．
【基础题型七】已知完全平方展开式求参数的值
例题7（24-25七年级下·四川成都·期中）若是一个完全平方式，那么正数a的值是 ．
【答案】
【详解】解∶ ∵是一个完全平方式，
∴，
∴，
∴正数a的值是，
故答案为∶ ．
【变式7-1】（24-25七年级下·江西吉安·期中）若关于x的多项式是一个完全平方式，且m为正数，那么 ．
【答案】12
【分析】本题考查求完全平方式中的字母的值，根据完全平方式的特点，进行求解即可．
【详解】解：∵是一个完全平方式，且m为正数，
∴，
∴；
故答案为：12．
【变式7-2】（24-25八年级下·甘肃张掖·期中）是一个完全平方式，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键；因此此题可根据完全平方公式“”可进行求解．
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴；
故答案为：．
【变式7-3】（2025七年级下·江苏苏州·期中）已知是完全平方式，则常数k的值 ．
【答案】
【分析】本题考查了完全平方式，解题的关键是熟练掌握形如这样的式子是完全平方式．
由是完全平方式，可得，即可得．
【详解】解：∵是完全平方式，
且是完全平方式，
∴，
得．
故答案为：．
【变式7-4】（24-25七年级下·甘肃张掖·期中）若，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟记完全平方公式是解题的关键．利用完全平方公式把等式左边展开即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式7-5】（24-25八年级上·河南郑州·期末）若是一个关于的完全平方式，则 ．
【答案】13或
【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值．
【详解】解：∵是一个关于的完全平方式，
∴，
解得：或，
故答案为：13或．
【变式7-6】（24-25八年级上·河北唐山·期末）如果为完全平方数，则正整数n为 ．
【答案】8或2
【分析】根据题意进行分类讨论：当是交叉项时，是交叉项时，是交叉项时，根据完全平方公式的特征解答即可．
本题考查了完全平方式的形式，掌握完全平方式的形式是解题的关键．
【详解】解：当是交叉项时，由，
得，
解得；
是交叉项时，由，
得，
解得；
是交叉项时，由，
得，
解得；
故答案为：8或2．
【变式7-7】（23-24八年级上·江西南昌·期末）多项式添加一个单项式后，可变为完全平方式，则添加的单项式可以是 ．
【答案】或或
【分析】本题主要考查了完全平方式的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：．根据，即可判断出添加的单项式．
【详解】解：①，
添加的单项式可以是．
②，
添加的单项式可以是．
③，
添加的单项式可以是．
故答案为：或或．
【基础题型八】利用乘整式混合运算进行计算
例题8（24-25七年级下·山东济南·期中）计算：
(1)
(2)；
(3)；
(4)；
【答案】(1)３(2)(3)(4)
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：
．
（4）解：
．
【变式8-1】（24-25七年级下·陕西西安·期中）计算．
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)(2)(3)4)
【分析】本题考查了零指数、负整数指数幂的运算，整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据绝对值，有理数的乘方，零次幂和负整数指数幂的运算法则计算即可；
（2）先算积的乘方，同底数幂的乘除法，再合并即可；
（3）先根据多项式与多项式，单项式与多项式的乘法计算，然后再合并同类项即可；
（4）根据多项式除以单项式的计算法则求解即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
【变式8-2】（24-25七年级下·甘肃张掖·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)．（用乘法公式计算）
(4)．
(5)；
(6)
【答案】(1)(2)(3)1(4)5)(6)
【分析】本题考查了含负整数指数幂、零指数幂的运算，整式的乘除法运算，平方差公式完全平方公式以及幂的运算等知识点，熟练掌握计算公式和运算法则是解题的关键．
（1）先计算乘方和负整数指数幂、零指数幂以及化简绝对值，再进行加减计算；
（2）先计算积的、幂的乘方运算，再进行单项式的乘除运算；
（3）将变形为，再由利用平方差公式计算即可；
（4）将原式变形为，再由平方差公式和完全平方公式计算；
（5）将原式变形为，再由完全平方公式和单项式乘以多项式计算；
（6）分别计算同底数幂的乘法、幂的、积的乘方运算，再合并即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
；
（5）解：
；
（6）解：
【变式8-3】（24-25七年级下·广东佛山·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)用乘法公式简便计算：．
【答案】(1)(2)(3)(4)5)
【分析】本题主要考查整式的混合运算，负整数指数幂公式，有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
（1）根据负整数指数幂公式，有理数的混合运算求解即可；
（2）根据整式的混合运算法则计算即可求解；
（3）根据整式的混合运算法则计算即可求解；
（4）根据整式的混合运算法则计算即可求解；
（5）乘法公式简便计算即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
；
（5）解：．
【变式8-3】（24-25七年级下·四川成都·期中）计算
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】本题考查整式的混合运算、实数的运算．熟练掌握运算法则是解题的关键，注意平方差公式和完全平方公式的应用．
（1）先利用零指数幂、负整数指数幂、有理数的乘方和绝对值进行计算，然后再算乘法和加法即可；
（2）先算积的乘方，再算单项式的乘除法即可；
（3）根据完全平方公式、多项式乘多项式的运算法则可以将式子展开，然后合并同类项即可；
（4）根据完全平方公式和多项式乘多项式的法则计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【变式8-4】（24-25七年级下·四川成都·期中）计算或化简．
(1)；
(2)；
(3)；
【答案】(1)2(2)(3)
【分析】本题综合考查有理数的混合运算、整式的混合运算、零指数幂、负整数指数幂等知识点．
（1）先根据零指数幂、负整数指数幂、乘方化简，再计算即可；
（2）先算乘方，再计算乘除，再算加减即可；
（3）利用完全平方公式和多项式乘多项式计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【变式8-5】（24-25七年级下·四川成都·期中）（1）计算：
（2）计算：
（3）计算：
【答案】（1）7；（2）；（3）
【分析】本题考查了整式的混合运算，实数的混合运算，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．
（1）绝对值，零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方进行计算即可求解；
（2）根据单项式乘多项式和积的乘方，再计算多项式除以单项式即可求解．
（3）根据单项式乘多项式，平方差公式，再合并同类项即可求解．
【详解】解：（1）
；
（2）
；
（3）
．
【变式8-6】（24-25七年级下·四川甘孜·期中）计算
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)(2)0(3)(4)
【分析】此题考查了整式的混合运算及实数的运算，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
（1）先运用完全平方公式计算括号内，并合并，再提取2，然后再用平方差公式计算得出答案；
（2）先运用零指数幂及负整数幂的运算法则计算每一项，再合并进而得出答案；
（3）直接利用单项式乘单项式以及积的乘方运算法则化简，进而合并，再结合整式的除法运算法则计算得出答案；
（4）直接利用乘法公式化简，再合并同类项得出答案．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
；
（3）解：，
，
，
；
（4）解：，
，
，
【变式8-7】（24-25七年级下·广东深圳·期中）计算：
(1)
(2)
(3)（要求用公式简便计算）
(4)
【答案】(1)6(2)(3)(4)
【分析】本题考查了整式的混合运算，绝对值，零指数幂，负整数指数幂，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）按照从左到右的顺序进行计算，即可解答；
（2）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（3）利用平方差公式进行计算，即可解答；
（4）利用平方差公式进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
【变式8-8】（24-25七年级下·山东枣庄·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】本题考查了整式的混合运算以及零指数幂和负整数指数幂的计算，掌握相关法则即可求解；
（1）分别计算零指数幂和负整数指数幂即可；
（2）利用整式的混合运算法则即可求解；
（3）利用整式的混合运算法则即可求解；
（4）利用整式的混合运算法则即可求解；
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
（3）解：原式
（4）解:原式

【变式8-9】（24-25七年级下·四川达州·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】本题主要考查了实数混合运算，幂的混合运算，整式混合运算，平方差公式，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
（1）根据零指数幂，负整数指数幂运算法则进行计算即可；
（2）根据积的乘方，同底数幂乘法单项式乘以单项式运算法则进行计算即可；
（3）根据平方差公式，单项式乘多项式运算法则进行计算即可；
（4）根据平方差公式，单项式乘多项式运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【基础题型九】整式混合运算化简求值
例题9（24-25七年级下·重庆·期中）先化简，再求值：
其中．
【答案】，2
【详解】解：
；
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴原式．
【变式9-1】（24-25七年级下·四川成都·期中）先化简，再求值．
(1)，其中
(2)，其中．
【答案】(1)，7(2)，
【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键．
（1）首先根据多项式除单项式法则、平方差公式进行运算，然后去括号，合并同类项即可完成化简，再代入求值即可；
（2）首先根据平方差公式、单项式乘多项式法则、完全平方公式进行运算，然后去括号，合并同类项即可完成化简，再代入求值即可．
【详解】（1）解：原式
，
当时，
原式
；
（2）解：原式
，
当时，
原式
．
【变式9-2】（24-25七年级下·四川成都·期中）（1）化简：；
（2）先化简，再求值：，其中，．
【答案】（1）（2）
【分析】本题考查了整式的化简及求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）先运用平方差公式和去括号法则计算中括号内的式子，合并同类项再计算除法即可得最简结果；
（2）先利用完全平方公式和多项式乘多项式法则化简，再将，代入化简后的式子计算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
；
，，
原式．
【变式9-3】（24-25七年级下·全国·期中）已知，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)7(2)6(3)5
【分析】本题考查完全平方公式：
（1）利用完全平方公式变形计算即可；
（2）利用完全平方公式变形计算即可；
（3）利用完全平方公式变形计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）由（1）知：，
又∵，
∴；
（3）∵，，
∴．
【变式9-4】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）（1）已知实数，满足，，求的值；
（2）已知实数，满足，，求的值．
【答案】（1）（2）
【分析】本题考查了完全平方公式的变形求值问题，熟练掌握是解题的关键．
（1）将展开，即可求解；
（2）由平方差公式展开，再由完全平方公式展开进行整体代换求值，即可求解；
【详解】（1）展开得：
，将带入得：
．
（2）由平方差公式展开得：
，即，
，
，两边同时减去得：
，
．
【变式9-5】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）先化简，再求值： ，其中．
【答案】，
【分析】本题考查了平方差公式、完全平方公式、单项式乘多项式，先根据平方差公式、完全平方公式、单项式乘多项式进行展开，再合并同类项，得，然后把分别代入进行计算，即可作答．
【详解】解：
．
当时
原式
．
【变式9-6】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）先化简，再求值：， 其中．
【答案】，
【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值，根据完全平方公式和积的乘方计算，然后合并同类项，再将a、b的值代入化简后的式子计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
【变式9-7】（24-25七年级下·四川雅安·期中）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，，
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和完全平方公式计算，再合并同类项即可化简，然后将数值代入计算即可．
【详解】解：
．
当，时，原式．
【变式9-8】（24-25七年级下·北京房山·期中）先化简，再求值：，其中，
【答案】，
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先利用完全平方公式，平方差公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案．
【详解】解：
，
当，时，原式．
【变式9-9】（2025·陕西西安·三模）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题主要考查整式的混合运算．根据平方差公式、完全平方公式以及单项式乘多项式整式的法则运算化简，再整体代入求值即可．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴原式．
【变式9-10】（2025·安徽合肥·二模）先化简，再求值：，其中，．
【答案】；
【分析】本题考查了整式的化简求值，根据完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项．再将a、b的值代入化简后的式子计算即可．
【详解】解：
代入 和 得
原式
【基础题型十】科学记数法表示绝对值小于1的数
例题10（24-25八年级下·河南南阳·期中）研发的智能系统在分析数据时，其算法对微观结构的测量精度可达米，用科学记数法表示，则n为（ ）
A． B．8 C． D．7
【答案】C
【详解】解：，
为．
故选：C．
【变式10-1】（2025·陕西咸阳·二模）用于医疗的皮秒激光治疗用时仅为250皮秒，大幅提高了治疗效果．已知1皮秒秒，则将250皮秒单位换算成秒并用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故选D．
【变式10-2】（2025·北京石景山·二模）根据公开资料，我国载人航天测控系统的时间同步精度为秒（微妙级时间同步），确保指令和数据的精确．请将用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，解题关键是根据小数点位置的移动确定指数．
利用科学记数法的一般式求解．科学记数法的一般式为，其中，为整数．
【详解】解：．
故选：A．
【变式10-3】（2025·陕西榆林·二模）我们知道，蓝光并不都是有害光，但波长低于（即）的蓝光会使人眼睛内的黄斑区毒素量增高，严重威胁眼底健康，数据0.00000046用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可．
【详解】解：
故选A．
【变式10-4】（2025·广东·二模）小病毒是一类已知最小的动物病毒，已知某种小病毒的直径约为， 即． 数据“” 用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：,
故选A．
【变式10-5】（2025·四川成都·二模）某半导体公司研发了一款新型存储芯片，部分参数如下：晶体管栅极宽度米；单个芯片面积：2.5平方毫米；集成元件数量80亿个；光刻工艺线宽误差：米．数据“”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，确定和的值是解题关键．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：
故选：A．
【变式10-6】（24-25七年级下·重庆·期中）直径约为米的单壁碳纳米管的强度是钢的100倍，却仅有原子级厚度，这一特性使其在纳米电子学和复合材料中具有革命性应用，把数据用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】本题考查了科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【详解】解：，
故答案为：．
【变式10-7】（24-25八年级下·重庆·期中）清代诗人袁枚在《苔》中用“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开”歌颂微小生命的坚韧与诗意．若苔花的花粉直径约为米，将其用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数．
【详解】解：．
故答案为：．
【变式10-8】（2025·河南商丘·二模）水滴石穿是一个成语，最早出自东汉·班固《汉书·枚乘传》．该成语的意思是指水滴不断地滴，可以滴穿石头，比喻坚持不懈，集细微的力量也能成就大的功劳．小明同学观察记录后发现，水滴不断地滴在一块石头上，1年后形成了一个深为的小洞，用科学记数法可表示为 ．
【答案】
【分析】先确定左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，写成的形式即可．
本题考查了绝对值小于1的数的科学记数法，按照左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，确定这两个关键要素是解题的关键．
【详解】解：∵，
故答案为：．
【基础题型十一】乘法公式与几何图形
例题11（24-25七年级下·江苏无锡·期中）通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．用图1与图2可以描述一个重要的数学公式，这个公式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：图1中阴影部分的面积为，
图2中阴影部分的面积为，
∵图1中阴影部分的面积和图2中阴影部分的面积相等，
∴，
故选： C．
【变式11-1】（24-25七年级下·全国·期中）从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（图①），然后将剩余部分剪拼成一个平行四边形（图②）．这样操作能验证的等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平方差公式与图形面积，熟练掌握平方差公式是解题关键．根据图①可得剩余部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，根据图②可得剩余部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，由此即可得．
【详解】解：由图①可知，剩余部分的面积为，
由图②可知，拼成的平行四边形矩形的底为，高为，
则剩余部分的面积为，
所以能验证的等式是，
故选：D．
【变式11-2】（24-25七年级下·四川甘孜·期中）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形，根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查平方差公式的几何意义．由大正方形的面积小正方形的面积矩形的面积，进而可以证明平方差公式．
【详解】解：大正方形的面积小正方形的面积，
矩形的面积，
故．
故选：D．
【变式11-3】（24-25七年级下·安徽淮北·期中）如图，阴影部分是边长为a的大正方形中减去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割，拼，形成新的图形，给出下列三种割拼方法，其中能够验证平方差公式的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】D
【分析】本题考查平方差公式与几何图形的面积，利用两种不同的方法分别表示出阴影部分的面积，逐一进行判断即可．
【详解】解：对于①，阴影部分的面积：左边表示为，右边表示为
∴，能够验证平方差公式；
对于②，阴影部分的面积左边表示为：，右边表示为：
∴，能够验证平方差公式；
对于③，阴影部分的面积左边表示为：，右边表示为：
∴，能够验证平方差公式；
故选D．
【变式11-4】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，将分割的正方形阴影部分拼接成长方形的方案中，可以验证哪个公式 ．（请用含a，b的等式表示）
【答案】
【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，左边一幅图中阴影部分面积等于边长为a的正方形面积减去边长为b的正方形面积， 右边一幅图中阴影部分面积等于长为，宽为的长方形面积，据此分别求出两幅图中阴影部分的面积即可得到答案．
【详解】解：左边一幅图中，阴影部分面积为，
右边一幅图中，阴影部分面积为，
∵两幅图中阴影部分面积相等，
∴，
故答案为：．
【变式11-5】（23-24八年级上·浙江台州·期末）已知，且以a、b、c为长拼成如图正方形，则阴影部分的面积为 ．(用含x、y、z的代数式表示)

【答案】
【分析】本题考查平方差公式与几何图形的面积，利用分割法表示出阴影部分的面积，再根据，结合平方差公式，将面积转化为含x、y、z的代数式即可．
【详解】解：由图可知，阴影部分的面积为：
∵，
∴阴影部分的面积为．
故答案为：．
【变式11-6】（23-24八年级上·云南保山·期末）如图1，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图2的长方形，则根据图1、图2阴影部分的面积相等，可以得到的一个等式为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查平方差公式的几何意义，用两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键．
由大正方形的面积－小正方形的面积=矩形的面积，进而可以证明平方差公式．
【详解】解：图1中：大正方形的面积－小正方形的面积，
图2中：矩形的面积，
依题意得：，
故答案为：．
【变式11-7】（23-24八年级上·河南新乡·期末）如图，在边长为a的正方形中减去一个边长为b的小正方形，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分面积，验证了公式 ．
【答案】
【分析】本题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键，先根据左图和右图分别表示出阴影部分的面积，然后根据面积相等即可解答．
【详解】解：由作图可得：阴影部分的面积为；
由右图可得：阴影部分的面积为：；
所以．
故答案为
【压轴题型十二】完全平方公式与几何图形中面积问题
例题12（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为，．已知，，且，则 ．
【答案】
【详解】解：∵正方形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式12-1】（24-25七年级下·陕西西安·期中）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图①），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图②），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．

(1)用含a、b的代数式分别表示、；
(2)若，，求的值；
(3)用a、b的代数式表示，并当时，求出图③中阴影部分的面积．
【答案】(1), =；(2)=77；(3)=18.
【分析】（1）图①中阴影部分的面积是边长为a、b的正方形的面积差，图②中阴影部分的面积是边长为b的正方形面积减去边长为b和的矩形面积的差；
（2）由（1）用a、b表示出，然后将其配方后把，代入即可得解；
（3）由图形中面积之间的关系可以用含有a、b的代数式表示，然后再代入计算即可．
【详解】（1）解：由题意可得：
,
=
=；
（2）由（1）可得：
=
=
=,
∴当，时，；
（3）由题意可得：
=，
当时，，
∴.
【变式12-3】（24-25八年级上·广西南宁·期中）【知识生成】
通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：，图2中阴影部分的面积可表示为：，因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：．
【结论探究】
图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形．
（1）如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于，，的等式是______．
（2）若，，求的值．
【类比迁移】
（3）如图5，点是线段上的一点，以为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）；（2）29；（3）17
【分析】（1）根据题意，阴影部分的面积大正方形的面积4个小长方形的面积，列出代数式即可；阴影部分的面积正方形的面积长方形的面积小长方形的面积，代入字母求出代数式即可；
（2）根据（1）代入数据计算即可；
（3）根据题意，延长交于点H，设正方形的边长为x，正方形的边长为，两个正方形的面积和是47，得出方程，根据
，列出代数式，求出阴影部分面积即可．
本题考查了平方差公式、完全平方公式，代数式，解决本题的关键是熟练运用正方形的面积公式、三角形的面积公式、梯形的面积公式．
【详解】解：（1）阴影部分的面积：
阴影部分的面积：
故答案为：
（2）若，，
（3）如图：延长交于点H
设正方形的边长为x，正方形的边长为，
得，
，
，
即，
，
即
答：图中阴影部分的面积是17．
【变式12-4】（23-24七年级下·全国·期末）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．
(1)请利用图①所得的恒等式解决如下问题：若，，求的值；
(2)正方形、正方形如图②所示方式摆放，边长分别为，．若，，请直接写出图中阴影部分的面积；
(3)类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式．图③是由个正方体和个长方体拼成的一个大正方体，请写出一个恒等式；
(4)已知 ，，利用中的恒等式求的值．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】本题考查完全平方公式和立方公式，熟练掌握数形结合是解题的关键；
（1）根据图形的面积即可求解；
（2）根据四边形和都是正方形，设，，根据，即可求解；
（3）根据题意可得，正方形体积表示为或，即可求解；
（4）根据，，结合即可求解；
【详解】（1）由图可知，大正方形面积为或，
，
，
（2）由图可知，∵四边形和都是正方形，
，
，
，又，
，
，
，
，
即阴影部分的面积为
（3）由图得，正方形体积表示为，
也可以表示为，
，
即
（4），，
由得，
，
【变式12-5】（23-24七年级下·重庆·期末）已知8张长为，宽为的小长方形纸片，按下图方式不重叠地放在矩形内，未被覆盖的部分分别用两个阴影表示．其中右下角阴影为六边形，左上角阴影为长方形．设六边形与长方形面积的差为，设．
(1)用的代数式表示；
(2)当的长度变化时，如果始终保持不变，则应满足的关系是什么？
(3)在（2）的结论成立的情况下，用10张长为，宽为的矩形纸片，再加上张边长为的正方形纸片，张边长为的正方形纸片（是正整数），拼成一个大的正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则当大正方形面积最小时，求拼成的大的正方形的边长为多少（用含的代数式表示）？并求出此时的的值．
【答案】(1)(2)
(3)时，大正方形面积最小，此时边长为
【分析】本题考查列代数式、整式的混合运算以及几何应用、算术平方根，理解题意，正确列出代数式，以及能得出是完全平方数是解答的关键．
（1）先用、、分别表示出阴影部分的长和宽，进而分别表示出阴影的面积，然后作差求解即可；
（2）根据差与无关可知代数式的值与无关，即可求出、的关系；
（3）根据题意可得出拼得的正方形的面积为，根据正方形的面积可知，是完全平方数，结合为正整数即可得出答案．
【详解】（1）解：记长方形的面积为，六边形的面积为，
则，，，，
，，
∴，
，
∴
，
即：；
（2）由（1）可知，，
当的长度变化时，要使得始终保持不变，即上面代数式的值与无关，
∴，即、满足的关系是：．
（3）拼成的大正方形的面积为：10张边长为，宽为的矩形的面积张边长为的正方形的面积张边长为的正方形的面积，
∴拼成的大正方形的面积为：，
∵，
∴，
∵是边长的平方，
∴是完全平方数，而为正整数，
当时，，
当取更大的完全平方数时，正方形的面积也变大，
故时，大正方形面积最小，此时面积为，则边长为．
【变式12-6】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）若x满足，求的值．
解：设，则．
所以．
请仿照上面的方法求解下面问题：
(1)若x满足，求的值；
(2)如图，已知正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，长方形的面积是24，分别以为边作正方形．

①正方形的边长为a，正方形的边长为b，则________； _______；
②利用你学过的平方差公式和完全平方公式求图中阴影部分面积．
【答案】(1)5(2)①2；24；②20
【分析】（1）设，则，根据代入计算即可解答；
（2）①根据正方形ABCD的边长为x，即可表示出MF与DF，正方形的边长为a，正方形的边长为b，表示出和即可；②根据矩形的面积公式、正方形的面积公式以及完全平方公式求解即可．
【详解】（1）解：设，则．
所以．
（2）解：①由题意得，．
∵正方形的边长为a，正方形的边长为b
∴，，
∴，
∵长方形的面积是24，
∴,即．
故答案为2，24．
②由图形可知：阴影部分的面积为：
∵，
∴，即
∴．
【变式12-6】（24-25七年级下·辽宁丹东·期中）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若，，求的值．
解：因为，所以，即：，
又因，所以
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：

(1)若，，则的值为______；
(2)拓展：若，则______．
(3)应用：如图，在长方形中，，，点E、F是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为160，求图中阴影部分的面积和．
【答案】(1)12(2)10(3)384
【分析】（1）利用完全平方公式进行计算，即可解答；
（2）设，，则，，然后完全平方公式进行计算，即可解答；
（3）根据题意可得，，然后设，，则，，最后利用完全平方公式进行计算，即可解答．
【详解】（1）解： ，，
，
．
（2）解：设，，
，
，
，
．
（3）解：四边形是长方形，
，，
，
，，
设，，
，
长方形的面积为160，
，
正方形的面积正方形的面积
，
图中阴影部分的面积和为384．
【变式12-7】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）现有边长分别为的A、B两种正方形卡片（如图1）．
(1)将A、B两种卡片各1张按图2放置，阴影部分的面积记为． 将1张A卡片、2张B卡片按图3放置，其阴影部分（三张卡片都重叠的部分）的面积记为，则 ， ；（用含a、b的代数式表示）；
(2)若，求的值；
(3)将A、B两种卡片各1张按图4放置在一个边长为的大正方形内，左下角长方形的面积为，两张卡片重叠部分的面积为．若，请直接写出与的数量关系： ．
【答案】(1)；(2)(3)
【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，多项式乘法在几何图形中的应用，单项式乘以多项式在几何图形中的应用，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
（1）等于边长为a的正方形面积减去边长为b的正方形面积，等于长为b，宽为的长方形面积，据此列式求解即可；
（2）根据（1）所求得到，据此代值计算即可；
（3）等于两邻边长为的长方形面积，等于两邻边长为、的长方形面积，据此求出，即可得到结论．
【详解】（1）解：由题意得，；；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴
；
（3）解：由题意得，，
，
∵，
∴，
∴．
【压轴题型十三】完全平方公式与几何图形中最值问题
例题13（24-25八年级下·江苏苏州·期中）探究代数式的最小值时，我们可以这样处理：
因为，
所以当时，的值最小，最小值是0．
所以．
所以当时，的值最小，最小值是1．
所以的最小值是1．
依据上述方法，解决下列问题：
(1)当________时，有最小值是________；
(2)多项式有最________（填“大”或“小”）值，该值为________；
(3)已知，求的最小值；
【答案】(1)，(2)大，(3)的最小值是．
【详解】（1）解：
∵
∴当时，的值最小，最小值是0．
∴．
∴当时，的值最小，最小值是．
∴的最小值是．
故答案为：，；
（2）解：
∵，
∴当时，的值最大，最大值是0．
∴．
∴当时，的值最大，最大值是．
故答案为：大，；
（3）解：∵，
，
∴，
∵，
∴当时，的值最小，最小值是0．
∴．
∴当时，的值最小，最小值是．
∴的最小值是．
【变式13-1】（24-25七年级下·陕西西安·期中）把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法，求的最小值．
解：，因为不论a取何值，总是非负数，即，所以当时，取最小值0，有最小值．
当时，有最小值．
根据上述材料，解答下列问题：
(1)将变形为的形式________，则的最小值为______；
(2)如果，则；如果，则；如果，则．
已知，，请比较A与B的大小，并说明理由；
(3)已知，求的值．
【答案】(1)；；(2)(3)
【分析】本题主要考查了配方法的应用、非负数的性质：偶次方、代数式求值、整式的加减、不等式的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用配方法是关键；
（1）依据题意得，，又对于任意实数满足，则，从而可以判断得解；
（2）依据题意得，，又对于任意实数满足，则，进而可以判断得解；
（3）依据题意，由，从而，则，可得，，进而代入计算可以得解．
【详解】（1）解：由题意得，．
又∵对于任意实数满足，
．
的最小值为．
故答案为：；
（2）解：由题意得，
．
∵对于任意实数满足，
．
．
（3）解：∵，
∴，
∴．
∴，，
∴，，
；
【变式13-2】（24-25七年级下·全国·期中）阅读材料并解决问题：
利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可以求出多项式的最小值．例如，求的最小值．
解：
．
无论x取何值，总是非负数，
即，所以．
所以当时，有最小值，最小值为5．
根据上述材料，解答下列问题：
(1)填空： ；
(2)将多项式变形为的形式，并求出的最小值；
(3)如图，比较两个长方形的面积，的大小，并说明理由．
【答案】(1)36；6(2)变形见解析；(3)，理由见解析
【分析】本题考查了配方法，完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
（1）利用配方法即可得；
（2）利用配方法得，根据非负数的性质即可得；
（3）根据题意得，，利用作差法和配方法得，即可得．
【详解】（1）解：，
故答案为：，6；
（2）解：
，
无论x取何值时，总是非负数，
即，
∴，
∴的最小值为；
（3）解：
，
，
∴
，
∵无论a取何值时，总是非负数，
即，
∴，
∴，
∴．
【变式13-3】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）材料一：定义：一个正整数能表示成（a、b是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．
材料二：配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比因为，所以当时，的值最小，最小值是0．所以．所以当时，即时的值最小，最小值是1．即的最小值是1．
(1)已知13是“完美数”，请将它写成（a、b是正整数）的形式______；
(2)①已知，则______；
②已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试写出符合条件的一个k值，并说明理由．
(3)已知实数x、y满足，求的最小值．
【答案】(1)(2)①②20(3)1
【分析】本题考查新定义，完全平方公式，熟练掌握新定义，是解题的关键：
（1）根据新定义，将13写成两个数的平方的和的形式即可；
（2）①将等式转化为两个完全平方式的和为0的形式，利用非负性，进行求解即可；
②根据新定义，将转化为两个完全平方式的和的形式，进行求解即可；
（3）将转化为完全平方式和数的和的形式，根据非负性求出最小值即可．
【详解】（1）解：根据题意得：；
故答案为：；
（2）①∵，
∴，
∴，
，，
，，
解得：，，
∴；
故答案为：；
②当时，为“完美数”，
理由如下：
，
，是整数，
，也是整数，
是一个“完美数”；
（3）∵，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴当时，有最小值，最小值为1．
【变式13-4】（24-25七年级下·四川成都·期中）【项目学习】“我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法．例如：求当a取何值，代数式有最小值？最小值是多少？
解：，
因为，所以，
因此，当时，代数式有最小值，最小值是．
【问题解决】利用配方法解决下列问题：
（1）代数式的最小值为 　 　，的最大值为 　 　．
【拓展提高】
（2）当x，y何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？
（3）如图所示的第一个长方形边长分别是、，面积为；如图所示的第二个长方形边长分别是、，面积为．试比较与的大小，并说明理由．
【答案】（1），20；
（2）当时，代数式取得最小值，最小值为16；
（3），理由见详解
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，正确理解题意是解题关键．
（1）仿照题目中所给的配方法的思路解答即可；
（2）结合题目中所给的配方法的思路，将整理为，即可获得答案；
（3）分别计算与，然后由，易得，即可获得答案．
【详解】解：（1），
∵，
∴，
∴当时，代数式有最小值，最小值是；
，
∵，
∴，
∴当时，代数式有最大值，最大值是．
故答案为：，20；
（2）
，
∵，
∴当，，即时，代数式取得最小值，最小值为16；
故答案为：当时，代数式取得最小值，最小值为16；
（3），理由如下：
根据题意，可得，
，
∴，
∵，
∴，即，
∴．
【变式13-5】（24-25七年级下·安徽亳州·期中）配方法是将一个式子的某一部分通过恒等变形转化为完全平方式的形式．此法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．
解决问题：
（1）①29是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式___________；
②若可配方成（、为常数），则___________．
探究问题：
（2）①已知，则___________；
②已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值___________
拓展结论：
（3）已知实数、满足，求的最小值，并求出此时的值
【答案】（1）①；②；（2）①；②13；（3）；
【分析】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，熟知完全平方公式是解题的关键．
（1）①把29分为两个整数的平方和，即可；
②原式利用完全平方公式配方后，确定出m与n的值，即可求出的值；
（2）①已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出x与y的值，即可求出的值；
②根据S为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出k的值即可；
（3）将已知等式表示出y，代入中，配方后再利用非负数的性质求出最大值即可．
【详解】解：（1）①根据题意得：；
故答案为：；
②根据题意得：，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）①∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴；
故答案为：；
②
∵S为“完美数”，
又，是完全平方式，
∴也是完全平方式，
∴，
∴，
故答案为：13；
（3）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当时，的值最小，最小值为．
【变式13-6】（24-25七年级下·广东深圳·期中）先仔细阅读材料，再尝试解决问题：
完全平方公式及的值恒为非负数的特点在数学学习中有着广泛的应用，比如探求多项式的最大（小）值时，我们可以这样处理：
解：原式
因为无论x取什么数，都有的值为非负数，所以的最小值为0，此时，进而的最小值是，所以当时，原多项式的最小值是．
解决问题：请根据上面的解题思路，探求
(1)多项式的最小值是多少，并写出对应的x的取值；
(2)多项式的最大值是多少，并写出对应的x的取值．
【答案】(1)当时，原多项式的最小值是3
(2)当时，原多项式的最大值是9
【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的特点、正确理解题意是解题的关键．
（1）先把给出的式子化成完全平方的形式，再根据非负数的性质即可得出答案；
（2）根据完全平方公式把给出的式子进行整理，即可得出答案．
【详解】（1）解：
，
因为无论x取什么数，都有的值为非负数，
所以的最小值为0，此时，
所以的最小值是．
所以当时，原多项式的最小值是3；
（2）解：
，
∵，
∴当值最大，
解得，
此时原式的最大值为．
∴时，原多项式的最大值是9．
【变式13-7】（24-25七年级下·广东深圳·期中）【探索发现】
数学活动课上，老师准备了如图的一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按如图所示的形状拼成一个大正方形．
（）图中的阴影部分正方形的边长是________（用含，的代数式表示）；
（）观察图，图，请写出，，之间的等量关系是________；
【解决问题】
（）若，，且，则________；
【实际应用】
（）学校计划用一块梯形区域开展科技节活动，如图所示．已知于点，，．计划在和区域内展示无人机和机器人表演，在和区域内分别是主舞台和观众，经测无人机和机器人表演区域的面积和为平方米，米，求主舞台和观众区的面积和．
【答案】（）；（）；（）；（）
【分析】（）根据图形即可求解；
（）根据大正方形的面积减去个长方形的面积等于小正方形的面积，列出等量关系即可；
（）利用（）所得的等量关系解得即可；
（）设，，可得，，再利用完全平方公式计算即可求解；
本题考查了完全平方公式与几何图形，完全平方公式的变形运算，熟练掌握完全平方公式的运用是解题的关键．
【详解】解：（）由图知，阴影部分正方形的边长为，
故答案为：；
（）大正方形的面积为，小正方形的面积为，长方形的面积为，
由图可知，大正方形的面积减去个长方形的面积等于小正方形的面积，
∴，
故答案为：；
（）由（）可得，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（）设，，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∵无人机和机器人表演区域的面积和为平方米，
∴，
∴，
∴，
∴主舞台和观众区的面积和为．
1．（2025·辽宁丹东·二模）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了幂的乘方，多项式除以单项式，积的乘方，完全平方公式．根据各自的运算法则一一计算即可得出答案．
【详解】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项符合题意；
故选：D．
2．（24-25八年级下·辽宁阜新·期中）若，，则M，N的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了因式分解，利用作差法，将计算的结果进行因式分解，即可解答，熟练进行因式分解是解题的关键．
【详解】解：，
，
故选：B．
3．（24-25六年级下·山东淄博·期中）若，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查多项式乘法法则的知识，解题关键是利用多项式乘法展开式子后，根据等式两边同类项系数相等列方程求解．
【详解】解：
，
，，
解得：，，
则，
故选：C．
4．（2025·山东聊城·二模）发现：……依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是（ ）
A．7 B．9 C．3 D．1
【答案】D
【分析】本题考查了平方差公式和尾数特征．观察时注意7的指数的奇偶性与个位数字的关系，利用平方差公式进行计算，然后利用观察的规律解答．解题的关键是熟练掌握平方差公式的运用．
【详解】解：，
，
，
，
，
根据题中规律可得从到，结果的个位数字四个一循环，分别为，
，
的结果的个位数字为，
故答案为：D．
5．（2025·安徽合肥·二模）如图，在边长为6的正方形的四个角落分别放置了四张大小不同的正方形纸片1、2、3、4．其中，以下说法正确的是（ ）．
A．正方形1的面积等于正方形3与正方形4的面积的和
B．图中阴影部分面积保持不变
C．阴影部分周长保持不变
D．阴影部分面积和周长都不确定
【答案】C
【分析】本题主要考查了完全平方公式，阴影部分的水平长度之和为，竖直长度之和为，结合图形求得阴影部分的周长，据此可判断C，根据完全平方公式得到，据此可判断A、B、D．
【详解】解：由题意知：阴影部分的水平长度之和为，竖直长度之和为，
则阴影部分的周长为：，即阴影部分的周长保持不变，故C说法正确，符合题意；
∵，
∴，
∴，故A、D说法错误，不符合题意；
∵正方形3和正方形4的面积与的长有关，
∴图中阴影部分面积会变化，故B说法错误，不符合题意；
故选：C．
6．（24-25七年级下·江苏常州·期中）定义运算，下面给出了关于这种运算的四个结论：
①
②若，则
③若，则
④若，则
其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【分析】本题考查了有理数的四则混合运算、一元一次方程的应用、单项式乘以多项式等知识，正确理解新运算的定义是解题关键．根据新运算的定义可得，计算有理数的运算即可判断①正确；根据新运算的定义可得一个关于的一元一次方程，解方程即可判断②正确；先求出，，再根据新运算的定义代入计算，由此即可判断③正确；根据新运算的定义可得，则可得或，由此即可判断④错误．
【详解】解：由题意得：
，结论①正确；
由题意得：，
∵，
∴，
解得，结论②正确；
∵，
∴，，
∴
，结论③正确；
由题意得：，
∵，
∴，
∴或，
∴或，结论④错误；
综上，正确的结论有①②③，
故选：A．
7．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）我国宋朝数学家杨辉在其著作的《详解九章算术》中提出“杨辉三角”（如图），介绍了（n是非负整数）展开式的项数及各项系数有关的规律如下图：
例如：，那么展开式中的系数为（ ）
A．27 B． C．108 D．
【答案】D
【分析】本题考查了多项式乘法运算，数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其，解题的关键是能够发现其中的规律．根据图形中的规律，每一行第二项的系数等于上一行第一项与第二项的系数之和，即可求出的展开式中从左起第二项的系数，即可求解．
【详解】解：展开式中第二项为
故选：D．
8．（24-25七年级下·四川雅安·期中）定义新运算：，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了新定义运算，通过完全平方公式化简，再根据新定义计算即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：，
∴
，
故答案：．
9．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）若，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了同底数幂除法的逆运算，幂的乘方的运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行解题．
由同底数幂除法的逆运算，幂的乘方的运算法则进行化简，即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴；
故答案为：．
10．（24-25七年级下·四川成都·期中）若，那么代数式的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了代数值求值，根据已知条件求出，再将所求代数式化简，然后整体代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
，
故答案为：．
11．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）观察下列多项式的乘法计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
根据你发现的规律，若，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查完全平方公式变形求值，整式的乘法，观察等式发现规律是解题的关键．
通过观察多项式的乘法计算得出，的值，将其代入中即可．
【详解】由题意知，，，
∴，
故答案为：．
12．（2025·广西·二模）计算
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查实数的运算，整式的混合运算，
（1）根据有理数的乘方，算术平方根，绝对值的意义将原式化简，再进行加减运算即可；
（2）根据平方差公式和单项式乘多项式的运算法则将原式展开，再进行合并即可；
掌握相应的运算法则，性质及公式是解题的关键．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
13．（2025·河南平顶山·二模）定义运算“*”为例如：
(1)计算；
(2)若，求证始终能被4整除．
【答案】(1)884(2)见解析
【分析】本题主要考查了新定义，完全平方公式，正确理解新定义是解题的关键．
（1）根据题意只需要计算出的结果即可得到答案；
（2）把代入到中，得到，据此可证明结论．
【详解】（1）解：
（2）证明：∵，
，
始终能被4整除，
始终能被4整除．
14．（2025·河北张家口·二模）数学课上，老师在黑板上书写了，两个整式：
；
．
(1)比较，的大小；
(2)若，证明：不可能小于0．
【答案】(1)(2)见解析
【分析】本题主要考查了整式的运算．
（1）采用作差法计算的值与0进行比较即可得出结果；
（2）根据题意得到，整理成的形式，得到即可求出结果．
【详解】（1）解：
，
∴．
（2）证明：
，
∴不可能小于0．
15．（2025·安徽合肥·三模）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“相邻两个奇数的平方差是否能被8整除）”的问题．
（1）指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下：
能否被8整除
能
能
能
能
能
… …
按上表规律，完成下列问题：
（ⅰ）______；
（ⅱ）若是正整数，请用含的式子描述你能得出的一般性结论，并证明你的结论；
（2）兴趣小组还猜测：相邻两个偶数的平方差不能被8整除．师生一起研讨，分析过程如下：
假设相邻两个偶数的平方差能被8整除．令一个偶数为（为正整数），则相邻的一个偶数可表示为，则（为正整数）．因为______，所以______，这与为正整数相矛盾，故相邻两个偶数的平方差不能被8整除．
阅读以上内容，请在横线上填写所缺内容．
【答案】（1）（ⅰ）48（ⅱ）能被8整除，证明见解析（2）或；
【分析】本题考查了数字类规律探索，因式分解的应用，掌握相关运算法则是解题关键．
（1）（ⅰ）根据表中规律作答即可；（ⅱ）根据表中规律即可得出能被整除；根据平方差公式化简，即可得解；
（2）根据题中方法利用平方差公式化简即可求解．
【详解】解：（1）（ⅰ），
故答案为：；
（ⅱ）能被整除；
证明：，
是正整数，
能被8整除，结论成立；
（2），
．
故答案为：（或），．
16．（2025·河北廊坊·二模）如图1和图2，约定：上方相邻两代数式之和等于这两代数式下方箭头共同指向的代数式．
(1)先求出代数式，再计算当时，代数式的值；
(2)嘉淇说：“只要的值不取，的值就一定大于的值．”你同意她的说法吗？说明理由．
【答案】(1)；当时，M
(2)同意，理由见解析
【分析】本题考查了整式的加减—化简求值，完全平方公式，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）由题意可得，再根据去括号、合并同类项法则计算即可化简，最后代入计算即可得解；
（2）先求出，再计算出，分情况讨论即可得解．
【详解】（1）解：∵
∴
，
当时，原式；
（2）解：同意，理由如下：
∵
∴；
∴
；
当时，，此时，；
当不取，恒大于0，的值就一定大于的值．
17．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）【理解】数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形．并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）如图2，请你写出代数式：，，之间的等量关系_____；
【运用】（2）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：
已知：，，求和的值；
【感悟】（3）已知，求
【答案】（1） （2） ，12；（3）
【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，应用完全平方公式进行变形计算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，．
（1）图2的面积可以表示为一个边长为的正方形面积，又可以表示为一个边长为a的正方形面积加上一个边长为b的正方形面积再加上两个长为b，宽为a的长方形面积，据此可得结论；
（2）根据可得，再根据（1）中的结论计算即可；
（3）设，，则，可得出，再根据（1）中的结论计算即可．
【详解】解：（1）∵图2是边长为的正方形，
∴，
∵图2可看成1个边长为a的正方形，1个边长为b的正方形以及2个长为b，宽为a的长方形的组合图形，
∴，
∴；
故答案为：．
（2）∵，
∴，
即，
又∵，
∴，
∴；
（3）设，，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴
即．中小学教育资源及组卷应用平台
【精准提分】专题08 整式的乘法（二）（浙教2024）
【11个基础题型+2个压轴题型】
【基础题型一】判断是否能用乘法公式 1
【基础题型二】利用平方差公式进行简便计算（选填题） 2
【基础题型三】运用乘法公式计算----“知二求一”题型 3
【基础题型四】运用乘法公式计算----“配凑法”题型 4
【基础题型五】运用乘法公式计算----“首位互倒”题型 4
【基础题型六】运用乘法公式计算----“公式变形”题型 5
【基础题型七】已知完全平方展开式求参数的值 6
【基础题型八】利用乘整式混合运算进行计算 6
【基础题型九】整式混合运算化简求值 9
【基础题型十】科学记数法表示绝对值小于1的数 11
【基础题型十一】乘法公式与几何图形 12
【压轴题型十二】完全平方公式与几何图形中面积问题 15
【压轴题型十三】完全平方公式与几何图形中最值问题 19
【基础题型一】判断是否能用乘法公式
例题1（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）下列各式不能使用平方差公式的是（　　）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（24-25七年级下·湖南郴州·期中）下列能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）下列整式乘法能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）下列计算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-4】（2025·四川绵阳·三模）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-5】（24-25七年级下·江西萍乡·期中）下列乘法公式运用正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-6】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）下列乘法公式运用正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【基础题型二】利用平方差公式进行简便计算（选填题）
例题2（24-25七年级下·全国·期中）计算： ．
【变式2-1】（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）的个位数字是 ．
【变式2-2】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）若，，则 (填“”“”或“”)．
【变式2-3】（24-25七年级下·广东深圳·期中） ．
【变式2-4】（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）利用乘法公式计算下列各题：
(1)
(2)
【变式2-5】（24-25七年级下·重庆·期中）用简便方法计算：
(1)
(2)
【基础题型三】运用乘法公式计算----“知二求一”题型
例题3（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）已知，，则的值为 ．
【变式3-1】（24-25七年级下·河北邯郸·期中）若，，则的值为 ．
【变式3-2】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）若满足，则 ．
【变式3-3】（24-25八年级上·山东滨州·期中）已知，，则的值为 ．
【变式3-4】（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）已知实数a，b满足，，则的值为 ．
【变式3-5】（23-24八年级上·辽宁铁岭·期末）已知，，则 ．
【变式3-6】（2024八年级·全国·期末）已知，则 ．
【基础题型四】运用乘法公式计算----“配凑法”题型
例题4（24-25八年级上·重庆巫山·期末）已知，则的值为 ．
【变式4-1】（24-25八年级上·福建漳州·期中）若x，y是自然数，且满足，则 ．
【变式4-2】（24-25八年级上·四川乐山·期末）解方程：，则 ， ．
【变式4-3】（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）已知．
（1）代数式值是 ；
（2）若，则a的值是 ．
【变式4-4】（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期中）已知，则代数式的值为 ．
【变式4-5】（2024八年级·全国·期末）若，则 ．
【变式4-6】（23-24七年级上·上海青浦·期中）已知，满足，则 ．
【变式4-7】（23-24八年级上·四川内江·期中）已知，则 ．
【变式4-8】（23-24八年级上·四川巴中·期中）已知，，，则的值是 ．
【变式4-9】（23-24八年级上·江西宜春·期末）已知，，，那么的值为 ．
【基础题型五】运用乘法公式计算----“首位互倒”题型
例题5（24-25七年级下·安徽亳州·期中）若，则
（1） ；
（2） ；
【变式5-1】（24-25七年级下·安徽安庆·期中）已知，则a，b之间的关系式是 ．
【变式5-2】（24-25七年级下·四川达州·期中）已知，则等于 ．
【变式5-3】（24-25七年级下·全国·期中）已知，则 ．
【变式5-4】（2025·四川广安·模拟预测）若，则的值是 ．
【变式5-5】（23-24八年级上·湖南长沙·期末）已知：，则代数式的值为 ．
【变式5-6】（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）已知，则的值为 ．
【基础题型六】运用乘法公式计算----“公式变形”题型
例题6（24-25七年级下·全国·期中）如果，那么 ．
【变式6-1】（24-25七年级下·重庆·期中）若满足，则 ．
【变式6-2】（24-25七年级上·上海普陀·期末）如果，那么 ．
【变式6-3】（24-25七年级下·安徽马鞍山·期中）若，则 ．
【变式6-4】（2025七年级下·全国·期中）如果等式恒成立，其中B，C为常数， ．
【变式6-5】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）已知，，，则的值是 ．
【变式6-6】（24-25七年级下·江苏南京·期中）已知，代数式 ．
【变式6-7】（2025七年级下·全国·期中）已知，则 ．
【变式6-8】（2025七年级下·全国·期中）若，则m的值是 ．
【变式6-9】（24-25八年级上·重庆巴南·期末）已知，，则的值为 ．
【变式6-10】（24-25七年级下·全国·期中）若，则m，n的值分别为 ．
【基础题型七】已知完全平方展开式求参数的值
例题7（24-25七年级下·四川成都·期中）若是一个完全平方式，那么正数a的值是 ．
【变式7-1】（24-25七年级下·江西吉安·期中）若关于x的多项式是一个完全平方式，且m为正数，那么 ．
【变式7-2】（24-25八年级下·甘肃张掖·期中）是一个完全平方式，则的值为 ．
【变式7-3】（2025七年级下·江苏苏州·期中）已知是完全平方式，则常数k的值 ．
【变式7-4】（24-25七年级下·甘肃张掖·期中）若，则 ．
【变式7-5】（24-25八年级上·河南郑州·期末）若是一个关于的完全平方式，则 ．
【变式7-6】（24-25八年级上·河北唐山·期末）如果为完全平方数，则正整数n为 ．
【变式7-7】（23-24八年级上·江西南昌·期末）多项式添加一个单项式后，可变为完全平方式，则添加的单项式可以是 ．
【基础题型八】利用乘整式混合运算进行计算
例题8（24-25七年级下·山东济南·期中）计算：
(1)
(2)；
(3)；
(4)；
【变式8-1】（24-25七年级下·陕西西安·期中）计算．
(1)
(2)
(3)
(4)
【变式8-2】（24-25七年级下·甘肃张掖·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)．（用乘法公式计算）
(4)．
(5)；
(6)
【变式8-3】（24-25七年级下·广东佛山·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)用乘法公式简便计算：．
【变式8-3】（24-25七年级下·四川成都·期中）计算
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式8-4】（24-25七年级下·四川成都·期中）计算或化简．
(1)；
(2)；
(3)；
【变式8-5】（24-25七年级下·四川成都·期中）（1）计算：
（2）计算：
（3）计算：
【变式8-6】（24-25七年级下·四川甘孜·期中）计算
(1)
(2)
(3)
(4)
【变式8-7】（24-25七年级下·广东深圳·期中）计算：
(1)
(2)
(3)（要求用公式简便计算）
(4)
【变式8-8】（24-25七年级下·山东枣庄·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
【变式8-9】（24-25七年级下·四川达州·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【基础题型九】整式混合运算化简求值
例题9（24-25七年级下·重庆·期中）先化简，再求值：
其中．
【变式9-1】（24-25七年级下·四川成都·期中）先化简，再求值．
(1)，其中
(2)，其中．
【变式9-2】（24-25七年级下·四川成都·期中）（1）化简：；
（2）先化简，再求值：，其中，．
【变式9-3】（24-25七年级下·全国·期中）已知，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)．
【变式9-4】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）（1）已知实数，满足，，求的值；
（2）已知实数，满足，，求的值．
【变式9-5】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）先化简，再求值： ，其中．
【变式9-6】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）先化简，再求值：， 其中．
【变式9-7】（24-25七年级下·四川雅安·期中）先化简，再求值：，其中，．
【变式9-8】（24-25七年级下·北京房山·期中）先化简，再求值：，其中，
【变式9-9】（2025·陕西西安·三模）先化简，再求值：，其中．
【变式9-10】（2025·安徽合肥·二模）先化简，再求值：，其中，．
【基础题型十】科学记数法表示绝对值小于1的数
例题10（24-25八年级下·河南南阳·期中）研发的智能系统在分析数据时，其算法对微观结构的测量精度可达米，用科学记数法表示，则n为（ ）
A． B．8 C． D．7
【变式10-1】（2025·陕西咸阳·二模）用于医疗的皮秒激光治疗用时仅为250皮秒，大幅提高了治疗效果．已知1皮秒秒，则将250皮秒单位换算成秒并用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【变式10-2】（2025·北京石景山·二模）根据公开资料，我国载人航天测控系统的时间同步精度为秒（微妙级时间同步），确保指令和数据的精确．请将用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
【变式10-3】（2025·陕西榆林·二模）我们知道，蓝光并不都是有害光，但波长低于（即）的蓝光会使人眼睛内的黄斑区毒素量增高，严重威胁眼底健康，数据0.00000046用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【变式10-4】（2025·广东·二模）小病毒是一类已知最小的动物病毒，已知某种小病毒的直径约为， 即． 数据“” 用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
【变式10-5】（2025·四川成都·二模）某半导体公司研发了一款新型存储芯片，部分参数如下：晶体管栅极宽度米；单个芯片面积：2.5平方毫米；集成元件数量80亿个；光刻工艺线宽误差：米．数据“”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【变式10-6】（24-25七年级下·重庆·期中）直径约为米的单壁碳纳米管的强度是钢的100倍，却仅有原子级厚度，这一特性使其在纳米电子学和复合材料中具有革命性应用，把数据用科学记数法表示为 ．
【变式10-7】（24-25八年级下·重庆·期中）清代诗人袁枚在《苔》中用“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开”歌颂微小生命的坚韧与诗意．若苔花的花粉直径约为米，将其用科学记数法表示为 ．
【变式10-8】（2025·河南商丘·二模）水滴石穿是一个成语，最早出自东汉·班固《汉书·枚乘传》．该成语的意思是指水滴不断地滴，可以滴穿石头，比喻坚持不懈，集细微的力量也能成就大的功劳．小明同学观察记录后发现，水滴不断地滴在一块石头上，1年后形成了一个深为的小洞，用科学记数法可表示为 ．
【基础题型十一】乘法公式与几何图形
例题11（24-25七年级下·江苏无锡·期中）通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．用图1与图2可以描述一个重要的数学公式，这个公式是（ ）
A． B．
C． D．
【变式11-1】（24-25七年级下·全国·期中）从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（图①），然后将剩余部分剪拼成一个平行四边形（图②）．这样操作能验证的等式是（ ）
A． B．
C． D．
【变式11-2】（24-25七年级下·四川甘孜·期中）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形，根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（ ）
A． B．
C． D．
【变式11-3】（24-25七年级下·安徽淮北·期中）如图，阴影部分是边长为a的大正方形中减去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割，拼，形成新的图形，给出下列三种割拼方法，其中能够验证平方差公式的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【变式11-4】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，将分割的正方形阴影部分拼接成长方形的方案中，可以验证哪个公式 ．（请用含a，b的等式表示）
【变式11-5】（23-24八年级上·浙江台州·期末）已知，且以a、b、c为长拼成如图正方形，则阴影部分的面积为 ．(用含x、y、z的代数式表示)

【变式11-6】（23-24八年级上·云南保山·期末）如图1，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图2的长方形，则根据图1、图2阴影部分的面积相等，可以得到的一个等式为 ．
【变式11-7】（23-24八年级上·河南新乡·期末）如图，在边长为a的正方形中减去一个边长为b的小正方形，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分面积，验证了公式 ．
【压轴题型十二】完全平方公式与几何图形中面积问题
例题12（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为，．已知，，且，则 ．
【变式12-1】（24-25七年级下·陕西西安·期中）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图①），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图②），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．

(1)用含a、b的代数式分别表示、；
(2)若，，求的值；
(3)用a、b的代数式表示，并当时，求出图③中阴影部分的面积．
【变式12-3】（24-25八年级上·广西南宁·期中）【知识生成】
通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：，图2中阴影部分的面积可表示为：，因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：．
【结论探究】
图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形．
（1）如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于，，的等式是______．
（2）若，，求的值．
【类比迁移】
（3）如图5，点是线段上的一点，以为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积．
【变式12-4】（23-24七年级下·全国·期末）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．
(1)请利用图①所得的恒等式解决如下问题：若，，求的值；
(2)正方形、正方形如图②所示方式摆放，边长分别为，．若，，请直接写出图中阴影部分的面积；
(3)类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式．图③是由个正方体和个长方体拼成的一个大正方体，请写出一个恒等式；
(4)已知 ，，利用中的恒等式求的值．
【变式12-5】（23-24七年级下·重庆·期末）已知8张长为，宽为的小长方形纸片，按下图方式不重叠地放在矩形内，未被覆盖的部分分别用两个阴影表示．其中右下角阴影为六边形，左上角阴影为长方形．设六边形与长方形面积的差为，设．
(1)用的代数式表示；
(2)当的长度变化时，如果始终保持不变，则应满足的关系是什么？
(3)在（2）的结论成立的情况下，用10张长为，宽为的矩形纸片，再加上张边长为的正方形纸片，张边长为的正方形纸片（是正整数），拼成一个大的正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则当大正方形面积最小时，求拼成的大的正方形的边长为多少（用含的代数式表示）？并求出此时的的值．
【变式12-6】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）若x满足，求的值．
解：设，则．
所以．
请仿照上面的方法求解下面问题：
(1)若x满足，求的值；
(2)如图，已知正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，长方形的面积是24，分别以为边作正方形．

①正方形的边长为a，正方形的边长为b，则________； _______；
②利用你学过的平方差公式和完全平方公式求图中阴影部分面积．
【变式12-6】（24-25七年级下·辽宁丹东·期中）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若，，求的值．
解：因为，所以，即：，
又因，所以
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：

(1)若，，则的值为______；
(2)拓展：若，则______．
(3)应用：如图，在长方形中，，，点E、F是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为160，求图中阴影部分的面积和．
【变式12-7】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）现有边长分别为的A、B两种正方形卡片（如图1）．
(1)将A、B两种卡片各1张按图2放置，阴影部分的面积记为． 将1张A卡片、2张B卡片按图3放置，其阴影部分（三张卡片都重叠的部分）的面积记为，则 ， ；（用含a、b的代数式表示）；
(2)若，求的值；
(3)将A、B两种卡片各1张按图4放置在一个边长为的大正方形内，左下角长方形的面积为，两张卡片重叠部分的面积为．若，请直接写出与的数量关系： ．
【压轴题型十三】完全平方公式与几何图形中最值问题
例题13（24-25八年级下·江苏苏州·期中）探究代数式的最小值时，我们可以这样处理：
因为，
所以当时，的值最小，最小值是0．
所以．
所以当时，的值最小，最小值是1．
所以的最小值是1．
依据上述方法，解决下列问题：
(1)当________时，有最小值是________；
(2)多项式有最________（填“大”或“小”）值，该值为________；
(3)已知，求的最小值；
【变式13-1】（24-25七年级下·陕西西安·期中）把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法，求的最小值．
解：，因为不论a取何值，总是非负数，即，所以当时，取最小值0，有最小值．
当时，有最小值．
根据上述材料，解答下列问题：
(1)将变形为的形式________，则的最小值为______；
(2)如果，则；如果，则；如果，则．
已知，，请比较A与B的大小，并说明理由；
(3)已知，求的值．
【变式13-2】（24-25七年级下·全国·期中）阅读材料并解决问题：
利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可以求出多项式的最小值．例如，求的最小值．
解：
．
无论x取何值，总是非负数，
即，所以．
所以当时，有最小值，最小值为5．
根据上述材料，解答下列问题：
(1)填空： ；
(2)将多项式变形为的形式，并求出的最小值；
(3)如图，比较两个长方形的面积，的大小，并说明理由．
【变式13-3】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）材料一：定义：一个正整数能表示成（a、b是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．
材料二：配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比因为，所以当时，的值最小，最小值是0．所以．所以当时，即时的值最小，最小值是1．即的最小值是1．
(1)已知13是“完美数”，请将它写成（a、b是正整数）的形式______；
(2)①已知，则______；
②已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试写出符合条件的一个k值，并说明理由．
(3)已知实数x、y满足，求的最小值．
【变式13-4】（24-25七年级下·四川成都·期中）【项目学习】“我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法．例如：求当a取何值，代数式有最小值？最小值是多少？
解：，
因为，所以，
因此，当时，代数式有最小值，最小值是．
【问题解决】利用配方法解决下列问题：
（1）代数式的最小值为 　 　，的最大值为 　 　．
【拓展提高】
（2）当x，y何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？
（3）如图所示的第一个长方形边长分别是、，面积为；如图所示的第二个长方形边长分别是、，面积为．试比较与的大小，并说明理由．
【变式13-5】（24-25七年级下·安徽亳州·期中）配方法是将一个式子的某一部分通过恒等变形转化为完全平方式的形式．此法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．
解决问题：
（1）①29是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式___________；
②若可配方成（、为常数），则___________．
探究问题：
（2）①已知，则___________；
②已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值___________
拓展结论：
（3）已知实数、满足，求的最小值，并求出此时的值
【变式13-6】（24-25七年级下·广东深圳·期中）先仔细阅读材料，再尝试解决问题：
完全平方公式及的值恒为非负数的特点在数学学习中有着广泛的应用，比如探求多项式的最大（小）值时，我们可以这样处理：
解：原式
因为无论x取什么数，都有的值为非负数，所以的最小值为0，此时，进而的最小值是，所以当时，原多项式的最小值是．
解决问题：请根据上面的解题思路，探求
(1)多项式的最小值是多少，并写出对应的x的取值；
(2)多项式的最大值是多少，并写出对应的x的取值．
【变式13-7】（24-25七年级下·广东深圳·期中）【探索发现】
数学活动课上，老师准备了如图的一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按如图所示的形状拼成一个大正方形．
（）图中的阴影部分正方形的边长是________（用含，的代数式表示）；
（）观察图，图，请写出，，之间的等量关系是________；
【解决问题】
（）若，，且，则________；
【实际应用】
（）学校计划用一块梯形区域开展科技节活动，如图所示．已知于点，，．计划在和区域内展示无人机和机器人表演，在和区域内分别是主舞台和观众，经测无人机和机器人表演区域的面积和为平方米，米，求主舞台和观众区的面积和．
1．（2025·辽宁丹东·二模）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（24-25八年级下·辽宁阜新·期中）若，，则M，N的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25六年级下·山东淄博·期中）若，则的值是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·山东聊城·二模）发现：……依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是（ ）
A．7 B．9 C．3 D．1
5．（2025·安徽合肥·二模）如图，在边长为6的正方形的四个角落分别放置了四张大小不同的正方形纸片1、2、3、4．其中，以下说法正确的是（ ）．
A．正方形1的面积等于正方形3与正方形4的面积的和
B．图中阴影部分面积保持不变
C．阴影部分周长保持不变
D．阴影部分面积和周长都不确定
6．（24-25七年级下·江苏常州·期中）定义运算，下面给出了关于这种运算的四个结论：
①
②若，则
③若，则
④若，则
其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
7．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）我国宋朝数学家杨辉在其著作的《详解九章算术》中提出“杨辉三角”（如图），介绍了（n是非负整数）展开式的项数及各项系数有关的规律如下图：
例如：，那么展开式中的系数为（ ）
A．27 B． C．108 D．
8．（24-25七年级下·四川雅安·期中）定义新运算：，则的值为 ．
9．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）若，，则 ．
10．（24-25七年级下·四川成都·期中）若，那么代数式的值为 ．
11．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）观察下列多项式的乘法计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
根据你发现的规律，若，则的值为 ．
12．（2025·广西·二模）计算
(1)
(2)
13．（2025·河南平顶山·二模）定义运算“*”为例如：
(1)计算；
(2)若，求证始终能被4整除．
14．（2025·河北张家口·二模）数学课上，老师在黑板上书写了，两个整式：
；
．
(1)比较，的大小；
(2)若，证明：不可能小于0．
15．（2025·安徽合肥·三模）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“相邻两个奇数的平方差是否能被8整除）”的问题．
（1）指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下：
能否被8整除
能
能
能
能
能
… …
按上表规律，完成下列问题：
（ⅰ）______；
（ⅱ）若是正整数，请用含的式子描述你能得出的一般性结论，并证明你的结论；
（2）兴趣小组还猜测：相邻两个偶数的平方差不能被8整除．师生一起研讨，分析过程如下：
假设相邻两个偶数的平方差能被8整除．令一个偶数为（为正整数），则相邻的一个偶数可表示为，则（为正整数）．因为______，所以______，这与为正整数相矛盾，故相邻两个偶数的平方差不能被8整除．
阅读以上内容，请在横线上填写所缺内容．
16．（2025·河北廊坊·二模）如图1和图2，约定：上方相邻两代数式之和等于这两代数式下方箭头共同指向的代数式．
(1)先求出代数式，再计算当时，代数式的值；
(2)嘉淇说：“只要的值不取，的值就一定大于的值．”你同意她的说法吗？说明理由．
17．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）【理解】数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形．并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）如图2，请你写出代数式：，，之间的等量关系_____；
【运用】（2）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：
已知：，，求和的值；
【感悟】（3）已知，求

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