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【精准提分】专题05 二元一次方程（组）（浙教2024）
【11个基础题型+3个压轴题型】
【基础题型一】判断是否为二元一次方程（组） 1
【基础题型二】利用二元一次方程（组）的定义求参数的值 3
【基础题型三】判断是否为二元一次方程（组）的解 3
【基础题型四】已知二元一次方程（组）的解求参数的值 5
【基础题型五】解二元一次方程（组）计算题 6
【基础题型六】二元一次方程中整数解个数问题 8
【基础题型七】用一个字母表示另一个字母 9
【基础题型八】二元一次方程组中错解复原问题 10
【基础题型九】构造二元一次方程组求解 12
【基础题型十】已知二元一次方程组解的情况求参数 14
【基础题型十一】方程组中同解问题 15
【压轴题型十二】三元一次方程组及其应用 17
【压轴题型十三】二元一次方程组的特殊解法 19
【压轴题型十四】二元一次方程组中新定义类问题 22
【基础题型一】判断是否为二元一次方程（组）
例题1（24-25七年级下·天津和平·期中）在下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（23-24七年级下·全国·期末）下列方程是二元一次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（24-25七年级下·四川眉山·期中）下列方程为二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（24-25七年级下·云南曲靖·期中）下列选项是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-4】（24-25七年级下·山西晋城·期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-5】（24-25八年级上·广东佛山·期末）下列方程组中不是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-6】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-7】（24-25七年级上·广西贵港·期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【基础题型二】利用二元一次方程（组）的定义求参数的值
例题2（24-25七年级下·江苏扬州·期中）若是关于，的二元一次方程，则的值 ．
【变式2-1】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若关于的方程是二元一次方程，则的值等于 ．
【变式2-2】（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则的值等于 ．
【变式2-3】（24-25八年级上·河南郑州·期中）若是关于x，y的二元一次方程，则k的值为 ．
【变式2-4】（24-25七年级上·云南文山·期中）已知是关于，的二元一次方程，则 ．
【变式2-5】（24-25七年级下·山西临汾·期中）若是关于的二元一次方程组，则 ．
【变式2-6】（24-25七年级下·全国·期中）已知方程组是关于，的二元一次方程组，则 ．
【变式2-7】（24-25七年级下·甘肃天水·期中）若方程是二元一次方程，则 ．
【基础题型三】判断是否为二元一次方程（组）的解
例题3（24-25七年级下·海南海口·期中）已知一个二元一次方程组的解是，则这个二元一次方程组可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）下列各组，的值是方程的解的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（24-25七年级下·北京通州·期中）已知方程，下列选项中是此方程的解的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（24-25七年级下·江苏南通·期中）下列方程组中，解是的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-4】（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）二元一次方程与下面（ ）方程组成的方程组的解是
A． B． C． D．
【变式3-5】（24-25九年级下·江苏无锡·期中）下列4组数中，不是二元一次方程的解的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-6】（24-25七年级下·重庆·期中）是下列哪个方程的解（ ）
A． B． C． D．
【变式3-7】（24-25七年级下·福建福州·期中）下列是二元一次方程的解的是（ ）．
A． B． C． D．
【变式3-8】（24-25七年级下·海南·期中）二元一次方程有无数多个解，下列四对值中不是该方程的解的是（　　）
A． B． C． D．
【变式3-9】（24-25七年级下·全国·期中）以为解的方程组是（ ）．
A． B． C． D．
【基础题型四】已知二元一次方程（组）的解求参数的值
例题4（24-25七年级下·辽宁大连·期中）若是关于、的方程的一个解，则的值是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．-4
【变式4-1】（24-25七年级下·北京·期中）若是关于，的二元一次方程的解，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【变式4-2】（24-25七年级下·重庆·期中）已知是方程组的解，则的值是（　　）
A． B．2 C．5 D．
【变式4-3】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）若是关于的二元一次方程的解，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
【变式4-4】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知关于x、y的方程组的解是，那么m，n的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-5】（2025·广东·一模）若是方程组的一个解，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．3
【变式4-6】（24-25九年级上·全国·期末）已知是二元一次方程组的解，则等于（ ）
A．11 B．9 C．2 D．
【变式4-7】（24-25七年级下·广西贵港·期中）已知是二元一次方程组的解，则的值是（ ）
A． B．5 C． D．1
【变式4-8】（24-25七年级下·全国·期中）已知是方程组的解，则 ， ．
【基础题型五】解二元一次方程（组）计算题
例题5（24-25七年级下·湖北黄石·期中）解方程组：
(1)；
(2)．
【变式5-1】（24-25七年级下·吉林长春·期中）（1）解方程组：；
（2）解方程组：．
【变式5-2】（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）解下列方程组：
(1)
(2)
(3)
【变式5-3】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）解方程组：
(1)
(2)
【变式5-4】（24-25七年级下·山西长治·期中）解方程（组）：
(1)；
(2)．
【变式5-5】（24-25七年级下·重庆开州·期中）解方程组
(1)
(2)
【变式5-6】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）解方程：
(1)
(2)
【变式5-7】（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）解方程组：
(1)
(2)
【变式5-8】（24-25七年级下·天津和平·期中）解方程组：
(1)
(2)
【变式5-9】（24-25七年级下·北京·期中）解方程组：
(1)
(2)
【基础题型六】二元一次方程中整数解个数问题
例题6（24-25七年级下·浙江杭州·期中）二元一次方程的正整数解的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式6-1】（24-25七年级下·四川眉山·期中）二元一次方程正整数解的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
【变式6-2】（2025七年级下·全国·期中）二元一次方程的正整数解有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【变式6-3】（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）二元一次方程的所有正整数解有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【变式6-4】（23-24七年级下·河南许昌·期末）二元一次方程的正整数解有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【变式6-5】（23-24七年级下·四川南充·期末）方程在正整数范围内的解有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【变式6-6】（23-24七年级下·湖南郴州·期末）二元一次方程的非负整数解有（ ）
A．3组 B．4组 C．5组 D．6组
【变式6-7】（23-24七年级下·河北石家庄·期中）二元一次方程的正整数解共有（ ）组．
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式6-8】（23-24八年级下·山东淄博·期中）二元一次方程的非负整数解的情况是（ ）
A．无解 B．有且只有一组解 C．有两组解 D．有无数组解
【变式6-9】（23-24七年级下·湖南怀化·期中）关于的二元一次方程的自然数解有（ ）
A．3组 B．4组 C．5组 D．6组
【基础题型七】用一个字母表示另一个字母
例题7（23-24七年级下·广东珠海·期中）把方程改写成用含的式子表示的形式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-1】（23-24七年级下·云南保山·期中）把方程写成用含的式子表示y的形式为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（23-24七年级下·山西吕梁·期末）由可以得到用含x的式子表示y，下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（23-24七年级下·四川宜宾·期末）已知，用y的代数式表示x，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-4】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）把方程写成用含的式子表示的形式为 ．
【变式7-5】（24-25七年级下·全国·期中）已知方程，用含的式子表示，那么 ．
【变式7-6】（24-25七年级下·四川宜宾·期中）已知，用含x的式子表示y是 ．
【变式7-7】（23-24七年级下·山东济宁·期末）已知方程，用含的式子表示为 ．
【基础题型八】二元一次方程组中错解复原问题
例题8（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）甲、乙两人同时解方程组甲看错了，求得解为；乙看错了，求得解为．请你求出的值．
【变式8-1】（23-24七年级下·四川南充·期末）甲、乙两人解方程组，甲正确地解得，乙因为把c看错，误认为d，解得，求、、、的值
【变式8-2】（24-25八年级上·四川成都·期末）小李和小张共同解关于x，y的二元一次方程组由于粗心，小李看错了方程①中的a，得到方程组的解为，小张看错了方程②中的b，得到方程组的解为，求原方程组的解．
【变式8-3】（23-24七年级下·海南海口·期末）甲、乙两名同学解方程组由于甲同学看错了系数，得到方程组的解是，由于乙同学看错了系数，得到方程组的解是求原方程组中的的值．
【变式8-4】（23-24七年级下·重庆渝北·期末）在解方程组时，由于粗心，小丽看错了方程组中的，解得，小美看错了方程组中的b，解得求原方程组正确的解？
【变式8-5】（23-24七年级下·河北保定·期末）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得解为，乙看错了方程组中的，得解为．
(1)原方程组中的和各是多少？
(2)求原方程组的解．
【变式8-6】（23-24七年级下·四川乐山·期末）甲，乙两名同学解方程组．甲看错了方程①中的，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的，得到方程组的解为．
(1)求，的值；
(2)求的值．
【变式8-7】（23-24七年级下·四川德阳·期末）甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为．试计算的值．
【变式8-8】（23-24七年级下·河南安阳·期末）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的，而得解为，根据上面的信息解答∶
(1)甲把a看成了什么数，乙把b看成了什么数？
(2)求出正确的的值；
(3)求出原方程组的正确解．
【变式8-9】（23-24七年级下·河南南阳·期中）甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母a看错了得到方程组的解为乙把字母b看错了得到方程组的解为
(1)求a，b的正确值；
(2)求原方程组的解．
【基础题型九】构造二元一次方程组求解
例题9（山东省德州市天衢新区2024-2025年学年下学期期中考试七年级数学试题）定义新运算：对于任意实数都有※，等式右边是通常的减法和乘法运算，设定：若，．则的值为（　　）
A．12 B．4 C． D．
【变式9-1】（23-24八年级上·全国·期末）若是二元一次方程，那么a，b的值分别是（ ）
A．1，0 B．0， C．2，1 D．1，
【变式9-2】（23-24七年级下·四川内江·期中）定义运算“*”，规定，其中a、b为常数，且，，则（ ）
A．17 B．14 C．16 D．13
【变式9-3】（23-24七年级下·广东广州·期中）对于实数，定义新运算“ ”： （是常数）．已知，，那么的值是（ ）
A．17 B．14 C． D．
【变式9-4】（24-25七年级下·河南焦作·期中）已知和是关于的二元一次方程的两组解．
(1)求的值；
(2)当时，求的值．
【变式9-5】（24-25八年级上·福建厦门·期末）对于有理数，规定新运算：，其中a、b是常数，等式右边的是通常的加法和乘法运算．已知：，，求的值．
【变式9-6】（24-25八年级上·陕西铜川·期末）对于任意实数、，定义新运算：，其中、为常数，等号右边为通常的加法、减法和乘法运算，例如．若，．求的值．
【变式9-7】（23-24七年级下·吉林·期末）我们定义一个关于非零常数m，n的新运算，规定：，例如：．若，，求x，y的值．
【变式9-8】（23-24七年级下·吉林白城·期末）我们定义一个关于非零常数，的新运算，规定：．例如：．若，，求，的值．
【变式9-9】（23-24七年级下·四川广安·期末）在代数式中，当，时，它的值是，当，时，它的值是17，求a，b的值．
【变式9-10】（23-24七年级下·江苏苏州·期末）在等式中，当时，；当时，．
(1)求k，b的值；
(2)当时，求x的值．
【变式9-11】（23-24七年级下·吉林·期中）对于有理数和，定义新运算：，其中、是常数，已知，．
(1)求、的值；
(2)若，，求的值．
【基础题型十】已知二元一次方程组解的情况求参数
例题10（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）若方程组的解满足，则 ．
【变式10-1】（24-25七年级下·山西长治·期中）当 时，方程组的解满足．
【变式10-2】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）已知方程组的解满足x，y互为相反数，则 ．
【变式10-3】（24-25七年级下·广东广州·期中）关于、的方程组的解满足，则的值为 ．
【变式10-4】（24-25七年级下·辽宁抚顺·期中）若关于x，y的方程组的一个解为，则k的值是 ．
【变式10-5】（24-25七年级下·北京·期中）已知关于的二元一次方程组的解为，且满足，则的值为 ．
【变式10-6】（24-25七年级下·广东惠州·期中）已知二元一次方程，
(1)请用关于x的式子表示y，并直接写出此方程的所有正整数解；
(2)如果二元一次方程组的解是二元一次方程的解，求a的值．
【变式10-7】（24-25七年级下·吉林长春·期中）已知关于的方程组
(1)请写出方程的一组正整数解；
(2)若方程组的解满足，求的值；
(3)不管取任何值，方程总有一个固定不变的解，请直接写出这个解．
【变式10-8】（23-24七年级下·全国·期末）已知关于的方程组
(1)若方程组的解互为相反数，求k的值；
(2)若方程组的解满足方程，求k的值．
【基础题型十一】方程组中同解问题
例题11（24-25九年级下·广东广州·期中）已知关于，的方程组与有相同的解，则，的值为( )
A． B． C． D．
【变式11-1】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）已知方程组和方程组的解相同，则 ．
【变式11-2】（23-24七年级下·河南许昌·期末）当时，关于，的二元一次方程和有相同的解，则 ．
【变式11-3】（24-25七年级下·河南周口·期中）若关于，的两个二元一次方程组与的解相同．
(1)求和的值；
(2)求的平方根．
【变式11-4】（24-25七年级下·四川内江·期中）已知方程组和有相同的解，求的值．
【变式11-5】（24-25七年级下·重庆万州·期中）已知关于，的方程组和有相同的解．
(1)求这个相同的解；
(2)求的值．
【变式11-6】（24-25七年级下·山东淄博·期中）已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解
(1)求这两个方程组的相同解．
(2)求的值．
【变式11-7】（24-25八年级上·山东青岛·期末）若关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解．
(1)求这两个方程组的相同解；
(2)求的立方根．
【压轴题型十二】三元一次方程组及其应用
例题12（24-25七年级下·广东广州·期中）幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一，“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一．图即洛书，数出图中各处的圆圈和圆点个数，并按照图中的顺序把它们填入正方形方格中，就得到一个幻方（如图），在图的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，则的立方根是（ ）
A． B． C． D．
【变式12-1】（23-24七年级下·山东威海·期末）方程组的解使代数式的值为，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．
【变式12-2】（2023·安徽六安·二模）已知a，b，c均为非负整数，且，．当时，则这三个数字组成的最大三位数可能是（ ）
A．340 B．430 C．520 D．610
【变式12-3】（23-24七年级下·福建福州·期末）我们约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，如图1，有，在图2中，若的值为，则的值为（ ）

A． B． C．1 D．任意实数
【变式12-4】（23-24七年级下·江苏淮安·期中）如图，在中，，点D、E分别在边、上，，，连接、交于点O，当面积为6时，则的最小值为 ．
【变式12-5】（24-25八年级上·四川成都·期末）信息安全保障越来越受到人们重视，很多信息需要加密处理，有一种加密、解密的工作原理为：发送方由明文通过加密规则加密成密文，接收方由密文通过解密成明文．已知某加密规则为：明文互为相反数，其对应密文为．若接收方收到密文为2和，则的值为 ．
【变式12-6】（23-24九年级下·江苏南京·期末）已知，则 ．
【变式12-7】（23-24七年级下·湖北省直辖县级单位·期末）已知，，为三个非负实数，且满足，若，则的最大值为 ．
【变式12-8】（23-24七年级下·福建泉州·期末）已知中每个数只能取，0，2中的一个，且满足，则 ．
【变式12-9】（23-24七年级上·重庆渝北·期末）对任意一个三位正整数m，如果各个数位上的数字之和为18，则称这个三位正整数m为“美好数”．最大的三位“美好数”是 ．若一个三位“美好数”前两位数字组成的两位数与这个“美好数”个位数字的4倍的和为111，满足条件的三位“美好数”有 ．
【变式12-10】（23-24七年级上·重庆开州·期末）对于一个三位数，它各个数位上的数字均不为0且互不相等，如果它满足百位数字减去个位数字的差是十位数字的2倍，我们就称这个三位数为“互差数”．定义一个新运算，我们把一个“互差数”的百位数字减去个位数字的差与十位数字的和记为，则 ．若是一个“互差数”，且，则的最小值 ．
【压轴题型十三】二元一次方程组的特殊解法
例题13（2025·湖南岳阳·一模）已知方程组的解为，则方程组的解为 ．
【变式13-1】（24-25七年级下·湖北黄石·期中）已知关于的二元一次方程组的解为，且，则的值为 ．
【变式13-2】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）关于x、y的方程组的解是，则方程组的解是 ．
【变式13-3】（24-25七年级下·四川南充·期中）已知关于、的二元一次方程组的解为，则方程组的解为 ．
【变式13-4】（24-25七年级下·全国·期中）若关于的二元一次方程组的解是，则二元一次方程组的解是 ．
【变式13-5】（24-25七年级下·四川内江·期中）若方程组的解是，则方程组的解是 ．
【变式13-6】（24-25七年级下·陕西榆林·期中）已知关于，的二元一次方程组，求的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得，的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，就可以通过适当变形，求得该整式的值，例如由可得，这种解题思想就是通常所说的“整体思想”．根据上述材料解答下面问题：
(1)已知方程组，由可得__________；
(2)用“整体思想”解答：已知方程组，求的值；
(3)请说明在关于，的方程组中，无论取何值，的值始终不变．
【变式13-7】（24-25七年级下·广东江门·期中）阅读列一段材料，运用相关知识解决问题．
换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变量称为元，所谓换元法，就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个新的变量去代替它，从而使得复杂问题简单化，换元的实质是转化，关键是构造元和设元．例如解方程组，设，，则原方程组可转化为，运用以上知识解决下列问题：
(1)解方程组；
(2)关于x，y的二元一次方程组解为，求方程组的解．
【变式13-8】（24-25七年级下·重庆万州·期中）阅读下列材料：
小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组．小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令，．原方程组化为，解得．把代入，，得，解得．∴原方程组的解为．
(1)学以致用：
运用上述方法解下列方程组：．
(2)拓展提升：
已知关于，的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是______________．
【变式13-9】（24-25七年级上·湖南娄底·期末）阅读材料并解决问题．
(1)观察发现；材料：解方程组
解：将①整体代入②，得，解得，
把代入①，得，所以
这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请直接写出的解为______．
(2)拓展运用：若关于，的二元一次方程组的解满足，求的值．
(3)迁移应用：若关于，的二元一次方程组的解是，则若关于，的二元二次方程组的解是______．
【变式13-10】（23-24七年级下·陕西延安·期末）在解二元一次方程组时，有些方程组直接用我们学过的“代入法”和“消元法”解决时计算量较大，容易出错．数学兴趣小组经过探索研究，发现了下面两种解决二元一次方程组的新方法．
【整体代入法】例：解方程组时，由①，得③，然后再将③代入②，得，解得．将代入③，得，∴该方程组的解是
【轮换式解法】例：解方程组时，，得，∴③．③×16，得④．，得，将代入③，得．∴该方程组的解是
根据上面方法，解决下列问题：
(1)解方程组：；
(2)解方程组：．
【压轴题型十四】二元一次方程组中新定义类问题
例题14（24-25七年级下·全国·期末）对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足，我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”，
(1)方程组的解x与y是否具有“邻好关系”？说明你的理由；
(2)若方程组的解x与y具有“邻好关系”，求m的值；
(3)未知数为x，y的方程，其中a与x、y都是正整数，该方程组的解x与y是否具有“邻好关系”？如果具有，请求出a的值及方程组的解；如果不具有，请说明理由．
【变式14-1】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）对任意有理数定义运算如下：，这里是给定的数，等式右边是通常数的加法及乘法运算，如当时，．现已知所定义的新运算满足条件：．
(1)求．
(2)若，求．
(3)若有一个不为零的数，使得对任意有理数，有，求的值．
【变式14-2】（2025七年级下·全国·期中）对于关于x，y的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“郡一”方程组．
(1)下列方程组是“郡一”方程组的是 （只填写序号）；
①；②；③；
(2)若关于x，y的方程组是“郡一”方程组，求a的值；
(3)若对于任意的无理数m，关于x，y的方程组都是“郡一”方程组，求的值．
【变式14-3】（24-25七年级下·北京·期中）对于关于，的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足（其中为常数），则称该方程组具有性质．例如，当时，方程组的解满足，所以该方程组具有性质．
(1)下列关于，的方程组具有性质的是______（只填写序号）；
；；
(2)用表示不大于的最大整数，例如：，；用表示大于的最小整数，例如：，．解决下面问题：
若关于，的方程组具有性质，求的最小值．
【变式14-4】（24-25七年级下·山东烟台·期中）我们规定：关于x，y的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“幸福”方程，例如：方程，其中，满足，则方程是“幸福”方程，把两个“幸福”方程合在一起叫“幸福”方程组，根据上述规定，回答下列问题：
(1)判断方程 “幸福”方程（填“是”或“不是”）；
(2)若关于，的二元一次方程是“幸福”方程，求k的值；
(3)若是关于，的“幸福”方程组的解，求的值
【变式14-5】（24-25七年级下·湖南长沙·期中）【百廿风华，公勤仁勇；湖南师大附中始终以家国情怀为己任，以教育兴邦为使命，历经百廿风雨，培育万千英才！】我们不妨约定：在平面直角坐标系中，已知点，，若点满足则把点称作，两点的“附中点”；且把数值称作，两点的“唯一值”．根据该约定，完成下列各题．
(1)若点是，两点的“附中点”，则________，________，，两点的“唯一值”________（将正确的答案填写在相应的横线上）；
(2)已知点，且点是，两点的“附中点”，先将点向右平移3个单位，再向上平移11个单位得到点，若直线与坐标系中其中一条坐标轴平行，，两点的“唯一值”，求点的坐标；
(3)已知点是，两点的“附中点”，是，两点的“唯一值”，
①请用含有字母的式子表示“唯一值”；
②若无论取何值，等式始终成立（其中，是常数），求代数式的值．
【变式14-6】（24-25七年级下·福建泉州·期中）当m，n都是实数，且满足时为巧妙点．
(1)若是巧妙点，则 ，巧妙点；
(2)判断点是否为巧妙点，并说明理由；
(3)已知关于x，y的方程组，当a为何值时是巧妙点？
【变式14-7】（24-25七年级下·重庆万州·期中）规定、、、之间的运算：，如．
(1)若，且，求、的值；
(2)关于的不等式有且仅有3个正整数解，求的取值范围．
【变式14-8】（24-25七年级下·河南驻马店·期中）定义：数对(x，y)经过一种运算可以得到数对，将该运算记作：，其中（均为常数，）．
例如：当时，．
(1)当时，___________；
(2)若，求和的值；
(3)如果组成数对(x，y)的两个数满足二元一次方程时，总有，求和的值．
1．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）已知关于，的二元一次方程组，无论为何值，与的值总满足的关系式是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）将二元一次方程写成用表示的形式为（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25七年级下·重庆万州·期中）小鑫同学用“代入消元法”解二元一次方程组时，最简单的做法是（ ）
A．把方程①变形为，再代入方程②
B．把方程①变形为，再代入方程②
C．把方程②变形为，再代入方程①
D．把方程②变形为，再代入方程①
5．（2025七年级下·全国·期中）如果关于未知数和的二元一次方程组的解满足．那么关于未知数和的二元一次方程组的解满足（ ）．
A． B． C． D．
6．（24-25七年级下·河北张家口·期中）利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（ ）
A．要消去，可以将 B．要消去，可以将
C．要消去，可以将 D．要消去，可以将
7．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）已知关于、的方程组，给出下列结论：①是方程组的解；②无论取何值，、的值都不可能互为相反数；③当时，方程组的解也是方程的解：④的都为自然数的解有4对．其中正确的为（　　）
A．①②③ B．②③ C．③④ D．②③④
8．（23-24七年级下·新疆和田·期末）已知是关于，的二元一次方程组的解，则 ．
9．（2025·广东梅州·二模）已知代数式与是同类项，则 ．
10．（2025·江苏扬州·二模）若与互为相反数，则 ．
11．（24-25七年级下·四川德阳·期中）在解关于，的方程组时，小明由于将方程①的“”看成了“”，因而得到的解为，则原方程组的解为 ．
12．（24-25七年级下·全国·期中）定义新运算：对于任意实数a，b都有，等式右边是通常的减法和乘法运算，规定，若，则的值为 ．
13．（2025七年级下·浙江·期中）对于实数，我们定义如下运算：若为非负数，则；若为负数，则．例如：，．则方程组的解为 ．
14．（24-25七年级下·河南南阳·期中）在等式中，当时，；当时，．
(1)求k、b的值；
(2)当时，求y的值；
(3)当时，求x的值．
15．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）已知关于，的方程组．
(1)方程有一个正整数解，还有一个正整数解为________．
(2)若方程组的解满足，求的值；
(3)无论实数取何值，关于，的方程总有一个固定的解，请求出这个解为________．
16．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”．
(1)方程组的解与 （填“具有”或“不具有”）“友好关系”；
(2)若方程组的解x与y具有“友好关系”，求的值；
(3)未知数为，的方程组，其中与都是正整数，该方程组的解与是否具有“友好关系”？如果具有，请求出、的值；如果不具有，请说明理由．中小学教育资源及组卷应用平台
【精准提分】专题05 二元一次方程（组）（浙教2024）
【11个基础题型+3个压轴题型】
【基础题型一】判断是否为二元一次方程（组） 1
【基础题型二】利用二元一次方程（组）的定义求参数的值 5
【基础题型三】判断是否为二元一次方程（组）的解 9
【基础题型四】已知二元一次方程（组）的解求参数的值 15
【基础题型五】解二元一次方程（组）计算题 19
【基础题型六】二元一次方程中整数解个数问题 29
【基础题型七】用一个字母表示另一个字母 33
【基础题型八】二元一次方程组中错解复原问题 36
【基础题型九】构造二元一次方程组求解 44
【基础题型十】已知二元一次方程组解的情况求参数 50
【基础题型十一】方程组中同解问题 56
【压轴题型十二】三元一次方程组及其应用 62
【压轴题型十三】二元一次方程组的特殊解法 71
【压轴题型十四】二元一次方程组中新定义类问题 83
【基础题型一】判断是否为二元一次方程（组）
例题1（24-25七年级下·天津和平·期中）在下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：A、不是整式方程，故不是一元一次方程，故不符合题意；
B、∵，
∴，
∴
∴，不符合二元一次方程定义，故不符合题意；
C、最高项的次数为2，不是二元一次方程，故不符合题意；
D、是二元一次方程，故符合题意．
故选：D．
【变式1-1】（23-24七年级下·全国·期末）下列方程是二元一次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了二元一次方程的定义，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的整式方程叫做二元一次方程．
根据二元一次方程的定义逐项判断即可．
【详解】解：A． 最高次数是，不是二元一次方程，故该选项不符合题意；
B．是二元一次方程，故该选项符合题意；
C．含有三个未知数，不是二元一次方程，故该选项不符合题意；
D．含有一个未知数，不是二元一次方程，故该选项不符合题意；
故选：B．
【变式1-2】（24-25七年级下·四川眉山·期中）下列方程为二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程，二元一次方程必须符合以下三个条件：方程中只含有2个未知数；含未知数项的最高次数为一次；方程是整式方程．根据二元一次方程的定义，可得答案．
【详解】解：A．含有两个未知数，故选项是二元一次方程，符合题意；
B．是一元一次方程，故选项不是二元一次方程，不符合题意；
C．未知数的次数是2次，故选项不是二元一次方程，不符合题意；
D．含有未知数的部分不是整式，故选项不是二元一次方程，不符合题意．
故选：A．
【变式1-3】（24-25七年级下·云南曲靖·期中）下列选项是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解答本题的关键．根据二元一次方程组的定义判断逐项分析即可，方程的两边都是整式，含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1次的方程叫做二元一次方程．
【详解】解：A．，不是等式，故不是二元一次方程；
B．中含未知数项的次数是2，故不是二元一次方程；
C．含3个未知数，故不是二元一次方程；
D．是二元一次方程；
故选D．
【变式1-4】（24-25七年级下·山西晋城·期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据二元一次方程组的定义：只含有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且有两个方程组成的方程组，即可作答．本题主要考查二元一次方程组的定义，正确理解二元一次方程组的定义是解题的关键．
【详解】A．第一个方程的次数是二次，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
B．第一个方程是二次方程，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
C．是二元一次方程组，故本选项符合题意；
D．含有三个未知数，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
故选：C．
【变式1-5】（24-25八年级上·广东佛山·期末）下列方程组中不是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二元一次方程组的定义，解题的关键是掌握二元一次方程组满足的三个条件：①方程组中的方程都是整式方程；②方程组中共含有两个未知数；③每个方程都是一次方程．据此解答即可．
【详解】解：A．是二元二次方程组，故此选项符合题意；
B．是二元一次方程组，故此选项不符合题意；
C．是二元一次方程组，故此选项不符合题意；
D．是二元一次方程组，故此选项不符合题意．
故选：A．
【变式1-6】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组的定义是解题的关键．
根据二元一次方程组的定义：方程组中含有两个未知数，且含未知数的式子都是整式，含未知数的项的次数是1，这样的方程组叫做二元一次方程组．据此逐项判断即可．
【详解】解：A、不是二元一次方程组，所以A选项不合题意；
B、是二元一次方程组，所以B选项符合题意；
C、不是二元一次方程组，所以C选项不符合题意；
D、有三个未知数，不是二元一次方程组，所以D选项不符合题意．
故选：B．
【变式1-7】（24-25七年级上·广西贵港·期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．利用二元一次方程组的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、，方程组含有二次项，因此不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方程组；
B、，方程组含有二次项，因此不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方程组；
C、，符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组；
D、，方程组含有3个未知数，因此不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方程组；
故选：C．
【基础题型二】利用二元一次方程（组）的定义求参数的值
例题2（24-25七年级下·江苏扬州·期中）若是关于，的二元一次方程，则的值 ．
【答案】0
【详解】解：由题意，得：且，且，
∴，
∴；
故答案为：0．
【变式2-1】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若关于的方程是二元一次方程，则的值等于 ．
【答案】
【分析】本题考查二元一次方程的定义．根据二元一次方程的定义求得，的值后代入中计算即可．
【详解】解：关于、的方程是二元一次方程，
，，
解得：，，
则，
故答案为：．
【变式2-2】（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则的值等于 ．
【答案】
【分析】此题考查了二元一次方程组的定义，利用二元一次方程组的定义求出的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】解：由题意得：，
解得，
∴，
故答案为：．
【变式2-3】（24-25八年级上·河南郑州·期中）若是关于x，y的二元一次方程，则k的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义．只含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程，据此得到，，解之即可得到答案．
【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程，
∴，，
∴，
故答案为：．
【变式2-4】（24-25七年级上·云南文山·期中）已知是关于，的二元一次方程，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程的定义，代数式求值，有理数的乘方，掌握二元一次方程的含有两个未知数，且所含未知数的次数都是1的方程叫二元一次方程是解题关键．
由二元一次方程的定义，得出，，再代入求值即可．
【详解】解：是关于，的二元一次方程，
，，，
解得：，，
则，
故答案为：
【变式2-5】（24-25七年级下·山西临汾·期中）若是关于的二元一次方程组，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了根据二元一次方程组的定义求参数，代数式求值问题，熟练掌握和运用二元一次方程组的定义是解决本题的关键．
先根据二元一次方程组的定义得出，据此求出m、n的值，代入计算可得结果．
【详解】解：根据题意知，，
解得，，，
，
．
故答案为：．
【变式2-6】（24-25七年级下·全国·期中）已知方程组是关于，的二元一次方程组，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解题的关键：1、定义：方程组中有两个未知数，含有未知数的项的次数都是，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．其一般形式是，其中，不同时为，，不同时为；2、注意：①组成二元一次方程组的两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个方程必须一共含有两个未知数．如也是二元一次方程组；②在方程组的每个方程中，相同字母必须代表同一未知量，否则不能将两个方程联立；③二元一次方程组中的各个方程应是整式方程．
由可得，解得；由二元一次方程组的定义可得，解得；综合以上，即可求出的值．
【详解】解：由可得：，
解得：；
由二元一次方程组的定义可得：
，
解得：；
，
故答案为：．
【变式2-7】（24-25七年级下·甘肃天水·期中）若方程是二元一次方程，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程的定义．解题的关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．根据二元一次方程的概念列出方程求解字母的值，代入代数式求解即可．
【详解】解：根据题意得：，
，
∴
故答案为：．
【基础题型三】判断是否为二元一次方程（组）的解
例题3（24-25七年级下·海南海口·期中）已知一个二元一次方程组的解是，则这个二元一次方程组可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A选项：，
，
不是方程组的解，
故A选项不符合题意；
B选项：，
，
不是方程组的解，
故B选项不符合题意；
C选项：，
，，
是方程组的解，
故C选项符合题意；
D选项：，
，
不是方程组的解，
故D选项不符合题意．
故选：C．
【变式3-1】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）下列各组，的值是方程的解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二元一次方程的解，熟知方程的解满足方程是解答的关键．将选项中的，值代入方程中，等式成立的就是方程的解，反之，不是方程的解．
【详解】解：A、当时，，故不是方程的解，故本选项不符合题意；
B、当时，，故不是方程的解，故本选项不符合题意；
C、当时，是方程的解，故本选项符合题意；
D、当时，，故不是方程的解，故本选项不符合题意，
故选：C．
【变式3-2】（24-25七年级下·北京通州·期中）已知方程，下列选项中是此方程的解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程的解，分别把个选项的值代入方程中计算即可判断求解，理解二元一次方程的解的定义是解题的关键．
【详解】解：、把代入方程得，，
∴不是方程的解，该选项不合题意；
、把代入方程得，，
∴是方程的解，该选项符合题意；
、把代入方程得，，
∴不是方程的解，该选项不合题意；
、把代入方程得，，
∴不是方程的解，该选项不合题意；
故选：．
【变式3-3】（24-25七年级下·江苏南通·期中）下列方程组中，解是的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的满足每个方程式解题关键．将分别代入方程组，若等号左右两边的值相等，即为答案．
【详解】解：A、把代入方程组得：，不符合题意；
B、把代入方程组得：，不符合题意；
C、把代入方程组得：，符合题意；
D、把代入方程组得：，不符合题意；
故选：C．
【变式3-4】（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）二元一次方程与下面（ ）方程组成的方程组的解是
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二元一次方程组的解，属于基础题，理解方程组的解能使方程左右两边成立是解题的关键．将代入各选项，即可得出答案．
【详解】解：A选项：当时，，故A不正确；
B选项：当时，，故B正确；
C选项：当时，，故C不正确；
D选项：当时，，故D不正确；
故选：B．
【变式3-5】（24-25九年级下·江苏无锡·期中）下列4组数中，不是二元一次方程的解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二元一次方程的解，解题的关键是掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．把各项中x与y的值代入方程检验即可．
【详解】解：A．当时，，故不符合题意；
B．当时，，故不符合题意；
C．当时，，故符合题意；
D．当时，，故不符合题意；
故选C．
【变式3-6】（24-25七年级下·重庆·期中）是下列哪个方程的解（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二元一次方程的解的概念，熟练掌握概念是解题的关键．将、的值逐项代入验算即可．
【详解】解：A、因为，所以不是方程的解，故该选项错误；
B、因为，所以不是方程的解，故该选项错误；
C、因为，所以不是方程的解，故该选项错误；
D、因为，所以是方程的解，故该选项正确；
故选：D．
【变式3-7】（24-25七年级下·福建福州·期中）下列是二元一次方程的解的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二元一次方程的解，将各个选项中的x、y的值代入验证结果是否为4即可．
【详解】解：A．把代入得，，因此选项A不符合题意；
B．把代入得，，因此选项B不符合题意；
C．把代入得，，因此选项C不符合题意；
D．把代入得，，因此选项D符合题意；
故选：D．
【变式3-8】（24-25七年级下·海南·期中）二元一次方程有无数多个解，下列四对值中不是该方程的解的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把对应选项中x、y的值代入原方程，看方程左右两边是否相等即可得到答案．
【详解】解：A、把代入方程中，方程左边，方程左右两边相等，
故是方程的解，不符合题意；
B、把代入方程中，方程左边，方程左右两边不相等，故不是方程的解，符合题意；
C、把代入方程中，方程左边，方程左右两边相等，故是方程的解，不符合题意；
D、把代入方程中，方程左边，方程左右两边相等，故是方程的解，不符合题意；
故选：B．
【变式3-9】（24-25七年级下·全国·期中）以为解的方程组是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据方程组的解的定义，将方程组的解代入各个选项中的方程组，判断其是否成立即可．本题考查二元一次方程组的解，理解二元一次方程组的解的意义是正确判断的前提．
【详解】解：当，时，
则，，，
故是方程组的解．
故选：D．
【基础题型四】已知二元一次方程（组）的解求参数的值
例题4（24-25七年级下·辽宁大连·期中）若是关于、的方程的一个解，则的值是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．-4
【答案】A
【详解】解：∵是关于、的方程的一个解，
∴，
解得：，
故选：A．
【变式4-1】（24-25七年级下·北京·期中）若是关于，的二元一次方程的解，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【分析】本题考查了二元一次方程的解，解题的关键是掌握运算法则，正确求出的值；
把与的值代入方程计算即可求出的值．
【详解】解：把代入，得到：，然后解得：；
故选：D．
【变式4-2】（24-25七年级下·重庆·期中）已知是方程组的解，则的值是（　　）
A． B．2 C．5 D．
【答案】B
【分析】本题考查代数式求值，涉及已知含参数二元一次方程组的解求参数、解二元一次方程组等知识，先由是方程组的解，代入得到新的方程组求解即可得到的值，代值求解即可得到答案．熟记二元一次方程组解的定义是解决问题的关键．
【详解】解：是方程组的解，
，解得，
，
故选：B．
【变式4-3】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）若是关于的二元一次方程的解，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】C
【分析】本题考查了根据二元一次方程的解求参数，将代入中计算求解，即可解题．
【详解】解：若是关于的二元一次方程的解，
，
解得，
故选：C．
【变式4-4】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知关于x、y的方程组的解是，那么m，n的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二元一次方程组的解，即方程组中两个方程的公共解，知道方程组的解即可代入求出方程组中其它字母的取值．把方程组的解代入方程组，即可求出m，n的值．
【详解】解：把代入方程组，
得：，
解得：，
故选：B．
【变式4-5】（2025·广东·一模）若是方程组的一个解，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【分析】本题主要考查二元一次方程组；根据题意得到的方程组，将两式相加即可求出结果．
【详解】解：根据题意得：
两式相加得：，
∴，
故选：C．
【变式4-6】（24-25九年级上·全国·期末）已知是二元一次方程组的解，则等于（ ）
A．11 B．9 C．2 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二元一次方程组解的定义，二元一次方程组的解是使方程组中两个方程都成立的未知数的值，据此把代入原方程求出的值即可得到答案．
【详解】解：∵是二元一次方程组的解，
∴，即，
∴，
故选：C．
【变式4-7】（24-25七年级下·广西贵港·期中）已知是二元一次方程组的解，则的值是（ ）
A． B．5 C． D．1
【答案】C
【分析】本题主要考查二元一次方程的解以及解一元二次方程，熟练掌握解二元一次方程是解题的关键．根据题意得到关于的二元一次方程解出的值即可得到答案．
【详解】解：由题意可得：，
解得，
，
故选C．
【变式4-8】（24-25七年级下·全国·期中）已知是方程组的解，则 ， ．
【答案】 8 3
【分析】本题主要考查了方程组的解，解题的关键是掌握使方程组每个方程都成立的未知数的值是方程组的解．把代入方程组，即可求解．
【详解】解：∵是方程组的解，
∴，
∴．
故答案为：8；3．
【基础题型五】解二元一次方程（组）计算题
例题5（24-25七年级下·湖北黄石·期中）解方程组：
(1)；
(2)．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：
①+②得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴方程组的解为．
（2）解：
方程①去括号，整理得：③
方程②去分母，整理得：④，
④×2③得：，
把代入④得：，
解得：，
∴方程组的解为．
【变式5-1】（24-25七年级下·吉林长春·期中）（1）解方程组：；
（2）解方程组：．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查解二元一次方程，掌握加减消元法是解题的关键．
（1）运用加减消元法求解即可；
（2）运用加减消元法求解即可．
【详解】解：（1）
得：，
解得：，
将代入得：，
解得：，
∴原方程组的解是：；
（2）
得：，
解得：，
将代入得：，
解得：，
∴原方程组的解是：；
【变式5-2】（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）解下列方程组：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)(2)(3)
【分析】此题主要考查代入法，加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题关键．
（1）由①得：，再利用代入法求解即可；
（2）把方程化为，再根据加减消元法即可解答；
（3）先去分母整理后，再利用加减消元法解方程组．
【详解】（1）解：
由①得：③，
把③代入①得：，
∴，
解得：，
把代入③得：，
∴．
（2）解：，
整理得：，
①②得：，
解得：，
把代入①得：，
∴方程组的解：．
（3）解：，
由②整理得：③
①③得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴．
【变式5-3】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）解方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握消元法解方程组，是解题的关键：
（1）加减消元法解方程组即可；
（2）代入消元法解方程组即可．
【详解】（1）解：，
，得：，解得：；
把代入①，得：，解得：；
∴方程组的解为：；
（2）原方程组可化为：，
把代入②，得：，解得：；
把代入，得：，解得：；
∴方程组的解为：．
【变式5-4】（24-25七年级下·山西长治·期中）解方程（组）：
(1)；
(2)．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查一元一次方程的解法和二元一次方程组的解法，熟知相关计算方法是解题的关键．
（1）通过去括号、移项、合并同类项等步骤，将方程化简最终求出解；
（2）先通过去分母将含分数的方程转化为整式方程，再利用代入法或消元法联立方程求解．
【详解】（1）
解：去括号，得：
移项，得：
合并同类项，得：
系数化为1，得
（2）
解：原方程组整理得，
得：，
将代入②得：，
解得：，
故原方程组的解为
【变式5-5】（24-25七年级下·重庆开州·期中）解方程组
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法：加减消元法和代入消元法是解题的关键．
（1）利用加减消元法解方程组即可；
（2）先把方程组变形为，然后利用加减消元法解方程组即可．
【详解】（1）解：，
，得③，
，得，
解得：，
把代入①，得，
解得：，
∴方程组的解为；
（2）解：，
整理，得，
，得④，
，得⑤，
，得，
解得：，
把代入③，得，
解得：，
∴方程组的解为．
【变式5-6】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，会熟练运用代入消元法与加减消元法解方程组是解决问题的关键．
（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【详解】（1）解：
得，，
将代入①得，
解得：
所以原方程组的解为：；
（2）解：
原方程组整理为：
得，
解得：，
将代入①得，
解得：
所以原方程组的解为：
【变式5-7】（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）解方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
【分析】题目主要考查解二元一次方程组，熟练掌握运用加减消元法是解题关键．
（1）直接利用加减消元法求解即可；
（2）现将方程组化简，然后利用加减消元法求解即可．
【详解】（1）解：
得：，
解得：，代入①中，
解得：，
∴方程组的解为：．
（2）方程组整理为
得：，
解得：，代入①中，
解得：，
∴方程组的解为：．
【变式5-8】（24-25七年级下·天津和平·期中）解方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
【分析】此题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
（1）方程组利用代入消元法求解即可
（2）方程组利用加减消元法求解即可．
【详解】（1）解：，
由①得：，
将③代入②得：，即，
解得：，
把代入①得：，
∴方程组的解为；
（2）解：
②①得：
解得：
将代入①得，
解得：
∴方程组的解为
【变式5-9】（24-25七年级下·北京·期中）解方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
（1）用代入消元法解二元一次方程组即可；
（2）用加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】（1）解：
由①得：，
把③代入②得：，
解得：，
把代入③得：，
∴原方程组的解为：．
（2）解：，
得：
解得，
把代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为：．
【基础题型六】二元一次方程中整数解个数问题
例题6（24-25七年级下·浙江杭州·期中）二元一次方程的正整数解的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】解：根据题意，得，
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意．
所以符合题意的有2个．
故选：B．
【变式6-1】（24-25七年级下·四川眉山·期中）二元一次方程正整数解的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
【答案】B
【分析】要求二元一次方程的正整数解，就要先将方程做适当变形，根据解为正整数确定其中一个未知数的值，再求得另一个未知数即可．
【详解】解：由，得．
要使x，y都是正整数，必须满足是2的倍数且是正数．
根据以上两个条件可知，合适的x值只能是，
相应的．
所以有2组，分别为，．
故选：B．
【变式6-2】（2025七年级下·全国·期中）二元一次方程的正整数解有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【答案】B
【分析】本题主要考查了求二元一次方程的正整数解，把y看作已知数表示出x，确定出方程的正整数解即可．
【详解】解：∵，
∴，
当时，；当时，；
则方程的正整数解有2组，
故选：B．
【变式6-3】（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）二元一次方程的所有正整数解有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】本题考查了二元一次方程的整数解，正确理解二元一次方程的解得概念是解题的关键．
直接写出二元一次方程的所有正整数解即可．
【详解】解：由二元一次方程可得，正整数解为：
或或或或，共个，
故选：．
【变式6-4】（23-24七年级下·河南许昌·期末）二元一次方程的正整数解有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【答案】C
【分析】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将一个未知数看做已知数求出另一个未知数．
由于二元一次方程中的系数是1，可先用含的代数式表示．然后根据此方程的解是正整数，那么把最小的正整数代入，算出对应的的值，再把代入，再算出对应的的值，依此可以求出结果．
【详解】解：∵，
，
∵都是正整数，
∴时，；
时，；
时，．
∴二元一次方程的正整数解共有3对．
故选：C．
【变式6-5】（23-24七年级下·四川南充·期末）方程在正整数范围内的解有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【答案】C
【分析】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是确定x，y的取值范围．先确定x的取值范围：，且x为正整数．即x的值是1，2，3，代入方程求得相应y的值，即得答案．
【详解】，
，
要使x，y都是正整数，则x的值是1，2，3， 相应的y的值为5，3，1，
方程的正整数解有3组：，，．
故选C．
【变式6-6】（23-24七年级下·湖南郴州·期末）二元一次方程的非负整数解有（ ）
A．3组 B．4组 C．5组 D．6组
【答案】C
【分析】本题考查了解二元一次方程，解题的关键是将一个字母看做已知数求出另一个字母．把x看做已知数表示出y，确定出方程的非负整数解即可．
【详解】原方程可变形为，
原方程的非负整数解有共有5组．
故选C．
【变式6-7】（23-24七年级下·河北石家庄·期中）二元一次方程的正整数解共有（ ）组．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，令，根据方程求出y，再找出方程的正整数解即可．
【详解】方程，
移项得：，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
…，
则二元一次方程的正整数解共有3组，
故选：C．
【变式6-8】（23-24八年级下·山东淄博·期中）二元一次方程的非负整数解的情况是（ ）
A．无解 B．有且只有一组解 C．有两组解 D．有无数组解
【答案】C
【分析】本题考查二元一次方程的解，根据，求出同时不为负数的情况，再结合非负整数解即可得出结果．
【详解】解：，
当时，，
，
当时，，
当时，（舍去），
当时，（舍去），
当时，，
当时，（舍去），
当时，（舍去），
二元一次方程的非负整数解为，或．
故选：C．
【变式6-9】（23-24七年级下·湖南怀化·期中）关于的二元一次方程的自然数解有（ ）
A．3组 B．4组 C．5组 D．6组
【答案】B
【分析】此题考查了解二元一次方程．将方程整理为，将x的值依次代入，即可进行解答．
【详解】解：，
∴，
∵均为自然数，
∴当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
综上所述，二元一次方程的自然数解有4组．
故选：B
【基础题型七】用一个字母表示另一个字母
例题7（23-24七年级下·广东珠海·期中）把方程改写成用含的式子表示的形式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：方程，
解得：，
故选：C．
【变式7-1】（23-24七年级下·云南保山·期中）把方程写成用含的式子表示y的形式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了解二元一次方程，解题的关键是将一个未知数看作已知数求出另一个未知数．
将看作已知数，表示即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选：C．
【变式7-2】（23-24七年级下·山西吕梁·期末）由可以得到用含x的式子表示y，下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查解二元一次方程，把x看作已知数表示出y即可，解题的关键是将一个未知数看作已知数，求出另一个未知数．
【详解】解：
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【变式7-3】（23-24七年级下·四川宜宾·期末）已知，用y的代数式表示x，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了解二元一次方程，把y看做已知求出x即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
故选：A．
【变式7-4】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）把方程写成用含的式子表示的形式为 ．
【答案】
【分析】此题考查了解二元一次方程，将看作已知数求出即可求解．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
【变式7-5】（24-25七年级下·全国·期中）已知方程，用含的式子表示，那么 ．
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程，把含有的项和常数移到右边，再把的系数化为即可，掌握等式的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式7-6】（24-25七年级下·四川宜宾·期中）已知，用含x的式子表示y是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程，移项，系数化为1．即可得到答案．
【详解】解：移项得：，
系数化为1得：，
故答案为：．
【变式7-7】（23-24七年级下·山东济宁·期末）已知方程，用含的式子表示为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程．根据等式的性质进行移项即可求解．
【详解】解：，
移项得：，
∴．
故答案为：
【基础题型八】二元一次方程组中错解复原问题
例题8（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）甲、乙两人同时解方程组甲看错了，求得解为；乙看错了，求得解为．请你求出的值．
【答案】
【详解】解：把，代入，
得，
解得，
把，代入，
得，
解得，
所以．
【变式8-1】（23-24七年级下·四川南充·期末）甲、乙两人解方程组，甲正确地解得，乙因为把c看错，误认为d，解得，求、、、的值
【答案】、、、的值是：4，5，，．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解．本题需先根据二元一次方程组的解得方法和已知条件分别把与的值代入原方程组，即可求出、、、的值．
【详解】解：把代入得：
，
，
再根据乙把看错，误认为，解得代入得：
，
，
，
、、、的值是：4，5，，．
【变式8-2】（24-25八年级上·四川成都·期末）小李和小张共同解关于x，y的二元一次方程组由于粗心，小李看错了方程①中的a，得到方程组的解为，小张看错了方程②中的b，得到方程组的解为，求原方程组的解．
【答案】
【分析】本题主要考查二元一次方程组的错解问题；首先根据甲看错方程①中的a说明甲所解出的结果满足方程②，所以把代入方程②可得：即可求出b；而乙看错方程②中的b说明乙所解出的结果满足方程①，所以把代入方程①可得：即可求出a；根据的值得到原方程组，解方程组即可．
【详解】解：依题意，把代入②得：，
解得：；
把代入①得：，
解得：；
则原方程为：
得，
解得：，
，代入①得，，
解得：，
∴．
【变式8-3】（23-24七年级下·海南海口·期末）甲、乙两名同学解方程组由于甲同学看错了系数，得到方程组的解是，由于乙同学看错了系数，得到方程组的解是求原方程组中的的值．
【答案】
【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组解的概念是解题的关键．
根据甲同学看错了系数，把代入可求得的值，乙同学看错了系数，把代入可求出的值．
【详解】解：∵ 甲同学看错了系数，得到的方程组的解是 ，
是方程的解，
∴，
∴；
∵ 乙同学看错了系数，得到的方程组的解是，
是方程的解，
∴，
∴．
【变式8-4】（23-24七年级下·重庆渝北·期末）在解方程组时，由于粗心，小丽看错了方程组中的，解得，小美看错了方程组中的b，解得求原方程组正确的解？
【答案】
【分析】本题考查二元一次方程组错解复原问题，将方程组的解代入未看错的方程中，求出的值，再解方程组即可．
【详解】解：由题意，得：满足方程，满足方程，
∴，
∴，
∴原方程组为：，
，得：，解得：，
把代入②，得：，解得：，
∴方程组的解为：．
【变式8-5】（23-24七年级下·河北保定·期末）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得解为，乙看错了方程组中的，得解为．
(1)原方程组中的和各是多少？
(2)求原方程组的解．
【答案】(1)，；(2)
【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组等知识．
（1）分别将两组解代入方程组，求出a与b的值，即可；
（2）将a与b的值代入方程组，确定出方程组，求出解即可．
【详解】（1）解：∵甲看错了方程组中的，得解为，
∴，解得：，
∵乙看错了方程组中的，得解为，
∴，解得：；
（2）解：由（1）得：原方程组为，
由得：，
解得：，
把代入，得：，
解得：，
∴原方程组的解为．
【变式8-6】（23-24七年级下·四川乐山·期末）甲，乙两名同学解方程组．甲看错了方程①中的，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的，得到方程组的解为．
(1)求，的值；
(2)求的值．
【答案】(1)(2)
【分析】本题主要考查了代数式求值，二元一次方程组的错解复原问题：
（1）根据题意可得甲求出的方程组的解满足方程②，乙求出的方程组的解满足方程①，据此可得，解之即可得到答案；
（2）根据（1）所求，代值计算即可．
【详解】（1）解：∵甲看错了方程①中的，
∴甲求出的方程组的解满足方程②，
同理乙求出的方程组的解满足方程①，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴
．
【变式8-7】（23-24七年级下·四川德阳·期末）甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为．试计算的值．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组错解问题，关键是将解代入没看错的方程即可求出参数的值．
将代入，求得的值，将代入，求得的值，即可求出最后结果．
【详解】解：将代入，得，
解得，
将代入，得，
解得，
∴．
【变式8-8】（23-24七年级下·河南安阳·期末）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的，而得解为，根据上面的信息解答∶
(1)甲把a看成了什么数，乙把b看成了什么数？
(2)求出正确的的值；
(3)求出原方程组的正确解．
【答案】(1)甲把a看成了1，乙把b看成了3(2)，(3)
【分析】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解和求代数式的值等知识点，能得出关于、的方程是解此题的关键．
（1）把代入①，能求出，把代入②，能求出；
（2）把代入①，能求出，把代入②，求出即可；
（3）加减消元法求解即可．
【详解】（1）解：（1）把代入①，得，
解得：；
把代入②，得，
解得，
所以甲把看成了1，乙把看成了3；
（2）解：把代入①，得，
解得：，
把代入②，得，
解得：；
∴，；
（3）解：原方程组为，解得原方程组的正确解为：．
【变式8-9】（23-24七年级下·河南南阳·期中）甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母a看错了得到方程组的解为乙把字母b看错了得到方程组的解为
(1)求a，b的正确值；
(2)求原方程组的解．
【答案】(1)，(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，掌握加减消元法是解题的关键．
（1）由题意将代入，将代入，分别求解、即可；
（2）利用加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】（1）解：由题意，将代入，
得，
，
将代入，
得，
；
（2）解：由（1）得原方程组为，
，得，
解得，
将代入①得，，
解得，
原方程组的解为．
【基础题型九】构造二元一次方程组求解
例题9（山东省德州市天衢新区2024-2025年学年下学期期中考试七年级数学试题）定义新运算：对于任意实数都有※，等式右边是通常的减法和乘法运算，设定：若，．则的值为（　　）
A．12 B．4 C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，，
∴，
得：，
解得：，
将代入得：，
解得：，
方程的解为：，
，
故选：C．
【变式9-1】（23-24八年级上·全国·期末）若是二元一次方程，那么a，b的值分别是（ ）
A．1，0 B．0， C．2，1 D．1，
【答案】C
【分析】本题主要考查二元一次方程的定义，以及解二元一次方程组，即只含有两个未知数，并且所含未知项的次数都为1次的整式方程就叫做二元一次方程；根据二元一次方程的定义，即未知数的项的最高次数是1，得到关于a、b的方程组，从而解出a、b．
【详解】解：是二元一次方程，
，
解得；
故选：C．
【变式9-2】（23-24七年级下·四川内江·期中）定义运算“*”，规定，其中a、b为常数，且，，则（ ）
A．17 B．14 C．16 D．13
【答案】A
【分析】本题考查了解二元一次方程组和有理数的混合运算，得出关于a、b的方程组是解题的关键．
根据已知定义得出方程，，整理后得出关于a、b的方程组，求出a、b的值，再根据定义得出算式，最后求出答案即可．
【详解】解：根据题中的新定义化简已知等式，得，解得，
所以，
则．
故选A．
【变式9-3】（23-24七年级下·广东广州·期中）对于实数，定义新运算“ ”： （是常数）．已知，，那么的值是（ ）
A．17 B．14 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了定义新运算，有理数的混合运算，二元一次方程组的计算，理解定义新运算的规律，有理数的运算法则，解二元一次方程组的方法是解题的关键．
根据定义新运算的规律算出的值，再代入计算即可求解．
【详解】解：根据题意，，
∴，
∴，
故选：C ．
【变式9-4】（24-25七年级下·河南焦作·期中）已知和是关于的二元一次方程的两组解．
(1)求的值；
(2)当时，求的值．
【答案】(1)的值为5，的值为(2)
【分析】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是关键．
（1）把两组解代入得到二元一次方程组，解方程组即可；
（2）根据（1）得到二元一次方程为，代入求值即可．
【详解】（1）解：∵和是关于x，y的二元一次方程的两组解，
∴
解得
即的值为5，的值为．
（2）由（1）得，该二元一次方程为．
当时，．
【变式9-5】（24-25八年级上·福建厦门·期末）对于有理数，规定新运算：，其中a、b是常数，等式右边的是通常的加法和乘法运算．已知：，，求的值．
【答案】16
【分析】根据新规定结合已知条件得出，即可求出a、b的值，再代入计算即可．
本题考查了解二元一次方程组，有理数的混合运算，理解新规定运算法则是解题的关键．
【详解】解：∵，且满足，
∴ 分别代入，列方程组：
解得：
∴
∴
【变式9-6】（24-25八年级上·陕西铜川·期末）对于任意实数、，定义新运算：，其中、为常数，等号右边为通常的加法、减法和乘法运算，例如．若，．求的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，新定义．根据新定义可得方程组，解方程组求出a、b的值，再根据新定义代值计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴．
【变式9-7】（23-24七年级下·吉林·期末）我们定义一个关于非零常数m，n的新运算，规定：，例如：．若，，求x，y的值．
【答案】x，y的值分别为2，
【分析】本题考查定义新运算，解二元一次方程组，根据新运算的法则，列出方程组，进行求解即可．
【详解】∵，，，
∴
解得
∴x，y的值分别为2，．
【变式9-8】（23-24七年级下·吉林白城·期末）我们定义一个关于非零常数，的新运算，规定：．例如：．若，，求，的值．
【答案】，
【分析】本题考查定义新运算，解二元一次方程组，根据新运算的法则，列出方程组，进行求解即可．
【详解】解：由题意可得
①②，得，
解得．
将代入①，得，
解得．
即，
，．
【变式9-9】（23-24七年级下·四川广安·期末）在代数式中，当，时，它的值是，当，时，它的值是17，求a，b的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解以及解二元一次方程组，根据题意构造二元一次方程组，再利用加减法解二元一次方程，解方程即可求出a，b的值．
【详解】解：，
①②，可得：，
解得，
把代入①式得：
，
解得：，
∴原方程组的解是
【变式9-10】（23-24七年级下·江苏苏州·期末）在等式中，当时，；当时，．
(1)求k，b的值；
(2)当时，求x的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，正确理解题意、得出关于k、b的方程组是解题的关键．
（1）把已知的数据代入等式可得关于k、b的方程组，解方程组即可；
（2）把代入（1）的等式中求解即可．
【详解】（1）解：根据题意可得：，
解得：；
（2）解：因为，
所以，
所以当时，，
解得：．
【变式9-11】（23-24七年级下·吉林·期中）对于有理数和，定义新运算：，其中、是常数，已知，．
(1)求、的值；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)，(2)
【分析】本题主要考查定义新运算，二元一次方程组的运用，理解新定义的运算方法，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
（1）根据新定义运算的规则可得关于的二元一次方程组，运用加减消消元法即可求解；
（2）根据题意，列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴，
得，，
整理得，，
解得，，
把代入①得，，
解得，，
∴；
（2）解：根据题意得，，
解得，．
【基础题型十】已知二元一次方程组解的情况求参数
例题10（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）若方程组的解满足，则 ．
【答案】2025
【详解】解：方程组两个方程相加，得，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：
【变式10-1】（24-25七年级下·山西长治·期中）当 时，方程组的解满足．
【答案】
【分析】本题主要考查了根据方程组的解的情况求参数，先解二元一次方程组得到方程组的解，再根据方程组的解满足得到关于的方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：整理原方程组得，
得：，
把代入②得，解得，
∴原方程组的解为，
∵原方程组的解满足，
∴，
解得，
故答案为：．
【变式10-2】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）已知方程组的解满足x，y互为相反数，则 ．
【答案】
【分析】根据题意，先根据方程组整理得，再结合x，y互为相反数，列式求解即可得到值．本题考查解二元一次方程组及相反数的性质，熟练掌握解方程组的步骤是解决问题的关键．
【详解】解：∵，
∴得，
∴，
x，y互为相反数，
∴，
解得．
故答案为：．
【变式10-3】（24-25七年级下·广东广州·期中）关于、的方程组的解满足，则的值为 ．
【答案】0
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，得出是解题的关键．方程组中的两个方程直接相加得出，化简得，结合已知即可求出的值．
【详解】解：，
①②，得，
，
，
，
，
故答案为：0．
【变式10-4】（24-25七年级下·辽宁抚顺·期中）若关于x，y的方程组的一个解为，则k的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解、解一元一次方程，由题意可得，从而得出，将，代入可得，解关于的一元一次方程即可得解．
【详解】解：∵关于x，y的方程组的一个解为，
∴，
∴，
将，代入可得，
解得：，
故答案为：．
【变式10-5】（24-25七年级下·北京·期中）已知关于的二元一次方程组的解为，且满足，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义．二元一次方程组的解是使方程组中两个方程都成立的未知数的值，据此把代入原方程组中求得，再根据已知得到，据此计算即可得到答案．
【详解】解：∵关于，的二元一次方程组的解为，
∴，
两式相加得，
∵，
∴，
解得，
故答案为；．
【变式10-6】（24-25七年级下·广东惠州·期中）已知二元一次方程，
(1)请用关于x的式子表示y，并直接写出此方程的所有正整数解；
(2)如果二元一次方程组的解是二元一次方程的解，求a的值．
【答案】(1)，，(2)
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．
（1）将x看作已知数，求得，再求得所有正整数解即可；
（2）先联立得，利用加减消元法求得，再代入，即可求解．
【详解】（1）解：移项得，
整理得，
此方程的正整数解为：，；
（2）解：由题意得：，
把①代入②得：，
∴，
把代入②得：，
∴，
所以方程组的解是，
把代入：，得，
∴．
【变式10-7】（24-25七年级下·吉林长春·期中）已知关于的方程组
(1)请写出方程的一组正整数解；
(2)若方程组的解满足，求的值；
(3)不管取任何值，方程总有一个固定不变的解，请直接写出这个解．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】本题考查解二元一次方程组求参数，解题的关键在于先用参数分别表示出解，再利用代数式求参数．
（1）令取一正整数，代入求出即可；
（2）先通过方程组解出、的值，再将、代入代数式求出即可；
（2）将原式进行变换后即可求出这个固定解．
【详解】（1）解：把，代入得，
，
解得，
方程的一组正整数解是；
（2）解：由和得，
解得，代入得，
，
解得；
（3）解：整理得，
，
根据题意得，
解得，
所以，这个固定不变的解为．
【变式10-8】（23-24七年级下·全国·期末）已知关于的方程组
(1)若方程组的解互为相反数，求k的值；
(2)若方程组的解满足方程，求k的值．
【答案】(1)k值为(2)k值为1
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是准确求出方程组的解．
（1）解方程组得出，，根据方程组的解互为相反数，得出，即，解关于k的方程即可；
（2）根据方程组的解满足，得出，解关于k的方程即可．
【详解】（1）解：，
得：，
解得：，
把代入②得：，
解得：，
∴方程组的解为，
∵方程组的解互为相反数，
∴，
即，
解得：；
（2）解：∵方程组的解满足，
∴，
解得：．
【基础题型十一】方程组中同解问题
例题11（24-25九年级下·广东广州·期中）已知关于，的方程组与有相同的解，则，的值为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵关于x，y的方程组与有相同的解，
，
解得：，
把分别代入与得：，
解得：；
故选：D．
【变式11-1】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）已知方程组和方程组的解相同，则 ．
【答案】0
【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
联立不含与的方程组成方程组求出与的值，代入剩下的方程求出与的值，代入原式计算即可得到结果．
【详解】解：联立得：，
得：，即，
把代入①得：，
解得：，
代入得：，
解得：，
则，
故答案为：0．
【变式11-2】（23-24七年级下·河南许昌·期末）当时，关于，的二元一次方程和有相同的解，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程的解，解题的关键是掌握同解方程的意义．
先将代入方程可得，将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得．
【详解】解：由题意，将代入方程得：，
解得，
∵当时，二元一次方程与有相同的解，
∴是二元一次方程的解，
∴，
解得．
故答案为：．
【变式11-3】（24-25七年级下·河南周口·期中）若关于，的两个二元一次方程组与的解相同．
(1)求和的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)，(2)
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，求一个数的平方根，熟练掌握二元一次方程组的解法及平方根的意义是解题的关键．
（1）先求出二元一次方程组的解，再代入中，求出m、n，即可；
（2）将和的值代入再计算即可求解．
【详解】（1）解：，
由①+②得：，
解得，
把代入①，得：，，
∵两个二元一次方程组与的解相同，
∴，
解得：，
（2）解：∵，
∴．
【变式11-4】（24-25七年级下·四川内江·期中）已知方程组和有相同的解，求的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的求解和求代数式的值，准确计算是解题的关键．首先把和组成方程组，解方程组可得、的值，再把、的值分别代入和，求得a和b，然后代入代数式可求出答案．
【详解】解：由题意得：，
解得．
将，代入方程得，
将，代入方程得，
那么，，解得，
则．
【变式11-5】（24-25七年级下·重庆万州·期中）已知关于，的方程组和有相同的解．
(1)求这个相同的解；
(2)求的值．
【答案】(1)(2)
【分析】此题考查了解二元一次方程组以及代数式求值，熟练掌握解二元一次方程组是解题的关键．
（1）将两方程组中的第一个方程联立求出与的值；
（2）将第二个方程联立，把与的值代入求出与的值，进而求出所求式子的值．
【详解】（1）由题意得：，
解得：；
（2）把代入，
得：，
解得：
，
；
【变式11-6】（24-25七年级下·山东淄博·期中）已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解
(1)求这两个方程组的相同解．
(2)求的值．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查解二元一次方程组，乘方，熟练掌握解二元一次方程组是解题的关键；
（1）根据题意，可得，计算求解即可；
（2）根据题意，将代入，即可求解和的值，进而求解；
【详解】（1）解：根据题意可得：，
得，
将代入①，可得，
解得：，
则这个方程组的解为；
（2）解：当时，
联立，可得：；
解得：；
则；
【变式11-7】（24-25八年级上·山东青岛·期末）若关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解．
(1)求这两个方程组的相同解；
(2)求的立方根．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查解二元一次方程组，二元一次方程组的解，
（1）根据题意联立，解方程组即可；
（2）把代入，解方程组后求出，的值，然后代入计算后再求立方根即可；
掌握同解方程组的意义是解题的关键．
【详解】（1）解：∵关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解，
∴，
，得：，
解得：，
把代入，得：，
解得：，
∴这两个方程组的相同解为；
（2）把代入得：，
整理得：，
，得：，
解得：，
把代入，得：，
解得：，
∴，
∵的立方根为，
∴的立方根为．
【压轴题型十二】三元一次方程组及其应用
例题12（24-25七年级下·广东广州·期中）幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一，“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一．图即洛书，数出图中各处的圆圈和圆点个数，并按照图中的顺序把它们填入正方形方格中，就得到一个幻方（如图），在图的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，则的立方根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如下图所示，
设中间小方格中的数是，
则有，
解得：，
，
，
的立方根是．
故选：C．
【变式12-1】（23-24七年级下·山东威海·期末）方程组的解使代数式的值为，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，解题的关键是掌握消元的方法并熟练运用．
用加减消元法求解该三元一次方程组，再将方程组的解代入即可求出k．
【详解】解：，
得：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
把代入③得：，
解得：，
∴原方程组的解为，
把代入得：，
解得：．
故选：C．
【变式12-2】（2023·安徽六安·二模）已知a，b，c均为非负整数，且，．当时，则这三个数字组成的最大三位数可能是（ ）
A．340 B．430 C．520 D．610
【答案】C
【分析】根据进行分类讨论即可求解．
【详解】解：，且均为非负整数，
①当时，
，
，
，
，
会组成四位数，不满足题意；
②当时，
，
，
，
，
故组成最大的三位数为：；
③时，
，，
，
解得：，
组成最大的三位数为：
综上所述，它们最大三位数是，
故选：C．
【变式12-3】（23-24七年级下·福建福州·期末）我们约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，如图1，有，在图2中，若的值为，则的值为（ ）

A． B． C．1 D．任意实数
【答案】C
【分析】根据新定义可得，即可求解．
【详解】解：由题意得
，
整理得：
②③得：，
将①代入上式得：，
解得：，
故选：C．
【变式12-4】（23-24七年级下·江苏淮安·期中）如图，在中，，点D、E分别在边、上，，，连接、交于点O，当面积为6时，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了垂线段最短，利用三角形面积比例关系和已知条件，通过设未知数和建立方程来求解的最小值，设，，，根据已知条件可知，，列出，可得出，由已知条件可得出，，，进而可得出，由垂线段最短可知，进而可求出的最小值．
【详解】解：设，
∵，
∴， ，
设，
∵，
∴，，
设，
∴
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，，
∴，
由垂线段最短可知当时，的面积最小，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：
【变式12-5】（24-25八年级上·四川成都·期末）信息安全保障越来越受到人们重视，很多信息需要加密处理，有一种加密、解密的工作原理为：发送方由明文通过加密规则加密成密文，接收方由密文通过解密成明文．已知某加密规则为：明文互为相反数，其对应密文为．若接收方收到密文为2和，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，读懂加密规则是解题关键．根据加密规则可得或，且明文互为相反数，从而可得，，则，解方程即可得．
【详解】解：由题意得：或，且明文互为相反数，
∴，，即，
∴，
解得，
故答案为：．
【变式12-6】（23-24九年级下·江苏南京·期末）已知，则 ．
【答案】1
【分析】该题主要考查了三元一次方程组，解题的关键是加减消元．
根据算出，再根据算出，代入即可求解；
【详解】解：，
得：，即，
得：，即，
∴，
故答案为：1．
【变式12-7】（23-24七年级下·湖北省直辖县级单位·期末）已知，，为三个非负实数，且满足，若，则的最大值为 ．
【答案】130
【分析】本题考查三元一次方程组，通过解方程组得到与的关系是解题的关键．将方程组两个方程相加，得到，整体替换可得，再由的取值范围即可求解．
【详解】解：，
解得：，
①②，得，
，，为三个非负实数，
，，
，
，
当时，的最大值为130，
故答案为：130．
【变式12-8】（23-24七年级下·福建泉州·期末）已知中每个数只能取，0，2中的一个，且满足，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，设中有个，个0，个2，
根据题意列方程组，即可求解．
【详解】解：设中有个，个0，个2，
则：，
解得：
∴
故答案为：
【变式12-9】（23-24七年级上·重庆渝北·期末）对任意一个三位正整数m，如果各个数位上的数字之和为18，则称这个三位正整数m为“美好数”．最大的三位“美好数”是 ．若一个三位“美好数”前两位数字组成的两位数与这个“美好数”个位数字的4倍的和为111，满足条件的三位“美好数”有 ．
【答案】 或
【分析】题目主要考查有理数的表示、方程组求解，理解题意，列出方程组化简求值是解题关键．根据题意，最大的三位美好数的百位数字一定是9，十位数字为8，再根据各个数位上的数字之和为18，得到个位数字为1，即可，设三位“美好数”的百位数字为，十位数字为，个位数字为，根据一个三位“美好数”前两位数字组成的两位数与这个“美好数”个位数字的4倍的和为111，结合美好数的定义，列出方程组求解即可．
【详解】解：∵最大的三位“美好数”
∴百位数字一定是9，十位数字为9，
∵各个数位上的数字之和为18，
∴个位数字为0，
∴最大的三位“美好数”是；
设三位“美好数”的百位数字为，十位数字为，个位数字为，
则：，
由题意，得：，
整理，得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，，；
当时，，；
∴符合条件的三位“美好数”有或；
故答案为：，或．
【变式12-10】（23-24七年级上·重庆开州·期末）对于一个三位数，它各个数位上的数字均不为0且互不相等，如果它满足百位数字减去个位数字的差是十位数字的2倍，我们就称这个三位数为“互差数”．定义一个新运算，我们把一个“互差数”的百位数字减去个位数字的差与十位数字的和记为，则 ．若是一个“互差数”，且，则的最小值 ．
【答案】
【分析】本题主要考查列代数式，有理数的混合运算，三元一次方程组的应用，理解“互差数”的意义是解题的关键．根据“互差数”的定义可求解； 设的个位数字为a，十位数字为b，百位数字是c，根据“互差数”的定义列方程及，列方程组，解方程组结可求解b值，即可得，再分类求得m值．
【详解】解：；
∵是一个“互差数”，
设的个位数字为a，十位数字为b，百位数字是c，而，
∴，
解得，
∴，
当时，，此时m的值为925；
当时，，此时m的值为824；
当时，，此时m的值为723；
当时，，此时m的值为521；
当时，，因，“互差数”各个数位的数字互不相等，所以622不是“互差数”；
当时，，因为“互差数”各个数位的数字均不为0，所以420不是“互差数”，
综上可知：满足条件的所有m的最小值为521．
故答案为：，
【压轴题型十三】二元一次方程组的特殊解法
例题13（2025·湖南岳阳·一模）已知方程组的解为，则方程组的解为 ．
【答案】
【详解】解：变形为，
∵方程组的解为，
∴，
∴．
故答案为：
【变式13-1】（24-25七年级下·湖北黄石·期中）已知关于的二元一次方程组的解为，且，则的值为 ．
【答案】
【分析】此题考查了二元一次方程组的解．利用关于，的二元一次方程组的解为得到，，据此求解即可．
【详解】解：关于，的二元一次方程组的解为，
，
，即，
，
故答案为：．
【变式13-2】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）关于x、y的方程组的解是，则方程组的解是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程组的解的定义，观察两个方程组可知把第二个方程组中的，看做一个整体，那么，的值分别为第一个方程组的解中的x，y的值，据此求解即可．
【详解】解：∵关于x、y的方程组的解是，
∴方程组的解满足，
解得，
故答案为：．
【变式13-3】（24-25七年级下·四川南充·期中）已知关于、的二元一次方程组的解为，则方程组的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键．整理方程组为，观察方程组可知把第二个方程组中的，看做整体，那么，的值分别为第一个方程组的解中的值，据此求解即可．
【详解】解：方程组整理得，
方程组的解为，
方程组的解为，即，
方程组的解为．
故答案为：．
【变式13-4】（24-25七年级下·全国·期中）若关于的二元一次方程组的解是，则二元一次方程组的解是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，关于的二元一次方程组的解是，则得出二元一次方程组的，解出，即可作答．
【详解】解：∵关于的二元一次方程组的解是，
∴在二元一次方程组中得，
∴，
故答案为：．
【变式13-5】（24-25七年级下·四川内江·期中）若方程组的解是，则方程组的解是 ．
【答案】
【分析】根据方程组的解是，得从而得到，将方程组两式相加，得比较系数解得即可．
本题考查了方程组解的应用，比较系数法解题，熟练掌握解方程组是解题的关键．
【详解】解：根据方程组的解是，
得，
故，
将方程组两式相加，
得，
比较系数，得．
故答案为：．
【变式13-6】（24-25七年级下·陕西榆林·期中）已知关于，的二元一次方程组，求的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得，的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，就可以通过适当变形，求得该整式的值，例如由可得，这种解题思想就是通常所说的“整体思想”．根据上述材料解答下面问题：
(1)已知方程组，由可得__________；
(2)用“整体思想”解答：已知方程组，求的值；
(3)请说明在关于，的方程组中，无论取何值，的值始终不变．
【答案】(1)(2)7(3)见解析
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的特殊解法：
（1）由，即可求解；
（2）由，即可求解；
（3）由，得，即可求解．
【详解】（1）解：由可得：；
故答案为：，
（2）解：
由得：，
解得：．
（3）解：
由得：，
整理得：，
，
无论取何值，的值始终不变．
【变式13-7】（24-25七年级下·广东江门·期中）阅读列一段材料，运用相关知识解决问题．
换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变量称为元，所谓换元法，就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个新的变量去代替它，从而使得复杂问题简单化，换元的实质是转化，关键是构造元和设元．例如解方程组，设，，则原方程组可转化为，运用以上知识解决下列问题：
(1)解方程组；
(2)关于x，y的二元一次方程组解为，求方程组的解．
【答案】(1)；(2)．
【分析】本题考查换元法解分式方程，解二元一次方程组，二元一次方程组的，熟练掌握解方程及方程组的方法是解题的关键．
（1）设，，将原方程组可化为，解二元一次方程求得，从而可求得原方程组的解；
（2）由已知得，求解即可得答案.
【详解】（1）解：设，，
则原方程组可化为，
解得，
解得，
所以原方程组的解为；
（2）解：∵关于x，y二元一次方程组的解为，
，解得：.
【变式13-8】（24-25七年级下·重庆万州·期中）阅读下列材料：
小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组．小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令，．原方程组化为，解得．把代入，，得，解得．∴原方程组的解为．
(1)学以致用：
运用上述方法解下列方程组：．
(2)拓展提升：
已知关于，的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是______________．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组，整体代入法求解；解题的关键是结合题意理解整体代入法，并正确求解方程组．
（1）结合题意，利用整体代入法求解，令，得，解得即，即可求解；
（2）结合题意，利用整体代入法求解，令，则可化为，且解为，则有，求解即可．
【详解】（1）解：令，，
原方程组化为，
解得：，
把代入，，得，
解得：，
∴原方程组的解为；
（2）解：在中，
令，，
则可化为，
且解为，
则有，
；
故答案为：
【变式13-9】（24-25七年级上·湖南娄底·期末）阅读材料并解决问题．
(1)观察发现；材料：解方程组
解：将①整体代入②，得，解得，
把代入①，得，所以
这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请直接写出的解为______．
(2)拓展运用：若关于，的二元一次方程组的解满足，求的值．
(3)迁移应用：若关于，的二元一次方程组的解是，则若关于，的二元二次方程组的解是______．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】本题考查二元一次方程的知识，解题的关键是掌握解二元一次方程，仿照题干的解法，进行解答，即可．
（1）方程组整理后，仿照题干中的解法求解即可；
（2）根据方程组，由①＋②得，化简可得，根据，得到，即可；
（3）根据题意，二元一次方程组的解是，则，，得到，的值，即可．
【详解】（1）解：
∴由①得，；
把③代入②，可得
解得：；
把代入③可得，
解得：
∴方程组的解为：．
（2）解：，
由①＋②得，
整理，得，
∵，
∴，
解得：．
（3）解：关于，的二元一次方程组的解是，
∴，，解得：，，
∴关于，的二元二次方程组中，
∴，
方程的解为：，
故答案为：．
【变式13-10】（23-24七年级下·陕西延安·期末）在解二元一次方程组时，有些方程组直接用我们学过的“代入法”和“消元法”解决时计算量较大，容易出错．数学兴趣小组经过探索研究，发现了下面两种解决二元一次方程组的新方法．
【整体代入法】例：解方程组时，由①，得③，然后再将③代入②，得，解得．将代入③，得，∴该方程组的解是
【轮换式解法】例：解方程组时，，得，∴③．③×16，得④．，得，将代入③，得．∴该方程组的解是
根据上面方法，解决下列问题：
(1)解方程组：；
(2)解方程组：．
【答案】(1)(2)
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握题干提供的方法．
（1）先求出，然后再把代入，求出y的值，再求出x的值即可；
（2）求出，得出，用求出，得出，求出，即可得出方程组的解．
【详解】（1）解：，
由①得：，
把③代入②得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
∴不等式组的解集为：；
（2）解：，
得：，
∴得：，
得：，
得：，
得：，
∴方程组的解为：．
【压轴题型十四】二元一次方程组中新定义类问题
例题14（24-25七年级下·全国·期末）对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足，我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”，
(1)方程组的解x与y是否具有“邻好关系”？说明你的理由；
(2)若方程组的解x与y具有“邻好关系”，求m的值；
(3)未知数为x，y的方程，其中a与x、y都是正整数，该方程组的解x与y是否具有“邻好关系”？如果具有，请求出a的值及方程组的解；如果不具有，请说明理由．
【答案】(1)具有“邻好关系”，见解析；(2)或；(3)具有“邻好关系”，，方程组的解为
【详解】（1）解：，
将②代入①得，，
解得，
将代入②得，，
∴方程组的解为，
∴，
∴方程组的解x与y具有“邻好关系”；
（2）解：，
得，，
∴，
将代入①得，m，
∴方程组的解为，
∵方程组的解x与y具有“邻好关系”，
∴，
解得或；
（3）解：方程组的解x与y具有“邻好关系”，理由如下：
，
得，，
解得，
将代入②得，
∵a、y都是正整数，
∴是12的公约数，
∵a、x都是正整数，
∴，
∴是24的公约数，
∴或或或，
∴a的值为1或2或4或10，
∵，
∴a的值只能是1或2，
当时，方程组的解为；
当时，方程组的解为（舍），
综上所述：，方程组的解为．
【变式14-1】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）对任意有理数定义运算如下：，这里是给定的数，等式右边是通常数的加法及乘法运算，如当时，．现已知所定义的新运算满足条件：．
(1)求．
(2)若，求．
(3)若有一个不为零的数，使得对任意有理数，有，求的值．
【答案】(1)(2)，(3)
【分析】本题是新定义题，考查了定义新运算，解方程组．解题关键是根据新定义列出方程组；
（1）根据新定义得出，，得出，，代入代数式，进行计算即可求解；
（2）根据新定义得出，解方程组，即可求解；
（3）由，得，即，得①，由，得②，，得③，解以上方程组成的方程组即可求得、、、的值．
【详解】（1）解：∵，
∴
由①得，代入②得
∴
∴
∴
（2）依题意得，
由（1）可得，代入③得，
解得：
∴
（3）解：，
，
，
有一个不为零的数使得对任意有理数，
则有①，
，②，
，③，
又，，
解得．
∴
【变式14-2】（2025七年级下·全国·期中）对于关于x，y的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“郡一”方程组．
(1)下列方程组是“郡一”方程组的是 （只填写序号）；
①；②；③；
(2)若关于x，y的方程组是“郡一”方程组，求a的值；
(3)若对于任意的无理数m，关于x，y的方程组都是“郡一”方程组，求的值．
【答案】(1)②③(2)(3)或
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，是解题的关键．
（1）根据“郡一”方程组的定义，逐项判断即可求解；
（2）先求出原方程组的解，再代入，即可求解；
（3）先联立得：，可得或，再代入，可求出a，b的值，即可求解．
【详解】（1）解：，
，得，
解得：，
将代入①，得，
解得，
∴，
∴①不是“郡一”方程组；
，
，得，
解得，
将代入①，得，
解得，
∴，
∴②是“郡一”方程组；
∵，
∴，
∴③是“郡一”方程组．
故答案为：②③．
（2）解：，
，得，
∵原方程组是“郡一”方程组，
∴，
∴．
（3）解：∵关于x，y的方程组都是“郡一”方程组，
∴，
联立得：，
解得：或，
把代入得：
，
∴，
∵m为任意有理数，
∴，解得：，
∴；
把代入得：
，
∴，
∵m为任意有理数，
∴，
解得：，
∴；
综上所述，得值为或．
【变式14-3】（24-25七年级下·北京·期中）对于关于，的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足（其中为常数），则称该方程组具有性质．例如，当时，方程组的解满足，所以该方程组具有性质．
(1)下列关于，的方程组具有性质的是______（只填写序号）；
；；
(2)用表示不大于的最大整数，例如：，；用表示大于的最小整数，例如：，．解决下面问题：
若关于，的方程组具有性质，求的最小值．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组，绝对值不等式的应用以及对新定义概念的理解，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1）解两个二元一次方程组，计算解中与的绝对值差，判断是否满足的性质；
（2）将和视为整数变量，解方程组确定其值，根据取整函数的定义，确定和的取值范围，然后在和的取值范围内，找到使最小的组合即可．
【详解】（1）解：解方程组得，
，不满足性质；
解方程组得，
，满足性质；
故答案为：；
（2）解：设（整数），（整数），
则方程组化为，
解得，
，，
，，
当，时，最小，此时最小，
，故的最小值为．
【变式14-4】（24-25七年级下·山东烟台·期中）我们规定：关于x，y的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“幸福”方程，例如：方程，其中，满足，则方程是“幸福”方程，把两个“幸福”方程合在一起叫“幸福”方程组，根据上述规定，回答下列问题：
(1)判断方程 “幸福”方程（填“是”或“不是”）；
(2)若关于，的二元一次方程是“幸福”方程，求k的值；
(3)若是关于，的“幸福”方程组的解，求的值
【答案】(1)不是(2)4(3)5
【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握新定义，是解题的关键：
（1）根据新定义进行判断即可；
（2）根据新定义，得到关于的一元一次方程，进行求解即可；
（3）根据新定义，列出关于的方程组，求出的值，再解关于的方程组，求出的值，进而求出代数式的值即可．
【详解】（1）解：∵，
∴方程不是“幸福”方程；
故答案为：不是；
（2）由题意，得：，
解得：；
故答案为：4；
（3）由题意，得：，
解得：，
∴原方程组化为：，解得：，
∴，
∴．
【变式14-5】（24-25七年级下·湖南长沙·期中）【百廿风华，公勤仁勇；湖南师大附中始终以家国情怀为己任，以教育兴邦为使命，历经百廿风雨，培育万千英才！】我们不妨约定：在平面直角坐标系中，已知点，，若点满足则把点称作，两点的“附中点”；且把数值称作，两点的“唯一值”．根据该约定，完成下列各题．
(1)若点是，两点的“附中点”，则________，________，，两点的“唯一值”________（将正确的答案填写在相应的横线上）；
(2)已知点，且点是，两点的“附中点”，先将点向右平移3个单位，再向上平移11个单位得到点，若直线与坐标系中其中一条坐标轴平行，，两点的“唯一值”，求点的坐标；
(3)已知点是，两点的“附中点”，是，两点的“唯一值”，
①请用含有字母的式子表示“唯一值”；
②若无论取何值，等式始终成立（其中，是常数），求代数式的值．
【答案】(1)4；3；1
(2)点的坐标是或
(3)“唯一值”；
【分析】（1）先化简立方根和算术平方根，然后根据“附中点”和唯一值”的定义列式求解即可；
（2）先根据“附中点”的定义求出点P的坐标，再根据平移的性质求出点Q的坐标，然后分当轴时和两种情况求解；
（3）①根据“附中点”列方程组，用含a的代数式表示出m，n，求出，，然后根据“唯一值”得定义求解；
②根据无论取何值，等式始终成立求出t，s的值，再求代数式的值即可．
【详解】（1）∵，，
∴，，
∵点是，两点的“附中点”，
∴，
∴；
∴，，
∴．
故答案为：4；3；1；
（2）设，
∵点是，两点的“附中点”，
∴，
∴，
∵先将点向右平移3个单位，再向上平移11个单位得到点，
∴，即，
当轴时，
，
∴．
∵，两点的“唯一值”，
∴，
∴，
解得，
∴点的坐标是；
当轴时，同理可求点的坐标是．
综上可知，点的坐标是或；
（3）①∵点是，两点的“附中点”，
∴，
∴，
∴，，
∴，
②∵，，
∴，
∴，
∵无论取何值，等式始终成立，
∴，
∴，
∴．
【变式14-6】（24-25七年级下·福建泉州·期中）当m，n都是实数，且满足时为巧妙点．
(1)若是巧妙点，则 ，巧妙点；
(2)判断点是否为巧妙点，并说明理由；
(3)已知关于x，y的方程组，当a为何值时是巧妙点？
【答案】(1)4，3(2)不是巧妙点，理由见解析(3)
【分析】此题考查解二元一次方程组，解一元一次方程，
（1）根据已知条件中巧妙点的定义，列出关于m的方程，解方程求出m，从而求出答案即可；
（2）根据P点坐标，列出关于m，n的方程，解方程求出m，n，从而求出的值，然后进行判断即可；
（3）解关于x，y的方程组，求出x，y，从而求出点B的坐标，求出m，n，然后根据已知条件中的定义，列出关于a的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：∵是巧妙点，
∴，
解得：，
∴，
解得，
∴，
故答案为：4，3；
（2）解：点不是巧妙点，理由如下：
由题意得：，
解得：，
∴，
∴不是巧妙点；
（3）解：，
得：，
把代入①得：，
∵点的坐标为，
∴，
，
∵若方程组的解为坐标的点是巧妙点，
∴，
，
，
，
，
∴当a为时，以方程组的解为坐标的点是巧妙点．
【变式14-7】（24-25七年级下·重庆万州·期中）规定、、、之间的运算：，如．
(1)若，且，求、的值；
(2)关于的不等式有且仅有3个正整数解，求的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了新定义及二元一次方程组和一元一次不等式（组）的求解，根据题干正确代入并求解是解答本题的关键．
（1）根据新定义可得，解方程组，即可求解；
（2）根据新定义可得，解不等式，根据不等式有且仅有3个正整数解，进而求得的取值范围．
【详解】（1）解：依题意，，
得，，
解得：，
将代入①得，，
解得：，
解得：；
（2）解：依题意，，
∴，
即，
解得：，
∵不等式有且仅有3个正整数解，即，
∴，
解得：．
【变式14-8】（24-25七年级下·河南驻马店·期中）定义：数对(x，y)经过一种运算可以得到数对，将该运算记作：，其中（均为常数，）．
例如：当时，．
(1)当时，___________；
(2)若，求和的值；
(3)如果组成数对(x，y)的两个数满足二元一次方程时，总有，求和的值．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，弄清定义，能将所求的问题转化为二元一次方程组是解题的关键．
（1）由题意可得，再计算得，，即可求解；
（2）由题意可得，求出方程组的解即可；
（3）由题意可得，求解方程组即可．
【详解】（1）解：当，时，，
，
，，
，
故答案为：；
（2）解：由题可得
解这个方程组，得；
（3）解：，
．
将代入，
得
由①得．
，
．
同理，由②得．
联立得
解得
1．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查解二元一次方程组求参数，涉及解二元一次方程组、一元一次方程等知识，熟练掌握解二元一次方程组是解决问题的关键．先利用加减消元法得出，得出，解即可得到答案．
【详解】解：
，得：，
得：，
∵，
∴，
解得：，
故选：C．
2．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）已知关于，的二元一次方程组，无论为何值，与的值总满足的关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了解二元一次方程组的加减消元法；两个方程相减消去m即可求解．
【详解】解：方程组第一个方程减第二个方程，得：；
故选：C．
3．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）将二元一次方程写成用表示的形式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将一个未知数看作已知数表示出另一个未知数．把x看作已知数表示出y即可．
【详解】解：方程，
解得：．
故选：B．
4．（24-25七年级下·重庆万州·期中）小鑫同学用“代入消元法”解二元一次方程组时，最简单的做法是（ ）
A．把方程①变形为，再代入方程②
B．把方程①变形为，再代入方程②
C．把方程②变形为，再代入方程①
D．把方程②变形为，再代入方程①
【答案】B
【分析】本题考查了代入消元法解二元一次方程组，观察两个方程，最简单的做法是找到含系数为1的字母的方程，进行变形，即可求解．
【详解】解：依题意，最简单的做法是把方程①变形为，再代入方程②
故选：B．
5．（2025七年级下·全国·期中）如果关于未知数和的二元一次方程组的解满足．那么关于未知数和的二元一次方程组的解满足（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了解二元一次方程组及二元一次方程组的解，换元法解二元一次方程组是解题的关键．由得，令，，得，此时，则，即可求解 ．
【详解】解：由得，
令，，
将可变为，
∵如果关于未知数x和y的二元一次方程组的解满足： ，
∴关于未知数和的二元一次方程组的解满足，
即，
故选：B ．
6．（24-25七年级下·河北张家口·期中）利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（ ）
A．要消去，可以将 B．要消去，可以将
C．要消去，可以将 D．要消去，可以将
【答案】D
【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，掌握加减消元法解二元一次方程组的方法是解题的关键．
根据加减消元法解二元一次方程组，观察字母系数，化为相同或者互为相反数再使用减法或者加法消元即可．
【详解】解：，
要消去，可以将，
要消去，可以将，
故选：D．
7．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）已知关于、的方程组，给出下列结论：①是方程组的解；②无论取何值，、的值都不可能互为相反数；③当时，方程组的解也是方程的解：④的都为自然数的解有4对．其中正确的为（　　）
A．①②③ B．②③ C．③④ D．②③④
【答案】D
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组是解法是解题的关键．求得二元一次方程组的解，再利用方程组解答意义对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【详解】解：关于，的方程组的解为：．
若关于，的方程组的解为：，
即
解得不存在
①的结论不正确；
，
无论取何值，，的值都不可能互为相反数，
②的结论正确；
当时，，
当时，方程组为，解为，该解也是方程的解，
③的结论正确；
，的值都为自然数的解有，，，，共4对，
④的结论正确．
综上，正确的是：②③④．
故选：D．
8．（23-24七年级下·新疆和田·期末）已知是关于，的二元一次方程组的解，则 ．
【答案】0
【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
把与的值代入方程组计算求出与的值，即可求出的值．
【详解】解：把代入方程组得：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
则，
故答案为：0．
9．（2025·广东梅州·二模）已知代数式与是同类项，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了同类项，解二元一次方程组，熟练掌握同类项的定义，代入法解二元一次方程组，是解题关键．同类项是所含字母相同，相同字母的指数也相同的项．根据同类项的定义可得一个关于、的二元一次方程组，解方程组可得、的值，代入可得．
【详解】解：∵代数式与是同类项，
∴，，
∴，
由①得：③，
把③代入②得：，
解得：，
把代入③得：，
∴原方程组的解为：，
∴．
故答案为：．
10．（2025·江苏扬州·二模）若与互为相反数，则 ．
【答案】1
【分析】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，也考查了二元一次方程组的求解，熟知非负数的性质是解题的关键；
根据非负数的性质可得关于a、b的方程组，解方程组求出a、b后再代入所求式子计算即可．
【详解】解：∵与互为相反数，
∴，
∴，
解得：，
∴；
故答案为：1．
11．（24-25七年级下·四川德阳·期中）在解关于，的方程组时，小明由于将方程①的“”看成了“”，因而得到的解为，则原方程组的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，将代入可得，解方程组求出，把代入可得，再解方程组即可得解．
【详解】解：把代入可得，
解得：，
把代入可得，
解得：，
故答案为：．
12．（24-25七年级下·全国·期中）定义新运算：对于任意实数a，b都有，等式右边是通常的减法和乘法运算，规定，若，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了新定义运算，解二元一次方程组，由题意得到，求得，代入即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
得：
解得：，
将代入得：，
解得：，
方程的解为：，
，
故答案为：．
13．（2025七年级下·浙江·期中）对于实数，我们定义如下运算：若为非负数，则；若为负数，则．例如：，．则方程组的解为 ．
【答案】或
【分析】此题考查了解二元一次方程组，实数的新定义运算，分类讨论与分别为非负数和负数四种情况考虑，方程组利用题中的新定义化简求出与的值，即可作出判断．
【详解】解：当，，即，时，
解得：
当，，即，时，
解得：，
当，，即，时，
解得： （舍去）
当，，即，时，
解得：（舍去）
综上所述，或.
故答案为：或．
14．（24-25七年级下·河南南阳·期中）在等式中，当时，；当时，．
(1)求k、b的值；
(2)当时，求y的值；
(3)当时，求x的值．
【答案】(1)，(2)(3)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程；
（1）将当时，；当时，，代入等式，解方程组，即可求解；
（2）将代入等式，即可求解；
（3）将代入等式，解一元一次方程，即可求解；
能熟练解一元一次方程及二元一次方程组是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得
，
解得，
，；
（2）解：由题意得
，
当时，
；
（3）解：由题意得
当时，
，
解得：．
15．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）已知关于，的方程组．
(1)方程有一个正整数解，还有一个正整数解为________．
(2)若方程组的解满足，求的值；
(3)无论实数取何值，关于，的方程总有一个固定的解，请求出这个解为________．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】此题考查了解二元一次方程组、二元一次方程的解等知识，熟练掌握二元一次方程的解的定义是关键．
（1）求出二元一次方程的正整数解即可；
（2）解得到，再代入即可求出答案；
（3）无论实数取何值，关于，的方程总有一个固定的解，与的取值无关，则，即可求出这个解．
【详解】（1）解：一个正整数解为，
故答案为：
（2）由题知，
解得，
将代入，
解得
（3）∵无论实数取何值，关于，的方程总有一个固定的解，
∴与的取值无关，则，

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