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【精准提分】专题07 整式的乘法（一）（浙教2024）
【9个基础题型+2个压轴题型】
【基础题型一】根据整式的乘除判断式子是否正确 1
【基础题型二】科学记数法中相关计算 4
【基础题型三】幂的运算中比较大小 6
【基础题型四】整式乘除选填题中相关计算 10
【基础题型五】幂的运算以及逆运算的应用 13
【基础题型六】整式乘除计算题 17
【基础题型七】（x+p）（x+q）型多项式乘法 22
【基础题型八】多项式中化简求值（计算题） 24
【基础题型九】多项式乘法中面积问题 27
【压轴题型十】多项式乘法中实践类问题 33
【压轴题型十一】多项式乘法中找规律类题型 48
【基础题型一】根据整式的乘除判断式子是否正确
例题1（2025年广西壮族自治区南宁市初中毕业班质量调研（二）数学试卷）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：A．，原选项计算错误，不符合题意；
B. ，原选项计算错误，不符合题意；
C. ，原选项计算错误，不符合题意；
D. ，计算正确，符合题意；
故选：D．
【变式1-1】（2025·云南楚雄·二模）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查完全平方公式，合并同类项，积的乘方，单项式乘单项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用完全平方公式，合并同类项法则，积的乘方法则，单项式乘单项式法则逐项判断即可．
【详解】解：A、，则A不符合题意，
B、，则B不符合题意，
C、与a不是同类项，无法合并，则C不符合题意，
D、，则D符合题意，
故选：D．
【变式1-2】下列计算中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了幂的运算、去括号法则、乘法公式等知识，熟练掌握幂的运算法则和公式是关键．根据幂的运算、去括号法则、乘法公式等进行计算即可得到答案．
【详解】A. ，故选项计算错误，不符合题意；
B. ，故选项计算正确，符合题意；
C. ，故选项计算错误，不符合题意；
D. ，故选项计算错误，不符合题意；
故选：B
【变式1-3】下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了乘法公式、幂的乘方、同底数幂的除法等知识．根据运算法则和公式计算即可得到答案．
【详解】A. ，选项计算正确，符合题意；
B. ，选项计算错误，不符合题意；
C. ，选项计算错误，不符合题意；
D. ，选项计算错误，不符合题意；
故选：A
【变式1-4】下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了合并同类项、整式的乘法运算等知识点，掌握整式的运算法则成为解题的关键．
根据合并同类项以及整式的乘法运算法则求解即可．
【详解】解：A．中与不是同类项，不可以合并，故A选项错误；
B．，故B选项错误；
C．，故C选项正确；
D．，故D错误．
故选C．
【变式1-5】（2025·广东广州·二模）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了完全平方公式，积的乘方计算，单项式乘以多项式和合并同类项，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：B．
【变式1-6】（2025·山西大同·模拟预测）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握幂的乘方，同底数幂的除法，积的乘方，平方差公式的计算是关键．
根据幂的乘方，同底数幂的除法，积的乘方，平方差公式的计算方法判定即可．
【详解】解：A、，原选项计算错误，不符合题意；
B、，正确，符合题意；
C、，原选项计算错误，不符合题意；
D、，原选项计算错误，不符合题意；
故选：B ．
【基础题型二】科学记数法中相关计算
例题2（2025·河南焦作·三模）经过近60年的发展，我国已建成目前世界上技术手段最为完 备的国家授时系统，授时精度从开始的毫秒级（千分之一秒）到了如今的百皮秒级（百亿分之一秒），提高了7个数量级，处于世界领先水平．已知1秒毫秒，1毫秒皮秒，则10秒等于（ ）
A．皮秒 B．皮秒 C．皮秒 D．皮秒
【答案】B
【详解】解：1秒毫秒，1毫秒皮秒，
秒皮秒，
秒皮秒，
故选：B．
【变式2-1】（2023·河南周口·三模）2022年10月9日，我国发射“夸父一号”科学卫星对太阳进行探测．这次发射“夸父一号”将利用太阳活动峰年的契机对太阳进行观测．地球的体积约为立方千米，太阳的体积约为地球体积的倍，则太阳的体积是（　　）立方千米．
A． B． C．1.4 × 10 D．1.4× 10
【答案】A
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数．
【详解】解：依题意，．
故选：A．
【变式2-2】（2025·北京海淀·一模）为进一步提高义务教育质量，某地区今年义务教育财政预算支出比去年上调了．已知该地区去年的义务教育财政预算支出约为元，则今年的义务教育财政预算支出约为（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】C
【分析】本题主要查了同底数幂相乘．用乘以，即可求解．
【详解】解：元，
即今年的义务教育财政预算支出约为元．
故选：C
【变式2-3】（2023·河北石家庄·模拟预测）神舟号飞船离地飞行速度约为每秒，则飞船离地飞行1分钟的路程约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据速度、时间、路程的关系计算即可．
【详解】解：∵飞行速度约为每秒，
∴飞行1分钟的路程约为：，
故选：A．
【变式2-4】（2025·河南南阳·一模）“白色污染”的主要来源有食品包装袋、泡沫塑料填充物等．已知一个塑料快餐盒的污染面积为，如果30万名游客每人丢弃一个快餐盒，那么造成污染的最大面积用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答．
【详解】解：万．
故选：A．
【变式2-5】（23-24九年级下·山西大同·期末）月球到地球的平均距离约为千米，而地球到太阳的平均距离约是月球到地球的平均距离的390倍，由此可知，地球到太阳的平均距离约是（ ）
A．千米 B．千米
C．千米 D．千米
【答案】C
【分析】直接利用有理数的乘法运算法则求出即可．
【详解】解：，
地球到太阳的平均距离约为千米．
故选：C．
【基础题型三】幂的运算中比较大小
例题3（2025·河南焦作·二模）已知，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【变式3-1】（24-25七年级下·江西吉安·期中）已知，，，，则a、b、c、d的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了幂的乘方的逆用，解题关键是能熟练运用幂的乘方的逆用求解．
先将a、b、c、d都化为次方，再比较底数的大小即可得出结论．
【详解】解：∵，，，，
，
∴．
故选： B．
【变式3-2】（24-25八年级上·广西南宁·期中）已知，，，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了幂的乘方．根据幂的乘方解答即可．
【详解】解：∵，，，
∴，，，
∵，
∴．
故选：D．
【变式3-3】（2025·陕西延安·二模）计算：（　　）
A．2 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】本题考查单项式乘以单项式，利用单项式乘以单项式的法则，进行计算即可．
【详解】解：；
故选B．
【变式3-4】（24-25七年级下·安徽宣城·期中）若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查零指数幂，平方差公式，积的乘方，先分别计算a，b，c的值，再比较即可．
【详解】解：，
，
，
因为，所以，
故选：B．
【变式3-5】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）比较大小： ．（使用以下四种符号“，，，”进行填空）
【答案】
【分析】本题主要考查幂的乘方，有理数大小比较，解答的关键是对幂的乘方的法则的掌握与运用．
利用幂的乘方的法则把两个数的指数转为相等，再比较底数即可．
【详解】解：∵，
，
即，
故答案为：．
【变式3-6】（24-25七年级下·宁夏银川·期中）已知，，则a，b，c的大小关系为 （用“”连接）．
【答案】
【分析】本题主要考查幂的乘方，将，，全部化成以为底数的指数幂，再比较即可得出答案，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
【详解】解：；
；
；
，
；
即．
故答案为：．
【变式3-7】（24-25七年级下·江苏南京·期中）比较大小： ．（填“＞”，“＜”或“＝”）
【答案】
【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方．根据幂的乘方和积的乘方的运算法则即可求解．
【详解】解：，
，
∵，
∴，
故答案为：．
【变式3-8】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知，，，则a，b，c的关系是 ，（用“”连接）
【答案】
【分析】本题考查比较幂的大小关系，负整数指数幂，先把负整数指数幂转化为正整数指数幂，再比较底数的大小即可得出结果．
【详解】解：∵，，，且，
∴；
故答案为：．
【基础题型四】整式乘除选填题中相关计算
例题4（2025·河南新乡·二模）计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：，
故选：A．
【变式4-1】（24-25七年级下·安徽宣城·期中）已知（，，是整数），则可能的值的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的法则是解答本题的关键．
根据多项式乘多项式的法则求得，，再进行分类讨论，从而得解．
【详解】解：，
，，
又，，是整数，
当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，；
故可能的值为个，
故选：C．
【变式4-2】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）若，则的值是（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了多项式乘多项式．将等式左边展开，再合并同类项，根据系数相等可得p的值．
【详解】解：∵
∵
∴
∴．
故选：A．
【变式4-3】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）已知，则的值等于（ ）
A． B．2 C．8 D．7
【答案】A
【分析】本题考查了多项式乘法以及整体代入求值，解题的关键是先将展开，再把，整体代入求值．
先利用多项式乘多项式法则将展开，然后把已知条件代入展开式进行计算．
【详解】解：，
已知，将其代入可得：
原式，
故选：A．
【变式4-4】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）计算 ．
【答案】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法和积的乘方的逆用，首先逆用同底数幂的乘法法则可得：原式，再逆用积的乘方的法则可得：原式，再根据乘方的定义和有理数的乘法法则进行计算即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
【变式4-5】（2025·河北保定·一模）若，其中，都是大于1的整数，，则 ．
【答案】8
【分析】本题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘法．熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可．
【详解】解：由题意，得，即，
，
．
，都是大于1的整数，，
符合题意的只有，，
．
故答案为：．
【变式4-6】（24-25七年级下·河南郑州·期中）计算： ．
【答案】8
【分析】本题考查同底数幂的乘法的逆用，积的乘方的逆用，把转化为，再逆用积的乘方即可求解；
【详解】解：
．
故答案为：8．
【变式4-7】（24-25七年级下·广西桂林·期中）计算：的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查同底数幂乘法及积的乘方，将原式进行正确的变形是解题的关键．利用同底数幂乘法及积的乘方法则将原式变形后进行计算即可．
【详解】解：原式，
，
，
，
，
故答案为：．
【基础题型五】幂的运算以及逆运算的应用
例题5（24-25七年级下·宁夏银川·期中）已知，则的值是 ．
【答案】
【详解】解：，
，
故答案为：．
【变式5-1】（2025·江苏无锡·一模）若，则 ．
【答案】9
【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．
利用幂的乘方和同底数幂的乘法对原式进行变形得，将代入求值即可．
【详解】解：由得，
将代入上式得，
原式，
故答案为：9．
【变式5-2】（23-24七年级下·全国·期末）已知，则 ．
【答案】10
【分析】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，根据同底数幂的乘法，幂的乘方法则，得到，进行求解即可．
【详解】解：，
∴，
∴；
故答案为：10．
【变式5-3】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知，则代数式的值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方，求代数式的值等知识，先求出，然后根据幂的乘方法则、同底数幂相乘法则把变形为，然后把整体代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
，
故答案为：2．
【变式5-4】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）若x，y均为正数，，则与之间的数量关系为 ．
【答案】
【分析】本题考查幂的运算，根据已知条件得到，进而得到，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【变式5-5】（23-24八年级上·河南周口·期末）已知，，，那么，，满足的等量关系是 ．
【答案】
【分析】由幂的乘方法则可得出，．再根据同底数幂的乘法法则计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
【变式5-6】（24-25七年级下·江苏常州·期中）（1）若，写出、、之间的数量关系，并说明理由；
（2）已知，求的值．
【答案】（1），理由见解析；（2）
【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂相乘，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）将式子变形为，结合同底数幂相乘的法则可得，即可得解；
（2）将式子变形为，结合同底数幂相乘的法则可得，推出，解方程即可得解．
【详解】解：（1），理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【变式5-6】（24-25八年级上·辽宁营口·期中）（1）已知，，，求，，之间的数量关系．
（2）已知是正整数，且，求的值．
【答案】（1）；（2）4
【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法．
（1）利用同底数幂的乘法和幂的乘方，即可得出结论；
（2）根据幂的乘方与积的乘法将原式化简，再代入即可得出结论．
【详解】解：（1）∵，，，
∴，
∴；
（2）∵，
∴．
【变式5-7】（24-25八年级上·河南商丘·期末）若（且，m，n是正整数），则．试利用该结论解决下列问题：
(1)若，求x的值；
(2)若，求x的值．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了幂的运算，涉及幂的乘方运算，同底数幂的乘法运算，掌握运算法则是解题的关键．
（1）将化为，再化为，然后根据同底数幂的乘法得到，即可求解；
（2）将化为，再化为，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴
∴，
∴，
∴，
解得：；
（2）解：∵，
∴，
∴
∴，
∴，
解得：．
【基础题型六】整式乘除计算题
例题6（24-25七年级下·全国·期末）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）解：
（2）解：
．
【变式6-1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查整式的运算，原式先计算积的乘方和幂的乘方，再计算单项式乘以单项式，最后合并即可．
【详解】解：

．
【变式6-2】（24-25七年级下·全国·期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)(2)0
【分析】此题考查了幂的乘方和幂的乘方，单项式乘以单项式，解题的关键是掌握以上运算法则．
（1）首先计算幂的乘方和幂的乘方，然后计算单项式乘以单项式即可；
（2）首先计算幂的乘方和幂的乘方，然后计算单项式乘以单项式即可．
【详解】（1）
；
（2）
．
【变式6-3】（24-25七年级下·全国·期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)(2)
【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，积的乘方运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．
（1）根据单项式乘单项式运算法则进行计算即可；
（2）根据单项式乘单项式，积的乘方运算运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式6-4】（24-25七年级下·全国·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)（n是整数，）．
【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)
【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式的计算，积的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可；
（2）根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可；
（3）根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可；
（4）先计算积的乘方，再根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可；
（5）先计算积的乘方，再根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可；
（6）根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可．
【详解】（1）解：；
（2）解；；
（3）解：；
（4）解：
；
（5）解：
（6）解：
．
【变式6-5】（24-25七年级下·全国·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】本题考查了单项式乘以多项式的运算，整式的加减运算，掌握运算法则是解题的关键．
（1）由单项式乘以多项式法则计算即可；
（2）由单项式乘以多项式法则计算即可；
（3）先进行单项式乘以多项式，再进行整式的加减计算；
（4）先进行单项式乘以多项式，再进行整式的加减计算，最后再计算单项式乘以多项式．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：
；
（4）解：
．
【变式6-6】（23-24七年级下·全国·期末）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)(2)
【分析】本题主要考查单项式乘以单项式及积的乘方，熟练掌握各个运算是解题的关键；
（1）先算乘方，然后再根据单项式乘以单项式可进行求解；
（2）先算乘方，然后再根据单项式乘以单项式可进行求解．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【基础题型七】（x+p）（x+q）型多项式乘法
例题7（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）若（a、b、c为常数），则 ．
【答案】0
【详解】解：，
∵，
∴（为常数），
∴，
∴，
故答案为：0．
【变式7-1】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）若，则 ．（填“、或”）
【答案】
【分析】本题考查整式比较大小，整式乘法运算，整式减法计算等．根据题意列式后与0比较即可．
【详解】解：∵，
∴
，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式7-2】（24-25七年级下·福建漳州·期中）若成立，且、、均为整数，则满足条件的的值有 个．
【答案】
【分析】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键将已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，根据多项式相等的条件求出的值即可．
【详解】，
因为，
可得：，
因为、、为整数，
所以满足条件的的值为，，
即满足条件的的值为，，，共个，
故答案为：
【变式7-3】（23-24八年级上·湖北随州·期末）若m，n为常数，多项式可因式分解为，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了多项式乘以多项式，代数式求值，有理数的乘方．熟练掌握多项式乘以多项式，代数式求值，有理数的乘方运算是解题的关键．
由题意知，，则，然后代入求解即可．
【详解】解：由题意知，，
∴，
∴，
故答案为：．
【基础题型八】多项式中化简求值（计算题）
例题8（24-25七年级下·江苏无锡·期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】，3
【详解】解：原式
，
当时，原式．
【变式8-1】（24-25七年级下·安徽淮北·期中）先化简，再求值：其中．
【答案】，
【分析】本题考查了整式的化简求值，先根据多项式乘以多项式法则、合并同类项法则化简，然后把x、y的值代入计算即可．
【详解】解：
原式
，
把代入上式得：
原式
．
【变式8-2】（24-25七年级下·江苏南京·期中）先化简，再求值，其中．
【答案】，
【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
先利用多项式乘多项式法则化简得到，将代入计算即可．
【详解】解：，
，
原式．
【变式8-3】（24-25七年级下·广西梧州·期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查了单项式乘以单项式，多项式乘以多项式，整式的加减计算，正确运算法则，正确计算是解题的关键．
先运用多项式乘以多项式和单项式乘以多项式法则进行计算，再进行加减计算，最后代入求值即可．
【详解】解：
，
当，
原式
．
【变式8-4】（2025七年级下·全国·期中）先化简，再求值：
(1)已知，求的值；
(2)，其中．
【答案】(1)，5(2)，
【分析】本题考查的是整式的乘法运算，化简求值，
（1）先计算多项式乘以多项式，再合并同类项，最后把代入计算即可．
（2）先计算多项式乘以多项式，再合并同类项，最后把代入计算即可．
【详解】（1）解：
．
当时，原式．
（2）解：
．
当时，原式．
【变式8-5】（24-25七年级下·全国·期中）先化简，再求值：
(1)，其中；
(2)，其中，．
【答案】(1)，(2)，
【分析】本题考查整式的乘法混合运算，涉及单项式与多项式的乘法，多项式与多项式的乘法，代数式求值，熟练掌握整式的乘法运算法则是解题的关键．
（1）先利用单项式与多项式的乘法化简，再合并，最后代入求值即可；
（2）先利用多项式与多项式的乘法化简，再合并，最后代入求值即可；
【详解】（1）解：
，
当时，原式；
（2）解：
，
当，时，原式．
【变式8-6】（24-25七年级上·四川成都·期末）先化简，再求值：，且单项式与是同类项．
【答案】，
【分析】本题考查了整式的乘法，求代数式的值，同类项的定义；先按照整式乘法法则展开，再合并同类项，得，结合单项式与是同类项，得出，即，代入进行计算，即可作答．
【详解】解：
；
∵与是同类项，
∴，
即，
∴．
【基础题型九】多项式乘法中面积问题
例题9（24-25七年级下·安徽宣城·期中）如图是某路口的导向指示牌．已知该指示牌长为，宽为，
(1)求箭头部分的面积并化简．
(2)当，时，请计算箭头部分的面积．
【答案】(1)箭头的面积为：(2)
【详解】（1）解：空白部分的面积为：
箭头的面积为：
．
（2）当，时，
箭头部分的面积为
【变式9-1】（24-25七年级下·江西赣州·期中）某小区有一块长为米、宽为米的长方形空地，现要美化这块空地，在上面修建如图所示的“T”型花圃（阴影部分），在花圃内种花草．

(1)用含x，y的式子表示“T”型花画的面积并化简．
(2)当时，求“T”型花画的面积．
【答案】(1)(2)“”型区域的面积是平方米
【分析】本题主要考查多项式乘以多项式与图形面积；
（1）根据图形及题意可直接进行求解；
（2）由（1）可知绿化部分的面积为平方米，然后把，代入求解即可．
【详解】（1）解： “”型区域的面积为：
．
（2）解：当，时，
(平方米)
答：“”型区域的面积是平方米．
【变式9-2】（24-25六年级下·山东济南·期中）如图，某中学校园内有一块长为，宽为的大长方形地块，学校计划在中间留一块长为，宽为2b的小长方形地块修建一座雕像，然后将阴影部分进行绿化．
(1)求大长方形地块的面积（用含a、b的代数式表示）；
(2)求小长方形地块的面积（用含a、b的代数式表示）；
(3)当，时，求绿化部分的面积．
【答案】(1)(2)(3)72
【分析】本题主要考查了列代数式、多项式乘多项式、代数式求值等知识点，正确列出代数式是解题的关键．
（1）直接根据题意列出代数式，并运用多项式乘多项式运算法则进行计算即可；
（2）直接根据题意列出代数式，并运用单项式乘多项式运算法则进行计算即可；
（3）先求出绿化部分的面积的代数式，然后将、代入计算即可．
【详解】（1）解：大长方形地块的面积：．
（2）解：小长方形地块的面积：．
（3）解：绿化部分的面积：
，
当，时，．
答：绿化部分的面积72．
【变式9-3】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，山西某小区准备在一个长为米，宽为米的矩形草坪上修建两条宽为a米的小道，其余部分用来种植花草．
(1)求种植花草的面积；
(2)当时，求种植花草的面积．
【答案】(1)平方米(2)18平方米
【分析】本题考查多项式与多项式相乘，解题的关键是学会用平移的思想求面积，熟练掌握多项式的乘法运算法则．
（1）利用平移思想结合长方形的面积公式进行求解即可；
（2）把a，b的值代入进而求出答案．
【详解】（1）解：根据题意，得，
平方米．
答：种植花草的面积为平方米；
（2）解：当时，
原式（平方米）．
答：种植花草的面积为18平方米．
【变式9-4】（24-25七年级下·河南周口·期中）2025年2月10日，南水北调东线一期工程正式启动本年度调水工作，计划向黄河以北调水1.51亿立方米．如图，某段河道的横截面是梯形，已知上底的长度为，下底的长度为，河道的最大高度为．
(1)求河道横截面的面积；
(2)经测量得出，那么长的南水北调的河道最多可以蓄水多少立方米？（棱柱的体积棱柱的底面积高）
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了整式的混合运算，代数式求值，掌握整式混合运算的法则是解题的关键．
（1）根据梯形的面积公式列出代数式，然后根据整式的混合运算法则进行计算即可；
（2）先代入求出梯形面积，再根据棱柱的体积公式列出代数式，然后根据整式的混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：河道横截面的面积为：
；
（2）当时，
，
，
答：长的南水北调的河道最多可以蓄水．
【变式9-5】（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）如图，某长方形商业街区分为五部分，其中两块大小相同的长方形区域为餐饮区，两块大小相同的正方形区域为购物区，中间正方形区域为休息娱乐区．已知区域的边长为米，区域的边长为米．
(1)请用含，的式子表示该长方形商业街区的总面积；
(2)若，，求该长方形商业街区的总面积．
【答案】(1)
(2)1500平方米
【分析】本题考查整式的运算以及代数式求值知识点，
（1）先求出长方形商业街的长和宽，再根据长方形面积公式列出式子，并化简；
（2）将，代入（1）所求的面积的式子进行计算求值。
【详解】（1）长方形区域的长为（米），
宽为（米），
该长方形商业街区的长为（米），
宽为（米），
该长方形商业街区的总面积为：
．
（2）当，时，
（平方米）．
当，时，该长方形商业街区的总面积为1500平方米．
【变式9-6】（24-25八年级上·四川资阳·期末）如图，某学校的广场上有一块长为米，宽为米的长方形地块．中间有一块边长为米的正方形雕像，周围剩余部分（阴影部分）种植了绿化，请回答以下问题：
(1)绿化的面积是多少？
(2)若，使代数式的值与的取值无关，求绿化面积的值．
【答案】(1)（平方米）(2)
【分析】本题考查了整式混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）用大长方形面积减去小正方形面积即可得到绿化的面积；
（2）根据题意求出，再代入计算即可．
【详解】（1）解：
（平方米）；
（2）解：原式
，
代数式的值与的取值无关，
，，
，
（平方米），
绿化面积的值为．
【压轴题型十】多项式乘法中实践类问题
例题10（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图1，现有三种类型的卡片：
1号卡片：边长为a的正方形卡片；
2号卡片：边长为b的正方形卡片；
3号卡片：相邻两边分别为a、b的长方形卡片，其中．
(1)填空：如图2，选取1号卡片1张、2号卡片2张、3号卡片3张，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），运用面积之间的关系说明图中所表示的数学等式：_______．
(2)填空：小明同学想用x张1号卡片，y张2号卡片，z张3号卡片拼出一个面积为的长方形，那么的值为_______．
(3)将某些卡片按照下列两种情形分别放入一个长方形盒子的底部，经测得盒子底部的长方形的长比宽多4．
情形一：将1张1号卡片和1张3号卡片如图3放置，两张卡片的相邻两边分别与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为．
情形二：将1张1号片和1张2号卡片如图4放置，两张卡片各有一边与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为．
如果，求2号卡片的边长．
【答案】(1)(2)45(3)4
【详解】（1）解：拼成的“大长方形”的长为，宽为，因此面积为，拼成“大长方形”的6个部分的面积和为，所以有，
故答案为：；
（2）解： 解：1号卡片的面积为，2号卡片的面积为，3号卡片的面积为，所拼成的长方形面积为，所以需要1号卡片张，2号卡片张，3号卡片张，即，
故答案为：45；
（3）解：设长方形的长为，则宽为．
由题意：
，
，
，
，
，
即2号卡片的边长为4．
【变式10-1】（24-25七年级下·全国·期中）如图①，有A，B，C，D四种不同型号的卡片，每种卡片各有2张．A型卡片是相邻两边长分别为a，b的长方形，B型卡片是相邻两边长分别为a，c的长方形，C型卡片是相邻两边长分别为c，d的长方形，D型卡片是相邻两边长分别为b，d的长方形．从中取若干张卡片（每种卡片至少取1张），把取出的这些卡片拼成一个长方形（注：a，b，c，d各不相等）．
(1)在图②，图③中画出拼得的两种长方形的示意图（所拼的图中既不能有缝隙，也不能有重合部分）．
(2)图②中，长方形的面积既可以表示为_______，又可以表示为_______，所以可得等式：_______．图③中，长方形的面积既可以表示为_______，又可以表示为_______，所以可得等式：_______．
(3)除了图②和图③，你觉得还可以拼出多少种不同的长方形？说说你的想法．
【答案】(1)见详解
(2)，，，
(3)5种
【分析】本题考查几何的基础模型，通过4个不同的长方形可以拼接成新的长方形，同时也是因式分解的几何表示方法．
（1）通过图形可知，边需要和边重合，则有另一边为的矩形，边和边重合，则有另一边为的矩形，然后将的边重合，则得到新的矩形，
（2）根据图②中的矩形数量，可知面积可以表示为，根据新的矩形的两边长分别为和可得，矩形面积为，故可以用等式来连接，图③同理可得，
（3）根据前边的推论，结合多项式乘法即可推出其他种长方形．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：图②的面积可以表示为：，也可以表示为，
∴，
图③的面积可以表示为：，也可以表示为，
∴，
故答案为：，，；
（3）解：根据条件可得，除了图②和图③外，还可以拼出五种不同的长方形，
第一种，由，
故长方形的长为，宽为，由1个卡片，2个卡片，2个卡片，1个卡片拼得；
第二种，由，
故长方形的长为，宽为，由2个卡片，2个卡片，2个卡片，2个卡片拼得；
第三种，由，
故长方形的长为，宽为，由1个卡片，1个卡片，2个卡片，2个卡片拼得；
第四种，由，
故长方形的长为，宽为，由2个卡片，2个卡片，1个卡片，1个卡片拼得；
第五种，由，
故长方形的长为，宽为，由2个卡片，2个卡片，2个卡片，2个卡片拼得．
【变式10-2】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图可以得到．请解答下列问题：
(1)图中所表示的数学等式为 ；利用所得到的结论，解决问题：已知，，求的值；
(2)小红同学用张边长为的正方形，张边长为的正方形，张两边长分别为的长方形纸片拼出了一个大长方形，大长方形的长和宽分别为、，求的值；
(3)小丽同学用张边长为的正方形，张边长为的正方形，张两边分别为的长方形纸片拼出了一个长方形，请求出该长方形较长一边的长．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)较长的一边的边长为．
【分析】（）根据图正方形面积两种求法即可得出等式，然后利用等式即可求出的值；
（）利用大长方形的面积得出，从而求解；
（）由长方形的面积即可求解；
本题考查了多项式乘以多项式的几何应用，利用面积法列出等式是解题的关键．
【详解】（1）解：图的面积求法一：，图的面积求法二：，
∴，
故答案为：；
∵，，
∴，
∴；
（2）解：大长方形的面积
，
∵大长方形的面积，
∴，
∴，，，
∴；
（3）解：长方形的面积，
∴长方形的边长为和，
∵，
所以较长的一边的边长为．
【变式10-3】（24-25八年级上·山西朔州·期末）实践教学：
某校同学在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院，同学们对于哪个建筑的占地面积（图中阴影）更大展开了讨论．
①组的同学认为图1中回字形福建土楼的占地面积更大；
②组的同学认为图2中山西大院的占地面积更大．
数据采集：
为了证明自己的想法是正确的，两组同学分别对建筑物进行了数据测量，数据如图所示．
数据应用：
(1)请分别计算这两个建筑物的占地面积；
(2)若，则__________组同学的想法正确．（填“①”或“②”）
【答案】(1)回字形福建土楼占地面积为，山西大院占地面积为
(2)①
【分析】本题考查多项式乘法的实际应用，整式加减的应用：
（1）用含a，b的式子表示出图形的长和宽，再利用多项式乘多项式求解；
（2）结合：，计算这两个建筑物的占地面积之差，即可求解．
【详解】（1）解：回字形福建土楼占地面积为：
；
山西大院占地面积为：
；
（2）解：这两个建筑物的占地面积之差
，
，
，
回字形福建土楼的占地面积更大，
即①组同学的想法正确，
故答案为：①．
【变式10-4】（24-25八年级上·内蒙古乌海·期末）【阅读材料】
“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法.比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．
【方法应用】
根据以上材料提供的方法，回答下列问题：
(1)由图2可得等式： ；
(2)由图3可得等式： ；
(3)利用图3得到的结论，解决问题：已知，求的值．
【答案】(1)(2)(3)52
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景以及多项式乘多项式，熟练掌握完全平方公式以及多项式乘以多项式的法则是解题的关键．
（1）大长方形的面积，大长方形的面积个边长为小正方形的面积个小长方形的面积个边长为的正方形面积，即可得出结论；
（2）大正方形的面积，大正方形的面积个边长分别为、、的正方形的面积个长和宽分别为、小长方形的面积个长和宽分别为、小长方形的面积个长和宽分别为、小长方形的面积，即可得出结论；
（3）利用（2）中的结论进行求解即可；
【详解】（1）解：由图2知，大长方形的面积，大长方形的面积个边长为小正方形的面积个小长方形的面积个边长为的正方形面积，
；
故答案为：；
（2）解：由图3知，大正方形的面积，
大正方形的面积个边长分别为、、的正方形的面积个长和宽分别为、小长方形的面积个长和宽分别为、小长方形的面积个长和宽分别为、小长方形的面积，
；
故答案为：；
（3）解：由（2）知：，
，
，
把代入得：
．
【变式10-5】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图形的割补加以说明．
(1)【方法理解】
已知长方形的周长是20，设长方形的一边长是，则相邻一边长是．
①当时，如图1将此长方形进行如下割补．如图2，长方形的一边长是，相邻一边长是________．如图3，将长方形割补到长方形的右侧，阴影部分是一个边长为_________的正方形（以上两空，均用含的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式、25、满足的等量关系是______________，从而可得；
②当时，类似上述过程进行割补，同理可得；
③当时，该长方形即为正方形，此时．
综上分析，周长是20的长方形的最大面积是25；
(2)【方法迁移】
当时，仿照上述割补过程，求代数式的最大值．
【答案】(1)①，，；②详见解析，③详见解析
(2)的最大值为49
【分析】本题主要考查了多项式的乘法、以及多项式的乘法的几何运用，熟练掌握相关知识是解题的关键．
(1)根据等面积问题即可得出答案；
(2)根据题中图形面积的求法画出相应的图形，进而即可求出的最大值．
【详解】（1）解：，
长方形的一边长是，相邻一边长，
∴阴影部分是一个边长为的正方形，
由图可知，长方形面积=大正方形面积-小正方形面积，
，
故答案为：，，；
②当时，如图，阴影部分是边长为的正方形，
，
，
③当时，该长方形为边长是5的正方形，此时，
综上分析，周长是20的长方形的最大面积是25；
（2）解：当时，如图，阴影部分是边长为的正方形，
，
，
当时，如图，阴影部分是边长为的正方形，
，
，
当时，该长方形为边长是7的正方形，
边长是和的长方形的最大面积是49，
的最大值为49．
【变式10-6】（2025七年级下·全国·期中）现定义了一种新运算“，对于任意有理数a，b，c，d，规定，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如：．
请解答下列问题
(1)填空：______；
(2)若的代数式中不含x的一次项时，求n的值；
(3)求的值，其中；
(4)如图1，小长方形长为a，宽为b，用5张图1中的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形内，其中，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左下角长方形的面积为，右上角长方形的面积为．当，求的值．
【答案】(1)(2)0.2(3)(4)24
【分析】本题主要考查了新定义，多项式乘以多项式在几何中的应用，解决本题的关键是熟练掌握多项式乘多项式在几何图形中的应用：
（1）根据新定义计算求解即可；
（2）根据新定义求出，再根据不含x的一次项，即可含x的一次项的系数为0进行求解即可；
（3）根据新定义求出，再利用整体代入法代值计算即可；
（4）根据所给图形可得，根据推出，再根据新定义，进而一步步利用整体代入法降次求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，；
（2）解：，
，
，
，
∵代数式中不含x的一次项，
∴，
∴；
（3）解：，
，
，
，
，
∵，
∴原式；
（4）解：根据题意得：，
整理得：，
∴，
，
，
，
，
，
．
【变式10-7】（24-25八年级上·北京·期中）【知识回顾】
我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值．
通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0．
具体解题过程是：原式，
代数式的值与x的取值无关，
，解．
【理解应用】
（1）若关于x的代数式的值与x的取值无关，则m值为_________．
（2）已知，且的值与x的取值无关，求m的值．
【能力提升】
（3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
【答案】（1）4；（2）；（3）
【分析】本题主要考查了多项式乘多项式和合并同类项，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则和合并同类项法则．
（1）把含有的项提取公因式，然后根据关于的代数式的值与的取值无关，列出关于的方程，解方程即可；
（2）把已知条件中的和代入，根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，然后根据的值与无关，列出关于的方程，解方程即可；
（3）设，由图可知，，然后再求出，最后根据的值始终保持不变，得到关于，的等式即可．
【详解】解：（1）
，
关于的代数式的值与的取值无关，
，
解得：，
故答案为：4；
（2），
，
的值与x无关，
，
即；
（3）设，由图可知，
，
当的长变化时，的值始终保持不变．
取值与x无关，
，
【压轴题型十一】多项式乘法中找规律类题型
例题11（24-25九年级下·海南海口·期中）（综合与实践）
杨辉三角是将数字按规律排成的三角形数表，由南宋数学家杨辉记载于《详解九章算法》．其每行两端数字为1，中间数等于上方两数之和，还与二项式展开系数对应，蕴含诸多数学规律与性质．
(1)写出杨辉三角第6行的数字：_________．
(2)杨辉三角第n行数字之和是：_________，并求出第10行数字之和=_______．
(3)求展开式中的系数；
(4)若把杨辉三角从第1行开始，每一行的数字依次排列成一个多位数，如第1行为1，第2行为11，第3行为121，第4行为1331，以此类推．求第8个这样的多位数除以11的余数．
【答案】(1)1，5，10，10，5，1(2)(3)35(4)2
【详解】（1）解：根据规律得：1，5，10，10，5，1
故答案为：1，5，10，10，5，1；
（2）解：第1行数字和为1，第2行数字和为，第3行数字和为，
第4行数字和为，第5行数字和为，……，
一般地，第n行数字和为；
则第10行数字和为：；
故答案为：；
（3）解：由（1）得第7行的数字分别为：1，6，15，20，15，6，1；
第8行的数字为：1，7，21，35，35，21，7，1；
则，其展开式中的系数为35；
（4）解：由（3）知，第8个数为172135352171，用10的幂表示为；
在中，取，则当n为偶数时，展开式中最后一项为；当n为奇数时，展开式中最后一项为1；因此每一项除了最后一项外，其展开式中都含有因数11；
故当172135352171被11除时，用幂表示的每项中最后一项分别为，其和为2，故余数为2．
【变式11-1】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）从特殊到一般是我们发现规律的一种常用思想方法． 现在我们来研究一类十位数字相同、个位数字之和为的两位数乘两位数．
(1)首先来研究特殊情况：两个十位数字都是1、并且个位数字之和是10的两位数乘法，观察下列等式：
…
①仿照上述等式，写出 ；
②探究规律
根据以上的观察、计算，你能发现两个十位数字都是的两位数，并且个位数字之和是的两位数乘法有什么规律，用等式进行表示．并说明这个等式成立；
(2)拓展：
现在来看一般情况：如果十位数字是相同的任意整数，个位数字之和是的两位数乘两位数，上述的规律是否成立？请说明理由；
(3)推广应用： ．
【答案】(1)①；②，证明见解析
(2)成立，，证明见解析
(3)
【分析】本题考查了整式的规律探索，整式的乘法运算，有理数的混合运算，解题的关键是掌握相关知识．
（1）①根据题中的规律求解即可；②设两个十位为、各位分别为和的两位数为和，两位数乘法的规律为，将等号两边的式子展开比较即可证明等式成立；
（2）若两位数的十位均为，个位分别为和，则两位数的乘积为，将等号两边的式子展开比较即可证明等式成立；
（3）根据所得的规律求解即可．
【详解】（1）解：①，
故答案为：；
②设两个十位为、各位分别为和的两位数为和，
则两位数乘法的规律为，
证明：展开等号左边：
，
展开等号右边：
，
等号左边等于等号右边，规律成立；
（2）若两位数的十位均为，个位分别为和，
则两位数的乘积为，
展开等号左边：
，
展开等号右边：
，
等号左边等于等号右边，规律成立；
（3）当时，代入得：
，
故答案为：．
【变式11-2】（23-24八年级上·广西河池·期末）【知识背景】我国著名数学家华罗庚曾在给青少年撰写的“数学是我国人民所擅长的学科”一文中谈到，我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列．他说：“实际上我们祖国伟大人民在人类史上，有过无比睿智的成就．”其中“杨辉三角”就是一例．在我国南宋数学家杨辉（约 13 世纪）所著的《详解九章算术》（1261 年）一书中，用三角形形状排列数字解释二项和的乘方规律．杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050 年左右）也用过上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”．
【知识解读】杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．
【知识应用】阅读材料，完成填空：
（1） （）
（2）
（3）
（4）
（5） ．
（6）请写出展开式： ．
【迁移应用】利用杨辉三角，计算114值．（要求写出解答过程）
【答案】（1）；（5）；（6）；迁移应用：
【分析】本题考查与完全平方公式相关数字的变化规律，正确得出“杨辉三角”的规律是解题关键．
知识应用：根据0次幂意义即可得出，其他空根据“杨辉三角”的规律写出各项系数即可；
迁移应用：根据“杨辉三角”的规律得到的展开式，计算即可得答案；
【详解】解：（1）（）
（2）
（3）
（4）
（5）．
（6）请写出展开式：．
迁移应用：
解：
【变式11-3】（24-25七年级下·江西景德镇·期中）【课本再现】我国南宋数学家杨辉在他年的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”．如图，此图揭示了（为非负整数）、展开式的项数及各项系数的一些相关规律．
如果将（为非负整数）的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到以下等式：
，它只有一项，系数为；
，它有两项，系数分别为，；
，它有三项，系数分别为，，；
，它有四项，系数分别为，，，；
请你根据以上信息解答下列问题：
【探索发现】你能根据以上数表得到的展开式吗 并利用多项式乘法法则验证你的结果是否正确；
【拓展探究】的展开式共有______项，系数和为______；
【实践应用】请你利用以上规律计算：
【答案】【探索发现】：，证明见解析；【拓展探究】：， ；【实践应用】：
【分析】本题考查了多项式的乘法运算中的规律问题，数字类规律探究，多项式的系数、项数、次数等．
【探索发现】结合多项式乘多项式的运算法则和完全平方公式进行展开计算，即可求解；
【拓展探究】根据已知式子中项数、系数等变化规律，即可求解；
【实践应用】根据杨辉三角的规律，进行计算即可求解．
【详解】【探索发现】解：
证明：左边
=右边；
故．
【拓展探究】解：∵，它只有一项，系数为；系数和为，且；
，它有两项，系数分别为，；系数和为，且；
，它有三项，系数分别为，，；系数和为，且；
，它有四项，系数分别为，，，；系数和为，且；
以此类推，
的展开式有项，系数和；
故答案为：，．
【实践应用】解：
．
【变式11-4】（24-25七年级下·江苏连云港·期中）下图是我国南宋数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出的“杨辉三角”，揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律．
根据以上规律，解答下列问题：
(1)的展开式中共有______项，其中第三项是______；
(2)利用表中规律计算：；（不按照规律计算不得分）
(3)设，在等式中当时，可得的值为_______，从而可求得的值为_______．
【答案】(1)，(2)(3)，
【分析】本题考查了整式的混合运算以及规律、有理数的乘方，理解题意，正确得出规律是解此题的关键．
（1）根据题意得出，由此即可得解；
（2）将所求式子变形为，结合规律计算即可得解；
（3）当时，，由此即可求出的值，当时，，由此即可得出的值．
【详解】（1）解：由题意可得：，
∴的展开式中共有项，其中第三项是；
（2）解：
；
（3）解：∵，
∴当时，，
∴，
当时，，
∴，
∴．
【变式11-5】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）【阅读理解】
苏科版数学七年级下册课本第44页的“阅读”中介绍了“杨辉三角”．“杨辉三角”是我国古代数学的杰出研究成果之一，它揭示了二项式乘方展开式的规律，在欧洲，这个图表叫做“帕斯卡三角”．帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比我国迟了近了600年．如图，是杨辉三角的一部分（两条斜边上的数都是1，其余每个数为它上方（左右）的两数之和），它把二项式乘方展开式系数图形化，它可以指导我们按规律写出形如（为正整数）展开式各项的系数，请你仔细观察下列等式中的规律，并利用杨辉三角解决下列问题．
…
【初步感知】
（1）按以上规则，展开式共有____项，第三项（字母部分为）的系数是____；
【拓展推广】
（2）我们在对的推演过程中，是将中的“”代换成“”，可得；利用杨辉三角，写出的展开式___________；进而写出的展开式___________；
【迁移应用】
（3）根据以上规律计算
．
【答案】（1）5 ，6
（2）；
（3）
【分析】本题考查杨辉三角，找规律展开（为正整数），读懂题意，理解杨辉三角与（为正整数）展开式各项的系数关系规律是解决问题的关键．
（1）由题中规律可知，结合杨辉三角形，将展开即可得到答案；
（2）由题中规律可知，结合杨辉三角形，将展开即可得到答案；将等式中的“”代换成“”即可得到的展开式；
（3）根据题中式子的结构特征，将其恒等变形为，再结合（2）中得到的的展开式，即可得到答案．
【详解】解：（1）由题中规律可知，结合杨辉三角形：
，展开式共有5项，第三项（字母部分为）的系数是6，
故答案为：5 ，6；
（2）由题中规律可知，结合杨辉三角形：
；
将等式中的“”代换成“”，得到
；
故答案为：；；
（3）由（2）中可知，
．
【变式11-6】（24-25七年级下·安徽滁州·期中）综合与探究；
下面的式子均是多项式乘以多项式，其中第1个多项式都是；
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
…
【规律】（1）请根据规律，写出第4个等式：________________；
【猜想】（2）猜想：________（其中n为正整数，且）；
【应用】（3）利用（2）猜想的结论计算：．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】本题主要考查多项式乘法中的规律性问题，理解题意，发现规律是解题的关键．
（1）观察式子，发现式子的规律即可写出等式；
（2）根据式子的规律即可写出式子；
（3）把（2）中式子中的，，代入即可求解．
【详解】解：（1）
故答案为：；
（2）根据规律可得：
故答案为：；
（3）设（2）式中的，，，则有
即
∴，
∴．
【变式11-7】（24-25八年级上·辽宁大连·期末）在月历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，我们利用的方框在月历上框出一些数，选取方框中位于顶点处的4个数，设这4个数分别为，，，，计算“”的值，探索其运算结果的规律．
当时，如图1是2025年1月份的月历，小明在其中画出两个的方框，通过计算，；发现．
(1)请你再选择一个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律；
(2)请你利用整式的运算对小明发现的规律加以证明；
(3)请同学们利用小明的方法，借助2025年2月份的月历，继续进行如下探究．
①当时，如图2，在月历中用的方框框住位置上的4个数，探究“”的值的规律（直接写出结论，不用证明）；
②当时，如图3，若在月历中用的方框框住位置上的4个数，直接写出“”的值的规律；
(4)通过以上的探究过程，请你写出“”运算结果的一般规律（用含的式子表示）．
【答案】(1)符合(2)见解析(3)①；②(4)
【分析】本题考查多项式乘以多项式中的规律探究：
（1）利用8，9，15，16四个数进行验证即可；
（2）设框出的第一个数为，则剩下三个数为：，列式进行即可；
（3）①设框出的第一个数为，则剩下三个数为：，列式计算即可；
②设框出的第一个数为，则剩下三个数为：，列式计算即可；
（4）根据中的规律，推出相应的规律即可．
【详解】（1）解：选取8，9，15，16四个数字，则：；
故符合此规律；
（2）设框出的第一个数为，则剩下三个数为：，
∴；
（3）①设框出的第一个数为，则剩下三个数为：，
；
②设框出的第一个数为，则剩下三个数为：，
；
（4）当时，；
当时，；
当时，；
∴．
1．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）若，则为（ ）
A．3 B． C．5 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，熟知相关计算法则是解题的关键．根据多项式乘以多项式的计算法则求出即可得到答案．
【详解】解：∵，
，
∴，
∴，
故选：A．
2．（24-25七年级下·江苏南京·期中）观察图形，与相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是多项式的乘法与图形面积，根据图形面积关系可得，从而可得答案．
【详解】解：由长方形的面积可得：
图中长方形的面积为：或；
∴，
故选：C
3．（24-25九年级下·云南·期中）已知：无论取何值时，都成立，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了多项式乘以多项式的法则，根据题意，正确计算，进而求出，是解题关键．
先对原式进行多项式乘以多项式，得出，，再将化成，再代入即可求解．
【详解】解：，
∴，
∴，
，，
．
故选：B．
4．（2025·江苏淮安·一模）如图，在同一平面内，正方形A的边长为，矩形的两边长为和，将正方形A在这个平面内移动的过程中，矩形被正方形A覆盖后剩余部分的面积为S，则S的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握整式的运算是解题的关键；由题意易得当正方形A完全进入矩形B中，S有最小值，然后问题可求解．
【详解】解：由题意得：当正方形A完全进入矩形B中，S有最小值，即为：
；
故选A．
5．（2025·河北廊坊·二模）若，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】本题考查了同底数幂相乘，底数不变，指数相加的知识，掌握以上知识是解答本题的关键；
本体根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加的知识，先分别对等号左右两边进行化简，然后得到，然后即可求解
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∴，即；
∴，
故选：D
6．（2025·黑龙江绥化·二模）定义一种新的运算：一般地，如果，那么x叫做以a为底N的对数，记作，于是，我们可探究出对数运算的性质：如果，且，，那么会有．求（ ）
A．19 B．21 C．16 D．40
【答案】B
【分析】本题是材料问题，考查了对数的定义及性质，幂的运算性质，理解题中对数的定义及性质是解题的关键与难点．把化为，再结合新定义可得答案．
【详解】解：∵，
∴
；
故选：B
7．（2025·安徽蚌埠·二模）若是正整数，且满足，则与的关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、有理数乘方的逆运算，熟练掌握各运算法则是解题关键．根据已知等式可得，则，由此即可得．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
8．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若，则a，b，c的大小关系是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了负整数指数幂，有理数的乘方．分别计算、、的值：比较大小可得，即可求解．
【详解】解：，，．
，即．
故选：D．
9．（24-25七年级下·浙江温州·期中）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图所示的“小熊幻圆”中，使得每个大圆圈上的四个数字的和都等于，若每个大圆圈上的四个数字的平方和分别记，且，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，根据题意可得，则，，所以，再结合，求出，然后对，即，最后代入求值即可，掌握完全平方公式的变形是解题的关键．
【详解】解：∵每个大圆圈上的四个数字的和都等于，
∴，
∴，，
设上面大圆圈四个数字的平方和记为，下面大圆圈四个数字的平方和记为，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
10．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）已知的计算结果中不含x的一次项，则a的值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了多项式乘法及对多项式“项”的概念的理解，要知道多项式中的每个单项式叫做多项式的项，先把多项式展开，然后令的一次项系数等于0，再解方程即可．
【详解】解：多项式不含的一次项，
，
解得．
故答案为：2．
11．（24-25七年级下·四川雅安·期中）已知，，那么P Q ．（填“”或“”或“”　）
【答案】
【分析】本题考查了实数的大小比较，同底数幂的乘法，积的乘方逆运算，掌握运算法则是解题的关键．利用作差法得到，再根据积的乘方逆运算化简计算．
【详解】解：
，
∴
故答案为：．
12．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）形如的式子叫作二阶行列式，它的运算法则为．例如．按照这种运算规定，计算 ．
【答案】
【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握相关知识是解题的关键．根据二阶行列式的运算法则求解即可；
【详解】解：根据题意可得：
，
故答案为：．
13．（2025·西藏日喀则·一模）若m，n为实数，且，则的值为
【答案】1
【分析】本题考查非负数的性质，负整数指数幂，根据平方式和算术平方数的非负数求得m、n值，再根据负整数指数幂的法则求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：1．
14．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）利用可求某些整式的最值．例如，，由知，当时，多项式有最小值．对于多项式，当 时，有最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，平方的非负性，掌握完全平方公式的结构特征是解题关键．将多项式变形成，再结合求解即可．
【详解】解：，
由知，当时，多项式有最小值，
故答案为：；．
15．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）如图是学校劳动基地的平面示意图，则图中阴影部分的面积是 ．（用含的代数式表示）
【答案】
【分析】本题考查了列代数式，以及整式的乘法、加减，解答本题的关键是掌握长方形的面积公式和合并同类项的方法．
用整个大长方形的面积减去两个空白长方形的面积，再进行计算即可．
【详解】解：，
，
，
，
故答案为：．
16．（24-25七年级下·陕西西安·期中）先化简，再求值：，其中，
【答案】，
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式，单项式乘以多项式的计算法则去小括号，然后合并同类项，再计算多项式除以单项式化简，最后代值计算即可得到答案．
【详解】解：
，
当，时，原式．
17．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以．
(1)根据上述规定，计算：______，______；
(2)记，，．探究、、三者之间的等量关系，并给出理由；
(3)若，则______．
【答案】(1)，
(2)，理由见解析
(3)
【分析】本题主要考查乘方，负整数指数幂，同底数幂的乘法，掌握其运算法则是关键．
（1）根据乘方，负整数指数幂的计算求解即可；
（2）根据幂的乘方运算的逆运算法则计算即可；
（3）根据题意，设，得到若，则，根据同底数幂的乘法运算代入计算即可求解．
【详解】（1）解：，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：，理由如下，
记，，，
，
，
，
，
；
（3）解：如果，那么我们规定，
设，
，
若，则，
，
，即，
故答案为：．
18．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）探究代数式的最小值时，我们可以这样处理：
因为，
所以当时，的值最小，最小值是0．
所以．
所以当时，的值最小，最小值是1．
所以的最小值是1．
依据上述方法，解决下列问题：
(1)当________时，有最小值是________；
(2)多项式有最________（填“大”或“小”）值，该值为________；
(3)已知，求的最小值；
【答案】(1)，(2)大，(3)的最小值是．
【分析】本题考查了完全平方公式的实际应用，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．
（1）化成完全平方公式和的形式计算即可；
（2）化成完全平方公式和的形式计算即可；
（3）把原式化成再利用完全平方公式计算即可．
【详解】（1）解：
∵
∴当时，的值最小，最小值是0．
∴．
∴当时，的值最小，最小值是．
∴的最小值是．
故答案为：，；
（2）解：
∵，
∴当时，的值最大，最大值是0．
∴．
∴当时，的值最大，最大值是．
故答案为：大，；
（3）解：∵，
，
∴，
∵，
∴当时，的值最小，最小值是0．
∴．
∴当时，的值最小，最小值是．
∴的最小值是．中小学教育资源及组卷应用平台
【精准提分】专题07 整式的乘法（一）（浙教2024）
【9个基础题型+2个压轴题型】
【基础题型一】根据整式的乘除判断式子是否正确 1
【基础题型二】科学记数法中相关计算 2
【基础题型三】幂的运算中比较大小 3
【基础题型四】整式乘除选填题中相关计算 4
【基础题型五】幂的运算以及逆运算的应用 5
【基础题型六】整式乘除计算题 6
【基础题型七】（x+p）（x+q）型多项式乘法 8
【基础题型八】多项式中化简求值（计算题） 8
【基础题型九】多项式乘法中面积问题 9
【压轴题型十】多项式乘法中实践类问题 12
【压轴题型十一】多项式乘法中找规律类题型 18
【基础题型一】根据整式的乘除判断式子是否正确
例题1（2025年广西壮族自治区南宁市初中毕业班质量调研（二）数学试卷）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（2025·云南楚雄·二模）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】下列计算中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【变式1-3】下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-4】下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-5】（2025·广东广州·二模）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-6】（2025·山西大同·模拟预测）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【基础题型二】科学记数法中相关计算
例题2（2025·河南焦作·三模）经过近60年的发展，我国已建成目前世界上技术手段最为完 备的国家授时系统，授时精度从开始的毫秒级（千分之一秒）到了如今的百皮秒级（百亿分之一秒），提高了7个数量级，处于世界领先水平．已知1秒毫秒，1毫秒皮秒，则10秒等于（ ）
A．皮秒 B．皮秒 C．皮秒 D．皮秒
【变式2-1】（2023·河南周口·三模）2022年10月9日，我国发射“夸父一号”科学卫星对太阳进行探测．这次发射“夸父一号”将利用太阳活动峰年的契机对太阳进行观测．地球的体积约为立方千米，太阳的体积约为地球体积的倍，则太阳的体积是（　　）立方千米．
A． B． C．1.4 × 10 D．1.4× 10
【变式2-2】（2025·北京海淀·一模）为进一步提高义务教育质量，某地区今年义务教育财政预算支出比去年上调了．已知该地区去年的义务教育财政预算支出约为元，则今年的义务教育财政预算支出约为（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
【变式2-3】（2023·河北石家庄·模拟预测）神舟号飞船离地飞行速度约为每秒，则飞船离地飞行1分钟的路程约为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-4】（2025·河南南阳·一模）“白色污染”的主要来源有食品包装袋、泡沫塑料填充物等．已知一个塑料快餐盒的污染面积为，如果30万名游客每人丢弃一个快餐盒，那么造成污染的最大面积用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【变式2-5】（23-24九年级下·山西大同·期末）月球到地球的平均距离约为千米，而地球到太阳的平均距离约是月球到地球的平均距离的390倍，由此可知，地球到太阳的平均距离约是（ ）
A．千米 B．千米
C．千米 D．千米
【基础题型三】幂的运算中比较大小
例题3（2025·河南焦作·二模）已知，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（24-25七年级下·江西吉安·期中）已知，，，，则a、b、c、d的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【变式3-2】（24-25八年级上·广西南宁·期中）已知，，，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-3】（2025·陕西延安·二模）计算：（　　）
A．2 B． C．2 D．
【变式3-4】（24-25七年级下·安徽宣城·期中）若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-5】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）比较大小： ．（使用以下四种符号“，，，”进行填空）
【变式3-6】（24-25七年级下·宁夏银川·期中）已知，，则a，b，c的大小关系为 （用“”连接）．
【变式3-7】（24-25七年级下·江苏南京·期中）比较大小： ．（填“＞”，“＜”或“＝”）
【变式3-8】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知，，，则a，b，c的关系是 ，（用“”连接）
【基础题型四】整式乘除选填题中相关计算
例题4（2025·河南新乡·二模）计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（24-25七年级下·安徽宣城·期中）已知（，，是整数），则可能的值的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【变式4-2】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）若，则的值是（ ）
A．2 B．1 C． D．
【变式4-3】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）已知，则的值等于（ ）
A． B．2 C．8 D．7
【变式4-4】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）计算 ．
【变式4-5】（2025·河北保定·一模）若，其中，都是大于1的整数，，则 ．
【变式4-6】（24-25七年级下·河南郑州·期中）计算： ．
【变式4-7】（24-25七年级下·广西桂林·期中）计算：的结果是 ．
【基础题型五】幂的运算以及逆运算的应用
例题5（24-25七年级下·宁夏银川·期中）已知，则的值是 ．
【变式5-1】（2025·江苏无锡·一模）若，则 ．
【变式5-2】（23-24七年级下·全国·期末）已知，则 ．
【变式5-3】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知，则代数式的值为 ．
【变式5-4】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）若x，y均为正数，，则与之间的数量关系为 ．
【变式5-5】（23-24八年级上·河南周口·期末）已知，，，那么，，满足的等量关系是 ．
【变式5-6】（24-25七年级下·江苏常州·期中）（1）若，写出、、之间的数量关系，并说明理由；
（2）已知，求的值．
【变式5-6】（24-25八年级上·辽宁营口·期中）（1）已知，，，求，，之间的数量关系．
（2）已知是正整数，且，求的值．
【变式5-7】（24-25八年级上·河南商丘·期末）若（且，m，n是正整数），则．试利用该结论解决下列问题：
(1)若，求x的值；
(2)若，求x的值．
【基础题型六】整式乘除计算题
例题6（24-25七年级下·全国·期末）计算：
(1)；
(2)．
【变式6-1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）计算：．
【变式6-2】（24-25七年级下·全国·期中）计算：
(1)；
(2)．
【变式6-3】（24-25七年级下·全国·期中）计算：
(1)；
(2)．
【变式6-4】（24-25七年级下·全国·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)（n是整数，）．
【变式6-5】（24-25七年级下·全国·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式6-6】（23-24七年级下·全国·期末）计算：
(1)；
(2)．
【基础题型七】（x+p）（x+q）型多项式乘法
例题7（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）若（a、b、c为常数），则 ．
【变式7-1】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）若，则 ．（填“、或”）
【变式7-2】（24-25七年级下·福建漳州·期中）若成立，且、、均为整数，则满足条件的的值有 个．
【变式7-3】（23-24八年级上·湖北随州·期末）若m，n为常数，多项式可因式分解为，则的值为 ．
【基础题型八】多项式中化简求值（计算题）
例题8（24-25七年级下·江苏无锡·期中）先化简，再求值：，其中．
【变式8-1】（24-25七年级下·安徽淮北·期中）先化简，再求值：其中．
【变式8-2】（24-25七年级下·江苏南京·期中）先化简，再求值，其中．
【变式8-3】（24-25七年级下·广西梧州·期中）先化简，再求值：，其中．
【变式8-4】（2025七年级下·全国·期中）先化简，再求值：
(1)已知，求的值；
(2)，其中．
【变式8-5】（24-25七年级下·全国·期中）先化简，再求值：
(1)，其中；
(2)，其中，．
【变式8-6】（24-25七年级上·四川成都·期末）先化简，再求值：，且单项式与是同类项．
【基础题型九】多项式乘法中面积问题
例题9（24-25七年级下·安徽宣城·期中）如图是某路口的导向指示牌．已知该指示牌长为，宽为，
(1)求箭头部分的面积并化简．
(2)当，时，请计算箭头部分的面积．
【变式9-1】（24-25七年级下·江西赣州·期中）某小区有一块长为米、宽为米的长方形空地，现要美化这块空地，在上面修建如图所示的“T”型花圃（阴影部分），在花圃内种花草．

(1)用含x，y的式子表示“T”型花画的面积并化简．
(2)当时，求“T”型花画的面积．
【变式9-2】（24-25六年级下·山东济南·期中）如图，某中学校园内有一块长为，宽为的大长方形地块，学校计划在中间留一块长为，宽为2b的小长方形地块修建一座雕像，然后将阴影部分进行绿化．
(1)求大长方形地块的面积（用含a、b的代数式表示）；
(2)求小长方形地块的面积（用含a、b的代数式表示）；
(3)当，时，求绿化部分的面积．
【变式9-3】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，山西某小区准备在一个长为米，宽为米的矩形草坪上修建两条宽为a米的小道，其余部分用来种植花草．
(1)求种植花草的面积；
(2)当时，求种植花草的面积．
【变式9-4】（24-25七年级下·河南周口·期中）2025年2月10日，南水北调东线一期工程正式启动本年度调水工作，计划向黄河以北调水1.51亿立方米．如图，某段河道的横截面是梯形，已知上底的长度为，下底的长度为，河道的最大高度为．
(1)求河道横截面的面积；
(2)经测量得出，那么长的南水北调的河道最多可以蓄水多少立方米？（棱柱的体积棱柱的底面积高）
【变式9-5】（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）如图，某长方形商业街区分为五部分，其中两块大小相同的长方形区域为餐饮区，两块大小相同的正方形区域为购物区，中间正方形区域为休息娱乐区．已知区域的边长为米，区域的边长为米．
(1)请用含，的式子表示该长方形商业街区的总面积；
(2)若，，求该长方形商业街区的总面积．
【变式9-6】（24-25八年级上·四川资阳·期末）如图，某学校的广场上有一块长为米，宽为米的长方形地块．中间有一块边长为米的正方形雕像，周围剩余部分（阴影部分）种植了绿化，请回答以下问题：
(1)绿化的面积是多少？
(2)若，使代数式的值与的取值无关，求绿化面积的值．
【压轴题型十】多项式乘法中实践类问题
例题10（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图1，现有三种类型的卡片：
1号卡片：边长为a的正方形卡片；
2号卡片：边长为b的正方形卡片；
3号卡片：相邻两边分别为a、b的长方形卡片，其中．
(1)填空：如图2，选取1号卡片1张、2号卡片2张、3号卡片3张，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），运用面积之间的关系说明图中所表示的数学等式：_______．
(2)填空：小明同学想用x张1号卡片，y张2号卡片，z张3号卡片拼出一个面积为的长方形，那么的值为_______．
(3)将某些卡片按照下列两种情形分别放入一个长方形盒子的底部，经测得盒子底部的长方形的长比宽多4．
情形一：将1张1号卡片和1张3号卡片如图3放置，两张卡片的相邻两边分别与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为．
情形二：将1张1号片和1张2号卡片如图4放置，两张卡片各有一边与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为．
如果，求2号卡片的边长．
【变式10-1】（24-25七年级下·全国·期中）如图①，有A，B，C，D四种不同型号的卡片，每种卡片各有2张．A型卡片是相邻两边长分别为a，b的长方形，B型卡片是相邻两边长分别为a，c的长方形，C型卡片是相邻两边长分别为c，d的长方形，D型卡片是相邻两边长分别为b，d的长方形．从中取若干张卡片（每种卡片至少取1张），把取出的这些卡片拼成一个长方形（注：a，b，c，d各不相等）．
(1)在图②，图③中画出拼得的两种长方形的示意图（所拼的图中既不能有缝隙，也不能有重合部分）．
(2)图②中，长方形的面积既可以表示为_______，又可以表示为_______，所以可得等式：_______．图③中，长方形的面积既可以表示为_______，又可以表示为_______，所以可得等式：_______．
(3)除了图②和图③，你觉得还可以拼出多少种不同的长方形？说说你的想法．
【变式10-2】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图可以得到．请解答下列问题：
(1)图中所表示的数学等式为 ；利用所得到的结论，解决问题：已知，，求的值；
(2)小红同学用张边长为的正方形，张边长为的正方形，张两边长分别为的长方形纸片拼出了一个大长方形，大长方形的长和宽分别为、，求的值；
(3)小丽同学用张边长为的正方形，张边长为的正方形，张两边分别为的长方形纸片拼出了一个长方形，请求出该长方形较长一边的长．
【变式10-3】（24-25八年级上·山西朔州·期末）实践教学：
某校同学在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院，同学们对于哪个建筑的占地面积（图中阴影）更大展开了讨论．
①组的同学认为图1中回字形福建土楼的占地面积更大；
②组的同学认为图2中山西大院的占地面积更大．
数据采集：
为了证明自己的想法是正确的，两组同学分别对建筑物进行了数据测量，数据如图所示．
数据应用：
(1)请分别计算这两个建筑物的占地面积；
(2)若，则__________组同学的想法正确．（填“①”或“②”）
【变式10-4】（24-25八年级上·内蒙古乌海·期末）【阅读材料】
“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法.比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．
【方法应用】
根据以上材料提供的方法，回答下列问题：
(1)由图2可得等式： ；
(2)由图3可得等式： ；
(3)利用图3得到的结论，解决问题：已知，求的值．
【变式10-5】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图形的割补加以说明．
(1)【方法理解】
已知长方形的周长是20，设长方形的一边长是，则相邻一边长是．
①当时，如图1将此长方形进行如下割补．如图2，长方形的一边长是，相邻一边长是________．如图3，将长方形割补到长方形的右侧，阴影部分是一个边长为_________的正方形（以上两空，均用含的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式、25、满足的等量关系是______________，从而可得；
②当时，类似上述过程进行割补，同理可得；
③当时，该长方形即为正方形，此时．
综上分析，周长是20的长方形的最大面积是25；
(2)【方法迁移】
当时，仿照上述割补过程，求代数式的最大值．
【变式10-6】（2025七年级下·全国·期中）现定义了一种新运算“，对于任意有理数a，b，c，d，规定，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如：．
请解答下列问题
(1)填空：______；
(2)若的代数式中不含x的一次项时，求n的值；
(3)求的值，其中；
(4)如图1，小长方形长为a，宽为b，用5张图1中的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形内，其中，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左下角长方形的面积为，右上角长方形的面积为．当，求的值．
【变式10-7】（24-25八年级上·北京·期中）【知识回顾】
我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值．
通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0．
具体解题过程是：原式，
代数式的值与x的取值无关，
，解．
【理解应用】
（1）若关于x的代数式的值与x的取值无关，则m值为_________．
（2）已知，且的值与x的取值无关，求m的值．
【能力提升】
（3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
【压轴题型十一】多项式乘法中找规律类题型
例题11（24-25九年级下·海南海口·期中）（综合与实践）
杨辉三角是将数字按规律排成的三角形数表，由南宋数学家杨辉记载于《详解九章算法》．其每行两端数字为1，中间数等于上方两数之和，还与二项式展开系数对应，蕴含诸多数学规律与性质．
(1)写出杨辉三角第6行的数字：_________．
(2)杨辉三角第n行数字之和是：_________，并求出第10行数字之和=_______．
(3)求展开式中的系数；
(4)若把杨辉三角从第1行开始，每一行的数字依次排列成一个多位数，如第1行为1，第2行为11，第3行为121，第4行为1331，以此类推．求第8个这样的多位数除以11的余数．
【变式11-1】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）从特殊到一般是我们发现规律的一种常用思想方法． 现在我们来研究一类十位数字相同、个位数字之和为的两位数乘两位数．
(1)首先来研究特殊情况：两个十位数字都是1、并且个位数字之和是10的两位数乘法，观察下列等式：
…
①仿照上述等式，写出 ；
②探究规律
根据以上的观察、计算，你能发现两个十位数字都是的两位数，并且个位数字之和是的两位数乘法有什么规律，用等式进行表示．并说明这个等式成立；
(2)拓展：
现在来看一般情况：如果十位数字是相同的任意整数，个位数字之和是的两位数乘两位数，上述的规律是否成立？请说明理由；
(3)推广应用： ．
【变式11-2】（23-24八年级上·广西河池·期末）【知识背景】我国著名数学家华罗庚曾在给青少年撰写的“数学是我国人民所擅长的学科”一文中谈到，我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列．他说：“实际上我们祖国伟大人民在人类史上，有过无比睿智的成就．”其中“杨辉三角”就是一例．在我国南宋数学家杨辉（约 13 世纪）所著的《详解九章算术》（1261 年）一书中，用三角形形状排列数字解释二项和的乘方规律．杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050 年左右）也用过上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”．
【知识解读】杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．
【知识应用】阅读材料，完成填空：
（1） （）
（2）
（3）
（4）
（5） ．
（6）请写出展开式： ．
【迁移应用】利用杨辉三角，计算114值．（要求写出解答过程）
【变式11-3】（24-25七年级下·江西景德镇·期中）【课本再现】我国南宋数学家杨辉在他年的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”．如图，此图揭示了（为非负整数）、展开式的项数及各项系数的一些相关规律．
如果将（为非负整数）的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到以下等式：
，它只有一项，系数为；
，它有两项，系数分别为，；
，它有三项，系数分别为，，；
，它有四项，系数分别为，，，；
请你根据以上信息解答下列问题：
【探索发现】你能根据以上数表得到的展开式吗 并利用多项式乘法法则验证你的结果是否正确；
【拓展探究】的展开式共有______项，系数和为______；
【实践应用】请你利用以上规律计算：
【变式11-4】（24-25七年级下·江苏连云港·期中）下图是我国南宋数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出的“杨辉三角”，揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律．
根据以上规律，解答下列问题：
(1)的展开式中共有______项，其中第三项是______；
(2)利用表中规律计算：；（不按照规律计算不得分）
(3)设，在等式中当时，可得的值为_______，从而可求得的值为_______．
【变式11-5】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）【阅读理解】
苏科版数学七年级下册课本第44页的“阅读”中介绍了“杨辉三角”．“杨辉三角”是我国古代数学的杰出研究成果之一，它揭示了二项式乘方展开式的规律，在欧洲，这个图表叫做“帕斯卡三角”．帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比我国迟了近了600年．如图，是杨辉三角的一部分（两条斜边上的数都是1，其余每个数为它上方（左右）的两数之和），它把二项式乘方展开式系数图形化，它可以指导我们按规律写出形如（为正整数）展开式各项的系数，请你仔细观察下列等式中的规律，并利用杨辉三角解决下列问题．
…
【初步感知】
（1）按以上规则，展开式共有____项，第三项（字母部分为）的系数是____；
【拓展推广】
（2）我们在对的推演过程中，是将中的“”代换成“”，可得；利用杨辉三角，写出的展开式___________；进而写出的展开式___________；
【迁移应用】
（3）根据以上规律计算
．
【变式11-6】（24-25七年级下·安徽滁州·期中）综合与探究；
下面的式子均是多项式乘以多项式，其中第1个多项式都是；
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
…
【规律】（1）请根据规律，写出第4个等式：________________；
【猜想】（2）猜想：________（其中n为正整数，且）；
【应用】（3）利用（2）猜想的结论计算：．
【变式11-7】（24-25八年级上·辽宁大连·期末）在月历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，我们利用的方框在月历上框出一些数，选取方框中位于顶点处的4个数，设这4个数分别为，，，，计算“”的值，探索其运算结果的规律．
当时，如图1是2025年1月份的月历，小明在其中画出两个的方框，通过计算，；发现．
(1)请你再选择一个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律；
(2)请你利用整式的运算对小明发现的规律加以证明；
(3)请同学们利用小明的方法，借助2025年2月份的月历，继续进行如下探究．
①当时，如图2，在月历中用的方框框住位置上的4个数，探究“”的值的规律（直接写出结论，不用证明）；
②当时，如图3，若在月历中用的方框框住位置上的4个数，直接写出“”的值的规律；
(4)通过以上的探究过程，请你写出“”运算结果的一般规律（用含的式子表示）．
1．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）若，则为（ ）
A．3 B． C．5 D．
2．（24-25七年级下·江苏南京·期中）观察图形，与相等的是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25九年级下·云南·期中）已知：无论取何值时，都成立，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·江苏淮安·一模）如图，在同一平面内，正方形A的边长为，矩形的两边长为和，将正方形A在这个平面内移动的过程中，矩形被正方形A覆盖后剩余部分的面积为S，则S的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·河北廊坊·二模）若，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2025·黑龙江绥化·二模）定义一种新的运算：一般地，如果，那么x叫做以a为底N的对数，记作，于是，我们可探究出对数运算的性质：如果，且，，那么会有．求（ ）
A．19 B．21 C．16 D．40
7．（2025·安徽蚌埠·二模）若是正整数，且满足，则与的关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若，则a，b，c的大小关系是（　　）
A． B．
C． D．
9．（24-25七年级下·浙江温州·期中）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图所示的“小熊幻圆”中，使得每个大圆圈上的四个数字的和都等于，若每个大圆圈上的四个数字的平方和分别记，且，则的值为（　　）
A． B． C． D．
10．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）已知的计算结果中不含x的一次项，则a的值为 ．
11．（24-25七年级下·四川雅安·期中）已知，，那么P Q ．（填“”或“”或“”　）
12．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）形如的式子叫作二阶行列式，它的运算法则为．例如．按照这种运算规定，计算 ．
13．（2025·西藏日喀则·一模）若m，n为实数，且，则的值为
14．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）利用可求某些整式的最值．例如，，由知，当时，多项式有最小值．对于多项式，当 时，有最小值是 ．
15．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）如图是学校劳动基地的平面示意图，则图中阴影部分的面积是 ．（用含的代数式表示）
16．（24-25七年级下·陕西西安·期中）先化简，再求值：，其中，
17．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以．
(1)根据上述规定，计算：______，______；
(2)记，，．探究、、三者之间的等量关系，并给出理由；
(3)若，则______．
18．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）探究代数式的最小值时，我们可以这样处理：
因为，
所以当时，的值最小，最小值是0．
所以．
所以当时，的值最小，最小值是1．
所以的最小值是1．
依据上述方法，解决下列问题：
(1)当________时，有最小值是________；
(2)多项式有最________（填“大”或“小”）值，该值为________；
(3)已知，求的最小值；

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