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2025年普通高中学业水平选择性考试（模拟）
数 学 试 卷
本试题卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时150分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．设，向量，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．若，，则（ ）
A． B． C． D．
4．在正三棱台中，，，与平面ABC所成角为，则该三棱台的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．如图中，图象对应的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
6．设是数列的前项和，且，，则　　
A． B． C． D．
7．已知为坐标原点，直线过抛物线的焦点，与及其准线依次交于三点（其中点在之间），若，,则的面积是（ ）
A． B． C． D．
8．对于函数与，若存在，使，则称，是与图象的一对“隐对称点”．已知函数，，函数与的图象恰好存在两对“隐对称点”，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列选项正确的是（ ）
A．若随机变量，则
B．若随机变量，则
C．若随机变量服从分布，且，则
D．若随机变量满足，则
10．已知函数的定义域为，的导函数为，，，当时，，则（ ）
A．为偶函数 B．的图象关于点中心对称
C． D．
11．曲线的形状类似希腊字母“”，其方程为.若点在曲线上，，则（ ）
A．当在第一象限时，
B．当在第四象限时，
C．直线与曲线的所有交点的横坐标之和大于6
D．直线与曲线恰有4个公共点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．的展开式中的系数为 （用数字作答）
13．已知，，若对任意，都存在，使得，则实数a的取值范围为 .
14．如图，有一个触屏感应灯，该灯共有9个灯区，每个灯区都处于“点亮”或“熄灭”状态，触按其中一个灯区，将导致该灯区及相邻（上、下或左、右相邻）的灯区改变状态．假设起初所有灯区均处于“点亮”状态，若从中随机先后按下两个不同灯区，则灯区最终仍处于“点亮”状态的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分13分）在中，内角所对的边分别为．已知．
(1)求角的大小；
(2)若的角平分线与边相交于点，，求的周长．
16．（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，平面，，，，点在棱上.
(1)当为上靠近点的四等分点时，求证：平面；
(2)若直线与平面所成的角为，当为的中点时，求二面角的余弦值.
17．（本小题满分15分）某运动员为了解自己的运动技能水平，记录了自己1000次训练情况并将成绩（满分100分）统计如下表所示.
成绩区间
频数 100 200 300 240 160
(1)求上表中成绩的平均值及上四分位数（同一区间中的数据用该区间的中点值为代表）；
(2)该运动员用分层抽样的方式从的训练成绩中随机抽取了6次成绩，再从这6次成绩中随机选2次，设成绩落在区间的次数为X，求X的分布列及数学期望；
(3)对这1000次训练记录分析后，发现某项动作可以优化.优化成功后，原低于80分的成绩可以提高10分，原高于80分的无影响，优化失败则原成绩会降低10分，已知该运动员优化动作成功的概率为．在一次资格赛中，入围的成绩标准是80分.用样本估计总体的方法，求使得入围的可能性变大时p的取值范围.
18. （本小题满分17分）已知函数.
（1）求证：.
（2）若，，为的最大值，
（i）求的极小值；
（ii）设，，求证：.
19．（本小题满分17分）已知椭圆E的标准方程为：，在这个椭圆上取个点，这些点的坐标分别为，连接．
(1)若直线的斜率为，求椭圆E的离心率；
(2)证明的面积为定值，并求多边形的面积（用n表示）；
(3)若，线段的中点为M，证明：．2025年普通高中学业水平选择性考试（模拟）数学答案
A D A C D B B D
9．ABD 10．AB 11．BC
【详解】当时，可化为，为椭圆的两个焦点，则，A错误.当时，可化为，为双曲线的两个焦点，则，B正确.当时，可化为，所以点不可能在第三象限.当时，可化为，所以曲线由三段曲线组成，其图形如图所示，因为双曲线的渐近线方程为，所以直线与曲线无公共点.将代入，得，
由图可知直线与曲线有2个交点，则这2个交点的横坐标之和为，其中1个交点为.将代入，得，由图可知直线与曲线有2个交点，则这2个交点的横坐标之和为，其中1个交点为，
所以直线+4与曲线的所有交点的横坐标之和为，C正确.
结合双曲线与的渐近线的斜率，由图可知直线与曲线有2个公共点，与曲线只有1个公共点，与曲线没有公共点，所以直线与曲线恰有3个公共点，D错误.故选：BC
12．【答案】
13．【答案】【详解】由得，设，，则，当时，，则在上单调递增；当时，，则在上单调递减；所以.且当时，；当时，，故的值域为；设，，则，
当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增；所以，且当时，；当时，，
故的值域为；依题意，的值域是的值域的子集.显然，若，则的值域为，不合题意，舍去；若，则的值域，则需的值域，则，解得.综上，实数a的取值范围为.
14．【答案】【详解】从9个灯区中随机先后按下两个灯区，共有种按法．
与相邻的灯区为；与相邻的灯区为，故将9个灯区分为三类：第一类灯区，第二类灯区，第三类灯区．若要使得灯区最终仍处于“点亮”状态，则需在同类灯区中随机先后按两个不同灯区．①若先后按下的是两个灯区，则灯区最终仍处于“点亮”状态，共有种按法；②若先后按下的是灯区中的两个，则灯区最终仍处于“点亮”状态，共有种按法；
③若先后按下的是灯区中的两个，则灯区最终仍处于“点亮”状态，共有种按法．故灯区最终仍处于“点亮”状态的概率为．故答案为：．
15．【答案】(1)(2)
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，（1分），（2分），，（3分），即，（4分）
即，∴．（5分）又，；（6分，不写B的范围扣1分）
（2）因为的角平分线与边相交于点，所以，（7分）
即，（8分）所以，所以，（9分）
又由余弦定理，即，（10分）
所以，（11分）解得或（舍去），（12分）
所以.（13分）
16．【解】（1）如图，连接交于点，连接.
因为，所以∽，所以. ………2分
因为为上靠近点的四等分点，所以.因为，所以. ………4分因为平面平面，所以平面. ……6分
（2）因为平面，所以为与底面所成的角，所以.因为，所以.由题意得，又平面，所以两两垂直. ………7分
故以为坐标原点，以所在直线分别为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，
所以. …………9分
设平面的法向量为，则，即，令，则.11分
设平面的法向量为，则，
即， 令，则. 13分因为，……14分
所以二面角的余弦值为.…15分
17．【答案】(1)平均值为，上四分位数为；(2)分布列见解析，数学期望为；(3).
【详解】（1）依题意，平均值，
，
上四分位数落在区间，且等于.
（2）由样本数据可知，训练成绩在之内的频数之比为2:1，
由分层抽样的方法得，从训练成绩在中随机抽取了6次成绩，
在之内的4次，在之内的抽取了2次，
0 1 2
所以可取的值有：0，1，2，，，，
分布列为：
.
（3）法一：设事件分别表示动作优化前成绩落在区间，，，则相互互斥，所以动作优化前，
在一次资格赛中，入围的概率，
设事件B为＂动作优化成功＂，则，
动作优化后，在一次资格赛中，入围事件为：，且事件相互互斥，
所以在一次资格赛中入围的概率
，
故，
由解得，又的取值范围是.
法二：因为入围的成绩标准是80分，所以进行某项动作优化前，该运动员在资格赛中入围的概率为：，进行某项动作优化后，影响该运动员入围可能性变化的是落在区间或的成绩，当且仅当动作优化成功，落在这两个区间的成绩才能符合入围标准，
所以进行优化后，该运动员在资格赛中入围的概率，
由，得，又的取值范围是.
18．【答案】（1）证明见解析； （2）（i）0；（ii）证明见解析.
【小问1详解】令，定义域为，
则，
因为，所以，当时，恒成立，在上单调递增，
当时，恒成立，在上单调递减，故的最大值为，所以，所以.
【小问2详解】（i），定义域为，
，因为，所以当时，恒成立，在上单调递增，当时，恒成立，在上单调递减，故的最大值为，
所以，
因为函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，
因为，所以当时，恒成立，在上单调递减，
当时，恒成立，在上单调递增，
故的极小值为.
（ii）因为，
所以.
证明等价于证明.
当时，，假设当时，，
则当时，，所以当，时，，所以.
19．【答案】(1)(2)证明见解析，面积为(3)证明见解析
【详解】（1），所以直线的斜率为，所以，
所以椭圆C的离心率；
（2）证明：直线的方程为，
化简得，所以原点O到直线的距离而所以．同理可得
所以多边形的面积为；
（3）证明：设，所以
所以，即所以M的轨迹方程为一个椭圆，A，B是该椭圆的焦点，
设点的坐标可化为所以，
又因为所以
，
，，
因为，所以.

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