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四川省绵阳市2023-2024学年高二下学期期末教学质量测试数学试题
1．（2024高二下·绵阳期末）已知首项为的数列，满足，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：由题意可知，，
因为，
所以，
所以，.
故答案为：A.
【分析】根据已知的递推公式，从而求出的值，进而逐项判断找出正确的选项.
2．（2024高二下·绵阳期末）已知，则（　　）
A．32 B．64 C．127 D．128
【答案】D
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：因为，
令，可得.
故答案为：D.
【分析】令，从而代入计算可得的值.
3．（2024高二下·绵阳期末）现有名学生，每人从四大名著《水浒传》，《三国演义》，《西游记》，《红楼梦》中选择一种进行阅读，每人选择互不影响，则不同的选择方式有（　　）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：因为每人从四大名著《水浒传》，《三国演义》，《西游记》，《红楼梦》中
选择一种进行阅读有种选择，
根据分步计数原理可知，名学生进行选择，
共有种选择方式.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件结合分步乘法计数原理，从而得出不同的选择方式种数.
4．（2024高二下·绵阳期末）设等差数列的前项和为，已知，则（　　）
A．32 B．64 C．84 D．108
【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为，又因为，
所以，解得，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和等差数列下标和的性质，从而求出的值，再根据等差数列求和公式和下标和性质，从而计算可得等差数列的前7项的和.
5．（2024高二下·绵阳期末）已知为函数的导函数，如图所示，则的大致图象为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为，
所以单调递增，故选项B错误；
又因为在单调递减，
可以得出的切线斜率逐渐变小，
故选项A、选项C错误；选项D正确.
故答案为：D.
【分析】根据导函数正负判断函数的单调性，从而排除选项B；再根据导数的大小变化判断出选项A、选项C和选项D，从而找出函数的大致图象.
6．（2024高二下·绵阳期末）某市政道路两旁需要进行绿化，计划从甲，乙，丙三种树木中选择一种进行栽种，通过民意调查显示，赞成栽种乙树木的概率为，若从该地市民中随机选取4人进行访谈，则至少有3人建议栽种乙树木的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二项分布
【解析】【解答】解：赞成栽种乙树木的人数设为X，则，
根据二项分布概率公式知道至少有3人建议栽种乙树木的概率为：.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和二项分布求概率公式以及互斥事件加法求概率公式，从而得出至少有3人建议栽种乙树木的概率.
7．（2024高二下·绵阳期末）某高校派出5名学生去三家公司实习，每位同学只能前往一家公司实习，并且每个公司至少有一名同学前来实习，已知甲乙两名同学同时去同一家公司实习，则不同的安排方案有（　　）
A．48种 B．36种 C．24种 D．18种
【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：因为甲乙两名同学要求同时去同一家公司实习，
先安排甲乙，从三家公司中选一家公司共有3种选法；
剩下的3人分两类：第一类三个人去三个公司，一家公司一个人，共有种安排方法；
第二类三个人去除甲乙去的公司的另外两个公司，必有两个人去一家公司，
共有种安排方法，
所以，共有不同的安排方案有种.
故答案为：B.
【分析】先安排甲乙，共有3种安排，剩下的3人分两类：第一类三个人去三个公司；第二类是三个人去除甲乙去的公司的另外两个公司，再用分类加法计数原理和分步乘法计数原理，从而得出不同的安排方案种数.
8．（2024高二下·绵阳期末）已知函数，图象与x轴至少有一个公共点，则实数a的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理；函数极限
【解析】【解答】解：当时，若，显然，
否则若，就有，矛盾，
所以，
因为函数的值域为，
所以若方程有解，
则的取值范围为，
当时，若，
则，
设，则，
当时，；当时，，
所以，当时，单调递减；当时，单调递增，
当时，；当时，，
又因为，
所以的值域为，
又因为至少有一个零点，
所以，实数a的取值范围为.
故答案为：C.
【分析】对进行分类讨论，分离参数得出，
设，利用求导的方法判断函数的单调性，再结合函数的极限求出函数的值域，最后根据零点存在性定理和零点的个数，从而求出的取值范围.
9．（2024高二下·绵阳期末）庚续绵延鱼水情，军民携手谱新篇，绵阳市开展双拥百日宣传活动.某中学向全校学生征集“拥军优属，拥政爱民”主题作文，共收到500篇作品，由专业评委进行打分，满分100分，不低于60分为及格，不低于分为优秀，若征文得分（单位：分）近似服从正态分布，且及格率为，则下列说法正确的是（　　）
A．随机取1篇征文，则评分在内的概率为
B．已知优秀率为，则
C．越大，的值越小.
D．越小，评分在的概率越大
【答案】A,B,D
【知识点】正态密度曲线的特点；正态分布的期望与方差
【解析】【解答】解：对于A，由题意可知，，
由对称性可知，，故A正确；
对于B，由题意可知，，
因为，
所以，故B正确；
对于C，因为是该正态分布图象的对称轴，
所以，不会随的变化而变化，故C错误；
对于D，由对正态分布图象的影响可知，越小，图象越“瘦高”，
因此在区间对应图象的面积变大，
所以评分在的概率越大，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用正态分布对应的概率密度函数的图象和性质以及区间对应的图象的面积变化，从而逐项判断找出说法正确的选项.
10．（2024高二下·绵阳期末）已知、分别为随机事件、的对立事件，，， 则下列结论一定成立的是（　　）
A． B．
C．若，则 D．
【答案】C,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率
【解析】【解答】解：对于A：因为，，
若，则，
所以，
则，
但是不一定为，
则不一定为，故A错误；
对于B：因为，
故B错误；
对于C：因为，
所以，
所以，故C正确；
对于D：因为，，
所以，
所以，
则，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】利用已知条件和条件概率公式和独立事件乘法求概率公式，从而逐项判断找出结论一定成立的选项.
11．（2024高二下·绵阳期末）已知数列的前项和为，首项， 且满足， 下列结论正确的（　　）
A． B．数列是等比数列
C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【解答】解：因为，
所以，当为偶数时，；
当为奇数时，，
对于选项A，因为，
所以，，故选项A正确；
对于选项B，当，因为
得到，
又因为，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，故选项B正确；
对于选项C，由选项B可得，
则，
所以，故选项C正确；
对于选项D，因为，由选项C知：
得到，故选项D错误.
故答案为：ABC.
【分析】根据已知条件得到当为偶数时，；当为奇数时，，再利用判断出选项A；利用已知条件得到，则判断出选项B；利用选项B中的结果得到，从而得到，则判断出选项C；根据选项C中的结果，从而作差比较判断出选项D，进而找出结论正确的选项.
12．（2024高二下·绵阳期末）展开式中的常数项为　 　．
【答案】
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】，令，得，
∴常数项为．
【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再结合展开式中的通项公式得出 的展开式中的常数项。
13．（2024高二下·绵阳期末）已知随机变量的分布列如表：
1 2
若，则　 　
【答案】
【知识点】概率的基本性质；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：依题意，解得，
所以，
所以，则.
故答案为：.
【分析】利用随机变量分布列结合概率之和等于1和数学期望公式，从而求出、的值，进而求出的值，再根据方差的性质求出的值，从而求出的值.
14．（2024高二下·绵阳期末）若存在非负实数满足 （e为自然对数的底数），则的值为　 　.
【答案】4
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由题意，，
两边同时取以为底的对数，得，
可得，
因为都是非负实数，
所以，当且仅当时取等号，
所以，
所以，，
令，
则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
则，
又因为，
所以，此时，
又因为，
可得，
所以.
故答案为：.
【分析】将不等式两边取对数并化简，从而得到，再根据基本不等式求最值的方法，则，从而得到，再构造函数，求出函数的最小值，则根据的最小值为得到，从而得到的值，再结合解方程得出的值.
15．（2024高二下·绵阳期末）2024年7月将在法国巴黎举行第33届夏季奥林匹克运动会，首次把霹雳舞、冲浪、滑板和竞技攀岩列入比赛项目，其中霹虏舞是一种节奏感强烈、动作炫酷的舞蹈.已知某校高一年级有2名女生1名男生、高二年级有1名女生3名男生擅长霹雳舞，实力相当，学校随机从中选取4人组建校队参加市级比赛、设校队中女生人数为X.
（1）求校队中至少有2名高二年级同学的选法有多少种
（2）求X的分布列及均值.
【答案】（1）解：因为高二年级至少2名同学入选校队包括以下情况：
高二年级仅2名同学入选校队有种；
高二年级仅3名同学入选校队有种；
高二年级4名同学入选校队有种，
所以，高二年级至少2名同学入选校队共有18+12+1=31种选法.
（2）解：由题意可知，随机变量X的取值为0，1，2，3，
校队由0个女生4个男生组成时，，
校队由1个女生3个男生组成时，，
校队由2个女生2个男生组成时，，
校队由3个女生1个男生组成时，，
所以，随机变量X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
则随机变量X的均值为：．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；排列、组合的实际应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件，分高二年级有2名，3名，4名同学入学校队的种数，根据分类加法计数原理得出校队中至少有2名高二年级同学的选法种数.
（2）利用已知条件得出随机变量X的取值，利用超几何分布的概率公式得出随机变量X的分布列，从而得出随机变量X的数学期望.
（1）高二年级至少2名同学入选校队包括以下情况：
高二年级仅2名同学入选校队有种；
高二年级仅3名同学入选校队有种；
高二年级4名同学入选校队有种；
高二年级至少2名同学入选校队共有18+12+1=31种选法．
（2）由题意可知，随机变量X的取值为0，1，2，3，
校队由0个女生4个男生组成时，，
校队由1个女生3个男生组成时，，
校队由2个女生2个男生组成时，，
校队由3个女生1个男生组成时，，
所以，随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
随机变量X的均值为：．
16．（2024高二下·绵阳期末）已知函数.
（1）讨论的极值点；
（2）当时，是否存在实数a，使得在区间的最小值为0，且最大值为1 若存在，求出a的所有值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：因为，
令，则，，
①当a=0时，，
所以为增函数，故无极值点；
②当a>0时，当x变化时，及变化如下表：
x a
+ 0 0 +
递增 极大值 递减 极小值 递增
由此表可知的极值小点为，其极大值点 a；
③当a<0时，当x变化时，及变化如下表：
x a
+ 0 0 +
递增 极大值 递减 极小值 递增
由此表可知的极值小点为 a，其极大值点，
综上所述，当a=0时，无极值点；
当a>0时，的极值小点为，极大值点为 a；
当a<0时，的极值小点为 a，其极大值点．
（2）解：方法一：假设存在实数a，
使得在区间[0，1]的最小值为0，且最大值为1，
则[0，1]，；
由已知可得，，
则，
由（1）②可知，在区间[0，]上单调递减，在[，1]上单调递增，
∴，
∴，
∵，，
则成立，
解得：，
∵，
∴当时，，
则的最大值为，
综上所述，满足题意的．
方法二：假设存在实数a，使得在区间[0，1]的最小值为0，且最大值为1，
则[0，1]，，
由已知可得，，
则，
由（1）②可知，在区间[0，]上单调递减，在[，1]上单调递增，
∴，
∴，
∵，，
令，
则的零点为，且在上单调递增，
∵，
则，
∴当时，则成立，
所以，
则的最大值为，符合题意，
综上所述，．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）先求导得到两个导函数零点，再根据参数进行分类讨论，分三类讨论，从而列表判断函数的单调性，从而得出函数的极值.
（2）先结合第（1）题的结论求出的最小值，再建立关于a的方程，从而解方程建系验证，进而得出a的值.
（1），令，则，，
①当a=0时，，所以为增函数，故无极值点；
②当a>0时，当x变化时，及变化如下表：
x a
+ 0 0 +
递增 极大值 递减 极小值 递增
由此表可知的极值小点为，其极大值点 a；
③当a<0时，当x变化时，及变化如下表：
x a
+ 0 0 +
递增 极大值 递减 极小值 递增
由此表可知的极值小点为 a，其极大值点．
综上所述，当a=0时，无极值点；当a>0时，的极值小点为，极大值点
a；当a<0时，的极值小点为 a，其极大值点．
（2）方法一：假设存在实数a，使得在区间[0，1]的最小值为0，且最大值为1，
则[0，1]，；
由已知可得，，则，
由（1）②可知，在区间[0，]上单调递减，在[，1]上单调递增，
∴，
∴，
∵，，则成立，解得：，
∵，
∴当时，，即的最大值为，
综上所述，满足题意的．
方法二：假设存在实数a，使得在区间[0，1]的最小值为0，且最大值为1，
则[0，1]，；
由已知可得，，则，
由（1）②可知，在区间[0，]上单调递减，在[，1]上单调递增，
∴，
∴，
∵，，
令，则的零点为，且在上单调
递增，
∵，则，
∴当时，则成立，则，即的最大值为
，符合题意，
综上所述，．
17．（2024高二下·绵阳期末）已知数列满足，在数列中，，且对任意正整数都有.
（1）求数列， 的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）解：由，
可知当时，；
当时，因为，
所以，
两式相减得，，
则，
因为也满足上式，
所以；
又因为数列满足，且，
当时，可得
当时，也满足上式，
所以，数列的通项公式为.
（2）解：由（1）知，
，
所以
所以 两式相减得：，
，
所以．
【知识点】数列的求和；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件和递推式可得数列的通项公式，再利用“累加法”可得数列的通项公式.
（2）利用“错位相减法”结合等比数列前项和公式，从而得出数列的前项和.
（1）由，可知当时，；
当时，因为，
所以，
两式相减得，，
即，
因为也满足上式，
所以；
又数列满足，且，
当时，可得
，
当时，也满足上式，
所以数列的通项公式为；
（2）由（1）知，，
所以，
所以，
两式相减得：，
，
所以．
18．（2024高二下·绵阳期末）已知函数.
（1）若， 求曲线在点处的切线方程；
（2）若无零点，求实数的取值范围；
（3）若存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：当时，
则，
∴切线斜率为，
又因为，
∴所求切线方程为.
（2）解：方法一：因为函数的定义域是，
∴，
①若，则，在上单调递增，
所以，，
∵，，，则，
则仅有一个零点，且零点位于；
②当，则当时，；当时，，
所以在上单调递减，在单调递增，
因为的最小值为，
若时，，此时无零点；
若时，，此时仅有一个零点；
若时，，，
此时至少有一个零点，
综上所述，．
方法二：令，则，
设，则，
所以，当时，；当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴的最大值为，且当趋于时趋于，
依题意，与无交点，
所以，
∴要使在定义域上无零点，
则．
（3）解：因为，
所以问题转化为在区间有解，
令，则，
则
①当时，，
∴时，，在上单调递减，
此时，，不符合题意；
②当时，
∴时，，在上单调递减，
∴，
则当时，，符合题意；
③当时，
∴时，，在上单调递增；
时，，在上单调递减，
∴，，符合题意，
综上所述，．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）先求出导函数，结合导数的几何意义求出切线的斜率，再根据代入法得出切点坐标，则由点斜式方程求出曲线在点处的切线方程.
（2）利用两种方法求解.
方法一：先求出导函数，分、两种情况讨论，则由导数正负分别判断函数的单调性，再结合零点存在性定理得出实数a的取值范围.
方法二：依题意可得，设，利用导数判断函数的单调性，从而求出函数的最大值，再利用与无交点求出实数的取值范围.
（3）令，先求出导函数，分、、三种情况讨论，从而分别判断出函数的单调性，进而求出函数的最值，再由不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围.
（1）当时，则，
∴切线斜率为，又，
∴所求切线方程为；
（2）方法一：函数的定义域是，
∴，
①若，则，在上单调递增，
，，
∵，，，则，
则仅有一个零点，且零点位于；
②当，则当时，当时，
所以在上单调递减，在单调递增；
因为的最小值为，
若时，，此时无零点；
若时，，此时仅有一个零点；
若时，，，此时至少有一个零点；
综上所述，．
方法二：令，则，
设，则，
所以当时，当时，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴的最大值为，且当趋于时趋于，
依题意与无交点，所以，
∴要使在定义域上无零点，则．
（3）因为，
所以问题转化为在区间有解，
令，即，
则
①当时，，∴时，，在上单调递减，
此时，，不符合题意；
②当时，
∴时，，在上单调递减，
∴，即时，，符合题意；
③当时，
∴时，，在上单调递增；
时，，在上单调递减，
∴，，符合题意；
综上所述，．
19．（2024高二下·绵阳期末）已知新同学小王每天中午会在自己学校提供A、B两家餐厅中选择就餐，小王第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐、如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.4，如此往复.
（1）求小王第2天中午去A餐厅用餐的概率；
（2）求小王第i天中午去B餐厅用餐的概率；
（3）已知：若随机变量服从两点分布，
且，则.记前n次（即从第1次到第n次午餐）中小王去B餐厅用午餐的次数为Y，求.
【答案】（1）解：设事件表示：第天中午去A餐厅用餐，
事件：第i天中午去B餐厅用餐，其中，
则小王第2天中午去A餐厅用餐的概率为：
（2）解：设，
依题可知，，，
∵如果小王第1天中午去A餐厅，
那么第2天中午去A餐厅的概率为0.8，
则，而，
∴，
∵如果第1天中午去B餐厅，
那么第2天中午去A餐厅的概率为0.4，
∴.
由全概率公式可知，
则，
∴，
又因为，
∴数列是以为首项，以为公比的等比数列，
∴，
则.
（3）解：设王某第天去B餐厅的次数为，
则的所有可能取值为0，1，
当时表示王某第天没去B餐厅，
当时表示王某第i天去B餐厅，
∵，，
∴，
∵，，
∴当时，
，
所以，.
【知识点】等比数列的通项公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；全概率公式
【解析】【分析】（1）利用条件概率公式和全概率公式，从而得出小王第2天中午去A餐厅用餐的概率.
（2）利用全概率公式结合数列构造的知识，从而求解得出小王第i天中午去B餐厅用餐的概率.
（3）利用离散型随机变量分布列求数学期望的方法，再结合等比数列前n项和公式，从而得出.
（1）设事件表示：第天中午去A餐厅用餐，
事件：第i天中午去B餐厅用餐，其中，
则小王第2天中午去A餐厅用餐的概率为：.
（2）设，依题可知，，，
∵如果小王第1天中午去A餐厅，那么第2天中午去A餐厅的概率为0.8，
即，而，
∴，
∵如果第1天中午去B餐厅，那么第2天中午去A餐厅的概率为0.4，
∴.
由全概率公式可知，即，
∴，而，
∴数列是以为首项，以为公比的等比数列，
∴，即；
（3）设王某第天去B餐厅的次数为，则的所有可能取值为0，1，
当时表示王某第天没去B餐厅，当时表示王某第i天去B餐厅，
∵，，
∴，
∵，，
∴当时，，
故.
1 / 1四川省绵阳市2023-2024学年高二下学期期末教学质量测试数学试题
1．（2024高二下·绵阳期末）已知首项为的数列，满足，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2024高二下·绵阳期末）已知，则（　　）
A．32 B．64 C．127 D．128
3．（2024高二下·绵阳期末）现有名学生，每人从四大名著《水浒传》，《三国演义》，《西游记》，《红楼梦》中选择一种进行阅读，每人选择互不影响，则不同的选择方式有（　　）
A．种 B．种 C．种 D．种
4．（2024高二下·绵阳期末）设等差数列的前项和为，已知，则（　　）
A．32 B．64 C．84 D．108
5．（2024高二下·绵阳期末）已知为函数的导函数，如图所示，则的大致图象为（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024高二下·绵阳期末）某市政道路两旁需要进行绿化，计划从甲，乙，丙三种树木中选择一种进行栽种，通过民意调查显示，赞成栽种乙树木的概率为，若从该地市民中随机选取4人进行访谈，则至少有3人建议栽种乙树木的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·绵阳期末）某高校派出5名学生去三家公司实习，每位同学只能前往一家公司实习，并且每个公司至少有一名同学前来实习，已知甲乙两名同学同时去同一家公司实习，则不同的安排方案有（　　）
A．48种 B．36种 C．24种 D．18种
8．（2024高二下·绵阳期末）已知函数，图象与x轴至少有一个公共点，则实数a的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024高二下·绵阳期末）庚续绵延鱼水情，军民携手谱新篇，绵阳市开展双拥百日宣传活动.某中学向全校学生征集“拥军优属，拥政爱民”主题作文，共收到500篇作品，由专业评委进行打分，满分100分，不低于60分为及格，不低于分为优秀，若征文得分（单位：分）近似服从正态分布，且及格率为，则下列说法正确的是（　　）
A．随机取1篇征文，则评分在内的概率为
B．已知优秀率为，则
C．越大，的值越小.
D．越小，评分在的概率越大
10．（2024高二下·绵阳期末）已知、分别为随机事件、的对立事件，，， 则下列结论一定成立的是（　　）
A． B．
C．若，则 D．
11．（2024高二下·绵阳期末）已知数列的前项和为，首项， 且满足， 下列结论正确的（　　）
A． B．数列是等比数列
C． D．
12．（2024高二下·绵阳期末）展开式中的常数项为　 　．
13．（2024高二下·绵阳期末）已知随机变量的分布列如表：
1 2
若，则　 　
14．（2024高二下·绵阳期末）若存在非负实数满足 （e为自然对数的底数），则的值为　 　.
15．（2024高二下·绵阳期末）2024年7月将在法国巴黎举行第33届夏季奥林匹克运动会，首次把霹雳舞、冲浪、滑板和竞技攀岩列入比赛项目，其中霹虏舞是一种节奏感强烈、动作炫酷的舞蹈.已知某校高一年级有2名女生1名男生、高二年级有1名女生3名男生擅长霹雳舞，实力相当，学校随机从中选取4人组建校队参加市级比赛、设校队中女生人数为X.
（1）求校队中至少有2名高二年级同学的选法有多少种
（2）求X的分布列及均值.
16．（2024高二下·绵阳期末）已知函数.
（1）讨论的极值点；
（2）当时，是否存在实数a，使得在区间的最小值为0，且最大值为1 若存在，求出a的所有值；若不存在，请说明理由.
17．（2024高二下·绵阳期末）已知数列满足，在数列中，，且对任意正整数都有.
（1）求数列， 的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
18．（2024高二下·绵阳期末）已知函数.
（1）若， 求曲线在点处的切线方程；
（2）若无零点，求实数的取值范围；
（3）若存在，使得成立，求实数的取值范围.
19．（2024高二下·绵阳期末）已知新同学小王每天中午会在自己学校提供A、B两家餐厅中选择就餐，小王第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐、如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.4，如此往复.
（1）求小王第2天中午去A餐厅用餐的概率；
（2）求小王第i天中午去B餐厅用餐的概率；
（3）已知：若随机变量服从两点分布，
且，则.记前n次（即从第1次到第n次午餐）中小王去B餐厅用午餐的次数为Y，求.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：由题意可知，，
因为，
所以，
所以，.
故答案为：A.
【分析】根据已知的递推公式，从而求出的值，进而逐项判断找出正确的选项.
2．【答案】D
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：因为，
令，可得.
故答案为：D.
【分析】令，从而代入计算可得的值.
3．【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：因为每人从四大名著《水浒传》，《三国演义》，《西游记》，《红楼梦》中
选择一种进行阅读有种选择，
根据分步计数原理可知，名学生进行选择，
共有种选择方式.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件结合分步乘法计数原理，从而得出不同的选择方式种数.
4．【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为，又因为，
所以，解得，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和等差数列下标和的性质，从而求出的值，再根据等差数列求和公式和下标和性质，从而计算可得等差数列的前7项的和.
5．【答案】D
【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为，
所以单调递增，故选项B错误；
又因为在单调递减，
可以得出的切线斜率逐渐变小，
故选项A、选项C错误；选项D正确.
故答案为：D.
【分析】根据导函数正负判断函数的单调性，从而排除选项B；再根据导数的大小变化判断出选项A、选项C和选项D，从而找出函数的大致图象.
6．【答案】D
【知识点】二项分布
【解析】【解答】解：赞成栽种乙树木的人数设为X，则，
根据二项分布概率公式知道至少有3人建议栽种乙树木的概率为：.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和二项分布求概率公式以及互斥事件加法求概率公式，从而得出至少有3人建议栽种乙树木的概率.
7．【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：因为甲乙两名同学要求同时去同一家公司实习，
先安排甲乙，从三家公司中选一家公司共有3种选法；
剩下的3人分两类：第一类三个人去三个公司，一家公司一个人，共有种安排方法；
第二类三个人去除甲乙去的公司的另外两个公司，必有两个人去一家公司，
共有种安排方法，
所以，共有不同的安排方案有种.
故答案为：B.
【分析】先安排甲乙，共有3种安排，剩下的3人分两类：第一类三个人去三个公司；第二类是三个人去除甲乙去的公司的另外两个公司，再用分类加法计数原理和分步乘法计数原理，从而得出不同的安排方案种数.
8．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理；函数极限
【解析】【解答】解：当时，若，显然，
否则若，就有，矛盾，
所以，
因为函数的值域为，
所以若方程有解，
则的取值范围为，
当时，若，
则，
设，则，
当时，；当时，，
所以，当时，单调递减；当时，单调递增，
当时，；当时，，
又因为，
所以的值域为，
又因为至少有一个零点，
所以，实数a的取值范围为.
故答案为：C.
【分析】对进行分类讨论，分离参数得出，
设，利用求导的方法判断函数的单调性，再结合函数的极限求出函数的值域，最后根据零点存在性定理和零点的个数，从而求出的取值范围.
9．【答案】A,B,D
【知识点】正态密度曲线的特点；正态分布的期望与方差
【解析】【解答】解：对于A，由题意可知，，
由对称性可知，，故A正确；
对于B，由题意可知，，
因为，
所以，故B正确；
对于C，因为是该正态分布图象的对称轴，
所以，不会随的变化而变化，故C错误；
对于D，由对正态分布图象的影响可知，越小，图象越“瘦高”，
因此在区间对应图象的面积变大，
所以评分在的概率越大，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用正态分布对应的概率密度函数的图象和性质以及区间对应的图象的面积变化，从而逐项判断找出说法正确的选项.
10．【答案】C,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率
【解析】【解答】解：对于A：因为，，
若，则，
所以，
则，
但是不一定为，
则不一定为，故A错误；
对于B：因为，
故B错误；
对于C：因为，
所以，
所以，故C正确；
对于D：因为，，
所以，
所以，
则，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】利用已知条件和条件概率公式和独立事件乘法求概率公式，从而逐项判断找出结论一定成立的选项.
11．【答案】A,B,C
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【解答】解：因为，
所以，当为偶数时，；
当为奇数时，，
对于选项A，因为，
所以，，故选项A正确；
对于选项B，当，因为
得到，
又因为，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，故选项B正确；
对于选项C，由选项B可得，
则，
所以，故选项C正确；
对于选项D，因为，由选项C知：
得到，故选项D错误.
故答案为：ABC.
【分析】根据已知条件得到当为偶数时，；当为奇数时，，再利用判断出选项A；利用已知条件得到，则判断出选项B；利用选项B中的结果得到，从而得到，则判断出选项C；根据选项C中的结果，从而作差比较判断出选项D，进而找出结论正确的选项.
12．【答案】
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】，令，得，
∴常数项为．
【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再结合展开式中的通项公式得出 的展开式中的常数项。
13．【答案】
【知识点】概率的基本性质；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：依题意，解得，
所以，
所以，则.
故答案为：.
【分析】利用随机变量分布列结合概率之和等于1和数学期望公式，从而求出、的值，进而求出的值，再根据方差的性质求出的值，从而求出的值.
14．【答案】4
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由题意，，
两边同时取以为底的对数，得，
可得，
因为都是非负实数，
所以，当且仅当时取等号，
所以，
所以，，
令，
则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
则，
又因为，
所以，此时，
又因为，
可得，
所以.
故答案为：.
【分析】将不等式两边取对数并化简，从而得到，再根据基本不等式求最值的方法，则，从而得到，再构造函数，求出函数的最小值，则根据的最小值为得到，从而得到的值，再结合解方程得出的值.
15．【答案】（1）解：因为高二年级至少2名同学入选校队包括以下情况：
高二年级仅2名同学入选校队有种；
高二年级仅3名同学入选校队有种；
高二年级4名同学入选校队有种，
所以，高二年级至少2名同学入选校队共有18+12+1=31种选法.
（2）解：由题意可知，随机变量X的取值为0，1，2，3，
校队由0个女生4个男生组成时，，
校队由1个女生3个男生组成时，，
校队由2个女生2个男生组成时，，
校队由3个女生1个男生组成时，，
所以，随机变量X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
则随机变量X的均值为：．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；排列、组合的实际应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件，分高二年级有2名，3名，4名同学入学校队的种数，根据分类加法计数原理得出校队中至少有2名高二年级同学的选法种数.
（2）利用已知条件得出随机变量X的取值，利用超几何分布的概率公式得出随机变量X的分布列，从而得出随机变量X的数学期望.
（1）高二年级至少2名同学入选校队包括以下情况：
高二年级仅2名同学入选校队有种；
高二年级仅3名同学入选校队有种；
高二年级4名同学入选校队有种；
高二年级至少2名同学入选校队共有18+12+1=31种选法．
（2）由题意可知，随机变量X的取值为0，1，2，3，
校队由0个女生4个男生组成时，，
校队由1个女生3个男生组成时，，
校队由2个女生2个男生组成时，，
校队由3个女生1个男生组成时，，
所以，随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
随机变量X的均值为：．
16．【答案】（1）解：因为，
令，则，，
①当a=0时，，
所以为增函数，故无极值点；
②当a>0时，当x变化时，及变化如下表：
x a
+ 0 0 +
递增 极大值 递减 极小值 递增
由此表可知的极值小点为，其极大值点 a；
③当a<0时，当x变化时，及变化如下表：
x a
+ 0 0 +
递增 极大值 递减 极小值 递增
由此表可知的极值小点为 a，其极大值点，
综上所述，当a=0时，无极值点；
当a>0时，的极值小点为，极大值点为 a；
当a<0时，的极值小点为 a，其极大值点．
（2）解：方法一：假设存在实数a，
使得在区间[0，1]的最小值为0，且最大值为1，
则[0，1]，；
由已知可得，，
则，
由（1）②可知，在区间[0，]上单调递减，在[，1]上单调递增，
∴，
∴，
∵，，
则成立，
解得：，
∵，
∴当时，，
则的最大值为，
综上所述，满足题意的．
方法二：假设存在实数a，使得在区间[0，1]的最小值为0，且最大值为1，
则[0，1]，，
由已知可得，，
则，
由（1）②可知，在区间[0，]上单调递减，在[，1]上单调递增，
∴，
∴，
∵，，
令，
则的零点为，且在上单调递增，
∵，
则，
∴当时，则成立，
所以，
则的最大值为，符合题意，
综上所述，．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）先求导得到两个导函数零点，再根据参数进行分类讨论，分三类讨论，从而列表判断函数的单调性，从而得出函数的极值.
（2）先结合第（1）题的结论求出的最小值，再建立关于a的方程，从而解方程建系验证，进而得出a的值.
（1），令，则，，
①当a=0时，，所以为增函数，故无极值点；
②当a>0时，当x变化时，及变化如下表：
x a
+ 0 0 +
递增 极大值 递减 极小值 递增
由此表可知的极值小点为，其极大值点 a；
③当a<0时，当x变化时，及变化如下表：
x a
+ 0 0 +
递增 极大值 递减 极小值 递增
由此表可知的极值小点为 a，其极大值点．
综上所述，当a=0时，无极值点；当a>0时，的极值小点为，极大值点
a；当a<0时，的极值小点为 a，其极大值点．
（2）方法一：假设存在实数a，使得在区间[0，1]的最小值为0，且最大值为1，
则[0，1]，；
由已知可得，，则，
由（1）②可知，在区间[0，]上单调递减，在[，1]上单调递增，
∴，
∴，
∵，，则成立，解得：，
∵，
∴当时，，即的最大值为，
综上所述，满足题意的．
方法二：假设存在实数a，使得在区间[0，1]的最小值为0，且最大值为1，
则[0，1]，；
由已知可得，，则，
由（1）②可知，在区间[0，]上单调递减，在[，1]上单调递增，
∴，
∴，
∵，，
令，则的零点为，且在上单调
递增，
∵，则，
∴当时，则成立，则，即的最大值为
，符合题意，
综上所述，．
17．【答案】（1）解：由，
可知当时，；
当时，因为，
所以，
两式相减得，，
则，
因为也满足上式，
所以；
又因为数列满足，且，
当时，可得
当时，也满足上式，
所以，数列的通项公式为.
（2）解：由（1）知，
，
所以
所以 两式相减得：，
，
所以．
【知识点】数列的求和；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件和递推式可得数列的通项公式，再利用“累加法”可得数列的通项公式.
（2）利用“错位相减法”结合等比数列前项和公式，从而得出数列的前项和.
（1）由，可知当时，；
当时，因为，
所以，
两式相减得，，
即，
因为也满足上式，
所以；
又数列满足，且，
当时，可得
，
当时，也满足上式，
所以数列的通项公式为；
（2）由（1）知，，
所以，
所以，
两式相减得：，
，
所以．
18．【答案】（1）解：当时，
则，
∴切线斜率为，
又因为，
∴所求切线方程为.
（2）解：方法一：因为函数的定义域是，
∴，
①若，则，在上单调递增，
所以，，
∵，，，则，
则仅有一个零点，且零点位于；
②当，则当时，；当时，，
所以在上单调递减，在单调递增，
因为的最小值为，
若时，，此时无零点；
若时，，此时仅有一个零点；
若时，，，
此时至少有一个零点，
综上所述，．
方法二：令，则，
设，则，
所以，当时，；当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴的最大值为，且当趋于时趋于，
依题意，与无交点，
所以，
∴要使在定义域上无零点，
则．
（3）解：因为，
所以问题转化为在区间有解，
令，则，
则
①当时，，
∴时，，在上单调递减，
此时，，不符合题意；
②当时，
∴时，，在上单调递减，
∴，
则当时，，符合题意；
③当时，
∴时，，在上单调递增；
时，，在上单调递减，
∴，，符合题意，
综上所述，．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）先求出导函数，结合导数的几何意义求出切线的斜率，再根据代入法得出切点坐标，则由点斜式方程求出曲线在点处的切线方程.
（2）利用两种方法求解.
方法一：先求出导函数，分、两种情况讨论，则由导数正负分别判断函数的单调性，再结合零点存在性定理得出实数a的取值范围.
方法二：依题意可得，设，利用导数判断函数的单调性，从而求出函数的最大值，再利用与无交点求出实数的取值范围.
（3）令，先求出导函数，分、、三种情况讨论，从而分别判断出函数的单调性，进而求出函数的最值，再由不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围.
（1）当时，则，
∴切线斜率为，又，
∴所求切线方程为；
（2）方法一：函数的定义域是，
∴，
①若，则，在上单调递增，
，，
∵，，，则，
则仅有一个零点，且零点位于；
②当，则当时，当时，
所以在上单调递减，在单调递增；
因为的最小值为，
若时，，此时无零点；
若时，，此时仅有一个零点；
若时，，，此时至少有一个零点；
综上所述，．
方法二：令，则，
设，则，
所以当时，当时，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴的最大值为，且当趋于时趋于，
依题意与无交点，所以，
∴要使在定义域上无零点，则．
（3）因为，
所以问题转化为在区间有解，
令，即，
则
①当时，，∴时，，在上单调递减，
此时，，不符合题意；
②当时，
∴时，，在上单调递减，
∴，即时，，符合题意；
③当时，
∴时，，在上单调递增；
时，，在上单调递减，
∴，，符合题意；
综上所述，．
19．【答案】（1）解：设事件表示：第天中午去A餐厅用餐，
事件：第i天中午去B餐厅用餐，其中，
则小王第2天中午去A餐厅用餐的概率为：
（2）解：设，
依题可知，，，
∵如果小王第1天中午去A餐厅，
那么第2天中午去A餐厅的概率为0.8，
则，而，
∴，
∵如果第1天中午去B餐厅，
那么第2天中午去A餐厅的概率为0.4，
∴.
由全概率公式可知，
则，
∴，
又因为，
∴数列是以为首项，以为公比的等比数列，
∴，
则.
（3）解：设王某第天去B餐厅的次数为，
则的所有可能取值为0，1，
当时表示王某第天没去B餐厅，
当时表示王某第i天去B餐厅，
∵，，
∴，
∵，，
∴当时，
，
所以，.
【知识点】等比数列的通项公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；全概率公式
【解析】【分析】（1）利用条件概率公式和全概率公式，从而得出小王第2天中午去A餐厅用餐的概率.
（2）利用全概率公式结合数列构造的知识，从而求解得出小王第i天中午去B餐厅用餐的概率.
（3）利用离散型随机变量分布列求数学期望的方法，再结合等比数列前n项和公式，从而得出.
（1）设事件表示：第天中午去A餐厅用餐，
事件：第i天中午去B餐厅用餐，其中，
则小王第2天中午去A餐厅用餐的概率为：.
（2）设，依题可知，，，
∵如果小王第1天中午去A餐厅，那么第2天中午去A餐厅的概率为0.8，
即，而，
∴，
∵如果第1天中午去B餐厅，那么第2天中午去A餐厅的概率为0.4，
∴.
由全概率公式可知，即，
∴，而，
∴数列是以为首项，以为公比的等比数列，
∴，即；
（3）设王某第天去B餐厅的次数为，则的所有可能取值为0，1，
当时表示王某第天没去B餐厅，当时表示王某第i天去B餐厅，
∵，，
∴，
∵，，
∴当时，，
故.
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