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云南省红河州文山州2023-2024学年高一下学期7月期末学业质量监测数学试题
1．（2024高一下·红河期末）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高一下·红河期末）已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高一下·红河期末）若角的终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高一下·红河期末）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024高一下·红河期末）已知甲盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，乙盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，现从甲 乙两盒中分别随机摸出1个小球，记事件“摸到的两个小球标号相同”，事件“摸到的两个小球标号之和为奇数”，则（ ）
A．事件A和相等 B．事件A和互相对立
C．事件A和相互独立 D．事件A和互斥
6．（2024高一下·红河期末）若，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高一下·红河期末）在物理学中，若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度与时间满足关系，其中，一名同学以初速度竖直上拋一排球，排球能够在拋出点以上的位置最多停留（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高一下·红河期末）设，若关于的方程恰有5个不同实数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高一下·红河期末）已知向量，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．与的夹角余弦值为
D．在方向上的投影向量为
10．（2024高一下·红河期末）下列命题为真命题的有（ ）
A．若幂函数的图象过点，则该函数为增函数
B．“”的否定是“”
C．“”是“”的必要不充分条件
D．在上有且仅有2个零点，则的取值范围是
11．（2024高一下·红河期末）一块正方体形木料如图所示，棱长为，点在线段上，且，过点将木料锯开，使得截面过，则（ ）
A．
B．截得的两个几何体分别是三棱柱和四棱台
C．截面的面积为
D．以为球心，为半径的球面与截面的交线长为
12．（2024高一下·红河期末）正四棱锥各棱长均为2，则它的体积为 .
13．（2024高一下·红河期末）某工厂有职工850名，其中女职工510名，为了解该工厂职工的身体健康情况，抽查50名职工，若采用分层随机抽样的方法，则抽取的男职工人数为 .
14．（2024高一下·红河期末）某景区的平面图如图所示，其中为两条公路，为公路上的两个景点，测得，为了拓展旅游业务，拟在景区内建一个观景台，为了获得最佳观景效果，要求对的视角.现需要从观景台到建造两条观光路线，则观光线路的取值范围为 .
15．（2024高一下·红河期末）用下面两个条件中的一个补全如下函数：
__________，回答相关问题.
条件①：；条件②：.
（1）求函数的最小正周期及单调递减区间；
（2）将函数图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数的对称轴方程.
注：如果两个条件都作答，则按第一个条件计分.
16．（2024高一下·红河期末）1992年，公安部发出通知，将每年的11月9日定为“119消防宣传日”.通过消防宣传日的设立，旨在提醒全民关注消防安全，学习消防知识，提高自救互救能力，减少火灾事故的发生.某高中学校为增强学生的消防安全意识，组织本校高一 高二共800名学生参加“消防安全，在我心中”的知识竞赛，现从每个年级分别随机抽取10名学生的竞赛成绩如下：
高一： 90 85 82 85 97 83 88 95 90 85
高二： 83 90 97 88 95 85 95 85 80 82
（1）请根据以上20个数据，估计此次参赛学生成绩的第60百分位数 众数和平均数；
（2）若规定95分及以上为一等奖，从一等奖的学生中任选2人作为宣讲代表，则这2人中至少有1人来自高一年级的概率是多少？
17．（2024高一下·红河期末）已知中，所对边分别为，其外接圆的半径为2，且.
（1）求；
（2）若的面积为，求.
18．（2024高一下·红河期末）如图，平面且是的中点.
（1）求证：平面；
（2）若，求与平面所成角的大小.
19．（2024高一下·红河期末）已知函数，且.
（1）判断函数的奇偶性；
（2）若，试判断函数的单调性.并求使不等式在上恒成立的的取值范围；
（3）若，且在上的最小值为，求的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：集合，则.
故答案为：C.
【分析】根据集合的交集定义直接求解即可.
2．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：，则.
故答案为：D.
【分析】根据复数代数形式的除法运算求出复数，再利用共轭复数的意义求解即可.
3．【答案】B
【知识点】二倍角的余弦公式；任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解： 若角的终边过点， 则，
.
故答案为：B.
【分析】根据任意角三角函数值的定义求得的值，再利用余弦的二倍角公式结合同角三角函数基本关系求解即可.
4．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；指数函数的概念与表示；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：函数的定义域为R，满足，则函数是奇函数，当，解得，则函数有唯一零点，即的图象与x轴仅只一个交点.
故答案为：A.
【分析】先求函数的定义域，再判断函数的奇偶性及零点个数判断即可.
5．【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：由题意，分别表示甲 乙两盒中分别随机摸出1个小球的标号，用表示每次取球的结果，易知样本空间；
事件；事件，
A、因为，所以事件A和不相等，故A错误；
BD、因为事件，
所以事件A和互斥，事件A和不互相对立，故B错误，D正确；
C、因为，
则，
显然，所以事件A和不相互独立，故C错误.
故答案为：D.
【分析】列举出样本空间、事件和事件，即可判断A；根据互斥事件、对立事件的概念分析即可判断BD；根据事件概率乘法公式分析即可判断C.
6．【答案】B
【知识点】指数函数单调性的应用；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：易知，
，，则.
故答案为：B.
【分析】利用指数函数、对数函数的性质比较大小即可.
7．【答案】C
【知识点】一元二次不等式的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可得：，
令，则，解得，
则排球能够在拋出点以上的位置最多停留秒.
故答案为：C.
【分析】由题意可得，令，解一元二次不等式即可.
8．【答案】B
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：方程整理可得，
解得或，
函数在上单调递增，函数值的集合为，在上单调递减，函数值的集合为，在上单调递增，函数值的集合为，
在同一坐标系内，作出直线与函数的图象，如图所示：
由图可知：直线与函数的图象有两个交点，
由关于的方程恰有5个不同实数解，
可得直线与函数的图象有3个交点，，
则实数的取值范围是.
故答案为：B.
【分析】化方程为或，分析函数的性质，再利用数形结合法求的范围即可.
9．【答案】B,C,D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；数量积表示两个向量的夹角；平面向量的投影向量；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解： 向量，
A、由，可得与不平行，故A错误；
B、易知，，则，故B正确；
C、，，
则，故C正确；
D、在方向上的投影向量为，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用向量减法、平行、垂直、夹角余弦值、投影向量的计算方法计算即可.
10．【答案】A,C
【知识点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断；幂函数的概念与表示；二倍角的正切公式
【解析】【解答】解：A、设幂函数，由题意可得：，解得，则是R上的增函数，故A正确；
B、“”的否定是“”，故B错误；
C、由，可得，则，
由，可得，解得或，
则“”是“”的必要不充分条件，故C正确；
D、当时，，由题意可得，
解得，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】求出幂函数解析式即可判断A；求出存在量词命题的否定即可判断B；求出值，结合充分条件、必要条件的定义即可判断C；列式求出的范围即可判断D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】棱柱的结构特征；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：A、是正方体的对角面，则四边形为矩形，，由平面，平面，得，而，
平面，则平面，
又平面，因此，故A正确；
B、过点作直线平行于交分别于，连接，
显然，则四边形为过点及直线的正方体的截面，
截得的两个几何体分别是三棱柱和四棱柱，故B错误；
C、由选项B得，则，，
因此截面矩形面积，故C正确；
D、过作于，由平面，平面，
得，而平面，则平面，
因此为以为球心，为半径的球面被平面所截小圆圆心，
球面与截面的交线为以为圆心，为半径的半圆弧，显然，
，因此交线长为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用线面垂直的判定、性质推理即可判断A；作出截面，结合球的截面小圆性质即可判断BCD.
12．【答案】
【知识点】棱锥的结构特征；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：正四棱锥，设，如图所示：
易知顶点在底面的投影为点，，
则正四棱锥的体积.
故答案为：.
【分析】根据正四棱锥的结构特征可得其高为，在根据锥体的体积公式求解即可.
13．【答案】20
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：易知该工厂的男职工有340名，根据分层抽样可知，抽样比为，
则抽取的男职工人数为.
故答案为：20.
【分析】利用分层抽样计算即可.
14．【答案】
【知识点】简单的三角恒等变换；解三角形；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：在中，由余弦定理得，
在中，设，
由正弦定理
，
可得，
则
，
因为，所以，
则长的取值范围是（单位：）.
故答案为：.
【分析】设，利用余弦定理求出，再利用正弦定理表示出，借助三角恒等变换及三角函数性质求取值范围即可.
15．【答案】（1）解：选条件①、函数，
则函数的最小正周期；
令，解得，
则函数的单调递减区间是；
选条件②、函数，
则函数的最小正周期；
令，解得，
则函数的单调递减区间是；
（2）解：由（1）知，根据三角函数图象的平移变换可得：，
令，解得，
则函数的对称轴方程为.
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【分析】（1）选条件①，利用诱导公式、二倍角的正弦及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解即可；
选条件②，利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解即可；
（2）由题意，求出函数，再利用正弦函数的对称性求解即可.
（1）选条件①，，
所以函数的最小正周期；
由，解得，
所以函数的单调递减区间是.
选条件②，，
所以函数的最小正周期；
由，解得，
所以函数的单调递减区间是.
（2）由（1）知，，
由，得
所以函数的对称轴方程为.
16．【答案】（1）解：先将20个数据由小到大排列为：80，82，82，83，83，85，85，85，85，85，88，88，90，90，90，95，95，
95，97，97，，则参赛学生成绩的第60百分位数为；
估计此次参赛学生成绩的众数为85；
平均数为；
（2）解：成绩在95分及以上的有5人，来自高一年级的有2人，记为，来自高二年级的3人记为，
从5人中任选2人的样本空间，共10个样本点，
2人中至少有1人来自高一年级的事件，共7个样本点，
则这2人中至少有1人来自高一年级的概率.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）先将20个数据由小到大排列，按第60百分位数 众数和平均数的意义分别计算即可；
（2）利用列举法结合古典概型概率公式求概率即可.
（1）把20个数据由小到大排列为80，82，82，83，83，85，85，85，85，85，88，88，90，90，90，95，95，95，97，97，
由，得估计此次参赛学生成绩的第60百分位数为；
估计此次参赛学生成绩的众数为85；
平均数为.
（2）成绩在95分及以上的有5人，来自高一年级的有2人，记为，来自高二年级的3人记为，
从5人中任选2人的样本空间，共10个样本点，
2人中至少有1人来自高一年级的事件，共7个样本点，
所以这2人中至少有1人来自高一年级的概率.
17．【答案】（1）解：，由正弦定理可得，
由余弦定理得，因为，所以，
由正弦定理得；
（2）解：由的面积为，可得，则，
由，得，解得，则或，
当时，，；
当时，，
故或.
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由题意，利用正弦定理，结合余弦定理求解即可；
（3）利用三角形面积公式，结合（1）的结论求解即可.
（1）在中，由及正弦定理，得，
由余弦定理得，而，则，
由正弦定理得.
（2）由的面积为，得，则，
由，得，解得，解得或，
当时，，则，当时，，
所以或.
18．【答案】（1）证明：取中点，连接，如图所示：
则，四边形为平行四边形，，
而平面，平面，则平面，
由是的中点，得，而平面，平面，则平面，
又因为平面，所以平面平面，
又因为平面，所以平面；
（2）解：由（1）知，，平面，则平面，而平面，
则，由，得，而平面，
于是平面，又平面，则平面平面，
显然，取的中点，连接，
则，又平面平面，平面，
于是平面，是直线与平面所成的角，
而，则，在中，，，
所以与平面所成角的大小为.
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）取中点，连接，利用线面平行的判定、面面平行的判定性质推理即可；
（2）利用线面垂直的判定、面面垂直的判定性质确定与平面所成的角，再计算即可.
（1）取中点，连接，则，四边形为平行四边形，
于是，而平面，平面，则平面，
由是的中点，得，而平面，平面，则平面，
又平面，因此平面平面，而平面，
所以平面.
（2）由（1）知，，又平面，则平面，而平面，
则，由，得，而平面，
于是平面，又平面，则平面平面，
显然，取的中点，连接，
则，又平面平面，平面，
于是平面，是直线与平面所成的角，
而，则，在中，，，
所以与平面所成角的大小为.
19．【答案】（1）解：函数的定义域为R，满足，
则函数是奇函数；
（2）解：由，，得，则，显然函数，在R上单调递增，
则函数是R上的增函数，
不等式，
则，，，
，当且仅当时取等号，则，
故的取值范围是；
（3）解：由，得，而，解得，则，
，
令，由（2）知，函数是R上的增函数，当时，，
，当时，函数在上单调递增，
当时，，解得与矛盾；
当时，时，，则，
所以.
【知识点】函数的奇偶性；函数恒成立问题；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【分析】（1）利用奇偶性定义判断即可；
（2）由，得，结合指数函数单调性判断的单调性，再脱去法则“f”，分离参数借助基本不等式求最小值即可；
（3）求出值，换元并构造函数，求出新函数的定义域，再结合二次函数最值分类讨论求解即可.
（1）函数的定义域为R，，
所以函数是奇函数.
（2）由，，得，则，显然函数，在R上单调递增，
因此函数是R上的增函数，
不等式，
则，，，
于是，当且仅当时取等号，因此，
所以的取值范围是.
（3）由，得，而，解得，则，
，
令，由（2）知，函数是R上的增函数，当时，，
，当时，函数在上单调递增，
当时，，解得与矛盾；
当时，时，，则，
所以.
1 / 1云南省红河州文山州2023-2024学年高一下学期7月期末学业质量监测数学试题
1．（2024高一下·红河期末）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：集合，则.
故答案为：C.
【分析】根据集合的交集定义直接求解即可.
2．（2024高一下·红河期末）已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：，则.
故答案为：D.
【分析】根据复数代数形式的除法运算求出复数，再利用共轭复数的意义求解即可.
3．（2024高一下·红河期末）若角的终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二倍角的余弦公式；任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解： 若角的终边过点， 则，
.
故答案为：B.
【分析】根据任意角三角函数值的定义求得的值，再利用余弦的二倍角公式结合同角三角函数基本关系求解即可.
4．（2024高一下·红河期末）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；指数函数的概念与表示；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：函数的定义域为R，满足，则函数是奇函数，当，解得，则函数有唯一零点，即的图象与x轴仅只一个交点.
故答案为：A.
【分析】先求函数的定义域，再判断函数的奇偶性及零点个数判断即可.
5．（2024高一下·红河期末）已知甲盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，乙盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，现从甲 乙两盒中分别随机摸出1个小球，记事件“摸到的两个小球标号相同”，事件“摸到的两个小球标号之和为奇数”，则（ ）
A．事件A和相等 B．事件A和互相对立
C．事件A和相互独立 D．事件A和互斥
【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：由题意，分别表示甲 乙两盒中分别随机摸出1个小球的标号，用表示每次取球的结果，易知样本空间；
事件；事件，
A、因为，所以事件A和不相等，故A错误；
BD、因为事件，
所以事件A和互斥，事件A和不互相对立，故B错误，D正确；
C、因为，
则，
显然，所以事件A和不相互独立，故C错误.
故答案为：D.
【分析】列举出样本空间、事件和事件，即可判断A；根据互斥事件、对立事件的概念分析即可判断BD；根据事件概率乘法公式分析即可判断C.
6．（2024高一下·红河期末）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】指数函数单调性的应用；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：易知，
，，则.
故答案为：B.
【分析】利用指数函数、对数函数的性质比较大小即可.
7．（2024高一下·红河期末）在物理学中，若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度与时间满足关系，其中，一名同学以初速度竖直上拋一排球，排球能够在拋出点以上的位置最多停留（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次不等式的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可得：，
令，则，解得，
则排球能够在拋出点以上的位置最多停留秒.
故答案为：C.
【分析】由题意可得，令，解一元二次不等式即可.
8．（2024高一下·红河期末）设，若关于的方程恰有5个不同实数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：方程整理可得，
解得或，
函数在上单调递增，函数值的集合为，在上单调递减，函数值的集合为，在上单调递增，函数值的集合为，
在同一坐标系内，作出直线与函数的图象，如图所示：
由图可知：直线与函数的图象有两个交点，
由关于的方程恰有5个不同实数解，
可得直线与函数的图象有3个交点，，
则实数的取值范围是.
故答案为：B.
【分析】化方程为或，分析函数的性质，再利用数形结合法求的范围即可.
9．（2024高一下·红河期末）已知向量，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．与的夹角余弦值为
D．在方向上的投影向量为
【答案】B,C,D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；数量积表示两个向量的夹角；平面向量的投影向量；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解： 向量，
A、由，可得与不平行，故A错误；
B、易知，，则，故B正确；
C、，，
则，故C正确；
D、在方向上的投影向量为，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用向量减法、平行、垂直、夹角余弦值、投影向量的计算方法计算即可.
10．（2024高一下·红河期末）下列命题为真命题的有（ ）
A．若幂函数的图象过点，则该函数为增函数
B．“”的否定是“”
C．“”是“”的必要不充分条件
D．在上有且仅有2个零点，则的取值范围是
【答案】A,C
【知识点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断；幂函数的概念与表示；二倍角的正切公式
【解析】【解答】解：A、设幂函数，由题意可得：，解得，则是R上的增函数，故A正确；
B、“”的否定是“”，故B错误；
C、由，可得，则，
由，可得，解得或，
则“”是“”的必要不充分条件，故C正确；
D、当时，，由题意可得，
解得，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】求出幂函数解析式即可判断A；求出存在量词命题的否定即可判断B；求出值，结合充分条件、必要条件的定义即可判断C；列式求出的范围即可判断D.
11．（2024高一下·红河期末）一块正方体形木料如图所示，棱长为，点在线段上，且，过点将木料锯开，使得截面过，则（ ）
A．
B．截得的两个几何体分别是三棱柱和四棱台
C．截面的面积为
D．以为球心，为半径的球面与截面的交线长为
【答案】A,C,D
【知识点】棱柱的结构特征；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：A、是正方体的对角面，则四边形为矩形，，由平面，平面，得，而，
平面，则平面，
又平面，因此，故A正确；
B、过点作直线平行于交分别于，连接，
显然，则四边形为过点及直线的正方体的截面，
截得的两个几何体分别是三棱柱和四棱柱，故B错误；
C、由选项B得，则，，
因此截面矩形面积，故C正确；
D、过作于，由平面，平面，
得，而平面，则平面，
因此为以为球心，为半径的球面被平面所截小圆圆心，
球面与截面的交线为以为圆心，为半径的半圆弧，显然，
，因此交线长为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用线面垂直的判定、性质推理即可判断A；作出截面，结合球的截面小圆性质即可判断BCD.
12．（2024高一下·红河期末）正四棱锥各棱长均为2，则它的体积为 .
【答案】
【知识点】棱锥的结构特征；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：正四棱锥，设，如图所示：
易知顶点在底面的投影为点，，
则正四棱锥的体积.
故答案为：.
【分析】根据正四棱锥的结构特征可得其高为，在根据锥体的体积公式求解即可.
13．（2024高一下·红河期末）某工厂有职工850名，其中女职工510名，为了解该工厂职工的身体健康情况，抽查50名职工，若采用分层随机抽样的方法，则抽取的男职工人数为 .
【答案】20
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：易知该工厂的男职工有340名，根据分层抽样可知，抽样比为，
则抽取的男职工人数为.
故答案为：20.
【分析】利用分层抽样计算即可.
14．（2024高一下·红河期末）某景区的平面图如图所示，其中为两条公路，为公路上的两个景点，测得，为了拓展旅游业务，拟在景区内建一个观景台，为了获得最佳观景效果，要求对的视角.现需要从观景台到建造两条观光路线，则观光线路的取值范围为 .
【答案】
【知识点】简单的三角恒等变换；解三角形；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：在中，由余弦定理得，
在中，设，
由正弦定理
，
可得，
则
，
因为，所以，
则长的取值范围是（单位：）.
故答案为：.
【分析】设，利用余弦定理求出，再利用正弦定理表示出，借助三角恒等变换及三角函数性质求取值范围即可.
15．（2024高一下·红河期末）用下面两个条件中的一个补全如下函数：
__________，回答相关问题.
条件①：；条件②：.
（1）求函数的最小正周期及单调递减区间；
（2）将函数图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数的对称轴方程.
注：如果两个条件都作答，则按第一个条件计分.
【答案】（1）解：选条件①、函数，
则函数的最小正周期；
令，解得，
则函数的单调递减区间是；
选条件②、函数，
则函数的最小正周期；
令，解得，
则函数的单调递减区间是；
（2）解：由（1）知，根据三角函数图象的平移变换可得：，
令，解得，
则函数的对称轴方程为.
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【分析】（1）选条件①，利用诱导公式、二倍角的正弦及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解即可；
选条件②，利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解即可；
（2）由题意，求出函数，再利用正弦函数的对称性求解即可.
（1）选条件①，，
所以函数的最小正周期；
由，解得，
所以函数的单调递减区间是.
选条件②，，
所以函数的最小正周期；
由，解得，
所以函数的单调递减区间是.
（2）由（1）知，，
由，得
所以函数的对称轴方程为.
16．（2024高一下·红河期末）1992年，公安部发出通知，将每年的11月9日定为“119消防宣传日”.通过消防宣传日的设立，旨在提醒全民关注消防安全，学习消防知识，提高自救互救能力，减少火灾事故的发生.某高中学校为增强学生的消防安全意识，组织本校高一 高二共800名学生参加“消防安全，在我心中”的知识竞赛，现从每个年级分别随机抽取10名学生的竞赛成绩如下：
高一： 90 85 82 85 97 83 88 95 90 85
高二： 83 90 97 88 95 85 95 85 80 82
（1）请根据以上20个数据，估计此次参赛学生成绩的第60百分位数 众数和平均数；
（2）若规定95分及以上为一等奖，从一等奖的学生中任选2人作为宣讲代表，则这2人中至少有1人来自高一年级的概率是多少？
【答案】（1）解：先将20个数据由小到大排列为：80，82，82，83，83，85，85，85，85，85，88，88，90，90，90，95，95，
95，97，97，，则参赛学生成绩的第60百分位数为；
估计此次参赛学生成绩的众数为85；
平均数为；
（2）解：成绩在95分及以上的有5人，来自高一年级的有2人，记为，来自高二年级的3人记为，
从5人中任选2人的样本空间，共10个样本点，
2人中至少有1人来自高一年级的事件，共7个样本点，
则这2人中至少有1人来自高一年级的概率.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）先将20个数据由小到大排列，按第60百分位数 众数和平均数的意义分别计算即可；
（2）利用列举法结合古典概型概率公式求概率即可.
（1）把20个数据由小到大排列为80，82，82，83，83，85，85，85，85，85，88，88，90，90，90，95，95，95，97，97，
由，得估计此次参赛学生成绩的第60百分位数为；
估计此次参赛学生成绩的众数为85；
平均数为.
（2）成绩在95分及以上的有5人，来自高一年级的有2人，记为，来自高二年级的3人记为，
从5人中任选2人的样本空间，共10个样本点，
2人中至少有1人来自高一年级的事件，共7个样本点，
所以这2人中至少有1人来自高一年级的概率.
17．（2024高一下·红河期末）已知中，所对边分别为，其外接圆的半径为2，且.
（1）求；
（2）若的面积为，求.
【答案】（1）解：，由正弦定理可得，
由余弦定理得，因为，所以，
由正弦定理得；
（2）解：由的面积为，可得，则，
由，得，解得，则或，
当时，，；
当时，，
故或.
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由题意，利用正弦定理，结合余弦定理求解即可；
（3）利用三角形面积公式，结合（1）的结论求解即可.
（1）在中，由及正弦定理，得，
由余弦定理得，而，则，
由正弦定理得.
（2）由的面积为，得，则，
由，得，解得，解得或，
当时，，则，当时，，
所以或.
18．（2024高一下·红河期末）如图，平面且是的中点.
（1）求证：平面；
（2）若，求与平面所成角的大小.
【答案】（1）证明：取中点，连接，如图所示：
则，四边形为平行四边形，，
而平面，平面，则平面，
由是的中点，得，而平面，平面，则平面，
又因为平面，所以平面平面，
又因为平面，所以平面；
（2）解：由（1）知，，平面，则平面，而平面，
则，由，得，而平面，
于是平面，又平面，则平面平面，
显然，取的中点，连接，
则，又平面平面，平面，
于是平面，是直线与平面所成的角，
而，则，在中，，，
所以与平面所成角的大小为.
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）取中点，连接，利用线面平行的判定、面面平行的判定性质推理即可；
（2）利用线面垂直的判定、面面垂直的判定性质确定与平面所成的角，再计算即可.
（1）取中点，连接，则，四边形为平行四边形，
于是，而平面，平面，则平面，
由是的中点，得，而平面，平面，则平面，
又平面，因此平面平面，而平面，
所以平面.
（2）由（1）知，，又平面，则平面，而平面，
则，由，得，而平面，
于是平面，又平面，则平面平面，
显然，取的中点，连接，
则，又平面平面，平面，
于是平面，是直线与平面所成的角，
而，则，在中，，，
所以与平面所成角的大小为.
19．（2024高一下·红河期末）已知函数，且.
（1）判断函数的奇偶性；
（2）若，试判断函数的单调性.并求使不等式在上恒成立的的取值范围；
（3）若，且在上的最小值为，求的值.
【答案】（1）解：函数的定义域为R，满足，
则函数是奇函数；
（2）解：由，，得，则，显然函数，在R上单调递增，
则函数是R上的增函数，
不等式，
则，，，
，当且仅当时取等号，则，
故的取值范围是；
（3）解：由，得，而，解得，则，
，
令，由（2）知，函数是R上的增函数，当时，，
，当时，函数在上单调递增，
当时，，解得与矛盾；
当时，时，，则，
所以.
【知识点】函数的奇偶性；函数恒成立问题；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【分析】（1）利用奇偶性定义判断即可；
（2）由，得，结合指数函数单调性判断的单调性，再脱去法则“f”，分离参数借助基本不等式求最小值即可；
（3）求出值，换元并构造函数，求出新函数的定义域，再结合二次函数最值分类讨论求解即可.
（1）函数的定义域为R，，
所以函数是奇函数.
（2）由，，得，则，显然函数，在R上单调递增，
因此函数是R上的增函数，
不等式，
则，，，
于是，当且仅当时取等号，因此，
所以的取值范围是.
（3）由，得，而，解得，则，
，
令，由（2）知，函数是R上的增函数，当时，，
，当时，函数在上单调递增，
当时，，解得与矛盾；
当时，时，，则，
所以.
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