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四川省南充市2023-2024学年高一下学期期末学业质量监测数学试题
1．（2024高一下·南充期末）已知，则（　　）
A． B． C． D．1
【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由，可得.
故答案为：C.
【分析】根据复数代数形式的乘法运算求解即可.
2．（2024高一下·南充期末）若一组数据按照从小到大的顺序排列如下：12，15，17，20，23，25，27，31，36，37．则该组数据的第35百分位数为（　　）
A．17 B．20 C．23 D．25
【答案】B
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：，则该组数据的分位数为第4个数据，
故答案为：B.
【分析】根据百分位数的概念计算即可.
3．（2024高一下·南充期末）若，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：若，
则，即，
故.
故答案为：B.
【分析】将已知式子平方，根据同角三角函数基本关系，结合正弦二倍角公式求解即可.
4．（2024高一下·南充期末）对于两条不同直线m，n和两个不同平面，以下结论中正确的是(　　)
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】A
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】A、若，则，故A正确；
B、若，则或，故B错误；
C、若，则或或相交，故C错误；
D、若，则或，故D错误.
故答案为：A.
【分析】根据空间中线面位置关系及性质判断即可.
5．（2024高一下·南充期末）的内角，，所对应的边分别为，，，若，，，则的值为（　　）
A． B． C． D．2
【答案】C
【知识点】解三角形；正弦定理
【解析】【解答】解：在中，，
由，可得，
由正弦定理可得：．
故答案为：C．
【分析】根据同角三角函数基本关系求得，再结合正弦定理求解即可．
6．（2024高一下·南充期末）已知向量与的夹角是，且，，则向量在向量上的投影向量是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由向量与的夹角是，且，，
可得，
则向量在向量上的投影向量为.
故答案为：D.
【分析】根据向量数量积的定义求，再由投影向量的定义计算即可.
7．（2024高一下·南充期末）在中，，是线段上的一点，若，则实数的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：由，可得，
若，则，
因为三点共线，所以，解得.
故答案为：A.
【分析】由题意可得，根据三点共线定理计算即可.
8．（2024高一下·南充期末）如图，在三棱锥中，平面，，，若三棱锥外接球的表面积为，则此三棱锥的体积为（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由，，可得，
，
设外接圆的半径为，圆心为，如图所示：
则，即，
设三棱锥外接球的半径为，球心为，则，解得；
因为平面，所以，
即，即，解得；
故.
故答案为：C.
【分析】利用正弦定理求出外接圆的半径，根据球的表面积求出球的半径，再由平面，则求出，最后根据锥体的体积公式计算即可.
9．（2024高一下·南充期末）函数，则下列说法中正确的有（　　）
A．
B．的一条对称轴方程为
C．的一个对称中心为
D．的单调递增区间为，
【答案】A,B,D
【知识点】二倍角的正弦公式；正弦函数的性质；余弦定理；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：A、函数，故A正确；
B、为最小值，则是的一条对称轴，故B正确；
C、为最大值，则不是的对称中心，故C错误；
D、令，解得，
则函数的单调递增区间为，，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用辅助角公式化简函数即可判断A；代入检验，结合对称性的性质分析即可判断BC；以为整体，结合正弦函数的单调性分析即可判断D.
10．（2024高一下·南充期末）正方体中，，是的中点，则下列说法中正确的有（　　）
A．异面直线与所成角的余弦值为
B．平面
C．过，，三点作正方体的截面，则截面面积为
D．若为正方体对角线上的一个动点，则最小值为
【答案】A,C,D
【知识点】棱柱的结构特征；多面体和旋转体表面上的最短距离问题；异面直线所成的角；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：如图所示：
A、易知，则异面直线与所成角为或其补角，
因为，且，，
所以，
则，
故异面直线与所成角的余弦值为，故A正确；
B、连接交于点，连接，
因为四边形为正方形，，所以为的中点，
又因为为的中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
若平面，则，根据正方体性质知四边形为矩形，
且，则其对角线与不垂直，故B错误；
C、设平面交棱于点，如下图所示：
因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以，
又因为，则，因为，故四边形为平行四边形，
所以，故为的中点，所以，
又因为，则，所以，四边形为平行四边形，
因为平面，平面，所以，，
所以，四边形为矩形，且其面积为，故C正确；
D、将、延展至同一个平面，如下图所示：
且，，
结合图形可知，当、、三点共线时，取最小值，
即，
易知，，，
，
在中，，
则，则
，
则由余弦定理有
故最小值是，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用异面直线所成角的定义即可判断A；利用线面平行的判定定理和线面垂直的性质即可判断B；作出截面，并计算出截面面积即可判断C；将、延展至同一个平面，由、、三点共线时，取最小值即可判断D.
11．（2024高一下·南充期末）在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法中正确的有（　　）
A．若，，则周长的最大值为18
B．若，，则面积的最大值为
C．若角的内角平分线交于点，且，，则面积的最大值为3
D．若，，为的中点，且，则
【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式；解三角形；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：A、 若，， 由余弦定理，
可得，即，
即，则，解得，
当且仅当时，等号成立，则周长的最大值为18，故A正确；
B、 若，， 由余弦定理可得：，
则，
因为，所以，当且仅当时等号成立，
则，即面积的最大值为，故B错误；
C、设，，则，，
在和中，分别运用正弦定理，得和.
因为，所以，即，所以，
由余弦定理可得，
，
，当且仅当时等号成立，
所以面积的最大值为3，故C正确；
D、设，
在中，利用余弦定理得①，
在中，利用余弦定理可得：
②，则①②有，解得，则，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用余弦定理、基本不等式以及三角形的面积公式即可判断AB；根据角平分线的性质及余弦定理，结合二次函数求解最值即可判断C，根据余弦定理所得方程进行相加即可判断D.
12．（2024高一下·南充期末）如图，水平放置的的斜二测直观图是图中的，已知，，则边的实际长度是　 　．
【答案】
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：根据斜二测画法可知：直观图的原图形，如图所示：
易知，
则.
故答案为：.
【分析】根据合斜二测画法的性质将图还原后计算即可.
13．（2024高一下·南充期末）如图，已知正方形的边长为3，且，与交于点，则　 　．
【答案】3
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由，可得为中点，
，则，
，
则.
故答案为：3.
【分析】由题意可知：为中点，再利用转化法求得，代入数据求解即可.
14．（2024高一下·南充期末）已知菱形的边长为2，且，将菱形沿对角线翻折成直二面角，则异面直线与所成角的余弦值是　 　；二面角的余弦值是　 　．
【答案】；
【知识点】异面直线所成的角；二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】解：过点作，连接，如图所示：
易知为的中点，且，则即为二面角的平面角，
由题意可知，，因为，，
所以，，
所以，且，则，
由，可得异面直线与所成角即为或其补角，
在中，由余弦定理可得，
即异面直线与所成角的余弦值是；
取的中点，连接，因为，，
所以，，则即为所求二面角的平面角，
在中，因为，，
所以，同理，
在中，由余弦定理可得，
故答案为：；.
【分析】作出空间图形，找到异面直线夹角或其补角，结合题意和余弦定理求即可；作出二面角的平面角，利用余弦定理求解即可.
15．（2024高一下·南充期末）已知，．
（1）若，求的值；
（2）若，求与夹角的余弦值．
【答案】（1）解：向量，，若，，解得或；
（2）解：若，则，解得，即，
则，
即与夹角的余弦值为.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【分析】（1）根据向量平行的坐标表示列方程求解即可；
（2）根据向量数量积得到方程，解出，再利用向量夹角公式求解即可.
（1）因为，所以，
解得：或.
（2）因为，
所以，解得：，
所以，
，
所以与夹角的余弦值为.
16．（2024高一下·南充期末）某公司为了解员工对食堂的满意程度，随机抽取了200名员工做了一次问卷调查，要求员工对食堂的满意程度进行打分，所得分数均在内，现将所得数据分成6组：，，，，，，并得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求的值，并估计这200名员工所得分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）求这200名员工所得分数的中位数（精确到0.1）；
（3）现从，，这三组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取24人，求这组中抽取的人数．
【答案】（1）解：由题意知，解得，
则估计这200名员工所得分数的平均：；
（2）解：的频率为，
的频率为，则中位数落在区间，
设中位数为，，解得，
即估计这200名员工所得分数的中位数为72.9；
（3）解：的人数：，
的人数：，
的人数：，
则这组中抽取的人数为：.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【分析】（1）根据小矩形面积和为1得到关于的方程，解出值，再利用频率分布直方图中平均数公式计算即可；
（2）首先确定中位数所在区间，再设中位数为，列出方程求解即可；
（3）求出各区间人数，再根据分层抽样的特点求解即可.
（1）由题意知，
解得.
估计这200名员工所得分数的平均数
，
.
（2）的频率为，
的频率为，
所以中位数落在区间，设中位数为，
所以，
解得，即估计这200名员工所得分数的中位数为72.9.
（3）的人数：，
的人数：，
的人数：，
所以这组中抽取的人数为：.
17．（2024高一下·南充期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，是与的交点，平面，，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求直线与平面所成角的正切值．
【答案】（1）证明：连接，在平行四边形中，
因为为与的交点，所以为的中点，又因为为的中点，所以，
又因为平面平面，所以平面；
（2）证明：因为平面平面，所以，
在中，因为，，，所以，
因为平面平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面；
（3）解：取的中点，连接，，如图所示：

因为为的中点，所以，且
由平面，得平面，
则是直线与平面所成的角，
因为，所以，
在Rt中，，则，，
在Rt中，，
则直线与平面所成角的正切值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）利用中位线得，再利用线面平行的判定定理证明即可；
（2）利用线面垂直的性质得，再证明，最后根据面面垂直的判定证明即可；
（3）取的中点，连接，，根据线面角定义转化为求的正切值，最后根据三角函数定义求直线与平面的夹角即可.
（1）连接，在平行四边形中，
为与的交点，
为的中点，又为的中点，，
又平面平面，
平面.
（2）平面平面，，
在中，，，又，，
因为平面平面，所以平面，
又平面，平面平面.
（3）取的中点，连接，，
为的中点，，且
由平面，得平面，
是直线与平面所成的角，
，
在Rt中，，
，从而，
在Rt中，，
直线与平面所成角的正切值为.
18．（2024高一下·南充期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，．
①求的面积；
②若，求．
【答案】（1）解：由，可得，
因为，所以，所以，
由正弦定理可得，
又因为，所以，所以，
即，又因为，所以，所以，则；
（2）解：①、若，由正弦定理可得，
，由余弦定理，可得，解得，则，
故；
②因为，所以，所以，
则
.
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）对原式展开后利用余弦定理和正弦定理得，再利用两角差的正弦公式求解即可；
（2）①利用正弦定理进行角换边，再结合余弦定理求出，最后利用三角形面积求解即可；
②根据向量线性运算得，最后利用转化法求模长即可.
（1）因为，
所以，
又，
所以，
所以，
由正弦定理可得，
又，所以，
所以，
即，又，
所以，所以，则.
（2）①因为，由正弦定理可得.又，
由，
所以，
解得或(舍去)，所以，
所以.
②因为，
所以.
所以.
所以
.
19．（2024高一下·南充期末）对于平面向量，定义“变换”：，
（1）若向量，，求；
（2）求证：；
（3）已知，，且与不平行，，，求证：．
【答案】（1）解：因为向量，所以
则；
（2）证明：因为，
所以，
，
，
，所以；
（3）证明：，
，
由（2）可得，
又因为
，即，
可得，
且在内单调递减，，则，
故，
即可证明.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）直接代入公式求解即可；
（2）先计算得，
从而，再展开计算证明即可；
（3）根据“变换”和向量数量积的坐标公式得到，从而有，最后利用三角形面积公式证明即可.
（1）因为向量
所以
所以.
（2）因为.
所以
.
.
，所以.
（3）方法一：，
，
由（2）可得，
又因为
，即，
可得，
且在内单调递减，，
可知，
所以.
所以
方法二：设，
，
因为，
，
所以
，
所以.
1 / 1四川省南充市2023-2024学年高一下学期期末学业质量监测数学试题
1．（2024高一下·南充期末）已知，则（　　）
A． B． C． D．1
2．（2024高一下·南充期末）若一组数据按照从小到大的顺序排列如下：12，15，17，20，23，25，27，31，36，37．则该组数据的第35百分位数为（　　）
A．17 B．20 C．23 D．25
3．（2024高一下·南充期末）若，则的值是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024高一下·南充期末）对于两条不同直线m，n和两个不同平面，以下结论中正确的是(　　)
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
5．（2024高一下·南充期末）的内角，，所对应的边分别为，，，若，，，则的值为（　　）
A． B． C． D．2
6．（2024高一下·南充期末）已知向量与的夹角是，且，，则向量在向量上的投影向量是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024高一下·南充期末）在中，，是线段上的一点，若，则实数的值为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024高一下·南充期末）如图，在三棱锥中，平面，，，若三棱锥外接球的表面积为，则此三棱锥的体积为（　　）
A．1 B． C． D．
9．（2024高一下·南充期末）函数，则下列说法中正确的有（　　）
A．
B．的一条对称轴方程为
C．的一个对称中心为
D．的单调递增区间为，
10．（2024高一下·南充期末）正方体中，，是的中点，则下列说法中正确的有（　　）
A．异面直线与所成角的余弦值为
B．平面
C．过，，三点作正方体的截面，则截面面积为
D．若为正方体对角线上的一个动点，则最小值为
11．（2024高一下·南充期末）在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法中正确的有（　　）
A．若，，则周长的最大值为18
B．若，，则面积的最大值为
C．若角的内角平分线交于点，且，，则面积的最大值为3
D．若，，为的中点，且，则
12．（2024高一下·南充期末）如图，水平放置的的斜二测直观图是图中的，已知，，则边的实际长度是　 　．
13．（2024高一下·南充期末）如图，已知正方形的边长为3，且，与交于点，则　 　．
14．（2024高一下·南充期末）已知菱形的边长为2，且，将菱形沿对角线翻折成直二面角，则异面直线与所成角的余弦值是　 　；二面角的余弦值是　 　．
15．（2024高一下·南充期末）已知，．
（1）若，求的值；
（2）若，求与夹角的余弦值．
16．（2024高一下·南充期末）某公司为了解员工对食堂的满意程度，随机抽取了200名员工做了一次问卷调查，要求员工对食堂的满意程度进行打分，所得分数均在内，现将所得数据分成6组：，，，，，，并得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求的值，并估计这200名员工所得分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）求这200名员工所得分数的中位数（精确到0.1）；
（3）现从，，这三组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取24人，求这组中抽取的人数．
17．（2024高一下·南充期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，是与的交点，平面，，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求直线与平面所成角的正切值．
18．（2024高一下·南充期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，．
①求的面积；
②若，求．
19．（2024高一下·南充期末）对于平面向量，定义“变换”：，
（1）若向量，，求；
（2）求证：；
（3）已知，，且与不平行，，，求证：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由，可得.
故答案为：C.
【分析】根据复数代数形式的乘法运算求解即可.
2．【答案】B
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：，则该组数据的分位数为第4个数据，
故答案为：B.
【分析】根据百分位数的概念计算即可.
3．【答案】B
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：若，
则，即，
故.
故答案为：B.
【分析】将已知式子平方，根据同角三角函数基本关系，结合正弦二倍角公式求解即可.
4．【答案】A
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】A、若，则，故A正确；
B、若，则或，故B错误；
C、若，则或或相交，故C错误；
D、若，则或，故D错误.
故答案为：A.
【分析】根据空间中线面位置关系及性质判断即可.
5．【答案】C
【知识点】解三角形；正弦定理
【解析】【解答】解：在中，，
由，可得，
由正弦定理可得：．
故答案为：C．
【分析】根据同角三角函数基本关系求得，再结合正弦定理求解即可．
6．【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由向量与的夹角是，且，，
可得，
则向量在向量上的投影向量为.
故答案为：D.
【分析】根据向量数量积的定义求，再由投影向量的定义计算即可.
7．【答案】A
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：由，可得，
若，则，
因为三点共线，所以，解得.
故答案为：A.
【分析】由题意可得，根据三点共线定理计算即可.
8．【答案】C
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由，，可得，
，
设外接圆的半径为，圆心为，如图所示：
则，即，
设三棱锥外接球的半径为，球心为，则，解得；
因为平面，所以，
即，即，解得；
故.
故答案为：C.
【分析】利用正弦定理求出外接圆的半径，根据球的表面积求出球的半径，再由平面，则求出，最后根据锥体的体积公式计算即可.
9．【答案】A,B,D
【知识点】二倍角的正弦公式；正弦函数的性质；余弦定理；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：A、函数，故A正确；
B、为最小值，则是的一条对称轴，故B正确；
C、为最大值，则不是的对称中心，故C错误；
D、令，解得，
则函数的单调递增区间为，，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用辅助角公式化简函数即可判断A；代入检验，结合对称性的性质分析即可判断BC；以为整体，结合正弦函数的单调性分析即可判断D.
10．【答案】A,C,D
【知识点】棱柱的结构特征；多面体和旋转体表面上的最短距离问题；异面直线所成的角；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：如图所示：
A、易知，则异面直线与所成角为或其补角，
因为，且，，
所以，
则，
故异面直线与所成角的余弦值为，故A正确；
B、连接交于点，连接，
因为四边形为正方形，，所以为的中点，
又因为为的中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
若平面，则，根据正方体性质知四边形为矩形，
且，则其对角线与不垂直，故B错误；
C、设平面交棱于点，如下图所示：
因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以，
又因为，则，因为，故四边形为平行四边形，
所以，故为的中点，所以，
又因为，则，所以，四边形为平行四边形，
因为平面，平面，所以，，
所以，四边形为矩形，且其面积为，故C正确；
D、将、延展至同一个平面，如下图所示：
且，，
结合图形可知，当、、三点共线时，取最小值，
即，
易知，，，
，
在中，，
则，则
，
则由余弦定理有
故最小值是，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用异面直线所成角的定义即可判断A；利用线面平行的判定定理和线面垂直的性质即可判断B；作出截面，并计算出截面面积即可判断C；将、延展至同一个平面，由、、三点共线时，取最小值即可判断D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式；解三角形；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：A、 若，， 由余弦定理，
可得，即，
即，则，解得，
当且仅当时，等号成立，则周长的最大值为18，故A正确；
B、 若，， 由余弦定理可得：，
则，
因为，所以，当且仅当时等号成立，
则，即面积的最大值为，故B错误；
C、设，，则，，
在和中，分别运用正弦定理，得和.
因为，所以，即，所以，
由余弦定理可得，
，
，当且仅当时等号成立，
所以面积的最大值为3，故C正确；
D、设，
在中，利用余弦定理得①，
在中，利用余弦定理可得：
②，则①②有，解得，则，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用余弦定理、基本不等式以及三角形的面积公式即可判断AB；根据角平分线的性质及余弦定理，结合二次函数求解最值即可判断C，根据余弦定理所得方程进行相加即可判断D.
12．【答案】
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：根据斜二测画法可知：直观图的原图形，如图所示：
易知，
则.
故答案为：.
【分析】根据合斜二测画法的性质将图还原后计算即可.
13．【答案】3
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由，可得为中点，
，则，
，
则.
故答案为：3.
【分析】由题意可知：为中点，再利用转化法求得，代入数据求解即可.
14．【答案】；
【知识点】异面直线所成的角；二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】解：过点作，连接，如图所示：
易知为的中点，且，则即为二面角的平面角，
由题意可知，，因为，，
所以，，
所以，且，则，
由，可得异面直线与所成角即为或其补角，
在中，由余弦定理可得，
即异面直线与所成角的余弦值是；
取的中点，连接，因为，，
所以，，则即为所求二面角的平面角，
在中，因为，，
所以，同理，
在中，由余弦定理可得，
故答案为：；.
【分析】作出空间图形，找到异面直线夹角或其补角，结合题意和余弦定理求即可；作出二面角的平面角，利用余弦定理求解即可.
15．【答案】（1）解：向量，，若，，解得或；
（2）解：若，则，解得，即，
则，
即与夹角的余弦值为.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【分析】（1）根据向量平行的坐标表示列方程求解即可；
（2）根据向量数量积得到方程，解出，再利用向量夹角公式求解即可.
（1）因为，所以，
解得：或.
（2）因为，
所以，解得：，
所以，
，
所以与夹角的余弦值为.
16．【答案】（1）解：由题意知，解得，
则估计这200名员工所得分数的平均：；
（2）解：的频率为，
的频率为，则中位数落在区间，
设中位数为，，解得，
即估计这200名员工所得分数的中位数为72.9；
（3）解：的人数：，
的人数：，
的人数：，
则这组中抽取的人数为：.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【分析】（1）根据小矩形面积和为1得到关于的方程，解出值，再利用频率分布直方图中平均数公式计算即可；
（2）首先确定中位数所在区间，再设中位数为，列出方程求解即可；
（3）求出各区间人数，再根据分层抽样的特点求解即可.
（1）由题意知，
解得.
估计这200名员工所得分数的平均数
，
.
（2）的频率为，
的频率为，
所以中位数落在区间，设中位数为，
所以，
解得，即估计这200名员工所得分数的中位数为72.9.
（3）的人数：，
的人数：，
的人数：，
所以这组中抽取的人数为：.
17．【答案】（1）证明：连接，在平行四边形中，
因为为与的交点，所以为的中点，又因为为的中点，所以，
又因为平面平面，所以平面；
（2）证明：因为平面平面，所以，
在中，因为，，，所以，
因为平面平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面；
（3）解：取的中点，连接，，如图所示：

因为为的中点，所以，且
由平面，得平面，
则是直线与平面所成的角，
因为，所以，
在Rt中，，则，，
在Rt中，，
则直线与平面所成角的正切值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）利用中位线得，再利用线面平行的判定定理证明即可；
（2）利用线面垂直的性质得，再证明，最后根据面面垂直的判定证明即可；
（3）取的中点，连接，，根据线面角定义转化为求的正切值，最后根据三角函数定义求直线与平面的夹角即可.
（1）连接，在平行四边形中，
为与的交点，
为的中点，又为的中点，，
又平面平面，
平面.
（2）平面平面，，
在中，，，又，，
因为平面平面，所以平面，
又平面，平面平面.
（3）取的中点，连接，，
为的中点，，且
由平面，得平面，
是直线与平面所成的角，
，
在Rt中，，
，从而，
在Rt中，，
直线与平面所成角的正切值为.
18．【答案】（1）解：由，可得，
因为，所以，所以，
由正弦定理可得，
又因为，所以，所以，
即，又因为，所以，所以，则；
（2）解：①、若，由正弦定理可得，
，由余弦定理，可得，解得，则，
故；
②因为，所以，所以，
则
.
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）对原式展开后利用余弦定理和正弦定理得，再利用两角差的正弦公式求解即可；
（2）①利用正弦定理进行角换边，再结合余弦定理求出，最后利用三角形面积求解即可；
②根据向量线性运算得，最后利用转化法求模长即可.
（1）因为，
所以，
又，
所以，
所以，
由正弦定理可得，
又，所以，
所以，
即，又，
所以，所以，则.
（2）①因为，由正弦定理可得.又，
由，
所以，
解得或(舍去)，所以，
所以.
②因为，
所以.
所以.
所以
.
19．【答案】（1）解：因为向量，所以
则；
（2）证明：因为，
所以，
，
，
，所以；
（3）证明：，
，
由（2）可得，
又因为
，即，
可得，
且在内单调递减，，则，
故，
即可证明.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）直接代入公式求解即可；
（2）先计算得，
从而，再展开计算证明即可；
（3）根据“变换”和向量数量积的坐标公式得到，从而有，最后利用三角形面积公式证明即可.
（1）因为向量
所以
所以.
（2）因为.
所以
.
.
，所以.
（3）方法一：，
，
由（2）可得，
又因为
，即，
可得，
且在内单调递减，，
可知，
所以.
所以
方法二：设，
，
因为，
，
所以
，
所以.
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