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【深圳市中考数学备考指南】专题21规律探究解析（难）
1．（2021七下·克山期末）育红中学八五班的数学社团在做如下的探究活动：在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第1次移动到点A1，第2次移动到点A2…第n次移动到点An，则△OA2A2021的面积是 　 　．
2．（【深圳市中考数学备考指南】专题21规律探究解析（难））如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…，组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒2个单位长度，则第2019秒时，点P的坐标是　 　．
3．（【深圳市中考数学备考指南】专题21规律探究解析（难））相传古印度一座梵塔圣殿中铸有一片巨大的黄铜板，之上树立了3根宝石柱，其中一根宝石柱上插有中心有孔的64个大小两两相异的1寸厚的金盘，小金盘压着较大的金盘．如图，把这些金盘全部一个一个地从1柱移动到3柱上去，移动过程中不允许大金盘压小金盘，不得把金盘放到柱子之外．
[问题提出]如果将这64个金盘按上述要求全部从1柱移动到3柱，至少需要移动多少次？
设h（n）是把n个金盘从1柱移动到3柱过程中的最少移动次数．
[问题探究]
探究一：当n＝1时，显然h（1）＝1．
探究二：当n＝2时，如图①．
探究三：当n＝3时，如图②．
（1）探究四：当n＝4时，先用h（3）的方法把较小的3个金盘移动到2柱，再将最大金盘移动到3柱，最后再用h（3）的方法把较小的3个金盘从2柱移动到3柱，完成，即h（4）＝　 　（直接写出结果）．
（2）[初级模型]若将x个金盘按要求全部从1柱移动到3柱，至少需要移动a次；将（x+1）个金盘按要求全部从1柱移动到3柱，至少需要移动　 　次（用含a的代数式表示）．
（3）[自主探究]仿照“问题探究”中的方法，将6个金盘按要求全部从1柱移动到3柱，至少需要多少次？（写出必要的计算过程．）
（4）[最终模型]综合收集到的数据探索规律可知：将64个金盘按上述要求全部从1柱移动到3柱，至少需要移动　 　次．
（5）[问题变式]若在原来条件的基础上，再添加1个条件：每次只能将金盘向相邻的柱子
移动（即：2柱的金盘可以移动到1柱或3柱，但1柱或3柱的金盘只能移动到2柱），则移动完64个金盘至少需要移动　 　次．
4．（2021八上·铁锋期末）在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点的坐标是，则经过第2021次变换后所得的点的坐标是　 　．
5．（2021九上·章丘期中）如图，点B1在直线l：y＝ x上，点B1的横坐标为2，过点B1作B1A1⊥l，交x轴于点A1，以A1B1为边，向右作正方形A1B1B2C1，延长B2C1交x轴于点A2；以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3C2，延长B3C2交x轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形A3B3B4C3，延长B4C3交x轴于点A4；…；照这个规律进行下去，则第n个正方形AnBnBn+1Cn的边长为 　 　（结果用含正整数n的代数式表示）．
6．（【深圳市中考数学备考指南】专题21规律探究解析（难））【问题探究】用同样大小的小正方形纸片，按下图的方式拼正方形
规律：第①个图形中有1个小正方形；
第②个图形比第①个图形多3个小正方形；
第③个图形比第②个图形多5个小正方形；
……
第(n+1)个图形比第n个图形多　 　个小正方形．
7．（【深圳市中考数学备考指南】专题21规律探究解析（难））古希腊数学家定义了五边形数，如下表所示，将点按照表中方式排列成五边形点阵，图形中的点的个数即五边形数；
图 形 ● …
五 边 形 数 1 5 12 22 35 51 …
将五边形数1，5，12，22，35，51，…，排成如下数表；
观察这个数表，则这个数表中的第八行从左至右第2个数为　 　．
8．（【深圳市中考数学备考指南】专题21规律探究解析（难））在平面直角坐标系中，等边如图放置，点A的坐标为，每一次将绕着点逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，依次类推，则点的坐标为（　　）
A． B．
C． D．
9．（2022·济宁模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，在x轴上，延长交射线与点，以为边作正方形；延长，交射线与点，以为边作正方形；…按照这样的规律继续作下去，若，则正方形的面积为　 　．
10．（2024八下·湖北期中） 规律探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题.
；（是的面积）；
；（是的面积）；
；（是的面积）；
…
（1）请用含有（为正整数）的等式　 　.
（2）推算出　 　.
（3）求出的值.
11．（【深圳市中考数学备考指南】专题21规律探究解析（难））人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设，得，记，则　 　
12．（【深圳市中考数学备考指南】专题21规律探究解析（难））如图，正方形中，与直线1所夹锐角为，延长交直线1于点，作正方形，延长交直线1于点，作正方形，延长交直线1于点，作正方形，依此规律，则线段　 　
13．（【深圳市中考数学备考指南】专题 21 规律探究解析（中等））解答下列问题：
（1）【阅读材料】观察下列图形与等式的关系，并填空：
　 　
　 　
（2）【规律探究】观察下图：
根据以上发现，用含n的代数式填空：
　 　
（3）【解决问题】根据以上发现，计算：
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题意知OA4n＝2n（n为正整数），图形运动4次一个循环，横坐标对应一个循环增加2
∵2021÷4＝505…1，
∴A2021与A1是对应点，A2020与A0是对应点
∴OA2020＝505×2＝1010，A1A2021＝1010
∴A2A2021＝1010-1=1009
则△OA2A2019的面积是×1×1009＝，
故答案为：．
【分析】根据OA4n＝2n，可得OA2020＝505×2＝1010，A1A2021＝1010，即可得到A2A2021＝1010-1=1009，再利用三角形的面积公式求解即可。
2．【答案】(2019，－1)
【知识点】探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵圆的半径都为1，
∴半圆的周长＝π，以时间为点P的下标．观察发现规律：
P0(0，0)，P1(1，1)，P2(2，0)，P3(3，－1)，P4(4，0)，P5(5，1)，…，
∴P4n(4n，0)，
P4n＋1(4n＋1，1)，P4n＋2(4n＋2，0)，P4n＋3(4n＋3，－1)．
∵2019÷4＝504……3，
∴第2019秒时，点P的坐标为(2019，－1)．
故答案为：(2019，－1)
【分析】求出前几个点的坐标，总结规律即可求出答案.
3．【答案】（1）15
（2）（2a+1）
（3）解：h（4）＝15，
h（5）＝2h（4）＝2×15+1＝31，
h（6）＝2h（5）+1＝63，
∴至少需要63次
（4）264﹣1
（5）解：（364﹣1）
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：(1)先用h（3）的方法把较小的3个盘移到2柱（需移动7次），
再将最大盘移到3柱（需移动1次），
最后用h（3）的方法把较小的3个盘从2柱移到3柱（需移动7次），
所以共需要7×2+1＝15次，即h(4)=15，
故答案为：15；(2)
由探究二可知，若将1个金盘按要求全部从1柱移动到2柱，至少需要1次，
则将2个金盘按要求全部从1柱移动到3柱，则至少需要1×2+1＝3次；
由探究三可知，若将2个金盘按要求全部从1柱移动到2柱，至少需要3次，
则将3个金盘按要求全部从1柱移动到3柱，则至少需要3×2+1＝7次；
由探究四可知，若将3个金盘按要求全部从1柱移动到2柱，至少需要7次，
则将4个金盘按要求全部从1柱移动到3柱，则至少需要7x2+1＝15次；
故若将x个金盘按要求全部从1柱移动到2柱，至少需要a次，
则将（x+1）个金盘按要求全部从1柱移动到3柱，则至少需要（2a+1）次，
故答案为：（2a+1）；(4)h（1）＝1，
h（2）＝3＝22﹣1，
h（3）＝7＝23﹣1，
h（4）＝15＝24﹣1，
.....．
h（64）＝264﹣1，
故答案为：264﹣1；(5)
每次只能将盘子向相邻的柱子移动，
故当n＝2时，小盘移到2柱，需要1次，再将小盘移到3柱，需要1次；
将大盘移到2柱，需要1次，再将小盘移到2柱，需要1次，再将小盘移到1柱，需要1次，
将大盘移到3柱，需要1次，将小盘移到2柱，需要1次，再将小盘移到3柱，需要1次；
所以两个盘子需要了8次，
故h（2）＝8；
按照相同的思路可得：h（3）＝26；
∵h（2）＝8＝32﹣1，
h（3）＝26＝33﹣1，
∴h（64）＝364﹣1．
故答案为：（364﹣1）
【分析】（1）根据前3次的探究可以得出探究4；
（2）根据前4次的探究可以得到（x+1）个金盘移动的次数；
（3）根据前面的探究得出规律，然后得出结论；
（4）根据自主探究得出规律即可；
（5）先把n=2时得出结论，再用相同的方法得出h（3），然后找出规律得出结论．
4．【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：根据题意可知：点A第四次关于y轴对称后在第一象限，即点A回到初始位置，
所以，每四次对称为一个循环组依次循环，
∵2021÷4=505…1，
∴经过第2021次变换后所得的A点与第一次关于x轴对称变换的位置相同，在第四象限，坐标为.
故答案为：．
【分析】先求出每四次对称为一个循环组依次循环，再根据2021÷4=505…1，求解即可。
5．【答案】 ×（ ）n-1
【知识点】与一次函数相关的规律问题
【解析】【解答】解：设直线y＝ x与x轴夹角为 ，过B1作B1H⊥x轴于H，如图：
∵点B1的横坐标为2，点B1在直线l：y＝ x上，令x＝2得y＝1，
∴OH＝2，B1H＝1，OB1＝ ，
∴tan ＝ ＝ ，
Rt△A1B1O中，A1B1＝OB1 tan ＝ ，即第1个正方形边长是 ，
∴OB2＝OB1＋B1B2＝ + ＝ ×3，
Rt△A2B2O中，A2B2＝OB2 tan ＝ ×3× ＝ × ，即第2个正方形边长是 × ，
∴OB3＝OB2＋B2B3＝ ×3＋ × ＝ × ，
Rt△A3B3O中，A3B3＝OB3 tan ＝ × × ＝ × ，即第3个正方形边长是 × ＝ ×（ ）2，
∴OB4＝OB3＋B3B4＝ × ＋ × ＝ × ，
Rt△A4B4O中，A4B4＝OB4 tan ＝ × × ＝ × ，即第4个正方形边长是 × ＝ ×（ ）3，
.....．
根据规律可知：第n个正方形边长是 ×（ ）n-1，
故答案为： ×（ ）n-1．
【分析】设直线y＝ x与x轴夹角为 ，过B1作B1H⊥x轴于H，由点B1的横坐标为2，点B1在直线l：y＝ x上，令x＝2得y＝1，可得出OH＝2，B1H＝1，OB1＝ ，tan ＝ ＝ ，Rt△A1B1O中，A1B1＝OB1 tan ＝ ，即第1个正方形边长是 ，Rt△A2B2O中，A2B2＝OB2 tan ＝ ×3× ＝ × ，即第2个正方形边长是 × ，Rt△A3B3O中，A3B3＝OB3 tan ＝ × × ＝ × ，即第3个正方形边长是 × ＝ ×（ ）2，
Rt△A4B4O中，A4B4＝OB4 tan ＝ × × ＝ × ，即第4个正方形边长是 × ＝ ×（ ）3，.....．观察规律即可得出第n个正方形边长。
6．【答案】1335
【知识点】探索规律-图形的递变规律
7．【答案】1335
【知识点】探索规律-图形的递变规律
8．【答案】C
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的递变加循环规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：由题意，点A每6次绕原点循环一周，
，
点在第四象限，，
点的横坐标为，纵坐标为，
故答案为：C
【分析】根据题意可得点A每6次绕原点循环一周，归纳总结可得点在第四象限，，再解直角三角形即可求出答案.
9．【答案】
【知识点】与一次函数相关的规律问题
【解析】【解答】解：∵正方形与正方形是以为位似中心的位似图形，且位似比为，
∴，
∵A1B1⊥x轴，A2 B2⊥x轴，
∴，
∴△OA1B1∽△OA2B2，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴正方形A1 B1C1A2的边长1= 20，
∵△OA1B1∽△OA2B2，
∴，
∴，
∴正方形A2 B2C2 A3的边长为21=2；
同理可证△OA2B2∽△OA3B3，
∴，
∵四边形A2 B2C2 A3是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴正方形A3B3C3A4的边长为4=22，
综上，可归纳出规律：正方形AnBnCn Dn+1的边长为2n－1．
∴正方形A2021B2021C2021A2022的边长为：，
∴正方形A2021B2021C2021A2022的面积为：．
故答案为：．
【分析】先求出正方形AnBnCn Dn+1的边长为2n－1，再将n=2021代入计算即可。
10．【答案】（1）；
（2）
（3）解：
.
【知识点】二次根式的化简求值；勾股定理；探索规律-图形的递变规律
11．【答案】10
【知识点】探索规律-等式类规律；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：由题意可得：
......
∴1+1+...+1=10
故答案为：10
【分析】根据分数的加法化简各式，总结规律即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：与直线l所夹锐角为，正方形中，，
线段，
故答案为：
【分析】根据正弦定义及特殊角的三角函数值可得，，则，，总结规律即可求出答案.
13．【答案】（1）；
（2）
（3）解：原式=
=
=
=
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：（2）由（1）可得：
故答案为：
【分析】（1）根据图形规律即可求出答案.
（2）根据（1）中结论，总结规律，即可求出答案.
（3）根据（2）中结论，化简即可求出答案.
1 / 1【深圳市中考数学备考指南】专题21规律探究解析（难）
1．（2021七下·克山期末）育红中学八五班的数学社团在做如下的探究活动：在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第1次移动到点A1，第2次移动到点A2…第n次移动到点An，则△OA2A2021的面积是 　 　．
【答案】
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题意知OA4n＝2n（n为正整数），图形运动4次一个循环，横坐标对应一个循环增加2
∵2021÷4＝505…1，
∴A2021与A1是对应点，A2020与A0是对应点
∴OA2020＝505×2＝1010，A1A2021＝1010
∴A2A2021＝1010-1=1009
则△OA2A2019的面积是×1×1009＝，
故答案为：．
【分析】根据OA4n＝2n，可得OA2020＝505×2＝1010，A1A2021＝1010，即可得到A2A2021＝1010-1=1009，再利用三角形的面积公式求解即可。
2．（【深圳市中考数学备考指南】专题21规律探究解析（难））如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…，组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒2个单位长度，则第2019秒时，点P的坐标是　 　．
【答案】(2019，－1)
【知识点】探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵圆的半径都为1，
∴半圆的周长＝π，以时间为点P的下标．观察发现规律：
P0(0，0)，P1(1，1)，P2(2，0)，P3(3，－1)，P4(4，0)，P5(5，1)，…，
∴P4n(4n，0)，
P4n＋1(4n＋1，1)，P4n＋2(4n＋2，0)，P4n＋3(4n＋3，－1)．
∵2019÷4＝504……3，
∴第2019秒时，点P的坐标为(2019，－1)．
故答案为：(2019，－1)
【分析】求出前几个点的坐标，总结规律即可求出答案.
3．（【深圳市中考数学备考指南】专题21规律探究解析（难））相传古印度一座梵塔圣殿中铸有一片巨大的黄铜板，之上树立了3根宝石柱，其中一根宝石柱上插有中心有孔的64个大小两两相异的1寸厚的金盘，小金盘压着较大的金盘．如图，把这些金盘全部一个一个地从1柱移动到3柱上去，移动过程中不允许大金盘压小金盘，不得把金盘放到柱子之外．
[问题提出]如果将这64个金盘按上述要求全部从1柱移动到3柱，至少需要移动多少次？
设h（n）是把n个金盘从1柱移动到3柱过程中的最少移动次数．
[问题探究]
探究一：当n＝1时，显然h（1）＝1．
探究二：当n＝2时，如图①．
探究三：当n＝3时，如图②．
（1）探究四：当n＝4时，先用h（3）的方法把较小的3个金盘移动到2柱，再将最大金盘移动到3柱，最后再用h（3）的方法把较小的3个金盘从2柱移动到3柱，完成，即h（4）＝　 　（直接写出结果）．
（2）[初级模型]若将x个金盘按要求全部从1柱移动到3柱，至少需要移动a次；将（x+1）个金盘按要求全部从1柱移动到3柱，至少需要移动　 　次（用含a的代数式表示）．
（3）[自主探究]仿照“问题探究”中的方法，将6个金盘按要求全部从1柱移动到3柱，至少需要多少次？（写出必要的计算过程．）
（4）[最终模型]综合收集到的数据探索规律可知：将64个金盘按上述要求全部从1柱移动到3柱，至少需要移动　 　次．
（5）[问题变式]若在原来条件的基础上，再添加1个条件：每次只能将金盘向相邻的柱子
移动（即：2柱的金盘可以移动到1柱或3柱，但1柱或3柱的金盘只能移动到2柱），则移动完64个金盘至少需要移动　 　次．
【答案】（1）15
（2）（2a+1）
（3）解：h（4）＝15，
h（5）＝2h（4）＝2×15+1＝31，
h（6）＝2h（5）+1＝63，
∴至少需要63次
（4）264﹣1
（5）解：（364﹣1）
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：(1)先用h（3）的方法把较小的3个盘移到2柱（需移动7次），
再将最大盘移到3柱（需移动1次），
最后用h（3）的方法把较小的3个盘从2柱移到3柱（需移动7次），
所以共需要7×2+1＝15次，即h(4)=15，
故答案为：15；(2)
由探究二可知，若将1个金盘按要求全部从1柱移动到2柱，至少需要1次，
则将2个金盘按要求全部从1柱移动到3柱，则至少需要1×2+1＝3次；
由探究三可知，若将2个金盘按要求全部从1柱移动到2柱，至少需要3次，
则将3个金盘按要求全部从1柱移动到3柱，则至少需要3×2+1＝7次；
由探究四可知，若将3个金盘按要求全部从1柱移动到2柱，至少需要7次，
则将4个金盘按要求全部从1柱移动到3柱，则至少需要7x2+1＝15次；
故若将x个金盘按要求全部从1柱移动到2柱，至少需要a次，
则将（x+1）个金盘按要求全部从1柱移动到3柱，则至少需要（2a+1）次，
故答案为：（2a+1）；(4)h（1）＝1，
h（2）＝3＝22﹣1，
h（3）＝7＝23﹣1，
h（4）＝15＝24﹣1，
.....．
h（64）＝264﹣1，
故答案为：264﹣1；(5)
每次只能将盘子向相邻的柱子移动，
故当n＝2时，小盘移到2柱，需要1次，再将小盘移到3柱，需要1次；
将大盘移到2柱，需要1次，再将小盘移到2柱，需要1次，再将小盘移到1柱，需要1次，
将大盘移到3柱，需要1次，将小盘移到2柱，需要1次，再将小盘移到3柱，需要1次；
所以两个盘子需要了8次，
故h（2）＝8；
按照相同的思路可得：h（3）＝26；
∵h（2）＝8＝32﹣1，
h（3）＝26＝33﹣1，
∴h（64）＝364﹣1．
故答案为：（364﹣1）
【分析】（1）根据前3次的探究可以得出探究4；
（2）根据前4次的探究可以得到（x+1）个金盘移动的次数；
（3）根据前面的探究得出规律，然后得出结论；
（4）根据自主探究得出规律即可；
（5）先把n=2时得出结论，再用相同的方法得出h（3），然后找出规律得出结论．
4．（2021八上·铁锋期末）在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点的坐标是，则经过第2021次变换后所得的点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：根据题意可知：点A第四次关于y轴对称后在第一象限，即点A回到初始位置，
所以，每四次对称为一个循环组依次循环，
∵2021÷4=505…1，
∴经过第2021次变换后所得的A点与第一次关于x轴对称变换的位置相同，在第四象限，坐标为.
故答案为：．
【分析】先求出每四次对称为一个循环组依次循环，再根据2021÷4=505…1，求解即可。
5．（2021九上·章丘期中）如图，点B1在直线l：y＝ x上，点B1的横坐标为2，过点B1作B1A1⊥l，交x轴于点A1，以A1B1为边，向右作正方形A1B1B2C1，延长B2C1交x轴于点A2；以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3C2，延长B3C2交x轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形A3B3B4C3，延长B4C3交x轴于点A4；…；照这个规律进行下去，则第n个正方形AnBnBn+1Cn的边长为 　 　（结果用含正整数n的代数式表示）．
【答案】 ×（ ）n-1
【知识点】与一次函数相关的规律问题
【解析】【解答】解：设直线y＝ x与x轴夹角为 ，过B1作B1H⊥x轴于H，如图：
∵点B1的横坐标为2，点B1在直线l：y＝ x上，令x＝2得y＝1，
∴OH＝2，B1H＝1，OB1＝ ，
∴tan ＝ ＝ ，
Rt△A1B1O中，A1B1＝OB1 tan ＝ ，即第1个正方形边长是 ，
∴OB2＝OB1＋B1B2＝ + ＝ ×3，
Rt△A2B2O中，A2B2＝OB2 tan ＝ ×3× ＝ × ，即第2个正方形边长是 × ，
∴OB3＝OB2＋B2B3＝ ×3＋ × ＝ × ，
Rt△A3B3O中，A3B3＝OB3 tan ＝ × × ＝ × ，即第3个正方形边长是 × ＝ ×（ ）2，
∴OB4＝OB3＋B3B4＝ × ＋ × ＝ × ，
Rt△A4B4O中，A4B4＝OB4 tan ＝ × × ＝ × ，即第4个正方形边长是 × ＝ ×（ ）3，
.....．
根据规律可知：第n个正方形边长是 ×（ ）n-1，
故答案为： ×（ ）n-1．
【分析】设直线y＝ x与x轴夹角为 ，过B1作B1H⊥x轴于H，由点B1的横坐标为2，点B1在直线l：y＝ x上，令x＝2得y＝1，可得出OH＝2，B1H＝1，OB1＝ ，tan ＝ ＝ ，Rt△A1B1O中，A1B1＝OB1 tan ＝ ，即第1个正方形边长是 ，Rt△A2B2O中，A2B2＝OB2 tan ＝ ×3× ＝ × ，即第2个正方形边长是 × ，Rt△A3B3O中，A3B3＝OB3 tan ＝ × × ＝ × ，即第3个正方形边长是 × ＝ ×（ ）2，
Rt△A4B4O中，A4B4＝OB4 tan ＝ × × ＝ × ，即第4个正方形边长是 × ＝ ×（ ）3，.....．观察规律即可得出第n个正方形边长。
6．（【深圳市中考数学备考指南】专题21规律探究解析（难））【问题探究】用同样大小的小正方形纸片，按下图的方式拼正方形
规律：第①个图形中有1个小正方形；
第②个图形比第①个图形多3个小正方形；
第③个图形比第②个图形多5个小正方形；
……
第(n+1)个图形比第n个图形多　 　个小正方形．
【答案】1335
【知识点】探索规律-图形的递变规律
7．（【深圳市中考数学备考指南】专题21规律探究解析（难））古希腊数学家定义了五边形数，如下表所示，将点按照表中方式排列成五边形点阵，图形中的点的个数即五边形数；
图 形 ● …
五 边 形 数 1 5 12 22 35 51 …
将五边形数1，5，12，22，35，51，…，排成如下数表；
观察这个数表，则这个数表中的第八行从左至右第2个数为　 　．
【答案】1335
【知识点】探索规律-图形的递变规律
8．（【深圳市中考数学备考指南】专题21规律探究解析（难））在平面直角坐标系中，等边如图放置，点A的坐标为，每一次将绕着点逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，依次类推，则点的坐标为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的递变加循环规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：由题意，点A每6次绕原点循环一周，
，
点在第四象限，，
点的横坐标为，纵坐标为，
故答案为：C
【分析】根据题意可得点A每6次绕原点循环一周，归纳总结可得点在第四象限，，再解直角三角形即可求出答案.
9．（2022·济宁模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，在x轴上，延长交射线与点，以为边作正方形；延长，交射线与点，以为边作正方形；…按照这样的规律继续作下去，若，则正方形的面积为　 　．
【答案】
【知识点】与一次函数相关的规律问题
【解析】【解答】解：∵正方形与正方形是以为位似中心的位似图形，且位似比为，
∴，
∵A1B1⊥x轴，A2 B2⊥x轴，
∴，
∴△OA1B1∽△OA2B2，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴正方形A1 B1C1A2的边长1= 20，
∵△OA1B1∽△OA2B2，
∴，
∴，
∴正方形A2 B2C2 A3的边长为21=2；
同理可证△OA2B2∽△OA3B3，
∴，
∵四边形A2 B2C2 A3是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴正方形A3B3C3A4的边长为4=22，
综上，可归纳出规律：正方形AnBnCn Dn+1的边长为2n－1．
∴正方形A2021B2021C2021A2022的边长为：，
∴正方形A2021B2021C2021A2022的面积为：．
故答案为：．
【分析】先求出正方形AnBnCn Dn+1的边长为2n－1，再将n=2021代入计算即可。
10．（2024八下·湖北期中） 规律探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题.
；（是的面积）；
；（是的面积）；
；（是的面积）；
…
（1）请用含有（为正整数）的等式　 　.
（2）推算出　 　.
（3）求出的值.
【答案】（1）；
（2）
（3）解：
.
【知识点】二次根式的化简求值；勾股定理；探索规律-图形的递变规律
11．（【深圳市中考数学备考指南】专题21规律探究解析（难））人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设，得，记，则　 　
【答案】10
【知识点】探索规律-等式类规律；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：由题意可得：
......
∴1+1+...+1=10
故答案为：10
【分析】根据分数的加法化简各式，总结规律即可求出答案.
12．（【深圳市中考数学备考指南】专题21规律探究解析（难））如图，正方形中，与直线1所夹锐角为，延长交直线1于点，作正方形，延长交直线1于点，作正方形，延长交直线1于点，作正方形，依此规律，则线段　 　
【答案】
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：与直线l所夹锐角为，正方形中，，
线段，
故答案为：
【分析】根据正弦定义及特殊角的三角函数值可得，，则，，总结规律即可求出答案.
13．（【深圳市中考数学备考指南】专题 21 规律探究解析（中等））解答下列问题：
（1）【阅读材料】观察下列图形与等式的关系，并填空：
　 　
　 　
（2）【规律探究】观察下图：
根据以上发现，用含n的代数式填空：
　 　
（3）【解决问题】根据以上发现，计算：
【答案】（1）；
（2）
（3）解：原式=
=
=
=
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：（2）由（1）可得：
故答案为：
【分析】（1）根据图形规律即可求出答案.
（2）根据（1）中结论，总结规律，即可求出答案.
（3）根据（2）中结论，化简即可求出答案.
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