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小结与复习
第二章 实数
平方根与立方根
二次根式
实数
平方根
算术平方根
定义：最简二次根式
性质：积（商）的算术平方根
运算：加、减、乘、除、乘方
立方根
概念与性质
定义
分类
实数
有理数(有限或无限
循环小数)
整数
分数
正整数
零
负整数
正分数
负分数
无理数（无限不循环小数）
正无理数
负无理数
或 实数
正实数
零
负实数
注: 0 既不是正数，也不是负数，但属于整数
1. 实数的分类
实数的相关概念
2. 数轴
① 三要素：原点、单位长度、正方向；
② 与实数一一对应.
3. 相反数、倒数
a 与 -a 相反数的两数和为 0 (a与b互为相反数 a+b = 0)
b 与 互为倒数的两数积为 1 (a 与 b 互为倒数 ab = 1)
4. 绝对值（到原点的距离）
①
|a|=
a (a > 0)
0 (a = 0)
-a (a < 0)
|a| 为非负数，即 |a|≥0
② 非负式的常见形式有：|a|； a2； ；
5. 实数的大小比较
① 利用数轴（右边的数总比左边大）；
② 作差与 0 比；
③ 作商与 1 比（分母的符号已知）.
算术平方根的意义：
算术平方根具有双重非负性.
非负数
≥0
（a≥0）
正数 a 的正的平方根，叫做这个正数的算术平方根.
0 的算术平方根是 0 ，即
平方根与立方根
平方根的定义：
若 ，则 x 叫 a 的平方根，即 .
类比
当 ，则 x 叫做什么呢？
x 叫 a 的立方根.
即：
开平方的定义
类比
开立方的定义
平方根的性质
立方根的性质
求一个数 a 的立方根的运算，叫做开立方，其中 a 叫做被开方数.
如：求 8 的立方根.
一个正数有两个平方根；0 只有一个平方根，它是 0 本身；负数没有平方根.
正数的立方根是正数；
负数的立方根是负数；
0 的立方根是 0.
求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方，其中 a叫做被开方数.
如：求 9 的平方根.
1、定义：
形如　　　　　的式子叫做二次根式，
2、性质：
⑴积的算术平方根：
等于算术平方根的积；
⑵商的算术平方根：
等于算术平方根的商；
其中 a 叫做被开方数.
二次根式
3、最简二次根式 ：
满足以下三个条件的二次根式叫最简二次根式：
⑴被开方数不能含有开得尽方的因数或因式；
⑵被开方数不能含有分母；
⑶分母不能含有根号.
注意：
二次根式的化简与运算，最后结果应化成最简二次根式.
4、二次根式的运算：
⑴二次根式的加减：
类似合并同类项；
⑵二次根式的乘法：
⑶二次根式的除法：
(4)二次根式的平方：
注意:平方差公式与完全平方公式的运用！
中无理数的个数是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
A
1. 下列各数
2. 一个长方形的长与宽分别是 6、3，它的对角线的长是（ ）
A. 整数
D. 无理数
C. 有理数
B. 分数
D
3. 下列语句中正确的是（ ）
A.
-9 的平方根是 -3
B.
9 的平方根是 3
C.
9 的算术平方根是±3
D. 9 的算术平方根是 3
D
4. 下列运算中，正确的是（ ）
A
5.
的平方根是（ ）
A.±5
C. 5
B. -5
D.
6. 下列等式正确的是（ ）
D
D
7. 已知一个正方形的边长为 a，
面积为 S，则 ( )
C
8. 9 的算术平方根是 ；
9. (-5)3 的立方根是 ；
10. 10-2 的平方根是 .
3
-5
±0.1
11. 比较大小： 与
解：∵ (-2 + )-(-2+ ) = -2+ +2- = - ＞0，
∴ -2+ ＞-2+
另解：直接由正负决定-2+ ＞-2+
12. 实数 a，b，c，d 在数轴上的对应点如图所示，则
将它们用“ < ”连接是 .
c d 0 b a
其中：
c < d < b < a
a + b
-d - c
b - c
a - d

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