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丰城中学2024-2025学年上学期高二期末考试试卷
数 学
一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）
1．过点A(2,3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为(　　)
A．x－2y＋4＝0 B.2x＋y－7＝0
C．x－2y＋3＝0 D.x－2y＋5＝0
2．某士兵进行射击训练，每次命中目标的概率均为，且每次命中与否相互独立，则他连续射击3次，至少命中两次的概率为( )
A. B． C． D．
3．根据如下样本数据
x 3 4 5 6 7 8
y 4.0 2.5 －0.5 0.5 －2.0 －3.0
得到了经验回归方程＝x＋，则( )
A.>0，>0 B．<0，>0
C.>0，<0 D．<0，<0
4．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，F1、F2分别为左、右焦点，点P在双曲线上，PF1⊥PF2，P到左焦点F1的距离是P到右焦点F2的距离的3倍，则双曲线的离心率是( )
A. B． C．2 D．
5．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱C1C、B1B的中点，G为棱BC上一点，且BG＝λ(0<λ<2)，则点G到平面D1EF的距离为( )
A. B． C. D．
6．过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝( )
A．1 B． C． D．
7．已知圆C1：x2＋y2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝16，则下列说法正确的是( )
A．圆C1与圆C2公共弦所在直线的方程为3x＋4y－5＝0
B．圆C1与圆C2有两条公切线
C．x＝－1是圆C1与圆C2的一条公切线
D．圆C1与圆C2上均恰有两点到直线3x＋4y－5＝0的距离为2
8．中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命做出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊．现有6支救援队前往A，B，C三个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中A受灾点至少需要2支救援队，则不同的安排方法种数是( )
A．180 B．320 C．345 D．360
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9已知四面体ABCD中，AB，AC，AD两两互相垂直，则下列结论中正确的是(　　)
A．|＋＋|＝|＋－|
B．|＋＋|2＝||2＋||2＋||2
C．(＋＋)·＝0
D.·＝·＝·＝0
10．已知某校高三年级有1 000人参加一次数学模拟考试，现把这次考试的分数转换为标准分，标准分的分数转换区间为[60,300]，若使标准分X服从正态分布N(180,900)．(参考数据：①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3) 则下列结论正确的个数为( )
A．这次考试标准分超过180分的约有450人
B．这次考试标准分在(90,270]内的人数约为997
C．甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为
D．P(24011．已知曲线C：mx2＋(1－m)y2＝1为焦点在y轴上的椭圆，则下列说法正确的有( )
A.B．C的离心率为
C．C的短轴长的取值范围是(2,2)
D．m的值越小，C的焦距越大
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．若A(3,4)，B(－6，－3)两点到直线l：tx＋y－3＝0的距离相等，则t的值可以为 （填一个答案即可）
13．深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的安排上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋和后卫三个位置，且出场率分别为0.2,0.5,0.3，当乙球员担当前锋、中锋以及后卫时，球队输球的概率依次为0.4,0.2,0.8.当乙球员参加比赛时．该球队这场比赛不输球的概率为 　.
14．曲线的形状是一个斜椭圆，其方程为，点是曲线上的任意一点，点为坐标原点，则下列说法正确的是　.
A．曲线关于对称 B．的最大值为
C．该椭圆的离心率为 D．的最大值为
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15(13分)．已知8的展开式中．
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中第4项.
16(15分)．在矩形ABCD中，AB＝BC＝2，将△ADC沿AC折起至△APC的位置，且PB＝2.
(1)求证：平面PAB⊥平面PBC；
(2)求二面角P－AC－B的正弦值．
17(15分)．已知抛物线C：y2＝2px经过点(2，－2)，直线l1：y＝kx＋m(km≠0)与C交于A，B两点(异于坐标原点O)．
(1)若·＝0，证明：直线l1过定点；
(2)已知k＝2，直线l2在直线l1的右侧，l1∥l2，l1与l2之间的距离d＝，l2交C于M，N两点，试问是否存在m，使得|MN|－|AB|＝10？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．
18(17分)．后疫情时代，为了可持续发展，提高人民幸福指数，国家先后出台了多项减税增效政策．某地区对在职员工进行了个人所得税的调查，经过分层随机抽样，获得500位在职员工的个人所得税(单位：百元)数据，按[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]，(12,14]，(14,16]，(16,18]分成九组，制成如图所示的频率分布直方图：
假设每个组内的数据是均匀分布的．
(1)求这500名在职员工的个人所得税的中位数(保留到小数点后一位)；
(2)从个人所得税在(6,8]，(14,16]，(16,18]三组内的在职员工中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记年个税在(14,16]内的员工人数为X，求X的分布列和数学期望；
(3)以样本的频率估计概率，从该地区所有在职员工中随机抽取100名员工，记年个税在(14,18]内的员工人数为Y，求Y的数学期望与方差．
19(17分)．已知直线l1⊥x轴，垂足为x轴负半轴上的点E，点E关于原点O的对称点为F，且|EF|＝4，直线l1⊥l2，垂足为A，线段AF的垂直平分线与直线l2交于点B.记点B的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)已知点P(2,4)，不过点P的直线l与曲线C交于M，N两点，以线段MN为直径的圆恒过点P，点P关于x轴的对称点为Q，若△QMN的面积是64，求直线l的斜率．
高二数学参考答案
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
A A C B C B C D
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
ABD BC AC
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． －或－　. 13． 0.58 14 ABD
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
14【详解】由方程可以看出其关于，对称，A正确；
由题意知，，，，，B正确： 联立方程，解得顶点坐标为和，所以椭圆长轴长为；同理可得另外两个顶点坐标为和，所以椭圆的短轴长为，所以，所以该椭圆的离心率为：，C错误；
看作关于的一元二次方程，，解得，D正确，
15． 解　(1)因为n＝8，所以第5项的二项式系数最大，所以二项式系数最大的项为.
(2) T4＝C3x＝7x.
16． [解析]　(1)由已知可得：BC＝2，PB＝2，PC＝CD＝AB＝2，
在△PBC中，PB2＋BC2＝PC2，故PB⊥BC.
又AB⊥BC，且PB∩AB＝B，∴BC⊥平面PAB，
因为BC 平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC.
(2)解法一：取AB、CD的中点O、E，连接OP，OE.
因为PA＝PB，所以PO⊥AB，
由(1)知：BC⊥PO，
所以PO⊥平面ABC.
以OB，OE，OP所在直线分别在x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
则A(－，0,0)，B(，0,0)，C(，2,0)，P(0,0，)．
则＝(2，2,0)，＝(，0，)，
设平面APC的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则m·＝0，m·＝0，故
取x1＝1，y1＝－，z1＝－1，则m＝(1，－，－1)．
又平面ABC的法向量为n＝(0,0,1)，
cos〈m，n〉＝＝－.
所以二面角P－AC－B的正弦值为.
解法二：如图，取AB中点O，
连接PO，作OH⊥AC于H，连接PH，
∵PA＝PB＝2，∴PO⊥AB且PO＝，
由(1)知BC⊥平面PAB，
∴BC⊥PO，∴PO⊥平面ABC，
∴PO⊥AC，∴AC⊥平面PHO，
∴AC⊥PH，∴∠OHP为二面角P－AC－B的平面角．
又PH＝＝，
∴sin∠OHP＝＝，
即二面角P－AC－B的正弦值为.
17． [解析]　(1)证明：将点(2，－2)代入y2＝2px，
得24＝4p，即p＝6.
联立得ky2－12y＋12m＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝，
x1x2＝·＝＝.
因为·＝0，所以＋＝0恒成立，
则m＝－12k，
所以l1的方程为y＝k(x－12)，故直线l1过定点(12,0)．
(2)存在m＝符合题意，理由如下：
联立得4x2＋(4m－12)x＋m2＝0，
则
且Δ＝(4m－12)2－16m2＝48(3－2m)>0，即m<，
|AB|＝|x1－x2|
＝
＝·，
设l2：y＝2x＋n，同理可得|MN|＝·.
因为直线l2在l1的右侧，所以n即n＝m－5.
所以|MN|－|AB|＝[－]＝10，
即＝2＋，解得m＝，
因为<，所以m＝.
18． [解析]　(1)设中位数为x，前四个矩形的面积之和为(0.02＋0.03＋0.05＋0.05)×2＝0.3<0.5，
前五个矩形的面积之和为0.3＋0.15×2＝0.6>0.5，
所以可设中位数为x∈(8,10)，
由中位数的定义可得0.3＋(x－8)×0.15＝0.5，
解得x＝≈9.3.
(2)由频率分布直方图，得这500名在职员工的个人所得税在(6,8]，(14,16]，(16,18]三组内的员工人数分别为：500×0.05×2＝50,500×0.04×2＝40,500×0.01×2＝10，
若采用分层抽样的方法抽取了10人，则从在(14,16]内的员工中抽取×10＝4人，
从这10人中随机抽取3人，则X的可能取值为0,1,2,3，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
(3)员工的个人所得税在(14,18]内的概率为0.04×2＋0.01×2＝0.1，
从该地区所有在职员工中随机抽取100名员工，个人所得税在(14,18]内的员工人数为Y，则Y～B(100,0.1)，E(Y)＝100×0.1＝10，D(Y)＝100×0.1×0.9＝9.
19 [解析]　(1)由题意可得|AB|＝|BF|，即点B到点F的距离等于点B到直线l1的距离．
因为|EF|＝4，所以l1的方程为x＝－2，F(2,0)，
则点B的轨迹C是以F为焦点，直线l1：x＝－2为准线的抛物线，
故点B的轨迹C的方程为y2＝8x.
(2)由题意可知直线l的斜率不为0，则设直线l：
x＝my＋n，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
联立整理得y2－8my－8n＝0，
则Δ＝64m2＋32n>0，从而y1＋y2＝8m，y1y2＝－8n.
故|MN|＝|y1－y2|＝·.
由题意可得Q(2，－4)，则点Q到直线的距离d＝，
故△PMN的面积S＝|MN|·d＝·|2＋4m－n|·.
因为以线段MN为直径的圆恒过点P，所以·＝0，
即(x1－2)(x2－2)＋(y1－4)(y2－4)＝x1x2－2(x1＋x2)＋y1y2－4(y1＋y2)＋20＝0.
因为x1＝，x2＝，
所以－＋y1y2－4(y1＋y2)＋20＝0，
即－＋y1y2－4(y1＋y2)＋20＝0，
所以n2－16m2－12n－32m＋20＝0，
即n2－12n＋36＝16m2＋32m＋16，
即(n－6)2＝16(m＋1)2，所以n－6＝±4(m＋1)，
即n＝4m＋10或n＝－4m＋2.
因为直线l不经过点P，所以n≠－4m＋2，
所以n＝4m＋10，
则S＝·|2＋4m－n|·＝32＝64，解得m＝1或m＝－3，
故直线l的斜率为1或－.

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