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第1章《三角形的证明》章节复习题
【题型1 由HL证明全等】
1.如图，于点B，于D，若，且，，则的长为（ ）
A．1 B．4 C． D．
2.如图，在中，，点在上，交于点，的周长为的周长为，则边的长为 ．

3.如图，在中，，P、Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，要使和全等，则 ．
4.如图，在中，，平分．若，，的长为 ．
【题型2 由三线合一求值或证明】
1.如图，已知为，点在边上，，点、在边上，．若为，则为 ．
2.（1）如图，已知与交于点，，，则与的数量关系是______；
（2）如图，已知的延长线与交于点，，，探究与的数量关系，并说明理由．
3.如图，在中，，，平分，点M为上一点，且，则 ．
4.如图，在中，，点是上一点，于点，于点．
(1)若点是的中点，求证：；
(2)若，求的度数．
【题型3 等腰三角形中分类讨论】
1.如图，中，，，为边上一点（不与、重合），将沿翻折得到，交于点．若为等腰三角形，则为（ ）

A． B．或 C． D．或
2.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则它的底角为（ ）
A． B． C．或 D．或
3.如图，中，动点D在直线上，当为等腰三角形， ．

4.如图，在中，，，和关于直线对称，的平分线交于点G，连接，当为等腰三角形时，的度数为 ．

【题型4 双垂直平分线求角度与周长】
1.如图所示，点、是的边上的两点，线段的垂直平分线交于，的垂直平分线恰好经过点，连接、，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
2.如图，在中，，的垂直平分线交于D，的垂直平分线交与E，则的周长等于（　　）
A．6 B．7 C．8 D．12
3.如图，在中，平分，平分，点是、的垂直平分线的交点，连接、，若，则的大小为（ ）

A． B． C． D．
4.如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点O，这两条垂直平分线分别交于点D、E．已知的周长为，分别连接，若的周长为，则的长为 ．

【题型5 角平分线与垂直平分线综合运用】
1.如图，在中，，的平分线与边的垂直平分线相交于点，交的延长线于点，于点，现有以下结论：①；②；③平分；④；其中正确的有（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
2.如图，在中，的平分线交于点恰好是的垂直平分线，垂足为．若，则的长为 ．

3.如图，在中，的角平分线与的垂直平分线交于点O，连接．若，则 ．

4.如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点D，的延长线于点M，于点N．若，则的长为 ．
【题型6 勾股数、勾股树】
1.勾股定理最早出现在《周解算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…若此类勾股数的勾为（，为正整数），则其弦是（结果用含的式子表示）（ ）
A． B． C． D．
2.如图是一株美丽的勾股树，其作法为：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作两个正方形，计为②．依此类推…若正方形①的面积为16，则正方形③的面积是 ．
3.当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个数为勾股数，如：3，4，5都是正整数，且，所以3，4，5是勾股数．观察下列各勾股数有哪些规律；
3，4，5； 9，40，41；
5，12，13； ……；
7，24，25； ，，．
(1)当时，求，的值
(2)判断10，24，26是否为一组勾股数？若是，请说明理由．
4.勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值．如图所示，是一棵由正方形和含角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树的主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为，…，第个正方形和第个直角三角形的面积之和为．
设第一个正方形的边长为1．
请解答下列问题：
（1） ．
（2）通过探究，用含的代数式表示，则 ．
【题型7 尺规作图与证明、计算的综合运用】
1.如图，在中，．

(1)请用无刻度的直尺和圆规在边上找一点P，使得点P到点A和点B的距离相等；（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用铅笔作图）
(2)在（1）的条件下，若，，则的周长是___________．
2.如图，在中，，为的中点，连接．
(1)请用直尺和圆规完成基本作图：
作的垂直平分线交于点，交于点，交于点，连接、；（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
(2)求证：．（请补全下面的证明过程，不写证明理由）．
证明：∵，为中点，
∴________．
∵为的垂直平分线，
∴，
又∵，
，
∴________．
∴________，
∴．
3.如图，是等边三角形，是中线，延长至E，使．

(1)求证：；
(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的中点F（不写作法，保留作图痕迹）；若，求的长．
4.（1）尺规作图：过点A作直线l的垂线．
作法如下：
①以点A为圆心，a为半径作弧交直线l于C、D两点；
②分别以C、D为圆心，a长为半径作弧，两弧在l下方交于点E，连接（路径最短）；
i根据题意，利用直尺和圆规补全图形；
ii作图依据为______________
（2）画一画，想一想：如图，已知．你能用手中的三角板作出的角平分线吗？写出作法，并证明．
【题型8 由勾股定理证明线段之间的关系】
1.已知是等边三角形．

(1)如图1，也是等边三角形．点A、B、E三点不共线，求证：；
(2)如图2，点D是外一点，且，请证明结论；
(3)如图3，点D是等边三角形外一点，若．试求的度数．
2.如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，且，点B在y轴上，且．

(1)求线段的长；
(2)若点E在线段上，，且，求的值；
(3)在（2）的条件下，过点O作，交于点M，试证明：
3.亲爱的同学们，在全等三角形中，我们见识了很多线段关系的论证题，下面请你用本阶段所学知识，分别完成下列题目．
(1)如图，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．证明：；
(2)如图，和均为等腰直角三角形，，点、、在同一直线上，为中边上的高，连接．容易证明，则：
①的度数为______；
②直接写出、、之间的数量关系．
(3)如图，中，若，为的中点，交、于、，求证：．
4.如图，点A为x轴负半轴上一点，点B为y轴正半轴上一点，点C为x轴正半轴上一点，，，,且a、b、c满足有意义．

(1)若，求__________________；
(2)如图1，点P在x轴上（点P在点A左边），以为直角边在的上方作等腰直角三角形，求证：；
(3)如图2，点M为中点，点E为射线上一点，点F为射线上一点，且，设，，请求出的长度（用含m、n的代数式表示）．
【题型9 由勾股定理求最值】
1.如图，已知，点为内的两个动点，且，，，点分别是上的动点，则的最小值是（ ）

A．5 B．7 C．8 D．10
2.如图，等腰和等腰的腰长分别为4和2，其中，M为边的中点．若等腰绕点A旋转，则点B到点M的距离的最大值为 ．
3.如图，正方形的边长为6，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为 ．

4.如图，中，，，，点在上，将沿折叠，点落在点处，与相交于点，则的最大值为 ．
【题型10 等边三角形的十字结合模型】
1.如图是等边三角形，点、分别在边、上，、交于点，，为的角平分线，点在的延长线上，连接、，，①；②；③；④；其中说法正确的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.如图，在等腰中，，，是等边三角形，P是平分线上一动点连接、，则的最小值为 ．

3.如图，等边三角形中，点，分别在，边上，且，，相交于点．

(1)不添加辅助线，请在图中找出与相等的线段，并证明．
(2)若于，，，求的长．
4.如图，等边三角形中，点，分别在，边上，且，，相交于点．

(1)不添加辅助线，请在图中找出与相等的线段，并证明．
(2)若于，，，求的长．
参考答案
【题型1 由HL证明全等】
1.C
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及其性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理．证明，推出，再利用含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
2.7
【分析】本题考查直角三角形全等的判定和性质，连接，可证 ，推出，进而可得与的周长之差等于的2倍，即可求解．
【详解】解：如图，连接，

在和中，
，
，
，
的周长为的周长为，
，，
，
，
，
故答案为：7．
3.6或12
【分析】分情况讨论：①，此时，可据此求出P的位置；②，此时，点P与点C重合．
【详解】解：①当时，
∵，
在与中，
∴，
∴；
②当P运动到与C点重合时，，
在与中，
∴，
∴，
∴当点P与点C重合时，才能和全等，
综上所述，或12，
故答案为：6或12．
4.
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解答本题的关键是明确角的平分线上的点到角的两边的距离相等．由角平分线的定义得到，再证明，，根据角平分线的性质得到，接着利用面积法证明，则设，，，然后证明得到，所以，利用勾股定理得到，解得，从而得到的长．
【详解】解：过点作于点，于点，如图，
平分，
，
，
，
，
平分，，，
，
，
，
，
设，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，解得，
．
故答案为：
【题型2 由三线合一求值或证明】
1.
【分析】本题主要考查的是含30度直角三角形的性质、等腰三角形的性质；过作，交于点，先说明，再根据含30度直角三角形的性质可得的长；由，利用等腰三角形三线合一可得为中点，再根据求出的长，最后根据即可解答．
【详解】解：如图：过作交于点，

在中，
∴，
∵，
，
，，，
，
．
故答案为：．
2.（）∵，，
∴，
故答案为：；
（），理由如下：
在上截取，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴．
3.
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质得到，，，结合三角形内角和定理计算即可．掌握等腰三角形的性质是解决问题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，是边上的中线，
∴，，
∴，
则
故答案为：．
4.（1）证明：如图，连接，
，
，点是的中点，
∴，，
，
，
，
∴；
（2）解：，
，
，
，
在中，，
∴，
，
，
∴．
【题型3 等腰三角形中分类讨论】
1.B
【分析】分两种情况进行讨论，当时，根据折叠的性质可知，设，根据等腰三角形的性质可得，则，解出x即可；当时， 根据折叠的性质可知，设，根据等腰三角形的性质可得，则，则，解出y即可．
【详解】解：当时，
根据折叠的性质可知，
设，
∵，
∴，
∵为等腰三角形，，
∴，
∵，
∴，
解得，
当时，
根据折叠的性质可知，
设，
∵，
∴，
∵为等腰三角形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
综上所述，的度数为或，
故选：B．
2.C
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理进行分析，注意分类讨论思想的运用．
【详解】解：①，，，

，
；
②，，，

．
故选：C．
3.或或或
【分析】画出图形，分四种情况分别求解．
【详解】解：若，
则；

若，
则，
∴；

若，且三角形是锐角三角形，
则；

若，且三角形是钝角三角形，
则．

综上：的度数为或或或，
故答案为：或或或．
4.或或
【分析】先由轴对称可以得出，就可以得出，，再证明就可以得出，就可以求出的值；再分三种情况求解：当、、．
【详解】解：∵，，
∴．
∵和关于直线对称，
∴，
∴，，
∴．
∵平分，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴．
①当时，
∴．
②当时，
∴．
∵，
∴．
③当时，
∴，
∴，
故答案为：或或．
【题型4 双垂直平分线求角度与周长】
1.D
【分析】根据线段垂直平分线的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理计算判断即可．
【详解】∵线段的垂直平分线交于，的垂直平分线恰好经过点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选D．
2.C
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，进而可得，从而可得答案．
【详解】解：∵的垂直平分线交于D，
∴，
∵的垂直平分线交于E，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的周长为8，
故选：C．
3.B
【分析】连接并延长，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，，根据三角形的外角性质计算，得到．根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的定义得到，求出．
【详解】解：连接并延长，

点是、的垂直平分线的交点，
，，
，，
是的一个外角，
，
同理，，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
，
故选：B．
4.
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，，从而可求出，然后根据的周长为，即可求出的长，即可解答．
【详解】解：是的垂直平分线，
，，
是的垂直平分线，
，，
，
的周长为，
，
，
，
的周长为，
，
，
，
故答案为：．
【题型5 角平分线与垂直平分线综合运用】
1.B
【分析】①由角平分线的性质即可证明；②由题意可知，可得，，从而可以证明；③假设平分，则，可推出，条件不足，故错误；④连接，证明，，得出，，即可证明．
【详解】如图所示，连接，

∵平分，，，
∴．
故①正确；
∵，平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
同理，
∴．
故②正确；
∵，
∴．
假设平分，则，
∴．
∵，
∴．
∴．
又∵的度数是未知的，
∴不能判定平分．
故③错误；
∵是的垂直平分线，
∴．
在和中，
，
∴．
∴．
在和中，
，
∴．
∴，
∴．
故④正确；
故选B．
2.3
【分析】由角平分线性质定理，得，所以，于是，由线段垂直平分线定理，得；由面积公式，化简求解．
【详解】解：∵平分，，，
∴．
∴
∵垂直平分，
∴，．
∴．
∵，
∴．
∴．
故答案为：3．
3.
【分析】由线段垂直平分线的性质可得，由角平分线的定义可得，再利用三角形的内角和定理可求得的度数，进而可求解．
【详解】解：垂直平分，
，
，
平分，
，
，
，
，，
，
．
故答案为：．
4.2
【分析】连接，由“”可证，可得，由“”可证，可得，即可求解．
【详解】解：连接，
∵是的平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为2．
【题型6 勾股数、勾股树】
1.C
【分析】根据题意得为偶数，设其股是，则弦为，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【详解】解：为正整数，
为偶数，设其股是，则弦为，
根据勾股定理得，，
解得，
弦是，
故选：C．
2.4．
【分析】根据勾股定理可得两条直角边的平方和等于斜边的平方，即第①个正方形的面积＝第②个正方形面积的两倍；同理，第③个正方形面积是第②个正方形面积的一半，依此类推即可解答．
【详解】解：第①个正方形的面积为16，
由分析可知：第②个正方形的面积为8，
第③个正方形的面积为4，
故答案为：4．
3.（1）解：观察已有的勾股数可得，
∴，
把代入，
解得（负值已舍掉），
∴；
（2）10，24，26是勾股数．
∵．
又∵10，24，26都是正整数
根据勾股数的定义，可知10，24，26是勾股数．
4. （为整数）
【分析】根据正方形的面积公式求出面积，再根据直角三角形三条边的关系运用勾股定理求出三角形的直角边，求出S1，然后利用正方形与三角形面积扩大与缩小的规律推导出公式．
【详解】解：（1）∵第一个正方形的边长为1，
∴正方形的面积为1，
又∵直角三角形一个角为30°，
∴三角形的一条直角边为，另一条直角边就是，
∴三角形的面积为，
∴S1=；
（2）∵第二个正方形的边长为，它的面积就是，也就是第一个正方形面积的，
同理，第二个三角形的面积也是第一个三角形的面积的，
∴S2=（） ，
依此类推，S3=（） ，
即S3=（） ，
Sn=（n为整数）．
故答案为：（1） ；（2）（为整数）
【题型7 尺规作图与证明、计算的综合运用】
1.（1）解：如图，点P即为所求；

（2）解：连接，
由（1）知，
∴的周长为：，
故答案为：．
2.（1）解：直线，如图所示：
（2）证明：∵，为中点，
∴ ．
∵为的垂直平分线，
∴，．
又∵，
，
∴ ，
∴ ．
∴．
故答案为：，，
3.（1）证明：是等边三角形，
，
∵是中线，
∴，
，
，
又，
，
，
．
（2）解：如图所示．

由作图可知：，由（1）知，，
∴垂直平分．即点F是的中点，
是等边三角形，
∴，，
∵是中线，
∴，
∴在中，．
∴．
4.（1）如图所示，
连接,
由作法得：，
∴，在的垂直平分线上，
∴
∴作图依据为：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分上．
故答案为：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分上．
（2）作法：①在上，利用刻度尺截取，
利用三角板的直角作交于点，
③作射线，
则为的角平分线．
证明：∵
∴
在和中，
，
∴
∴
即为的角平分线．
【题型8 由勾股定理证明线段之间的关系】
1.（1）解：证明：如图1中，连接．

，都是等边三角形，
，，，
，
，
．
（2）如图2中，以为边向下作等边，连接．

，都是等边三角形，
，，，
，
，
，
，，
，
，
，，
．
（3）如图3中，以为边向下作等边，连接，作交的延长线于．

同法可证：，
，设，，
则有，
解得，
，
，
，
，
，
．
2.（1）在中，
∵，
∴．
（2）∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
（3）结论：，理由如下：
连接．∵，

∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
由（1）可知，
∴，
∴，
∴，
∴．
3.（1）证明：如图，
，直线，直线，
，
，
，
，
，
，，
；
（2）解：①和均为等腰直角三角形，，
，
，
，
，，
，
故答案为：；
②，理由如下：
为等腰直角三角形，为中边上的高，
，
，
；
（3）证明：如图，延长到点，使，连接，，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，即，
中，，
，，
，
．
4.（1）解：∵a、b满足有意义，
∴且，
∴，即，，
；
（2）证明：连接，由（1）可得，
∵两个坐标轴垂直，
∴，
∴，
又∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．，，
∵，
∴，
∴，
即，
∴即；
（3）当点E在线段上时，连接，如图所示：
∵，，点M为的中点，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
根据勾股定理得：；
当点E在线段延长线上时，连接，如图所示：
同理可得：，
∴，
∵，
∴，
根据勾股定理得：；
综上分析可知，．
【题型9 由勾股定理求最值】
1.A
【分析】作点关于直线的对称点，连接，作点关于直线的对称点，连接，连接，可知，当，，，在同一条直线上时，可以取得最小值，最小值等于的长度，即的最小值等于的长度，利用勾股定理即可求得的长度．
【详解】如图所示，作点关于直线的对称点，连接，作点关于直线的对称点，连接，连接．

根据轴对称图形的性质可知，，
∴．
根据题意可知，当，，，在同一条直线上时，可以取得最小值，最小值等于的长度，即的最小值等于的长度．
根据轴对称图形的性质可知，，
∴．
∴．
根据轴对称图形的性质可知，，
∴．
∴的最小值等于．
故选：．
2.
【分析】连接．由三线合一得，利用勾股定理求出，然后利用三角形三条边的关系求解即可.
【详解】如图，连接．
∵M为边的中点，且为等腰直角三角形，
∴，．
在中，，
由勾股定理可知，即．
当A，B，M三点不共线时，由三角形的三边关系可知，
此时一定有；当A，B，M三点共线且点M不位于点A，B之间时，此时有，
∴，
即点B到点M的距离的最大值为．
3.13
【分析】如图，作A于对称点,则，在上截取，然后连接，当三点共线时，有值最小，然后利用勾股定理即可解答．
【详解】解：如图，作A于对称点，
∴，,
在上截取，然后连接，
∵
∴四边形是平行四边形，
∴,
∴，
∴当三点共线时，有值最小，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得:，即最小值为13．
故答案为13．

4.
【分析】首先利用勾股定理求出，然后确定取最大值时最小，然后利用垂线段最短解决问题．
【详解】解：在中，，，，
，
，，
当最小时，最大，
当时最小，
又 ，解得，
的最小值为，
的最大值为，
故答案为：．
【题型10 等边三角形的十字结合模型】
1.C
【分析】先证明，得到，可判断①；过点H作交延长线于N，作于M，由角平分线的性质得，可证明，推出是等边三角形，再证明，，可判断④；根据角之间的关系得出，即，可判断③；在上截取，证明，得出，根据线段的和差，可判断②．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
在和△CAE中，，
∴，
∴，故①正确；
过点H作交延长线于N，作于M，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，④正确；
∵，，
∴，
∴，③错误；
在上截取，
∵，
∴是等边三角形，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，故②正确，
∴正确的有：①②④，
故选：C．
2.20
【分析】连接，根据等腰三角形的性质可证垂直平分，即可得到，再根据当B，P，D在同一直线上时，的最小值为线段长，即可得出的最小值为20．
【详解】解：如图，连接，

∵点P是的角平分线上一动点，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴当B，P，D在同一直线上时，的最小值为线段长，
又∵是等边三角形，，
∴的最小值为20，
故答案为：20．
3.（1）解：；理由如下：
∵为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
即，
在和中，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
4.（1）解：；理由如下：
∵为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
即，
在和中，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．

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