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第2章《相交线与平行线》期末知识点复习题
【题型1 平行线在三角板中的运用】
1.将一副直角三角板如图1，摆放在直线MN上（直角三角板和直角三角板EDC，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点C以每秒5°的速度，顺时针方向旋转，旋转时间为t秒，当与射线重合时停止旋转．

(1)如图2，当为的角平分线时，直接写出此时t的值；
(2)当旋转至的内部时，求与的数量关系．
(3)在旋转过程中，当三角板的其中一边与平行时，请直接写出此时t的值．
2.如图1，将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中，，．
(1)观察猜想，∠BCD与∠ACE的数量关系是________；∠BCE与∠ACD的数量关系是________；
(2)类比探究，若按住三角板不动，顺时针绕直角顶点转动三角形，试探究当∠ACD等于多少度时CE//AB，画出图形并简要说明理由；
(3)拓展应用，若∠BCE＝3∠ACD，求∠ACD的度数；并直接写出此时DE与AC的位置关系．
3.如图，两个形状，大小完全相同的含有30°、60°的三角板如图放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．
（1）①如图1，∠DPC＝　 　度．
②我们规定，如果两个三角形只要有一组边平行，我们就称这两个三角形为“孪生三角形”，如图1，三角板BPD不动，三角板PAC从图示位置开始每秒10°逆时针旋转一周（0°旋转360°），问旋转时间t为多少时，这两个三角形是“孪生三角形”．
（2）如图3，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速3°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速2°/秒，在两个三角板旋转过程中，（PC转到与PM重合时，两三角板都停止转动）．设两个三角板旋转时间为t秒，以下两个结论：①为定值；②∠BPN+∠CPD为定值，请选择你认为对的结论加以证明．
4.如图1，将三角板与三角板摆放在一起，其中，，，固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，当点E落在射线的反向延长线上时，即停止旋转．
(1)如图2，当边落在内，
①与之间存在怎样的数量关系？试说明理由；
②过点A作射线，，若，，求的度数；
(2)设的旋转速度为3°/秒，旋转时间为t，若它的一边与的某一边平行（不含重合情况），试写出所有符合条件的t的值．
【题型2 平行线在折叠中的运用】
1.如图，已知长方形纸片ABCD，点E和点F分别在边AD和BC上，且∠EFC=37°，点H和点G分别是边AD和BC上的动点，现将点A，B，C，D分别沿EF，GH折叠至点N，M，P，K，若MNPK，则∠KHD的度数为（　　）
A．37°或143° B．74°或96° C．37°或105° D．74°或106°
2.如图，将一条长方形彩带进行两次折叠，先沿折痕向上折叠，再沿折痕向背面折叠，若要使两次折叠后彩带的夹角，则第一次折叠时应等于 ．

3.已知M，N分别是长方形纸条边，上两点（），如图1所示，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，交于点P；如图2所示，继续沿进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
4.如图，已知四边形纸片的边，是边上任意一点，沿折叠，点落在点的位置．

(1)观察发现：如图①所示：，，则______．
(2)拓展探究：如图②，点落在四边形的内部，探究，，之间的数量关系，并证明；
(3)迁移应用：如图③，点落在边的上方，则（2）中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们的数量关系并证明．
【题型3 旋转使平行】
1.在一次课外活动中，小明将一副直角三角板如图放置，E在AC上， ，，．小明将ADE从图中位置开始，绕点按每秒的速度顺时针旋转一周，在旋转过程中，第 秒时，边与边平行．
2.如图，分别将木条a，b与固定的木条c钉在一起，，，顺时针转动木条a，下列选项能使木条a与b平行的是（ ）

A．旋转30° B．旋转50° C．旋转80° D．旋转130°
3.两块不同的三角板按如图1所示摆放，边与边重合，，接着如图2保持三角板不动，将三角板绕着点（点不动）按顺时针（如图标示方向）旋转，在旋转的过程中，逐渐增大，当第一次等于时，停止旋转，在此旋转过程中， 时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行．

4.如图（1），在三角形ABC中，，BC边绕点C按逆时针方向旋转一周回到原来的位置．在旋转的过程中（图（2），使，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【题型4 利用平行线求角度之间的关系】
1.点A，C，E在直线l上，点B不在直线l上，把线段AB沿直线l向右平移得到线段CD．
（1）如图1，若点E在线段AC上，求证：B+D=BED；
（2）若点E不在线段AC上，试猜想并证明B，D，BED之间的等量关系；
（3）在（1）的条件下，如图2所示，过点B作PB//ED，在直线BP，ED之间有点M，使得ABE=EBM，CDE=EDM，同时点F使得ABE=nEBF，CDE=nEDF，其中n≥1，设BMD=m，利用（1)中的结论求BFD的度数（用含m，n的代数式表示）．
2.甲同学在学完《相交线与平行线》后，想通过折铁丝的方式进一步探索相交线与平行线的知识，他的具体操作步骤如下：
第一步：将一根铁丝在，，处弯折得到如下图①的形状，其中，．
第二步：将绕点D旋转一定角度，再将绕点E旋转一定角度并在上某点处弯折，得到如下图②的形状．
第三步：再拿出另外一根铁丝弯折成，跟前面弯折的铁丝叠放成如下图③的形状．
请根据上面的操作步骤，解答下列问题：
(1)如图①，若，求；
(2)如图②，若，请判断，，，之间的数量关系，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，如图③，若，，设，，求．（用含，的式子表示）
3.如图，直线中的边与直线m相交于D、E两点，边与直线n交于F、G两点．

(1)将如图1位置摆放，如果，则______；
(2)将如图2位置摆放，H为上一点，，请写出与之间的数量关系，并说明理由；
(3)将如图3位置摆放，若，延长交直线n于点K，点P是射线上一动点，探究与的数量关系，请直接写出结论（题中的所有角都大于0°小于180°）．
4.【问题情境】如图1，，直线交于点H，交于点G，点F在直线上．直接写出之间的数量关系为 ．

【实践运用】如图2，，直线交于点H，交于点G，点F在直线上．平分，平分，若，求的度数．

【拓广探索】如图3，，直线交于点H，交于点G，点P为平面内不在直线，，上的一点，若，，则 （直接写出答案，用x，y表示）．

【题型5 利用平行线解决角度定值问题】
1.已知 ，P是截线上的一点，与，分别交于E，F．

(1)如图（1），P在AB、CD之间，若，，求的度数；
(2)如图（1），当点P在线段EF上运动时，与的平分线交于Q，则是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围；
(3)如图（2），当点P在线段FE的延长线上运动时，与的平分线交于Q，的值是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由．
2.如图1，点、分别在射线、线上，，于点，平分交于点，连接，．
　　
(1)求证：；
(2)求证：平分；
(3)如图2，和的平分线交于点，试猜想的值是否为定值，若是，请予以证明；若不是，请说明理由．
3.如图1，已知，点，分别在射线和上，在内部作射线，，使平行于．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)小颖发现，在内部，无论如何变化，的值始终为定值，请你结合图2求出这一定值；
(3)①如图3，把图1中的改为，其他条件不变，请直接写出与之间的数量关系；
②如图4，已知，点，分别在射线，上，在与内部作射线，，使平行于，请直接写出与之间的数量关系．
4.如图1，已知直线，点、在直线上，点、在上，线段交线段于点，且．
(1)求证：；
(2)如图2，当、分别在线段、上，且，，标记为，为．
①若，求的度数；
②当________时，为定值，此时定值为________．
【题型6 平行线的阅读理解类问题】
1.阅读以下材料：
已知点，分别在和上，且．
(1)如图，若，，则的度数为______；
(2)如图，平分，延长线与的平分线交于点，若比大，求的度数．
(3)保持（2）中所求的的度数不变，如图，平分，平分，作，则的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由．
2.[课题学习]：
平行线的“等角转化”功能．

[阅读理解]：
如图1，已知点是外一点，连接，，求的度数．
（1）阅读并补充下面推理过程．
解：过点作，所以_________，__________，
又因为
所以．
[解题反思]：
从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得到角的关系，使问题得到解决．
[方法运用]：
（2）如图2，已知，求的度数．
[深化拓展]：
（3）已知，点在的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点，点在与两条平行线之间．
①如图3，若，则__________°；
②如图4，点在点的右侧，若，则________°．（用含的代数式表示）
3.课题学行线的“等角转化”功能．
(1)阅读理解：如图，已知点是外一点，连接、，求的度数．阅读并补充下面推理过程．

解：过点作，所以　　，　　，
又因为，
所以．

解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将、、“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
(2)方法运用：如图1，已知，求的度数；
(3)深化拓展：已知直线，点为平面内一点，连接、．
①如图2，已知，，请直接写出的度数；
②如图3，请判断、、之间的数量关系，并说明理由．

4.阅读材料：如图1，若，则．
理由：如图，过点作，
则．
因为，
所以，
所以，
所以．
交流：（1）若将点移至图2所示的位置，，此时、、之间有什么关系？请说明理由．
探究：（2）在图3中，，、又有何关系？
应用：（3）在图4中，若，又得到什么结论？请直接写出该结论．
【题型7 平行线的性质在生活中的应用】
1.如图1是一盏可折叠台灯．图2、图3是其平面示意图，支架、为固定支撑杆，支架可绕点C旋转调节．已知灯体顶角，顶角平分线始终与垂直．

(1)如图2，当支架旋转至水平位置时，恰好与平行，求支架与水平方向的夹角的度数；
(2)若将图2中的绕点顺时针旋转到如图3的位置，求此时与水平方向的夹角的度数．
2.光在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射，如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的，若水面和杯底互相平行，且，则 ．

3.如图，某工程队从点出发，沿北偏西方向修一条公路，在路段出现塌陷区，就改变方向，在点沿北偏东的方向继续修建段，到达点又改变方向，使所修路段，求的度数.
4.探照灯、汽车灯等很多灯具的光线都与平行线有关，如图所示是一探照灯碗的剖面，从位于点的灯泡发出的两束光线，，经灯碗反射以后平行射出，其中，，则的度数是
【题型8 平行线与动点的综合应用】
1.已知：直线，点G为直线CD上一定点，点E是直线AB上一动点，连结EG．在EG的左侧分别作射线EM、GN，两条射线相交于点F，设．
(1)当，时，如图1位置所示，求的度数（用含有的式子表示），并写出解答过程；
(2)当时，过点G作EG的垂线．
①请在图2中补全图形；
②直接写出直线与直线CD所夹锐角的度数______（用含有的式子表示）．
2.如图1，已知直线AMBG，点C为射线BG上一动点，过点C作CDAB交AM于点D，点E在线段AB上，∠DCE＝90°，点F在线段AD上，∠FCG＝90°，点H在线段BC上，∠AHG＝90°，∠ECF＝60°．
(1)写出一个与∠ADC相等的角 （写一个即可）；
(2)如图2，求∠BCD的度数；
(3)若点F是直线AM上的一点，点H是直线BG上的一点，在点C的运动过程中（点C不与点B、H重合），求∠BAF的度数．
3.如图，已知，M，N分别是直线AB，CD上一点，点E在直线AB，CD之间．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，F是EM上一点，NE平分，FH平分，试探究与之间的数量关系？并证明你的结论；
(3)如图3，P为直线MN上一动点（不与点N重合），过点P作交直线CD于点G，∠PNG的角平分线和∠PGC的角平分线交于点O，则∠O的度数为______（直接写出结果）．
4.点在射线上，点、为射线上两个动点，满足，，平分．
(1)如图，当点在右侧时，求证：；
(2)如图，当点在左侧时，求证：；
(3)如图，在的条件下，为延长线上一点，平分，交于点，平分，交于点，连接，若，，则的度数是多少．
参考答案
【题型1 平行线在三角板中的运用】
1.（1）解：如图2，∵，，

∴，
∵平分，
∴，
∴，
答：此时t的值是3；
（2）解：当旋转至的内部时，如图3；

由旋转得：，
∴，，
∴；
（3）解：分三种情况：
①当时，如图4，

此时与重合，
；
②当时，如图5，

∵，
∴，
∴，
；
③当时，如图6，

综上，t的值是15或24或33．
故答案为：15或24或33．
2.（1）∵，
∴，即．
∵，，
∴．
故答案为：，；
（2）分类讨论：①如图1所示，
∵CE//AB，
∴，
∴；
②如图2所示，
∵CE//AB，
∴，
∴．
综上可知当或时，CE//AB；
（3）根据（1）可知，
∴，
∴．
分类讨论：①如图3所示，
∵，
∴，
∴BC//DE．
∵，即，
∴；
②如图4所示，
∵，
∴，
∴AC//DE．
3.解：（1）①∵∠DPC＝180°﹣∠CPA﹣∠DPB，∠CPA＝60°，∠DPB＝30°，
∴∠DPC＝180﹣30﹣60＝90°，
故答案为90；
②如图1﹣1，当BD∥PC时，
∵PC∥BD，∠DBP＝90°，
∴∠CPN＝∠DBP＝90°，
∵∠CPA＝60°，
∴∠APN＝30°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为3秒；
如图1﹣2，当PC∥BD时，
∵∠PBD＝90°，
∴∠CPB＝∠DBP＝90°，
∵∠CPA＝60°，
∴∠APM＝30°，
∵三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为180°+30°＝210°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为21秒，
如图1﹣3，当PA∥BD时，即点D与点C重合，此时∠ACP＝∠BPD＝30°，则AC∥BP，
∵PA∥BD，
∴∠DBP＝∠APN＝90°，
∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为90°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为9秒，
如图1﹣4，当PA∥BD时，
∵∠DPB＝∠ACP＝30°，
∴AC∥BP，
∵PA∥BD，
∴∠DBP＝∠BPA＝90°，
∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为90°+180°＝270°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为27秒，
如图1﹣5，当AC∥DP时，
∵AC∥DP，
∴∠C＝∠DPC＝30°，
∴∠APN＝180°﹣30°﹣30°﹣60°＝60°，
∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为60°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为6秒，
如图1﹣6，当时，
∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为秒，
如图1﹣7，当AC∥BD时，
∵AC∥BD，
∴∠DBP＝∠BAC＝90°，
∴点A在MN上，
∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为180°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为18秒，
当时，如图1-3，1-4，旋转时间分别为：，
综上所述：当t为或或或或或或时，这两个三角形是“孪生三角形”；
（2）如图，当在上方时，
①正确，
理由如下：设运动时间为t秒，则∠BPM＝2t，
∴∠BPN＝180°﹣2t，∠DPM＝30°﹣2t，∠APN＝3t．
∴∠CPD＝180°﹣∠DPM﹣∠CPA﹣∠APN＝90°﹣t，
∴
②∠BPN+∠CPD＝180°﹣2t+90°﹣t＝270°﹣3t，可以看出∠BPN+∠CPD随着时间在变化，不为定值，结论错误．
当在下方时，如图，
①正确，
理由如下：设运动时间为t秒，则∠BPM＝2t，
∴∠BPN＝180°﹣2t，∠DPM＝ ∠APN＝3t．
∴∠CPD＝
∴
②∠BPN+∠CPD＝180°﹣2t+90°﹣t＝270°﹣3t，可以看出∠BPN+∠CPD随着时间在变化，不为定值，结论错误．
综上：①正确，②错误．
4.（1）解：①（或）；
理由如下：，
，
两式相减得：，
② ∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
；
（2）如图，当时，
∴，，
∴；
如图，当时，
∴，则，
此时，
∴；
如图，当时，
∴，，
∴，
∴，
∴；
如图，当时，
∴，即，，共线，
∴，
∴；
如图，当时，
∴，
∴，
∴．
【题型2 平行线在折叠中的运用】
1.D
【分析】分两种情况讨论，①当在上方时，延长、相交于点，根据，推出，得到，求出的度数，再根据即可求解；②当在下方时，延长、相交于点，根据，推出，得到，再根据即可求解．
【详解】解：①当在上方时，延长、相交于点，如图所示
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵，
∴
∵翻折
∴
∴
∴
∵
∴
②当在下方时，延长、相交于点，如图所示
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵，
∴
∵翻折
∴
∴
∴
∵
∴
故选D．
2.77
【分析】如图所示，根据平行的性质可以得出答案．
【详解】解：如图：

∵折叠，
∴，
∴，
∴，
∵彩带两边平行，
∴，
∵折叠，彩带两边平行，
∴，
∴，
∴．
故答案为：77．
3.B
【分析】由翻折的性质和长方形的性质可得出：，，据此可得，，再根据得，根据得，据此可求出，进而可求出的度数．
【详解】解：由翻折的性质得：，，
∵四边形为长方形，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
即：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
4.（1）解：，沿折叠，点落在点的位置，，，
，（两直线平行，同旁内角互补）
，
，
，（四边形内角和为）
，
故答案为：
（2）解：如下图，过点作，交于点，交于点

则，
，
，
，
，
由折叠的性质得，
（3）解：如下图，过点作，则，

，
，
，
由折叠的性质得，
，即
【题型3 旋转使平行】
1.或
【分析】分两种情况：①DE在AB上方；②DE在AB下方，画出相应的图形，利用平行线的性质即可求得答案．
【详解】①当DE在AB上方，
∵，∠B=60°，∠D=45°，
∴∠BAC=30°，∠E=45°，
∵AB∥DE，
∴∠BAE=∠E=45°，
∴∠CAE=∠BAC+∠BAE=75°，
∴旋转时间为：（秒）；
②当DE在AB下方，
∵，∠B=60°，∠D=45°，
∴∠BAC=30°，∠E=45°，
∵AB∥DE，
∴∠BAE+∠E=180°，
∴∠BAE=180°-∠E=135°，
∴∠CAE=∠BAE -∠BAC=105°，
∴旋转角度为：360°-∠CAE=255°，
∴旋转时间为：（秒），
综上所述：在旋转过程中，第或秒时，边与边平行，
故答案为：或．
2.A
【分析】根据平行线的 判定定理即可求解．
【详解】解：在图中标注出，如图所示：

若，则
故应将木条a顺时针转动30°
故选：A
3.或
【分析】分和两种情况求解．
【详解】当时，
∵，
∴，
∵，
；
当时，
∵，
；
故答案为：或．
4.C
【分析】结合旋转的过程可知，因为位置的改变，与∠ A可能构成内错角，也有可能构成同旁内角，所以需分两种情况加以计算即可．
【详解】解：如图（2），
当时，
∵，
∴．
∴．
如图（2），
当时，
∵，
∴
∴．
综上可得，当或时，．
故选：C．
【题型4 利用平行线求角度之间的关系】
解：（1）证明：如图1中，过点E作ET∥AB．由平移可得AB∥CD，
∵AB∥ET，AB∥CD，
∴ET∥CD∥AB，
∴∠B=∠BET，∠TED=∠D，
∴∠BED=∠BET+∠DET=∠B+∠D．
（2）如图2-1中，当点E在CA的延长线上时，过点E作ET∥AB．
∵AB∥ET，AB∥CD，
∴ET∥CD∥AB，
∴∠B=∠BET，∠TED=∠D，
∴∠BED=∠DET-∠BET=∠D-∠B．
如图2-2中，当点E在AC的延长线上时，过点E作ET∥AB．
∵AB∥ET，AB∥CD，
∴ET∥CD∥AB，
∴∠B=∠BET，∠TED=∠D，
∴∠BED=∠BET-∠DET=∠B-∠D．
（3）如图，设∠ABE=∠EBM=x，∠CDE=∠EDM=y，
∵AB∥CD，
∴∠BMD=∠ABM+∠CDM，
∴m=2x+2y，
∴x+y=m，
∵∠BFD=∠ABF+∠CDF，∠ABE=n∠EBF，∠CDE=n∠EDF，
∴∠BFD===．
2.（1）解：∵，
∴，
∵，
∴
解得：，
∵．
∴；
（2）解：如图所示，
过点分别作的平行线，
∴，
∴，
设，
又∵，
∴，，
∴，，
∴，；
（3）∵，，，
即，
∴，
由（2）可得，
∵，，
∴，
即，
∴，
∴．
3.（1）解：过点C作，如图，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴；

故答案为：；
（2）解：，理由如下：
过点C作，则，

∴，
∵ ，
∴，
∵，
∴，
（3）解：过点P作，则；
①点P在线段上时，如图，

∴，，
∴，
∴；
②点P在线段的延长线上时，如图，

∵，
∴，
∵，，
∴，
即，
综上：或．
4.【问题情境】如图，作，而，
∴，

∴，
∵，
∴，
∴．
【实践运用】设，平分，
∴，

由（1）得：，
∴．
∵平分．
∴．
过点M作，则，
∴．
∵，
∴，
∴．
【拓广探索】对P点的位置有六种可能，
①如图所示，作，而

∴，而，，
∴，，
∴，
②如图所示，作，而

∴，
∴，，
∴，
③如图所示，作，而

∴，而，，
∴，，
∴，
④如图所示，作，而记的交点为，

∴，而，，
∴，，
∴，
⑤如图所示，作，而

∴，而，，
∴，，
∴，
⑥如图所示，作，而

∴，而，，
∴，，
∴，
综上：的大小为或或或．
【题型5 利用平行线解决角度定值问题】
1.（1）解：（1）如图，当点在线段，之间时，过点作．

∵，，
∴．
，
，
．
．
（2）解：是定值，
如图，

由（1）知，
∴，，
∴，
同理可得，
又∵DQ、BQ分别平分，
∴，，
∴，
∴．
（3）解：如图，过点P作，过点Q作，

∵，
∴ ，
∴，，
∴，
同理可得，
又∵DQ、BQ分别平分与，
∴，，
∴，
∴．
2.（1）证明：如图1，

过点作，则，
，
，
，
，
，
．
（2）证明： 平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分．
（3）为定值．
证明：如图，过点作，设，，

，
，
，
和的平分线交于点，
，
，
为定值，，
故答案为：．
3.（1）过点作
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
（2）过点作
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
（3）①
②
4.（1）证明：如图，作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
（2）设，，
∵，，
∴，，
∵，
∴，，
由（1）可得：
，，，
∴，
∴，，
①∵，
∴，
∴，，
∴；
②，定值为，理由如下：
当时，，
∴当时，为定值，此时定值为．
故答案为：；．
【题型6 平行线的阅读理解类问题】
1.（1）解：如图1，过点作，
，
，
，，
，
，，
．
故答案为：．
（2）解：如图，延长，交于点，
则，
，平分，
，， ，
，
，
，
，
，
，
解得．
（3）解：过点作，则，
根据（1）得，，
平分，平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的度数不变，值为．
2.解：（1）如图过点作，

，，
，
，
故答案为：，；
（2）如图，过点作，

，
，
，
，
，
，
；
（3）①如图，过点作

，，
平分，平分，，，
，，
；
②过点作，

，
平分，
，
平分
；
故答案为：①；②．
3.（1）解：过点作，
，，
又因为，
所以；

（2）解：如图，过点作，

，
，
，
，
，
，
；
（3）解：①的度数为；

理由：过点作，
，
，
，
，
，
，
；
②，

理由：过点作，
，
，
，
，
，
，
，
．
4.（1）过点E作EF∥AB，如图2所示．
∵AB∥EF，
∴∠B+∠BEF=180°，
∵EF∥AB∥CD，
∴∠D+∠DEF=180°，
∴∠B+∠BEF+∠D+∠DEF=180°+180°，
∵∠E=∠BEF+∠DEF，
∴∠B+∠D+∠E=360°．
（2）过点F作FM∥AB，如图3所示．
∵AB∥FM，结合（1）结论，
∴∠E=∠B+∠EFM，
∵FM∥AB∥CD，结合（1）结论，
∴∠G=∠GFM+∠D，
又∵∠F=∠EFM+∠GFM，
∴∠E+∠G=∠B+∠D+∠F．
（3）如图：
根据（1）和（2）中的结论，我们得到两条平行线之间，内折的所有角的度数之和等于外折的所有角的度数之和，即：
．
【题型7 平行线的性质在生活中的应用】
1.（1）解：如图2，，平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
即；
（2）如图3，过点作，过点作，

则，
，
，
，，
，
，
．
2.
【分析】根据平行线的性质解答即可．
【详解】解：如图，∵水面和杯底互相平行，
∴，又，
∴，
∵水中的两条折射光线是平行的，
∴，
故答案为：．

3.∠ECB=90°．
理由：∵∠1=67°，
∴∠2=67°．
∵∠3=23°，
∴∠CBA=180°-67°-23°=90°．
∵CE∥AB，
∴∠ECB=∠CBA=90°．
4.116
【分析】过O点作OE∥AB，则OE∥CD，利用平行线的性质，得内错角相等，从而求解．
【详解】解：过O点作OE∥AB，则OE∥CD，
∴∠EOB=∠ABO，∠EOC=∠DCO，
∵∠ABO=38°，∠DCO=78°，
∴∠EOB=38°，∠EOC=78°，
即∠BOC=∠BOE+∠EOC=38°+78°=116°．
故答案为：116．
【题型8 平行线与动点的综合应用】
1.（1）解：∵，
∴∠AEG+∠EGC=180°，
即∠AEF+∠GEF+∠EGF+∠FGC=180°，
又，，，
∴
（2）解：①当点E在G的左侧，F不在AB、CD之间时，如图，
；
当点E在G的左侧，F在AB、CD之间时，如图，
；
当点E在G的右侧，F在AB、CD之间时，如图，
；
当点E在G的右侧，F不在AB、CD之间时，如图，
；
②当点E在G的左侧，F不在AB、CD之间时，如图，
，
∵，
∴∠AEG+∠EGC=180°，即∠AEG+∠FEG+∠EGC=180°，
∵，∠FEG=45°，
∴∠EGC=，
又l⊥CD，
∴l与CD所夹的锐角为；
当点E在G的左侧，F在AB、CD之间时，如图，
∵，
∴∠AEG=∠EGD，
∵，∠FEG=45°，
∴，
又l⊥CD，
∴l与CD所夹的锐角为；
当点E在G的右侧，F在AB、CD之间时，如图，
，
∵，
∴∠AEG=∠EGD，
∵，∠FEG=45°，
∴，
又l⊥CD，
∴l与CD所夹的锐角为；
当点E在G的右侧，F不在AB、CD之间时，如图，
∵，∠FEG=45°，
∴，
∵，
∴∠AEG=∠EGD=，
又l⊥CD，
∴l与CD所夹的锐角为；
2.（1）∵，
∴，
故答案为：；
（2）∵∠ECF＝60°，∠DCE＝90°，
∴∠FCD＝30°，
又∵∠BCF＝∠FCG＝90°，
∴∠BCD＝30°+90°＝120°；
（3）如图，当点C在线段BH上时，点F在DA延长线上，
∵∠DCE=90°，∠ECF=60°，
∴∠FCD=30°，
∵∠FCG=90°，
∴∠DCG=60°，
∵ADBC，
∴∠BAF＝∠ABC＝60°；
如图，当点C在BH延长线上时，点F在线段AD上，
∵∠ABC＝60°，ADBC，
∴∠BAF＝180°﹣60°＝120°．
综上所述，∠BAF的度数为60°或120°．
3.（1）解：如图所示，过点E作，
∵，
∴，
∴∠MEF=∠BME，∠NEF=∠DNE，
∴∠BME+∠DME=∠MEF+∠NEF=∠MEN；
（2）解：解：2∠NHF=180°+∠BME，理由如下：
如图所示，过点F作，过点H作，
同（1）可知，
∴∠MFG=∠BME，∠PHN=∠DNE，∠GFN=∠DNF，∠GFH+∠PHF=180°，
∴∠MFN=∠BME+∠DNF，
∵FN平分∠NFE，NE平分∠DNF，
∴∠NFE=2∠NFH，∠DNF=2∠DNE，
∴∠NFE=2∠NFH=180°-∠MFN=180°-∠BME-2∠DNE，
∴，
∵∠GFH+∠PHF=180°，
∴∠GFN+∠NFH+∠PHF=180°，
∴2∠DNE+∠NFH+∠PHF=180°，
∴，
∴，
∴2∠NHF=180°+∠BME；
（3）解：如图1所示，当点P在点N上方时，过点O作，
∴∠KOG=∠∠NGO，∠LON=∠GNO，
∴∠OGN+∠ONG+∠GNO=∠KOG+∠LON+∠GON=180°，
∵∠OGC+∠OGN=180°，
∴∠OGC=∠GON+∠ONG，
同理可证∠OGC=∠GPN+∠PNG，
∵OG平分∠PGC，ON平分∠PNG，
∴∠PNG=2∠ONG，∠PGC=2∠OGC，
∴2∠OGC=∠GPN+2∠ONG，
∵PG⊥MN，
∴∠GPN=90°，
∴∠OGC=45°+∠ONG，
∴∠GON=∠OGC -∠ONG=45°；
如图2所示，当点P在点N下方时，同上可证∠NPG+∠PNG+∠PGN=180°，∠O+∠ONG+∠OGN=180°，∠NPG=90°，
∴∠PNG+∠PGN=90°，
∵NO平分∠PNG，GO平分∠PDN，
∴∠PNG=2∠ONG，∠PGN=2∠OGN，
∴∠ONG+∠OGN=45°，
∴∠O=135°，
综上所述，∠O的度数为45°或135°．
4.（1）证明：平分，
，
又，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：过点作，交于点，如图，
由（1）可知：，
，
，，
，
；
（3）解：设，
则，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
．

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