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第4章《 三角形》章节测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．根据下列条件，能画出唯一的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
2．如图，在中，是的角平分线，，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，是边上任意一点，、、分别是、、的中点，，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为3、4、5、7，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离之最大值是（　　）

A．7 B．8 C．9 D．10
5．如图，已知，在下列条件：①；②；③；④中，只补充一个就一定可以判断的条件是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④
6．如图，中，，E分别在边，上，，，的平分线与的平分线交于点F，则的度数是（　　）
A．54° B．60° C．66° D．72°
7．如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C个数是（　　）
A．2 B．3
C．4 D．5
8．如图所示，锐角△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，△ADC≌，△AEB≌，且，BE、CD交于点F，若∠BAC=40°，则∠BFC的大小是（ ）
A．105° B．100° C．110° D．115°
9．如图，在中，D，E分别是边，上的点，若≌≌，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在四边形中，对角线平分，，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．与的大小关系不确定
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．在数学课上，老师提出如下问题：
小米的作法如下：
请回答：小米的作图依据是
12．若a，b，c分别为三角形的三边，化简：＝ ．
13．如图，在的正方形网格中标出了和，则 度．
14．如果三角形中任意两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“斜等边三角形”．在锐角三角形中，于点D，若、、都是“斜等边三角形”，则 ．

15．如图，是外一点，是上一点，，，，，则的度数为 ．
16．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝5，AD是∠BAC的角平分线，点D在△ABC内部，连接AD、BD、CD，∠ADB＝150°，∠DBC＝30°，∠ABC+∠ADC＝180°，则线段CD的长度为 ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）如图所示，已知，分别是的高和中线，，，，．

(1)求的长；
(2)求和周长的差．
18．（6分）如图所示，D是△ABC的边AC上任意一点（不含端点），连结BD，请判断AB+BC+AC与2BD的大小关系，并说明理由．
19．（8分）在中，，均为锐角且不相等，线段是中边上的高，是的角平分线．

(1)如图1，，，求的度数；
(2)若，，则______；
(3)是射线上一动点，C、H分别为线段A，上的点（不与端点重合），将沿着折叠，使点B落到点F处，如图2所示，请直接写出，与的数量关系．
20．（8分）如图，小明和小华住在同一个小区的不同单元楼，他们想要测量小华家所在单元楼的高度，首先他们在两栋单元楼之间选定一点，然后小明在自己家阳台处看点的视角为．小华站在处眼睛看楼端点的视角为．发现与互余，已知，米，米，米．求单元楼的高度．

21．（8分）为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到M，使，连接．

【探究发现】
（1）图1中与的数量关系是______，位置关系是______．
【初步应用】
（2）如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围．
【探究提升】
（3）如图3，是的中线，过点A分别向外作、，使得，延长交于点P，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由．
22．（8分）如图，小正方形的边长为1，为格点三角形．
(1)如图①，的面积为 ；
(2)在图②中画出所有与全等，且只有一条公共边的格点三角形．

23．（8分）如图，在中，，是边上的高，是边上的高，、相交于点，，且．

(1)线段的长度等于___________．
(2)求证：．
(3)动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，点是直线上的一点且．是否存在值，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题
1．A
【分析】本题考查了三角形三边关系，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．根据根据三角形全等的判定方法可对A、B、C选项进行判断；三角形的三边的关系可对D选项进行判断．
【详解】解：A、，，，符合“”，所以根据条件能画出唯一，故此选项符合题意；
B、，，，根据两边及一边对角不能判定两三角形全等，即作出的三角形不唯一，故此选项不符合题意；
C、，，，根据三角相等不能能判定两三角形全等，即作出的三角形不唯一，故此选项不符合题意；
D、，，，∵，∴不满足三角形三边的关系，即三边不能构成三角形，故此选项不符合题意；
故选：A.
2．C
【分析】根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义可得，最后利用垂线的定义可得，进而解答即可．
【详解】解：∵，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴．
故选C．
3．C
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．
【详解】解：连接，如图所示：
∵点D是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
∵点F是的中点，
∴．
故选：C．
4．C
【分析】若两螺丝的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，根据三角形任意两边之和大于第三边，进行求解即可．
【详解】解：①当、在一条直线上时，三边长为：、、，
此时最大距离为；
②，
、不可能在一条直线上；
③当、在一条直线上时，三边长为：、、，
此时最大距离为；
④，
、不可能在一条直线上；
综上所述：最大距离为．
故选：C．
5．B
【分析】根据等角的补角相等可得，然后根据全等三角形的判定方法逐一判断即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
①∵，
∴（），
∴①符合题意；
②∵，
∴（），
∴②符合题意；
③∵，
∴（），
∴③符合题意；
④∵，
不能判断，
∴④不符合题意；
故选：B．
6．B
【分析】根据题意可知，设，表示出，根据角平分线的定义，可得的度数，根据列方程，即可求出的度数．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
7．C
【分析】根据三角形ABC的面积为2，可知三角形的底边长为4，高为1，或者底边为2，高为2，可通过在正方形网格中画图得出结果．
【详解】
C点所有的情况如图所示：
故选C.
有4个点.
故选C.
8．B
【分析】延长C′D交AB′于H．利用全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角的性质证明∠BFC=∠C′+∠AHC′+∠CAD，再求出∠C′+∠AHC′即可解决问题．
【详解】解：延长C′D交AB′于H．
∵△AEB≌△AEB′，
∴∠ABE=∠B′，∠EAB=∠EAB′=40°，
∵C′H∥EB′，
∴∠AHC′=∠B′，
∵△ADC≌△ADC′，
∴∠C′=∠ACD，∠DAC=∠DAC′=40°，
∵∠BFC=∠DBF+∠BDF，∠BDF=∠CAD+∠ACD，
∴∠BFC=∠AHC′+∠C′+∠CAD，
∵∠DAC=∠DAC′=∠CAB′=40°，
∴∠C′AH=120°，
∴∠C′+∠AHC′=60°，
∴∠BFC=60°+40°=100°，
故选：B．
9．C
【分析】根据全等三角形的性质得出，，根据邻补角定义求出、的度数，根据三角形的内角和定理求出即可．
【详解】解：∵≌≌，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∴．
故选：C．
10．A
【分析】先通过在AB上截取AE=AD，得到一对全等三角形，利用全等三角形的性质得到对应边相等，再利用三角形的三边关系和等量代换即可得到A选项正确．
【详解】解：如图，在AB上取，
对角线平分，
，
在和中，
，
，
，
，
．
故选：．
二．填空题
11．有三边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等．
【详解】试题分析：由作图过程可得CO=C′O′，DO=D′O′，CD=C′D′，再利用SSS判定△ODC≌△O′D′C′，再根据全等三角形对应角相等可得∠O=∠O′．
解：由作图过程可得CO=C′O′，DO=D′O′，CD=C′D′，
在△DOC和△D′O′C′中，
，
∴△ODC≌△O′D′C′（SSS），
∴∠O=∠O′．
故答案为有三边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等．
12．
【分析】根据三角形三边关系得到a，b，c相关代数式与0的关系，去绝对值求解即可．
【详解】解：∵a，b，c分别为三角形的三边，
∴ ，，，
∴，，，
∴原式，
故答案为：．
13．
【分析】作辅助线，使为等腰直角三角形，根据全等三角形，可得到，利用等角代换即可得解．
【详解】解：如图，连接、，，，，
由图可知，在和中，
，
，
，
，
，
故答案为：．
14．
【分析】根据新定义的“斜等边三角形”的特点分情况分析，然后利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：是“斜等边三角形”， ，
∴
（1），
∵，
∴解得：，；
（2），
∴解得：，；
（3），
∵，
∴解得：，；
（4），
∴解得：，；
是“斜等边三角形”，
①，
∵，
∴解得：，；
②，
∴解得：，；
③，
∵，
∴解得：，；
④，
∴解得：，；
当（1）①成立时，，，，，
∴，
∴三个角中不满足“斜等边三角形”的定义，不符合题意；
当（1）②成立时，，，，，
∴，
∵，
∴是“斜等边三角形”，符合题意；
同理得：符合题意的只有，
故答案为：
15．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，连接，证明，可得，再证明，即可得到，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：．
16．3
【分析】在AB上截取AE=AC，证明△ADE和△ADC全等，再证BDE是等腰三角形即可得出答案.
【详解】在AB上截取AE=AC
∵AD是∠BAC的角平分线
∴∠EAD=∠CAD
又AD=AD
∴△ADE≌△ADC(SAS)
∴ED=DC，∠ADE=∠ADC
∵∠ADB＝150°
∴∠EDB+∠ADE=150°
又∵∠DBC＝30°，∠ABC+∠ADC＝180°
∴∠ABD+∠DBC+∠ADC=180°
即∠ABD +∠ADC=150°
∴∠ABD=∠EDB
∴BE=ED
即BE=CD
又AB=8，AC=5
CD=BE=AB -AE=AB-AC=3
故答案为3
三．解答题
17．（1）解：∵，是边上的高，
∴，
∴，即的长度为；
（2）∵为边上的中线，
∴，
∴的周长的周长
，
即和的周长的差是2．
18．解：AB+BC+AC＞2BD．理由如下：
在△ABD中，AB+AD＞BD，
在△BCD中，BC+CD＞BD，
∴AB+AD+BC+CD＞2BD，
即AB+BC+AC＞2BD．
19．（1）解：在中，，，
∴，
∵是的角平分线．
∴，
∵线段是中 边上的高，
∴，
∴，
∴，
（2）解：∵，线段是中边上的高，
∴，
∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）解：连接，

∵，，
∴，
∵由折叠所得，
∴，
∴．
20．由题意得：，
，
∵，
∴，
，
，
∵（米），
（米），
，
（米），
（米），
单元楼的高为米．
21．（1）如下图1，
，
是的中线，
，
在和中，
，
，
，
与的数量关系是，位置关系是；
（2）如下图2，延长到，使得，连接，

由（1）可知：，
，
在中，，
，
即，
；
（3）如下图，延长到，使得，连接，

由（1）可知：，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，．
22．解：（1）4--=6.
（2）如图

23．（1）解： ，，
，即，
，
故答案为：3；
（2）证明： 是边上的高，是边上的高，
，
，
，
在和中，
，
；
（3）解：存在，
如图2，当时，

是边上的高，是边上的高，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
如图3，当时，

是边上的高，是边上的高，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
综上所述：或时，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．

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