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第二单元易错易混专项02 等腰三角形和等边三角形解决问题拔高
一、填空题
1．如图，有6个三角形，把它们分成三类，其中③号和⑤号是同一类，是因为这两个三角形都具备( )的共同特点。
2．看图找规律：把边长为2cm的等边三角形按下图的规律拼起来，18个等边三角形拼成的图形是( )形，拼出的图形的周长是( )cm。
3．已知下图中的三角形是等腰三角形，那么是( )°。
4．如图，一张三角形纸片被撕去了一个角，这个角的度数是( )°，原来这张三角形纸片的形状是( )角三角形，也是( )三角形。
5．一个三角形三条边的长度分别是6cm、6cm、6cm。按边分类，这是一个( )三角形；按角分类，这是一个( )三角形。
6．取一根15厘米长的铁丝折成一个等边三角形铁框，铁框的一条边长为( )厘米，如果折成一个腰长6厘米的等腰三角形铁框，那么铁框的底边长为( )厘米。
7．一个等腰三角形的周长是30厘米，底边长是14厘米，它的一条腰长是( )厘米，在这个三角形中，其中的一个底角是40°，则顶角是( )°。
8．如果一个等腰三角形中，有两条边的长度分别是4cm和8cm，那么它的第三条边长是( )；一个等边三角形的一条边长是15cm，它的周长是( )。
9．李师傅测量一个形状为等腰直角三角形的木板，每边的长度保留一位小数分别是2.8dm，2.8dm，4.0dm。现在他像图这样，沿其中两边的中点的连线把木板锯成两块。请问梯形木板的周长是( )dm。
10．直角三角形的一个锐角是55°，另一个锐角是( )°。一个等腰三角形的顶角是30°，底角是( )°，这个三角形也是( )三角形。
11．一个等腰三角形的底角是40°，那么它的顶角是( )°。若把这个等腰三角形对折，剪成两个完全一样的小三角形，那么按角分类，每个小三角形都是( )三角形。
12．一家面包店的店标是一个等腰三角形的三明治。已知这个三角形的一条边是8cm，另一条边是4cm，这个店标的周长是( )cm。
13．如图，等边三角形按顺时针方向沿着数线作无滑动的翻转，当翻转3周后等边三角形中A点与1的距离是( )dm。
14．“又是一年三月三，风筝飞满天”，放风筝是民间传统游戏之一。可可做了一个等腰三角形风筝，其中两条边的长分别是40厘米和20厘米，这个三角形的周长是( )米。西西也做了一个等腰三角形风筝，这个三角形至少有( )个锐角，如果三角形的底角是50°，它的顶角是( )度。
15．三角形任意两边之和( )第三边。如果一个等腰三角形两条边的长度分别是6厘米、3厘米，那么这个等腰三角形的第三条边长度是( )厘米。
二、解答题
16．爸爸给小红买了一个等腰三角形的风筝。它的一个底角是70°，它的顶角是多少度？
17．用1根长40厘米的铁丝围成一个等腰三角形，这个等腰三角形的一条腰长是15厘米，它底边的长度是多少厘米？
18．一个等腰三角形的一条边长5cm，另一条边长11cm，它的周长是多少厘米？
19．小芳家有一个等腰三角形的相框，她打算用丝带沿边围一周装饰这个相框。量得这个相框的腰长18厘米，底边长2分米，小芳至少需要买多少厘米长的丝带？
20．将一块等边三角形模型的边长扩大到原来的10倍后周长是24米，原来模型的边长是多少分米？
21．某小学有一块草坪，由三个大小不同的等边三角形组成（如图）。从甲点到乙点，怎样走最近？哪两条路一样长？为什么？
22．黄山市境内名贵古树较多，某村为加强生态资源保护，赋能乡村文旅发展，在林业部门指导下，融合周边环境，给一棵树龄一千多年的银杏树加建一个等腰三角形护栏。已知护栏总长为36米，其中一条边的长度为8米，算一算另两条边分别是多长？
23．儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢。”春天是放风筝的好时节，五一假期间爸爸给力力做了一个等腰三角形的风筝，这个等腰三角形风筝的底边长3厘米，一条腰长6厘米，这个等腰三角形周长是多少厘米？
24．课堂上，高老师做了一个等腰三角形的教具，已知其中的两条边长分别是20厘米、9厘米，这个等腰三角形教具的周长是多少分米？
25．把一根长20厘米的铁丝分成三段（每段的长度都是整厘米数），使它们能够围成一个等腰三角形。铁丝可怎样分？
第一种 第二种 第三种 第四种
底/厘米
腰/厘米
腰/厘米
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答案解析
一、填空题
1．如图，有6个三角形，把它们分成三类，其中③号和⑤号是同一类，是因为这两个三角形都具备( )的共同特点。
【正确答案】钝角三角形
【解题思路】三角形按边分类，可分为：等边三角形（三条边都相等的三角形）、等腰三角形（有两条边相等的三角形）、不等边三角形（三条边都不相等的三角形）；三角形按角分类，可分为：锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）、直角三角形（有一个角是直角的三角形）、钝角三角形（有一个角是钝角的三角形），据此解答即可。
【详细解答】①和⑥都是直角三角形；
②和④都是锐角三角形；
③号和⑤号都是钝角三角形。
有6个三角形，把它们分成三类，其中③号和⑤号是同一类，是因为这两个三角形都具备钝角三角形的共同特点。
2．看图找规律：把边长为2cm的等边三角形按下图的规律拼起来，18个等边三角形拼成的图形是( )形，拼出的图形的周长是( )cm。
【正确答案】平行四边 40
【解题思路】根据图示可知，2个等边三角形拼成的图形是平行四边形，每边长2cm；3个等边三角形拼成的图形等腰梯形，上底为2cm，下底为2个2cm；4个等边三角形拼成的图形是平行四边形，底长为（4÷2×2）cm，腰长为2cm；5个等边三角形拼成的图形是等腰梯形，上底为2个2cm，下底为3个2cm；由此即可得出18个等边三角形拼成是平行四边形。
平行四边形的周长＝邻边长度之和×2，底长为（18÷2×2）cm，腰长为2cm，依此计算。
【详细解答】18÷2×2
＝9×2
＝18（cm）
（18＋2）×2
＝20×2
＝40（cm）
18个等边三角形拼成的图形是平行四边形，拼出的图形的周长是40cm。
3．已知下图中的三角形是等腰三角形，那么是( )°。
【正确答案】120
【解题思路】等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和为180°，因此用180°减去130°后，再除以2即可计算出等腰三角形其中一个底角的度数；∠1＋等腰三角形的一个底角＋35°＝平角180°，因此用180°减去等腰三角形其中一个底角的度数后，再减去35°，即可算得∠1的度数。
【详细解答】根据分析可得：
180°－130°＝50°
50°÷2＝25°
180°－25°＝155°
155°－35°＝120°
即∠1的度数是120°。
【考点点评】本题考查的是等腰三角形的特点、三角形的内角和以及平角的特点的综合应用，熟练运用这三个知识点是解题的关键。
4．如图，一张三角形纸片被撕去了一个角，这个角的度数是( )°，原来这张三角形纸片的形状是( )角三角形，也是( )三角形。
【正确答案】57 锐 等腰
【解题思路】三角形的内角和是180°，用180°减去两个已知的角的度数被撕去的角的度数。已知的两个角都是大于0°小于90度的角，都是锐角。看撕去的角是什么角。三个角都是锐角的三角形就是锐角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。有两个角相等的三角形是等腰三角形。据此判断。
【详细解答】57°＋66°＝123°
180°－123°＝57°，这个角的度数是57°。
因为57°、57°、66°都是锐角，所以原来这张三角形纸片的形状是锐角三角形，又因为有两个角都是57°，度数相等，所以也是等腰三角形。
5．一个三角形三条边的长度分别是6cm、6cm、6cm。按边分类，这是一个( )三角形；按角分类，这是一个( )三角形。
【正确答案】等边 锐角
【解题思路】三条边都相等的三角形是等边三角形，等边三角形三个角都相等，都为60°，据此填空即可。
【详细解答】因为三角边的长度都是6cm，所以按边分类，这是一个等边三角形，等边三角形三个角都是60°，按角分类，这是一个锐角三角形。
6．取一根15厘米长的铁丝折成一个等边三角形铁框，铁框的一条边长为( )厘米，如果折成一个腰长6厘米的等腰三角形铁框，那么铁框的底边长为( )厘米。
【正确答案】5 3
【解题思路】等边三角形的三条边相等，用15除以3就是这个等边三角形的边长；等腰三角形的两腰相等，用周长减去2个腰长即可求出底边的长度。以此答题即可。
【详细解答】根据分析计算如下：
15÷3＝5（cm）
15－6×2
＝15－12
＝3（cm）
取一根15厘米长的铁丝折成一个等边三角形铁框，铁框的一条边长为5厘米，如果折成一个腰长6厘米的等腰三角形铁框，那么铁框的底边长为3厘米。
7．一个等腰三角形的周长是30厘米，底边长是14厘米，它的一条腰长是( )厘米，在这个三角形中，其中的一个底角是40°，则顶角是( )°。
【正确答案】8 100
【解题思路】等腰三角形的两条腰相等，用周长减去底边长，求出两条腰的长度和，再除以2，求出一条腰的长度；等腰三角形的两个底角相等，根据三角形的内角和为180°可知，顶角是180°－40°－40°。
【详细解答】（30－14）÷2
＝16÷2
＝8（厘米）
180°－40°－40°
＝140°－40°
＝100°
则一个等腰三角形的周长是30厘米，底边长是14厘米，它的一条腰长是8厘米，在这个三角形中，其中的一个底角是40°，则顶角是100°。
8．如果一个等腰三角形中，有两条边的长度分别是4cm和8cm，那么它的第三条边长是( )；一个等边三角形的一条边长是15cm，它的周长是( )。
【正确答案】8cm/8厘米 45cm/45厘米
【解题思路】根据等腰三角形的特征，有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。同时根据三角形的三边关系，任意两条边的和必须大于第三条边，可以判断出它的第三条边长是多少。
三条边相等的三角形叫做等边三角形。用边长乘3就可以算出等边三角形的周长。
【详细解答】一个等腰三角形中，有两条边的长度分别是4cm和8cm。第三条边可能是4cm或8cm，当是4cm时，4＋4＝8（cm），不能围成三角形。所以它的第三条边长是8cm。
等边三角形三条边的长度相等，15×3＝45（cm）。所以这个等边三角形的周长是45cm。
9．李师傅测量一个形状为等腰直角三角形的木板，每边的长度保留一位小数分别是2.8dm，2.8dm，4.0dm。现在他像图这样，沿其中两边的中点的连线把木板锯成两块。请问梯形木板的周长是( )dm。
【正确答案】7.6
【解题思路】已知等腰直角三角形的两边相等都是2.8dm，沿其中两边的中点的连线把木板锯成两块。可知锯后的小三角形还是等腰直角三角形，而小三角形的直角边是梯形的上底是，梯形的高也是，梯形的下底是等腰直角三角形的直角边2.8dm，梯形的腰是，求梯形的周长即可。
【详细解答】
李师傅测量一个形状为等腰直角三角形的木板，每边的长度保留一位小数分别是2.8dm，2.8dm，4.0dm。现在他像图这样，沿其中两边的中点的连线把木板锯成两块。请问梯形木板的周长是7.6dm。
10．直角三角形的一个锐角是55°，另一个锐角是( )°。一个等腰三角形的顶角是30°，底角是( )°，这个三角形也是( )三角形。
【正确答案】35 75 锐角
【解题思路】三角形的内角和为180°。
三角形按角分：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。
直角三角形中，一个角是90°，一个锐角是55°，则另一个锐角是180°－90°－55°。
等腰三角形中，两个底角相等。顶角是30°，则一个底角是（180°－30°）÷2；再根据三个角按角分类的标准分类即可。
【详细解答】180°－90°－55°
＝90°－55°
＝35°
（180°－30°）÷2
＝150°÷2
＝75°
30°＜75°＜90°
则直角三角形的一个锐角是55°，另一个锐角是35°。一个等腰三角形的顶角是30°，底角是75°，这个三角形也是锐角三角形。
11．一个等腰三角形的底角是40°，那么它的顶角是( )°。若把这个等腰三角形对折，剪成两个完全一样的小三角形，那么按角分类，每个小三角形都是( )三角形。
【正确答案】100 直角
【解题思路】等腰三角形的两腰相等，两个底角相等，三角形的内角和是180°，因此用180°减2个40°即可，依此计算；
若把这个等腰三角形对折，剪成两个完全一样的小三角形，如图：，根据有一个角是直角的三角形是直角三角形，依此填空。
【详细解答】180°－40°－40°
＝140°－40°
＝100°
一个等腰三角形的底角是40°，那么它的顶角是100°。若把这个等腰三角形对折，剪成两个完全一样的小三角形，那么按角分类，每个小三角形都是直角三角形。
12．一家面包店的店标是一个等腰三角形的三明治。已知这个三角形的一条边是8cm，另一条边是4cm，这个店标的周长是( )cm。
【正确答案】20
【解题思路】根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边判断；分情况讨论：等腰三角形可能腰长都是8cm，也可能腰长都是4 cm，看哪种情况能组成三角形。确定第三条后，把三条边的长度加起来，即可求出店标的周长。据此解答。
【详细解答】如果第三条边是4cm，4＋4＝8，不符合三角形的三边关系；
如果第三条边是8cm，4＋8＞8，符合三角形的三边关系；
所以它的第3条边的长是8cm。
8＋8＋4
＝16＋4
＝20（cm）
则这个店标的周长是20cm。
13．如图，等边三角形按顺时针方向沿着数线作无滑动的翻转，当翻转3周后等边三角形中A点与1的距离是( )dm。
【正确答案】2
【解题思路】等边三角形三边长度相等，根据题意，当三角形翻转一周，即移动3个边长的距离，翻转3周后即移动3×3＝9（个）边长的距离，再加上起点距离1cm的1个边长的长度，即与1的距离是3×3＋1个边长，即10个边长；从图中可以看出，1dm到2dm之间共有5个边长，也就是5个边长一共是1dm，10÷5＝2，即共是2个1dm，也就是2dm。据此解答。
【详细解答】3×3＋1
＝9＋1
＝10（个）
10÷5＝2（dm）
所以，翻转3周后等边三角形中A点与1的距离是2dm。
14．“又是一年三月三，风筝飞满天”，放风筝是民间传统游戏之一。可可做了一个等腰三角形风筝，其中两条边的长分别是40厘米和20厘米，这个三角形的周长是( )米。西西也做了一个等腰三角形风筝，这个三角形至少有( )个锐角，如果三角形的底角是50°，它的顶角是( )度。
【正确答案】1 2 80
【解题思路】根据三角形两边之和大于第三边，确定等腰三角形第三边的长度。等腰三角形其中两条边分别是40厘米和20厘米，那么第三条边的长度应该是40厘米，因为20＋20＝40（厘米），40＝40（不能组成三角形）。依此计算出三角形的周长。根据100厘米＝1米，转换单位即可。
根据三角形的内角和等于180度，至少有2个锐角，等腰三角形的两个底角相等，180度减去两个底角即可计算出顶角度数。
【详细解答】
100厘米＝1米
所以这个三角形的周长是1米；
所以这个三角形至少有2个锐角，如果三角形的底角是50°，它的顶角是80度。
15．三角形任意两边之和( )第三边。如果一个等腰三角形两条边的长度分别是6厘米、3厘米，那么这个等腰三角形的第三条边长度是( )厘米。
【正确答案】大于 6
【解题思路】等腰三角形是指至少有两边相等的三角形。相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。任意三角形的两边之和必须大于第三边，任意两边的差必须小于第三边，据此解答即可。
【详细解答】当第三条边长度3厘米时，
3＋3＝6
6＝6
所以6厘米、3厘米、3厘米构不成三角形。
当第三条边长度6厘米时，
6＋3＞6
6－3＜6
所以6厘米、3厘米、6厘米可以构成等腰三角形。
所以三角形任意两边之和大于第三边。如果一个等腰三角形两条边的长度分别是6厘米、3厘米，那么这个等腰三角形的第三条边长度是6厘米。
二、解答题
16．爸爸给小红买了一个等腰三角形的风筝。它的一个底角是70°，它的顶角是多少度？
【正确答案】40°
【解题思路】等腰三角形的特点是底角相等；已知爸爸给小红买了一个等腰三角形的风筝的一个底角是70°，三角形的内角和为180°，则用180°减去2个70°即可；据此解答。
【详细解答】70°＋70°＝140°
180°－140°＝40°
答：它的顶角是40°。
17．用1根长40厘米的铁丝围成一个等腰三角形，这个等腰三角形的一条腰长是15厘米，它底边的长度是多少厘米？
【正确答案】10厘米
【解题思路】已知铁丝长40厘米，也就是等腰三角形的周长是40厘米，等腰三角形的一条腰长是15厘米，因为等腰三角形两腰相等，所以另一条腰长也是15厘米。用铁丝的总长度（也就是等腰三角形的周长）减去两条腰的长度，就能得到底边的长度。
【详细解答】
（厘米）
答：它底边的长度是10厘米。
18．一个等腰三角形的一条边长5cm，另一条边长11cm，它的周长是多少厘米？
【正确答案】27厘米
【解题思路】等腰三角形的两条要相等，已知等腰三角形的两边长求周长时要分类讨论，且每种情况要验证是否符合三角形的三边关系。在三角形中，任意两边之和大于第三边。一个等腰三角形的一条边长5cm，另一条边长11cm，求它的周长要分腰长是5cm，底边长是11cm和腰长是11cm，底边长是5cm两种情况讨论。
【详细解答】当等腰三角形的腰长是5cm，底边长是11cm时，5＋5＜11，不满足三角形的三边关系。
当等腰三角形的腰长是11cm，底边长是5cm时，11＋11＞5，满足三角形的三边关系，
所以周长是11×2＋5
＝22＋5
＝27（cm）。
答：它的周长是27厘米。
19．小芳家有一个等腰三角形的相框，她打算用丝带沿边围一周装饰这个相框。量得这个相框的腰长18厘米，底边长2分米，小芳至少需要买多少厘米长的丝带？
【正确答案】56厘米
【解题思路】根据题意，求丝带的长就是求三角形的周长。根据等腰三角形两腰相等的特点，可知这个相框三边的长度为18厘米，18厘米，2分米；先根据1分米＝10厘米，把2分米换算成厘米单位，即20厘米，再把三条边的长度相加即可。据此解答。
【详细解答】2分米＝20厘米
18＋18＋20
＝36＋20
＝56（厘米）
答：小芳至少需要买56厘米长的丝带。
20．将一块等边三角形模型的边长扩大到原来的10倍后周长是24米，原来模型的边长是多少分米？
【正确答案】8分米
【解题思路】1米＝10分米，先将周长换算成分米为单位，等边三角形三条边长相等，用周长除以3即可求出扩大到原来的10倍后的边长是多少分米，再除以10即可求出原来模型的边长是多少分米。
【详细解答】24米＝240分米
240÷3÷10
＝80÷10
＝8（分米）
答：原来模型的边长是8分米。
21．某小学有一块草坪，由三个大小不同的等边三角形组成（如图）。从甲点到乙点，怎样走最近？哪两条路一样长？为什么？
【正确答案】从甲点到乙点直行最近；理由见详解
【解题思路】
根据两点之间线段最短，从甲点到乙点直行最近；等边三角形三边相等，大等边三角形的边长等于两个小等边三角形的边长和，所以从甲经A到B到C到乙和从甲经D到乙，这两条路一样长，据此解答即可。
【详细解答】两点之间线段最短，从甲点到乙点直行最近，
假设最小的等边三角形的边长为1，中间等边三角形的边长为2，最大等边三角形的边长为3，
甲A＋AB＋BC＋C乙
＝2＋2＋1＋1
＝4＋1＋1
＝5＋1
＝6
甲D＋D乙
＝3＋3
＝6
大等边三角形的边长等于两个小等边三角形的边长和，所以从甲经A到B到C到乙和从甲经D到乙，这两条路一样长。
22．黄山市境内名贵古树较多，某村为加强生态资源保护，赋能乡村文旅发展，在林业部门指导下，融合周边环境，给一棵树龄一千多年的银杏树加建一个等腰三角形护栏。已知护栏总长为36米，其中一条边的长度为8米，算一算另两条边分别是多长？
【正确答案】14米；14米
【解题思路】等腰三角形的两条边相等。由题意得，等腰三角形护栏的总长为36米，其中一条边的长度为8米，可以假设这条边为腰或底边，然后算出剩下的边的长度。最后再根据三角形三边的关系：任意两边之和大于第三边（较短两边之和大于第三边）来验证该假设是否成立即可。
【详细解答】假设8米的边为腰，那么另一条腰的长度也为8米。
36－8×2
＝36－16
＝20（米）
8＋8＝16（米），16米＜20米，即这三边无法围成三角形。
假设8米的边为底
（36－8）÷2
＝28÷2
＝14（米），即两条腰的长度都是14米。
8＋14＝22（米），22米＞14米，即这三边可以围成三角形。
答：剩下的两条边都是14米。
23．儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢。”春天是放风筝的好时节，五一假期间爸爸给力力做了一个等腰三角形的风筝，这个等腰三角形风筝的底边长3厘米，一条腰长6厘米，这个等腰三角形周长是多少厘米？
【正确答案】15厘米
【解题思路】等腰三角形的两条腰的长度相等。由题意得，等腰三角形风筝的底边长3厘米，一条腰长6厘米，那么另一条腰也长6厘米，直接把这三条边的长度加起来即可算出这个等腰三角形的周长。
【详细解答】3＋6＋6
＝9＋6
＝15（厘米）
答：这个等腰三角形周长是15厘米。
24．课堂上，高老师做了一个等腰三角形的教具，已知其中的两条边长分别是20厘米、9厘米，这个等腰三角形教具的周长是多少分米？
【正确答案】4.9分米
【解题思路】等腰三角形的两腰相等，三角形3条边的关系是：任意两边的长度之和大于第三边，任意两边的长度之差小于第三边，依此确定出这个等腰三角形教具的腰长，再计算出这个等腰三角形教具三条边的总长度即可。
1分米＝10厘米，将厘米转化成分米除以进率10，即小数点向左移动一位。据此解答。
【详细解答】当腰长为9厘米时，9＋9＝18（厘米），18厘米＜20厘米，因此腰长不能为9厘米；
当腰长为20厘米时，20＋9＝29（厘米），20－9＝11（厘米），29厘米＞20厘米，11厘米＜20厘米，因此腰长为20厘米。
20＋20＋9
＝40＋9
＝49（厘米）
49÷10＝4.9（分米）
答：这个等腰三角形教具的周长是4.9分米。
25．把一根长20厘米的铁丝分成三段（每段的长度都是整厘米数），使它们能够围成一个等腰三角形。铁丝可怎样分？
第一种 第二种 第三种 第四种
底/厘米
腰/厘米
腰/厘米
【正确答案】见详解
【解题思路】等腰三角形，是指至少有两边相等的三角形，相等的两个边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可确定这个等腰三角形的腰最短是6厘米，最长是9厘米，据此解答即可。
【详细解答】第一种：6＋6＋8
＝12＋8
＝20（厘米）
6＋6＞8
8－6＜6
可以围成边长分别为6厘米、6厘米、8厘米的等腰三角形；
第二种：7＋7＋6
＝14＋6
＝20（厘米）
6＋7＞7
7－6＜7
可以围成边长分别为7厘米、7厘米、6厘米的等腰三角形；
第三种：8＋8＋4
＝16＋4
＝20（厘米）
4＋8＞8
8－4＜8
可以围成边长分别为8厘米、8厘米、4厘米的等腰三角形；
第四种：9＋9＋2
＝18＋2
＝20（厘米）
9＋2＞9
9－2＜9
可以围成边长分别为9厘米、9厘米、2厘米的等腰三角形。
第一种 第二种 第三种 第四种
底/厘米 8 6 4 2
腰/厘米 6 7 8 9
腰/厘米 6 7 8 9
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