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第二单元易错易混专项03 三角形及多边形的内角和解决问题拔高
一、填空题
1．一个三角形中，最小的一个锐角是45°，（三个角都不相等）这个三角形是( )三角形。
2．如图，∠1＝( )°，∠2＝( )°。
3．三角形的内角和是( )°；下面三角形中的∠1是( )°。
4．三角形的内角和等于180°，四边形的内角和等于360°，如果多边形有n条边，其内角和为（n－2）×180°，已知一个多边形的内角和是三角形内角和的8倍，这个多边形的边数是( )条。
5．在一个三角形中，∠1＝60°，∠2＝35°，∠3＝( )°，这是( )角三角形。
6．李叔叔工地上有一个三角形铁架，量得其中两个内角分别是68°和56°，那么另外一个内角的度数是( )°。如果按角分，它是一个( )三角形，如果按边分，它是一个( )三角形。
7．如图，大树的高是( )米，∠1＝( )，∠2＝( )。
8．下图∠A＝( )°，这是一个( )三角形。
9．用一根15厘米长的铁丝，正好可以围成一个边长是( )厘米的等边三角形，这个三角形的内角和是( )°。
10．下面是五个角的度数，其中三个是一个三角形的内角度数，这个三角形的三个内角度数分别是( )、( )和( )，是( )三角形。
57°、108°、70°、12°、53°。
11．用4个三角形拼成一个六边形，这个六边形的内角和是( )。
12．把一个大三角形剪成两个小三角形，每个小三角形的内角和是( )。两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，平行四边形的内角和是( )。
13．在如图的梯形ABCD中，∠1＝90°，∠2＝63°，( )与AB平行，( )与AB垂直，∠3＝( )°，∠4＝( )°。
14．如图，将等边三角形沿虚线减去∠1，在剩下的四边形中，∠2＋∠3＝( )°。

15．仔细观察，找找规律：
图形 ……
内角和 180° 360° 540° ……
(1)第四个图形（六边形）的内角和是( )°。
(2)内角和是1260°的图形是( )边形。
二、解答题
16．四边形的内角和是（ ）°，下面是同学们探索四边形内角和的方法，你看懂了吗？请你任选一种说一说是怎么证明的。
17．植物为人类提供氧气、食物和药材，市政府准备在城市中心规划一个等腰三角形的绿化带。已知它的顶角是，它的一个底角是多少度？
18．红领巾是少先队员的标志，它的大小、形状都有严格的规定：它是底角为30度的等腰三角形。红领巾的顶角是多少度？
19．一块三角形纸片被撕去了一个角，这个角是多少度？原来这块纸片的形状是什么三角形，也是什么三角形？
20．2024“珠海 ‘筝’有你的”香洲区第六届风筝会于5月1日～5月2日在香炉湾沙滩举行。各式风筝表演惊艳亮相。淘淘也参与了此次活动，他做了一个等腰三角形的风筝。
（1）如果风筝的周长是32分米，底边是8分米，那么这个风筝的一条腰长多少分米？
（2）如果这个风筝的一个内角是50°，那么它的另外两个内角分别是多少度？
21．乐乐要制作一个等腰三角形学具，这个等腰三角形的一个内角必须是52°，请你算一算，这个等腰三角形学具另外两个内角分别是多少度？
22．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢。”在古代，风筝又称为“纸鸢”。小明做了一个等腰三角形的风筝，顶角是70°，这个风筝的底角是多少度？
23．小华家有一个三角形的小花园，其中一个角的度数为90°，而这个角的度数恰好是另一个角的度数的3倍。这个三角形花园的其他两个角的度数分别是多少？ 这个三角形的形状是什么样的？
24．下图是同学们在解决四边形的内角和问题时所采用的四种不同的方法。
①1周角＝360° ②180°×2＝360° ③180°×4－360°＝360° ④180°×3＝540°
（1）他们解答的方法不正确的有（ ）。（填序号）
（2）请你试着用所学的方法，在图中画一画，并求出下面五边形的内角和。
25．本学期学习了三角形与四边形的内角和之后，官官、渡渡、明明三位同学又一起探究了六边形的内角和，他们的思考过程如图。
（1）我明白 （ ）的想法，根据他的想法，请你计算六边形的内角和。
（2）根据渡渡的想法，请你探究下面七边形的内角和。（画一画，算一算）
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答案解析
一、填空题
1．一个三角形中，最小的一个锐角是45°，（三个角都不相等）这个三角形是( )三角形。
【正确答案】锐角
【解题思路】锐角大于0小于 90°、直角等于90°、钝角大于90°小于180°，锐角三角形是指三角形的三个内角都是锐角的三角形，直角三角形是指有一个角为90°的三角形，钝角三角形是指三角形中有一个角是钝角的三角形。
因为三角形的内角度数和是180°，三角形的另外两个角的和为180°－45°＝135°，因为最小的角为45°，而且三个角都不相等，所以可以假设其中一个角是46°，求出第三个角的最大值，再进行判断是什么三角形即可。
【详细解答】180°－45°＝135°
假设其中一个角是46°，那么另一个角最大为：
135°－46°＝89°
89°＜90°
所以这个三角形是锐角三角形。
2．如图，∠1＝( )°，∠2＝( )°。
【正确答案】50 22
【解题思路】根据三角形内角和是180°，∠1，40°和直角90°组成一个三角形，用180°－90°－40°即可解答∠1，∠1和18°合起来是上面一个大角，用180°减去90°再减去上面这个大角，剩下就是∠2度数。
【详细解答】180°－90°－40°＝50°，∠1＝50°；
18°＋50°＝68°，180°－90°－68°＝22°，∠2＝22°。
3．三角形的内角和是( )°；下面三角形中的∠1是( )°。
【正确答案】180 60
【解题思路】三角形的内角和为180°。由题意得，在直角三角形中，一个锐角是30°，求另一个锐角的度数，直接用180°减去90°再减去30°即可算出另一个锐角的度数。
【详细解答】180°－90°－30°
＝90°－30°
＝60°
三角形的内角和是180°；三角形中的∠1是60°。
4．三角形的内角和等于180°，四边形的内角和等于360°，如果多边形有n条边，其内角和为（n－2）×180°，已知一个多边形的内角和是三角形内角和的8倍，这个多边形的边数是( )条。
【正确答案】10
【解题思路】三角形的内角和为180°，那么一个多边形的内角和就等于180°乘8，即180°×8＝1440°，根据公式（n－2）×180°，用多边形的内角和除以180°，再加上2，即可求出这个多边形的边数是多少条，据此解答即可。
【详细解答】180°×8＝1440°
1440°÷180°＋2
＝8＋2
＝10（条）
所以这个多边形的边数是10条。
5．在一个三角形中，∠1＝60°，∠2＝35°，∠3＝( )°，这是( )角三角形。
【正确答案】85 锐
【解题思路】三角形按角来分，分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形，有一个角是直角的三角形叫作直角三角形，有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形。三角形的内角和为180°。由题意得，在一个三角形中，∠1＝60°，∠2＝35°，那么直接用180°减去∠1和∠2的度数即可算出∠3的度数。然后根据三个角的大小来判断三角形的类型即可。
【详细解答】∠3＝180°－∠1－∠2
＝180°－60°－35°
＝120°－35°
＝85°
∠1、∠2和∠3都是锐角，所以这是一个锐角三角形。
故在一个三角形中，∠1＝60°，∠2＝35°，∠3＝85°，这是锐角三角形。
6．李叔叔工地上有一个三角形铁架，量得其中两个内角分别是68°和56°，那么另外一个内角的度数是( )°。如果按角分，它是一个( )三角形，如果按边分，它是一个( )三角形。
【正确答案】56 锐角 等腰
【解题思路】三角形内角和为180°，用180°减去两个已知角的度数即可求出另外一个角的度数；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，据此判断是什么三角形即可；两个底角相等的三角形是等腰三角形，三个角都相等的三角形是等边三角形，据此判断是什么三角形即可。
【详细解答】180°－68°－56°
＝112°－56°
＝56°
68°＜90°，56°＜90°，56°＜90°
李叔叔工地上有一个三角形铁架，量得其中两个内角分别是68°和56°，那么另外一个内角的度数是56°。如果按角分，它是一个锐角三角形，如果按边分，它是一个等腰三角形。
7．如图，大树的高是( )米，∠1＝( )，∠2＝( )。
【正确答案】10.3 45° 135°
【解题思路】根据三角形内角和等于180°，已知三角形一个角是45°，另一个角是90°，用180°－45°－90°＝45°，求出∠1＝45°。根据等腰直角三角形的特征，等腰直角三角形由两条长度相等的边和一个90°的直角，其余两边为45°锐角所构成，可得这是一个等腰直角三角形，那么大树的高就是10.3米；∠2和45°角组成一个平角，平角等于180°，用180°－45°＝135°，即可求出∠2的度数。
【详细解答】180°－45°－90°
＝135°－90°
＝45°
等腰直角三角形有两条长度相等的边，所以大树高是10.3米，
180°－45°＝135°
大树的高是10.3米，∠1＝45°，∠2＝135°。
8．下图∠A＝( )°，这是一个( )三角形。
【正确答案】77 锐角
【解题思路】三角形内角和是180°，180°减去∠B 的度数，再减去∠C的度数，即可算出∠A 的度数。
三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。
【详细解答】∠A＝180°－∠B－∠C
＝180°－75°－28°
＝105°－28°
＝77°
∠A、∠B、∠C都是锐角，三角形ABC是锐角三角形。
下图∠A＝77°，这是一个锐角三角形。
9．用一根15厘米长的铁丝，正好可以围成一个边长是( )厘米的等边三角形，这个三角形的内角和是( )°。
【正确答案】5 180
【解题思路】等边三角形的三边相等，这根铁丝的长度等于等边三角形的周长。用铁丝的长度除以3即等于等边三角形的边长；三角形的内角和是180°，据此即可解答。
【详细解答】（厘米）
所以用一根15厘米长的铁丝，正好可以围成一个边长是5厘米的等边三角形；根据解析可知，这个三角形的内角和是180°。
10．下面是五个角的度数，其中三个是一个三角形的内角度数，这个三角形的三个内角度数分别是( )、( )和( )，是( )三角形。
57°、108°、70°、12°、53°。
【正确答案】57° 53° 70° 锐角
【解题思路】根据三角形的内角和等于180°，以及每个数末位上的数字可以试算一下57°、70°、53°的和，以及108°、70°、12°的和；
锐角三角形：三个角都是锐角的三角形；
直角三角形：有一个角是直角的三角形；
钝角三角形：有一个角是钝角的三角形；据此解答。
【详细解答】根据分析：
57°＋53°＋70°＝180°
108°＋70°＋12°＝190°
53°＜57°＜70°＜90°，三个角都是锐角。
所以这个三角形的三个内角度数分别是57°、53°和70°，是锐角三角形。
11．用4个三角形拼成一个六边形，这个六边形的内角和是( )。
【正确答案】720°/720度
【解题思路】如详解图， 4个三角形拼成一个六边形，即这个六边形是由4个三角形组成的，根据一个三角形的内角和是180°，则这个六边形的内角和是4个180°，即4×180°＝720°；据此解答。
【详细解答】
4×180°＝720°
即用4个三角形拼成一个六边形，这个六边形的内角和是720°。
12．把一个大三角形剪成两个小三角形，每个小三角形的内角和是( )。两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，平行四边形的内角和是( )。
【正确答案】180° 360°
【解题思路】根据三角形的内角和是180°可知，把一个大三角形剪成两个小三角形，每个小三角形的内角和是180°；把两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，平行四边形的内角和就是两个三角形内角的度数总和，即180°＋180°＝360°。据此解答。
【详细解答】根据分析可知：
把一个大三角形剪成两个小三角形，每个小三角形的内角和是180°。两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，平行四边形的内角和是360°。
13．在如图的梯形ABCD中，∠1＝90°，∠2＝63°，( )与AB平行，( )与AB垂直，∠3＝( )°，∠4＝( )°。
【正确答案】DC/CD BC/CB 117 90
【解题思路】观察上图可知，∠1是直角，所以CB垂直AB；梯形中一组对边平行，另一组对边不平行，AD与CB不平行，DC与AB平行，因为CB垂直AB，所以DC也垂直CB，故∠4是直角，等于90°，又因为四边形的内角和等于360°，所以∠3等于360°减去∠2、∠1、∠4，据此即可解答。
【详细解答】360°－∠2－∠1－∠4
＝360°－63°－90°－90°
＝297°－90°－90°
＝207°－90°
＝117°
梯形ABCD中，∠1＝90°，∠2＝63°，DC与AB平行， CB与AB垂直，∠3＝117°，∠4＝90°。
14．如图，将等边三角形沿虚线减去∠1，在剩下的四边形中，∠2＋∠3＝( )°。

【正确答案】240
【解题思路】等边三角形的三个角相等，且等于60°，四边形的内角和等于360°，所以360°减去2个60°等于∠2＋∠3的度数。
【详细解答】∠2＋∠3＝360°－60°×2
＝360°－120°
＝240°
【考点点评】熟练掌握等边三角形的特征是解答本题的关键。
15．仔细观察，找找规律：
图形 ……
内角和 180° 360° 540° ……
(1)第四个图形（六边形）的内角和是( )°。
(2)内角和是1260°的图形是( )边形。
【正确答案】(1)720
(2)九
【解题思路】（1）三角形内角和180°，多边形边数－2＝三角形个数，三角形个数×三角形内角和＝多边形内角和，据此列式计算；
（2）多边形内角和÷180°＋2＝多边形边数，据此分析。
【详细解答】（1）（6－2）×180°
＝4×180°
＝720°
第四个图形（六边形）的内角和是720°。
（2）1260÷180°＋2
＝7＋2
＝9（条）
内角和是1260°的图形是九边形。
【考点点评】关键是掌握三角形内角和，通过将多边形分割成三角形可以求出多边形内角和。
二、解答题
16．四边形的内角和是（ ）°，下面是同学们探索四边形内角和的方法，你看懂了吗？请你任选一种说一说是怎么证明的。
【正确答案】360；见详解
【解题思路】方法一：用测量工具测量，如三角板、量角器等，测出四个内角的度数，相加即可求出四边形内角和是多少度；方法二：将四边形的四个角撕下，将四边形内角沿着一个顶点能拼成一个周角，即可知道四边形内角和是多少度；将四边形分成两个三角形，三角形内角和是180°，用180°×2即可求出四边形内角和是多少度，据此解答即可。
【详细解答】方法一：经过测量可知四个角度数相加是360°。
方法二：周角＝360°，四边形内角和是360°。
方法三：180°×2＝360°，四边形内角和是360°。
答：四边形的内角和是360°。
17．植物为人类提供氧气、食物和药材，市政府准备在城市中心规划一个等腰三角形的绿化带。已知它的顶角是，它的一个底角是多少度？
【正确答案】36°
【解题思路】等腰三角形的两条腰相等，两个底角相等。根据三角形的内角和为180°可知，用180°减去顶角的度数，求出两个底角的度数和，再除以2，即可求出一个底角的度数。
【详细解答】（180°－108°）÷2
＝72°÷2
＝36°
答：它的一个底角是36°。
18．红领巾是少先队员的标志，它的大小、形状都有严格的规定：它是底角为30度的等腰三角形。红领巾的顶角是多少度？
【正确答案】120度
【解题思路】等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和为180度，用180度依次减去两个底角，即可求出红领巾的顶角是多少度，据此解答即可。
【详细解答】180°－30°－30°
＝150°－30°
＝120°
答：红领巾的顶角是120度。
19．一块三角形纸片被撕去了一个角，这个角是多少度？原来这块纸片的形状是什么三角形，也是什么三角形？
【正确答案】67°；锐角三角形；等腰三角形
【解题思路】根据三角形内角和为180度，用180度依次减去46度和67度，算出第三个角是67度，再根据三角形按角分：锐角三角形三个角都是锐角的三角形；直角三角形有一个角是直角；钝角三角形有一个角是钝角。判断属于锐角的三角形。根据三角形边的特征分类：有两边相等的三角形是等腰三角形；有三条边相等的三角形是等边三角形，据此判断是等腰三角形。
【详细解答】180－46－67＝134－67＝67（度）
三个角67度，67度，46度都小于90度，则这个三角形是锐角三角形，且有两个角相等，也是等腰三角形。
答：这个角是67度，是锐角三角形，也是等腰三角形。
20．2024“珠海 ‘筝’有你的”香洲区第六届风筝会于5月1日～5月2日在香炉湾沙滩举行。各式风筝表演惊艳亮相。淘淘也参与了此次活动，他做了一个等腰三角形的风筝。
（1）如果风筝的周长是32分米，底边是8分米，那么这个风筝的一条腰长多少分米？
（2）如果这个风筝的一个内角是50°，那么它的另外两个内角分别是多少度？
【正确答案】（1）12分米
（2）50°和80°或两个65°
【解题思路】（1）三角形周长等于3条边之和，根据等腰三角形的特征，风筝的周长是32分米，底边是8分米，那么这个风筝的一条腰长是（32－8）÷2＝12（分米），据此解答即可。
（2）根据等腰三角形的特征，可以假设这个内角分别为底角和顶角，再依据三角形的内角和是180度和等腰三角形的底角相等的特点，即可分别计算出两种情况下其他内角的度数。
【详细解答】（1）（32－8）÷2
＝24÷2
＝12（分米）
答：这个风筝的一条腰长是12分米。
（2）假设这个内角是底角，则另一个底角也是50°。
顶角为：
180°－50°×2
＝180°－100°
＝80°
假设这个内角是顶角，每个底角的度数为：
（180°－50°）÷2
＝130°÷2
＝65°
答：它的另外两个内角分别是50°和80°或两个65°。
21．乐乐要制作一个等腰三角形学具，这个等腰三角形的一个内角必须是52°，请你算一算，这个等腰三角形学具另外两个内角分别是多少度？
【正确答案】52°、76°或64°、64°
【解题思路】根据等腰三角形的特点可知，等腰三角形的两个底角相等，所以已知的一个内角是52°，这个内角可能是顶角，也可能是底角，分情况进行计算，再根据三角形的内角和为180°计算。
【详细解答】当52°的角是顶角时，底角为：
（180°－52°）÷2
＝128°÷2
＝64°
当52°的角是底角时，另一个底角也为52°，顶角为：
180°－52°×2
＝180°－104°
＝76°
答：这个等腰三角形学具另外两个内角分别是52°、76°或64°、64°。
22．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢。”在古代，风筝又称为“纸鸢”。小明做了一个等腰三角形的风筝，顶角是70°，这个风筝的底角是多少度？
【正确答案】55度
【解题思路】等腰三角形的两腰相等，两个底角也相等，三角形的内角和为180°，因此用180°减去顶角的度数后，再除以2即可，依此计算。
【详细解答】（180°－70°）÷2
＝110°÷2
＝55°
答：这个风筝的底角是55度。
23．小华家有一个三角形的小花园，其中一个角的度数为90°，而这个角的度数恰好是另一个角的度数的3倍。这个三角形花园的其他两个角的度数分别是多少？ 这个三角形的形状是什么样的？
【正确答案】30°，60°；直角三角形
【解题思路】三角形的一个角的度数为90°，是另一个角的3倍，所以90°除以3等于另一个角的度数，三角形的内角和等于180°，180°减去90°，再减去另一个角的度数，即等于第三个角的度数；再根据三角形的分类知识判断这个三角形是什么三角形；据此即可解答。
【详细解答】90°÷3＝30°
180°－90°－30°
＝90°－30°
＝60°
三角形有一个角等于90°，是直角，所以这个三角形是直角三角形。
答：这个三角形花园的其他两个角的度数分别是30°、60°，这个三角形是直角三角形。
24．下图是同学们在解决四边形的内角和问题时所采用的四种不同的方法。
①1周角＝360° ②180°×2＝360° ③180°×4－360°＝360° ④180°×3＝540°
（1）他们解答的方法不正确的有（ ）。（填序号）
（2）请你试着用所学的方法，在图中画一画，并求出下面五边形的内角和。
【正确答案】（1）④
（2）540°
【解题思路】（1）①把四边形四个角剪下来拼成一个周角，方法正确；
②连接四边形不相邻的两个顶点，把四边形分割成两个三角形，这时四边形内角和就等于两个三角形的内角总和，方法正确；
③把一个四边形分割成四个三角形，这样四个三角形的内角和比一个四边形多出一个周角的度数，用四个三角形内角和减去一个周角度数就是一个四边形度数，方法正确；
④把四边形分割成三个三角形，此时四边形内角和等于三个三角形内角和减去一个平角，列式错误。
（2）连接五边形不相邻的三个顶点，把五边形分割成三个三角形，这时五边形内角和就等于三个三角形的内角总和，列式计算即可。
【详细解答】（1）①把四边形四个角剪下来拼成一个周角，方法正确；
②把四边形分割成两个三角形，两个三角形的内角和等于四边形内角和，方法正确；
③把四边形分割成四个三角形，四个三角形内角和减去一个周角度数就是一个四边形度数，方法正确；
④把四边形分割成三个三角形，四边形内角和等于三个三角形内角和减去一个平角，列式错误。
所以他们解答的方法不正确的有④号。
（2）把五边形分割成三个三角形，如下图：
三个三角形内角和等于五边形内角和；
180°×3＝540°
答：五边形的内角和为540°。
25．本学期学习了三角形与四边形的内角和之后，官官、渡渡、明明三位同学又一起探究了六边形的内角和，他们的思考过程如图。
（1）我明白 （ ）的想法，根据他的想法，请你计算六边形的内角和。
（2）根据渡渡的想法，请你探究下面七边形的内角和。（画一画，算一算）
【正确答案】（1）官官或渡渡或明明；720°
（2）作图见详解；900°
【解题思路】（1）官官的想法：把六边形分成几个三角形，六边形的内角和就等于几个三角形的内角之和，直接用180°乘上可以分成三角形的数量算出六边形的内角之和即可。
渡渡的想法：把六边形分成几个三角形，但分的过程中多出来了一个周角，六边形的内角和就等于几个三角形的内角之和减去周角的度数，直接用180°乘上可以分成三角形的数量再减去360°即可算出六边形的内角之和。
明明的想法：把六边形分成几个三角形，但分的过程中多出来了一个平角，六边形的内角和就等于几个三角形的内角之和减去平角的度数，直接用180°乘上可以分成三角形的数量再减去180°即可算出六边形的内角之和。
（2）根据渡渡的想法把七边形分成7个三角形，画出图形。七边形的内角和就等于7个三角形的内角之和减去周角的度数，直接用180°乘上7再减去360°即可算出七边形的内角之和。
【详细解答】（1）我明白官官的想法：
180°×4＝720°
我明白渡渡的想法：
180°×6－360°
＝1080°－360°
＝720°
我明白明明的想法：
180°×5－180°
＝900°－180°
＝720°
答：六边形的内角和是720°。
（2）根据题意作图如下：
7×180°－360°
＝1260°－360°
＝900°
答：七边形的内角和是900°。
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