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2024-2025学年四年级下册数学易错题型
（奥数）第二单元 认识三角形和四边形奥数思维训练一
一、填空题
1．把一张长24厘米、宽12厘米的长方形纸对折再对折，展开后如图。以展开图上的10个点为顶点，画出的最大梯形的上底与下底的和是（ ）厘米。用4个这样的梯形拼成一个长方形，算一算这个长方形的周长最短是（ ）厘米。
2．一个梯形下底的长度是上底的3倍，如果将这个梯形的上底延长20厘米，这个梯形就变成了平行四边形，这个梯形的上底长（ ）厘米，下底长（ ）厘米。
3．
图中带眼睛的梯形共有（ ）个。
4．找出下面图中我们已经学过的图形，每种图形有几个？
直角三角形有（ ）个，平行四边形有（ ）个，长方形有（ ）个，梯形有（ ）个。
5．一个梯形下底是上底的3倍，如果将上底延长6厘米，就变成了一个平行四边形，这个梯形上底是（ ）厘米，下底是（ ）厘米。
6．如图是三个等边三角形组成图形，图中∠1＝（ ）°，A、B两点之间的距离是（ ）米。
7．一根长14厘米的吸管，如果第一段从4厘米处剪开（如下图，需要在整厘米数处剪开），第二段从（ ）或（ ）厘米处剪开，剪成的3小段，正好可以围成一个等腰三角形。
8．等腰三角形的周长是35厘米，其中一条边是另一条边的3倍，三角形的底是（ ）厘米。
9．如图，在三角形中，，那么∠A＝（ ）度，三角形是一个（ ）三角形（按角分）。
10．一个等腰三角形的周长是56厘米，底边长24厘米，它的一条腰长（ ）厘米，如果这个三角形有一个内角为50°，那么它的最大的一个内角是（ ）°。
二、选择题
11．把一根13厘米长的小棒截成三段（整厘米数），围成一个三角形。这个三角形中最长的一段小棒不能超过（ ）厘米。
A．6 B．7 C．8 D．9
12．王叔叔想把一根8分米长的铁丝截成三段，围成一个三角形（每段的长度都是整分米数），有（ ）种截法。
A．1 B．2 C．3 D．4
13．一个三角形，其中两个内角之和小于第三个内角，这个三角形是（ ）三角形。
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．任意
14．机器上的传动带做成“莫比乌斯带”状的好处是（ ）。
A．美观漂亮 B．弹性增加 C．绷得更紧 D．两面磨损
15．数一数，下图中一共有（ ）个梯形。
A．12 B．13 C．14 D．15
16．下图是正方形点子图，现要求在图中再选一个点D，使四边形ABCD成为一个梯形，则点D共有（ ）种选法。
A．2 B．3 C．4 D．5
三、解答题
17．一个梯形的下底的长度是上底的4倍，如果将上底延长21厘米就成了一个平行四边形，则这个梯形的上底是多少厘米？下底是多少厘米？
18．如图，用三个完全一样的等腰三角形拼成一个等腰梯形。已知每个等腰三角形的周长都是16厘米，等腰梯形的周长是24厘米，那么等腰三角形的底边长和腰长分别是多少厘米？
19．仔细观察下图，说一说图中一共有几个三角形？
20．从长度分别为2厘米、3厘米、4厘米、5厘米、6厘米的5根木棒中选取若干根木棒摆三角形，可以有多少种不同的摆法？（允许连接，但不允许折断；经过旋转、翻转后一样的图形视为一种。）
21．下面的每种小棒都有2根，任意取其中的3根，能摆成几种三角形？分别写出三角形三条边的长度。（只写出3种方案）
22．把一根长24厘米的铁丝剪成三段，每段都是整厘米数。再围成一个三角形，有多少种方法？分别写出三角形的三条边长是多少厘米？
23．碧桂园小区有一个由三个大小不同的等边三角形组成的花园（如下图），其周边均有一条小路，从M地到N地，走哪条路最近？其他两条路一样长吗？为什么？
24．在一个等腰三角形中，已知一个角是72°，则另外两个角分别是多少度？
25．如图，将图①折成图②，如果∠1＝50°，那么∠2＋∠3是多少度？写出计算过程。
26．
知识小分享 将三角形的一条边延长，与相邻的边会组成一个新的角，这个角就是三角形的一个外角。比如图1中，∠1就是三角形的一个外角，∠1和∠2组成一个平角。 图1
在图2中，我发现∠1、∠2、∠3是三角形的3个外角。 我还能求出∠1、∠2、∠3这3个角度数的和呢！我是这样想的……
图2
小月的思考过程：用“3个平角的和”减去“三角形的内角和”，就可以求出∠1、∠2、∠3的和。
180°×3＝540° 540°－180°＝360°
你能读懂她的思考过程吗？带着你的理解，求出图3中，∠1、∠2、∠3、∠4这4个外角的和。
图3
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（奥数）第二单元 认识三角形和四边形奥数思维训练一
答案解析
一、填空题
1．把一张长24厘米、宽12厘米的长方形纸对折再对折，展开后如图。以展开图上的10个点为顶点，画出的最大梯形的上底与下底的和是（ ）厘米。用4个这样的梯形拼成一个长方形，算一算这个长方形的周长最短是（ ）厘米。
【正确答案】42 132
【解题思路】对折两次后长方形的长被平均分成4份。要画出最大的梯形那么梯形的上底应该占3份，下底和长方形的长一样，据此用24除以4再乘3求出上底的长，再加上下底的长即可；
用2个梯形上底和下底互相拼接可以组成一个大长方形，大长方形的宽就是原来的宽，长就等于梯形的上底与下底的和，再用剩余的2个梯形同样拼成这样的大长方形，这时2个大长方形可以宽边与宽边重合或者长边与长边重合，组成一个更大的长方形。宽边与宽边重合时，宽不变，长变为大长方形长的2倍；长边与长边重合时，长不变，宽变为大长方形宽的2倍；再根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，分别计算后再比较选择短的即可。
【详细解答】24÷4×3
＝6×3
＝18（厘米）
18＋24＝42（厘米）
则以展开图上的10个点为顶点，画出的最大梯形的上底与下底的和是42厘米。
宽边与宽边重合：
（12＋42×2）×2
＝（12＋84）×2
＝96×2
＝192（厘米）
长边与长边重合：
（42＋12×2）×2
＝（42＋24）×2
＝66×2
＝132（厘米）
132＜192
用4个这样的梯形拼成一个长方形，算一算这个长方形的周长最短是132厘米。
【考点点评】解答本题的关键是要明确梯形的上、下底长度不一样，并且在拼接为长方形时要分情况讨论。
2．一个梯形下底的长度是上底的3倍，如果将这个梯形的上底延长20厘米，这个梯形就变成了平行四边形，这个梯形的上底长（ ）厘米，下底长（ ）厘米。
【正确答案】10 30
【解题思路】因为平行四边形的2组对边分别平行且相等，因此通过“将这个梯形的上底延长20厘米，这个梯形就变成了平行四边形”可知：上底比下底短20厘米；上底和下底的关系如下图：
由图可知，上底的长度相当于一份数，下底的长度相当于这样的3份，它们的长度差相当于这样的（3－1）份。
因此，可以用“上、下底的长度差÷（倍数－1）”计算出上底的长度是多少；再用“上底的长度×倍数”计算出下底的长度是多少。
【详细解答】上底：20÷（3－1）
＝20÷2
＝10（厘米）
下底：10×3＝30（厘米）
这个梯形的上底长10厘米，下底长30厘米。
【考点点评】已知两个量的差和倍数关系，可以利用“差倍关系”先求得一份数，再计算其他的量；分析时，可以通过画图的方式帮助理解题目中的数量关系。
3．
图中带眼睛的梯形共有（ ）个。
【正确答案】16
【解题思路】以一个小梯形为单位，分别计算。（1）1个小梯形组成的带眼睛的梯形有1个。（2）2个小梯形组成的带眼睛的梯形有4个。（3）3个小梯形组成的带眼睛的梯形有2个。（4）4个小梯形组成的带眼睛的梯形有4个。（5）6个小梯形组成的带眼睛的梯形有4个。（6）9个小梯形组成的带眼睛的梯形有1个。
【详细解答】1＋4＋2＋4＋4＋1
＝5＋2＋4＋4＝1
＝7＋4＋4＋1
＝11＋4＋1
＝15＋1
＝16（个）
图中带眼睛的梯形共有16个。
4．找出下面图中我们已经学过的图形，每种图形有几个？
直角三角形有（ ）个，平行四边形有（ ）个，长方形有（ ）个，梯形有（ ）个。
【正确答案】6 2 3 9
【解题思路】根据学过的图形的特点，依次数出各个图形的个数。有一个角是直角的三角形是直角三角形；两组对边分别平行的四边形，叫作平行四边形；长方形的两组对边互相平行，且两组对边分别相等，4个角都是直角；只有一组对边平行的四边形叫做梯形。
【详细解答】
如图：，直角三角形有6个，分别是图形①、②、③、④、⑤、⑥。平行四边形有2个，分别是①和②、⑤和⑥拼成的平行四边形。
长方形有3个，分别是②和③、④和⑤、②③④⑤拼成的长方形。
梯形有9个，分别是：①②③、②③④、③④⑤、④⑤⑥、①②③④、③④⑤⑥、①②③④⑤、②③④⑤⑥以及①②③④⑤⑥拼成的梯形。
直角三角形有6个，平行四边形有2个，长方形有3个，梯形有9个。
【考点点评】熟记三角形、长方形、平行四边形和梯形的特征是解题关键。
5．一个梯形下底是上底的3倍，如果将上底延长6厘米，就变成了一个平行四边形，这个梯形上底是（ ）厘米，下底是（ ）厘米。
【正确答案】3 9
【解题思路】这个梯形的下底是上底的3倍，即下底是3个上底长；延长6厘米后，变成了平行四边形，也就是延长了3－1＝2个上底长，即2个上底长＝6厘米；求一个数的几倍是多少，用乘法；据此求解即可。
【详细解答】根据分析可得：
上底长：
6÷（3－1）
＝6÷2
＝3（厘米）；
下底长：3×3＝9（厘米）；
【考点点评】本题的关键是要清楚变成平行四边形后对边的长度是相等的。
6．如图是三个等边三角形组成图形，图中∠1＝（ ）°，A、B两点之间的距离是（ ）米。
【正确答案】60 30
【解题思路】（1）图中的∠1与等边三角形的两个60°的内角组成了一个平角，所以用180°－60°×2即得图中∠1的度数；
（2）要求A、B两点之间的距离，就是求三个等边三角形的各自1条边长的和，用5＋10＋15计算即可。
【详细解答】（1）∠1＝180°－60°×2
＝180°－120°
＝60°
所以图中∠1＝60°。
（2）5＋10＋15
＝15＋15
＝30（米）
所以A、B两点之间的距离是30米。
【考点点评】此题考查了等边三角形的特征及角的度量，解答本题的关键在于知道等边三角形每个角为60°。
7．一根长14厘米的吸管，如果第一段从4厘米处剪开（如下图，需要在整厘米数处剪开），第二段从（ ）或（ ）厘米处剪开，剪成的3小段，正好可以围成一个等腰三角形。
【正确答案】8 9
【解题思路】这根吸管长14厘米，第一段长4厘米，剩下吸管长14－4＝10厘米。等腰三角形的两条腰相等，则这个等腰三角形的三条边可以是4厘米、4厘米、6厘米，或者4厘米、5厘米、5厘米。根据三角形的三边关系，它们能围成等腰三角形，所以第二段就应从4＋4＝8厘米或者4＋5＝9厘米处剪开。
【详细解答】14－4－4＝6（厘米）
4＋4＞6
则长4厘米、4厘米、6厘米的三条线段能围成一个三角形。
（14－4）÷2
＝10÷2
＝5（厘米）
4＋5＞5
则长4厘米、5厘米、5厘米的三条线段能围成一个三角形。
4＋4＝8（厘米）
4＋5＝9（厘米）
第二段从8厘米或者9厘米处剪开。
【考点点评】本题考查等腰三角形的特性和三角形的三边关系，先根据等腰三角形的特性找出可能的三条边的组合，再根据三角形的三边关系判断这个等腰三角形的三条边的长度。
8．等腰三角形的周长是35厘米，其中一条边是另一条边的3倍，三角形的底是（ ）厘米。
【正确答案】5
【解题思路】因为三角形的两边之和大于第三边，等腰三角形的两条腰的长度相等，所以底是1倍的量，腰是3倍的量，底的长度是[35÷（3＋3＋1）]厘米。
【详细解答】35÷（3＋3＋1）
＝35÷7
＝5（厘米）
所以这个三角形的底是5厘米。
【考点点评】熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，是解题关键。
9．如图，在三角形中，，那么∠A＝（ ）度，三角形是一个（ ）三角形（按角分）。
【正确答案】30 直角
【解题思路】根据“在三角形中，AD＝DC＝CB＝BD”，可知：三角形BCD是等边三角形，三角形ABD是等腰三角形，等边三角形的三个角都是60°，等腰三角形的两个底角相等。又三角形的内角和是180°，在三角形ABC中，它的最大的角的度数等于180°的一半；在等腰三角形ABD中，它的最大的角的度数是（180°－60°），即120°，∠A的度数等于（180°－120°）除以2。据此解题即可。
【详细解答】根据分析，在等腰三角形ABD中，∠A的度数：
180°－60°＝120°
（180°－120°）÷2
＝60°÷2
＝30°
在三角形ABC中，它的最大角的度数是：
180°÷2＝90°
所以，∠A＝30°，三角形ABC是一个直角三角形。
【考点点评】解答本题的关键是，根据已知条件得出三角形BCD是等边三角形，三角形ABD是等腰三角形，等边三角形的三个角都是60°，等腰三角形的两个底角相等。
10．一个等腰三角形的周长是56厘米，底边长24厘米，它的一条腰长（ ）厘米，如果这个三角形有一个内角为50°，那么它的最大的一个内角是（ ）°。
【正确答案】16 80
【解题思路】根据等腰三角形两腰相等的特征，已知等腰三角形的周长是56厘米，底边长24厘米，则用周长56厘米减去底边24厘米，得到两条腰的长度和，再除以2即得到一条腰的长度；
再根据等腰三角形两底角相等，三个内角和是180°的特征，其一个内角是50°，根据三条边的长度关系，可以确定50°的角应为底角，用180°减去两个底角，即得到顶角的度数，从而找到最大的一个内角。
【详细解答】（56－24）÷2
＝32÷2
＝16（厘米）
180°－50°×2
＝180°－100°
＝80°
所以，这个等腰三角形的一条腰长16厘米；它的最大的一个内角是80°。
【考点点评】本题主要考查等腰三角形的周长和内角和的应用。要熟悉等腰三角形的边和角的特征，正确判断已知边和已知角的位置。
二、选择题
11．把一根13厘米长的小棒截成三段（整厘米数），围成一个三角形。这个三角形中最长的一段小棒不能超过（ ）厘米。
A．6 B．7 C．8 D．9
【正确答案】A
【解题思路】三角形的三边关系为三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差一定小于第三边。据此可知，最长的一段小棒应小于三角形的周长的一半。这根小棒长13厘米，即三角形的周长为13厘米。13÷2＝6……1，则最长的一段小棒应小于等于6厘米。
【详细解答】13÷2＝6（厘米）……1（厘米）
则这个三角形中最长的一段小棒最长为6厘米，不能超过6厘米。
故答案为：A
【考点点评】本题考查三角形的三边关系，常运用三角形的三边关系判断给出的三条线段能否组成一个三角形。
12．王叔叔想把一根8分米长的铁丝截成三段，围成一个三角形（每段的长度都是整分米数），有（ ）种截法。
A．1 B．2 C．3 D．4
【正确答案】A
【解题思路】结合题意，根据任意两边之和大于第三边可知，每段长度要小于8÷2＝4分米，假设一段长度为3分米，另外两段长度只能分别为3分米、2分米；假设一段长度为2分米，另外两段长度只能都为3分米；假设一段长度为1分米时，另外两段不管怎么分都有一段超过4分米，不能围成三角形；所以只能有一种截法。
【详细解答】根据分析可知，王叔叔想把一根8分米长的铁丝截成三段，围成一个三角形（每段的长度都是整分米数），只有1种截法。
故答案为：A。
【考点点评】本题主要考查学生对三角形三边关系的掌握和灵活运用。
13．一个三角形，其中两个内角之和小于第三个内角，这个三角形是（ ）三角形。
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．任意
【正确答案】C
【解题思路】三角形内角和180°，如果两个内角之和小于第三个内角，第三个内角的度数一定大于90°，根据三角形分类确定三角形类型即可。
【详细解答】两个内角和＝90°，第三个角是90°，两个内角和＜90°，第三个角＞90°，是个钝角，这个三角形是钝角三角形。
故答案为：C
【考点点评】关键是掌握三角形内角和，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。
14．机器上的传动带做成“莫比乌斯带”状的好处是（ ）。
A．美观漂亮 B．弹性增加 C．绷得更紧 D．两面磨损
【正确答案】D
【解题思路】这样做皮带可以磨损的面积就变大了。
【详细解答】“莫比乌斯带”状的传动带可以两面磨损。
故答案为：D
【考点点评】莫比乌斯带能够解决一些在平面上无法解决的问题，如手套易位问题。
15．数一数，下图中一共有（ ）个梯形。
A．12 B．13 C．14 D．15
【正确答案】C
【解题思路】观察图形可知，单独上面一层有6个梯形，单独下面一层有4个梯形，上、下层合起来有4个梯形，据此解题即可。
【详细解答】6＋4＋4＝14（个）
所以，图中一共有14个梯形。
故答案为：C
【考点点评】认真观察图形，有序数出图中梯形的个数，是解答此题的关键。
16．下图是正方形点子图，现要求在图中再选一个点D，使四边形ABCD成为一个梯形，则点D共有（ ）种选法。
A．2 B．3 C．4 D．5
【正确答案】C
三、解答题
17．一个梯形的下底的长度是上底的4倍，如果将上底延长21厘米就成了一个平行四边形，则这个梯形的上底是多少厘米？下底是多少厘米？
【正确答案】7厘米；28厘米
【解题思路】梯形的一组对边平行，平行四边形的两组对边平行且相等；如果将上底延长21厘米，就边长了一个平行四边形，说明梯形的下底比上底长21厘米；已知下底的长度是上底的4倍，把上底的长度看作1份，下底的长度就为4份，那么上底和下底的差是（4－1）份，对应为21厘米；用21除以（4－1）计算出1份的长度，也就是上底的长度；再乘4计算出下底的长度；据此解答。
【详细解答】上底：
21÷（4－1）
＝21÷3
＝7（厘米）
下底：7×4＝28（厘米）
答：这个梯形的上底是7厘米，下底是28厘米。
【考点点评】掌握梯形和平行四边形的概念，以及和差倍问题的计算方法，是解答本题的关键。
18．如图，用三个完全一样的等腰三角形拼成一个等腰梯形。已知每个等腰三角形的周长都是16厘米，等腰梯形的周长是24厘米，那么等腰三角形的底边长和腰长分别是多少厘米？
【正确答案】底4厘米；腰6厘米
【解题思路】由图可知，梯形的周长可以拆分为一个等腰三角形的周长加上两个等腰三角形的底边长，故用梯形的周长减去一个等腰三角形的周长，求出两个等腰三角形的底边长，再除以2，即可求出等腰三角形的底边长；等腰三角形的两腰长相等，所以用等腰三角形的周长减去底边长，再除以2，即可求出等腰三角形的腰长，据此作答。
【详细解答】（24－16）÷2
＝8÷2
＝4（厘米）
（16－4）÷2
＝12÷2
＝6（厘米）
答：等腰三角形的底边长4厘米，腰长6厘米。
【考点点评】解决这类问题的关键在于理解图形之间的组合关系，并且运用周长的概念和等腰三角形的特性来建立数量关系。
19．仔细观察下图，说一说图中一共有几个三角形？
【正确答案】15个
【解题思路】一个三角形地数有5个，两个三角形组成一个三角形有4个，三个三角形组成一个三角形有3个，四个三角形组成一个三角形有2个，五个三角形组成一个三角形有1个。
【详细解答】5＋4＋3＋2＋1
＝9＋3＋2＋1
＝12＋2＋1
＝14＋1
＝15（个）
答：图中一共有15个三角形。
【考点点评】考查了组合图形中三角形的计数，注意按照一定的顺序数，做到不重复不遗漏。
20．从长度分别为2厘米、3厘米、4厘米、5厘米、6厘米的5根木棒中选取若干根木棒摆三角形，可以有多少种不同的摆法？（允许连接，但不允许折断；经过旋转、翻转后一样的图形视为一种。）
【正确答案】29种
【解题思路】根据三角形的三边之间的关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。分情况讨论，可以是3根小棒，4根小棒、5根小棒。将符合条件的一一举例列出。
【详细解答】①3根小棒：（2，3，4）、（2、4、5）、（2、5、6）、（3，4，5）、（3，4，6）、（3、5、6）（4，5，6）有7种；
②4根小棒：选2、3、4、5，组成的三角形有（2＋3，4，5）、（2＋4，3，5），有2种
选2、3、4、6，组成的三角形有（2＋3，4，6）、（2＋4，3，6）、（3＋4，2，6）有3种
选2、3、5、6，组成的三角形有（2＋3，5，6）、（2＋5，3，6），有2种
选2、4、5、6，组成的三角形有（2＋4，5，6）、（2＋5，4，6）、（2＋6，4，5）有3种；
选3、4、5、6，组成的三角形有（3＋4，5，6）、（3＋5，4，6）有2种；
③5根小棒：选2、3、4、5、6，组成的三角形有（2＋3、4＋5，6）、（2＋4、3＋5、6）、（2＋5、3＋4，6）、（2＋4、3＋6，5）、（2＋6、3＋4、5）、（2＋5、3＋6、4）、（2＋6、3＋5、4）、（3＋6、4＋5、2）、（2＋6，4＋5，3）、（2＋3＋4、5、6），有10种。
7＋2＋3＋2＋3＋2＋10＝29（种）
答：可以有29种不同的摆法。
【考点点评】按照题目的要求，分类情况讨论，在讨论的过程中，要按照顺序，做到不遗漏，不重复。
21．下面的每种小棒都有2根，任意取其中的3根，能摆成几种三角形？分别写出三角形三条边的长度。（只写出3种方案）
【正确答案】能摆成12种三角形；如三条边的长度分别是2厘米，6厘米，6厘米；2厘米，6厘米，7厘米；2厘米，7厘米，8厘米（答案不唯一）
【解题思路】任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此判断是不是都能围成；再任选三种写出即可。
【详细解答】可以围成的三角形有：
2厘米、6厘米、7厘米；
6厘米、6厘米、2厘米；
6厘米、6厘米、7厘米；
6厘米、6厘米、8厘米；
6厘米、7厘米、8厘米；
7厘米、7厘米、2厘米；
7厘米、7厘米、6厘米；
7厘米、7厘米、8厘米；
2厘米、7厘米、8厘米；
8厘米、8厘米、2厘米；
8厘米、8厘米、6厘米；
8厘米、8厘米、7厘米；
答：能摆成12种三角形；如三条边的长度分别是2厘米，6厘米，6厘米；2厘米，6厘米，7厘米；2厘米，7厘米，8厘米。（答案不唯一）
【考点点评】本题考查了三角形三边关系，解题时注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，一定要分情况讨论，把符合条件的保留下来，不符合的舍去。
22．把一根长24厘米的铁丝剪成三段，每段都是整厘米数。再围成一个三角形，有多少种方法？分别写出三角形的三条边长是多少厘米？
【正确答案】有12种方法
（1）11，11，2；（2）11，10，3；（3）11，9，4；（4）11，8，5
（5）11，7，6；（6）10，10，4；（7）10，9，5；（8）10，8，6
（9）10，7，7；（10）9，9，6；（11）9，8，7；（12）8，8，8
【解题思路】三角形的三边关系为三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差一定小于第三边；据此解答即可。
【详细解答】有12种方法，分别是：
（1）11，11，2；（2）11，10，3；（3）11，9，4；（4）11，8，5
（5）11，7，6；（6）10，10，4；（7）10，9，5；（8）10，8，6
（9）10，7，7；（10）9，9，6；（11）9，8，7；（12）8，8，8
【考点点评】本题考查了三角形周长及三边关系，按一定规律去想。
23．碧桂园小区有一个由三个大小不同的等边三角形组成的花园（如下图），其周边均有一条小路，从M地到N地，走哪条路最近？其他两条路一样长吗？为什么？
【正确答案】走中间一条路最近，其他两条路一样长。（理由见解析）
【解题思路】根据三角形的三边关系解答（1）三角形任意两边之和大于第三遍，任意两边之差（大边减小边）小于第三边，那么AM＋AN的长度一定是大于MN的。MC和CN组成了MN，BM＋BC是大于MC的，DC＋DN是大于CN的，那么BM＋BC＋DC＋DN也必定大于MN。
（2）因为三角形AMN，三角形MBC，三角形CDN都是等边三角形，所以MN＝AM＝AN
MB＝BC＝MC，CD＝DN＝CN。通过等量代换得知MA＝MC＋CN＝MB＋CD同理AN＝BC＋DN
【详细解答】三角形任意两边之和大于第三遍，任意两边之差（大边减小边）小于第三边。
（1）三角形AMN中，AM＋AN＞MN
三角形MBC中，BM＋BC＞MC
三角形CDN中，DC＋DN＞CN
所以MB＋BC＋DC＋DC＞MC＋CN
故MN最短
（2）因为三角形AMN，三角形MBC，三角形CDN都是等边三角形，所以MN＝AM＝AN
MB＝BC＝MC，CD＝DN＝CN，MA＝MC＋CN＝MB＋CD同理AN＝BC＋DN
故两条路一样长。
【考点点评】此题主要考查三角形的三边关系以及根据等边三角形的性质进行等量代换，熟练掌握三角形的三边关系，仔细观察，找到边与边之间的等量关系是解决本题的关键。
24．在一个等腰三角形中，已知一个角是72°，则另外两个角分别是多少度？
【正确答案】72°、36°或54°、54°
【解题思路】已知等腰三角形的一个角是72°，要分两种情况考虑：72°的角可能是顶角，也可能是底角，据此根据三角形内角和是180°和等腰三角形的两个底角相等的性质进行计算即可解答问题。
【详细解答】当72°是底角时：
180°－72°×2
＝180°－144°
＝36°
当72°时顶角时：
（180°－72°）÷2
＝108°÷2
＝54°
答：当72°是底角时，另外两个角是72°、36°，当72°是顶角时，另外两个角54°、54°
【考点点评】此题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理的计算应用，当没有规定已知角是顶角还是底角时，要分情况进行讨论。
25．如图，将图①折成图②，如果∠1＝50°，那么∠2＋∠3是多少度？写出计算过程。
【正确答案】100°
【解题思路】如下图所示：
根据折叠可知，∠4＝∠5，∠6＝∠7，∠5＋∠7＝180°－50°＝130°，所以∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝130°×2＝260°。因为∠2＋∠4＋∠5＝180°，∠3＋∠6＋∠7＝180°，所以∠2＋∠3＝180°＋180°－260°＝100°。
【详细解答】（180°－50°）×2
＝130°×2
＝260°
∠2＋∠3＝180°＋180°－260°＝100°
答：∠2＋∠3是100度。
【考点点评】本题考查三角形内角度数的计算，三角形的内角和是180°。
26．
知识小分享 将三角形的一条边延长，与相邻的边会组成一个新的角，这个角就是三角形的一个外角。比如图1中，∠1就是三角形的一个外角，∠1和∠2组成一个平角。 图1
在图2中，我发现∠1、∠2、∠3是三角形的3个外角。 我还能求出∠1、∠2、∠3这3个角度数的和呢！我是这样想的……
图2
小月的思考过程：用“3个平角的和”减去“三角形的内角和”，就可以求出∠1、∠2、∠3的和。
180°×3＝540° 540°－180°＝360°
你能读懂她的思考过程吗？带着你的理解，求出图3中，∠1、∠2、∠3、∠4这4个外角的和。
图3
【正确答案】能；360°
【解题思路】根据图2，观察发现∠1和三角形其中一个内角组成平角，∠2和三角形其中一个内角组成平角，∠3和三角形其中一个内角组成平角，平角为180°，说明∠1、∠2、∠3与三角形的3个内角共组成了3个平角；三角形的内角和为180°，那么先用180°乘3计算出3个平角的度数和，再减去三角形的内角和，可以计算出∠1、∠2、∠3的和；
根据图3，发现∠1和四边形其中一个内角组成平角，∠2和四边形其中一个内角组成平角，∠3和四边形其中一个内角组成平角，∠4和四边形其中一个内角组成平角，∠1、∠2、∠3、∠4与四边形的4个内角共组成了4个平角；多边形的内角和为（边数－2）×180°，先用180°乘4计算出4个平角的度数和，再减去多边形的内角和，可以计算出∠1、∠2、∠3、∠4这4个外角的和；据此解答。
【详细解答】180°×4－（4－2）×180°
＝720°－2×180°
＝720°－360°
＝360°
答：能读懂小月的思考过程，∠1、∠2、∠3、∠4这4个外角的和是360°。
【考点点评】掌握平角的度数、三角形的内角和以及多边形的内角和计算方法，是解答本题的关键。
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