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2024-2025学年天津市第二十五中学高一下学期5月期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足其中为虚数单位，则的虚部是( )
A. B. C. D.
2.若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是( )
A. B.
C. D.
3.已知一个圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面展开图的圆心角为( )
A. B. C. D.
4.如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，则四边形的周长为( )
A. B. C. D.
5.已知点，，则与向量方向相反的单位向量是( )
A. B. C. D.
6.已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，，则
C. 若，，则 D. 若，，，则
7.已知，，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
8.已知平面内三点，，，则向量在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
9.如图，在中，在线段上，满足，为线段上一点，且，则的值为( )
A. B. C. D.
10.在中，，记的面积为，若，判断的形状为( )
A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知，的共轭复数为，则 ．
12.已知正方体外接球的表面积与内切球的表面积之差为，则该正方体的棱长为 ．
13.设和是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为 ．
14.在中，，点满足，则的长为 ．
15.已知在平行四边形中，，，，是线段的中点，若，与交于点，，则的值为 若，则的最小值是 ．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
当实数为何值时，复数为
实数；
虚数；
纯虚数；
零．
17.本小题分
已知平面向量．
若，求的值；
若，求的值．
若与的夹角是钝角，求的取值范围．
18.本小题分
已知，，分别为三边，，所对的角，向量，，且．
求角的大小；
若，且，求边的长．
19.本小题分
在中，角、、的对边分别为、、，．
求；
若的面积为，且，
(ⅰ)求的周长；
(ⅱ)若，求．
20.本小题分
如图，在棱长均为的正三棱柱中，为棱的中点．

求证：直线平面；
求证：平面平面；
若为棱上一点，且，求直线与平面所成角的正切值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.【详解】当即时，复数是实数．
当，且，即且时，复数是虚数．
当即时，复数是纯虚数．
当且时，，解得．

17.【详解】若，则．
整理得，解得或．
故的值为或．
若，则有，即，解得或
当时，，则，得；
当时，，则，得．
综上，的值为或．
因与的夹角是钝角，则，即，得，
又当与共线时，有，得，不合题意，则
综上，的取值范围为．

18.【详解】由已知得．
因为，所以，
所以．
又，所以，
，则
所以又，
所以；
由已知及正弦定理得．
因为，所以，所以．
由余弦定理得，
所以，所以，
所以．

19.【详解】解法：因为，由正弦定理得，
即，
因为，则，故；
解法：因为，由余弦定理得，
整理得，可得，
由余弦定理可得．
因为，且，则，
，所以，
因为由余弦定理得，
于是，
因为，则，所以，
因此，于是的周长．
(ⅱ)若，则，则，
由上述分析得，，
所以
．

20.【详解】连接交于点，连接．
在中，为的中点，为的中点．
是的中位线，
，
平面平面，
平面；
在正三棱柱中，
平面平面，
，
在等边中，为的中点，
，
又是平面内的两条相交直线，
平面，又平面，
平面平面；
连接，
和都是直角三角形，且，
，
，
，
由得，平面平面，平面平面，又平面，
平面，则为直线与平面所成的角．
在中，，则
所以直线与平面所成角的正切值为．


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