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2024-2025学年四川省资阳中学高一下学期5月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. ．
A. B. C. D.
2.已知向量，，则在上的投影向量的模为( )
A. B. C. D.
3.已知正四棱台的上底面边长为，下底面边长为，高为，则该正四棱台的体积为( )
A. B. C. D.
4.在中，内角所对的边分别为，已知为常数，若该三角形有两个解，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.已知为两个不共线的向量，若向量，则下列向量中与向量共线的是( )
A. B. C. D.
6.已知点为中边上的中点，点满足，过点的直线与分别交于，两点，且设，则的值为( )
A. B. C. D.
7.如图是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则( )
A. B. C. 与共面 D. 与异面
8.函数的部分图象如图所示，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，则( )
A. B.
C. 为纯虚数 D. 在复平面内对应的点位于第四象限
10.有下列说法，其中正确的说法为( )
A. 若，，则
B. 两个非零向量、，若，则与垂直
C. 若点为的重心，则
D. 若，，分别表示、的面积，则
11.已知的内角的对边分列为的平分线交于，，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 的最大值是 D. 的周长的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知海上岛在岛的北偏东方向距离岛海里处，岛在岛的北偏西方向，岛与岛相距海里，则岛与岛的距离为 海里．
13.如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形的直观图，其中，则三角形的面积为
14.已知定义在上的奇函数和偶函数满足，且，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量．
若，求实数的值；
若，求实数的值
16.本小题分
已知函数．
求的单调递增区间；
若函数的零点为，求．
17.本小题分
如图，四面体的四个顶点均为长方体的顶点．
若四面体各棱长均为，求该四面体的表面积和体积；
若，，，求四面体外接球的表面积．
18.本小题分
锐角三角形中，角的对边分别为且．
求；
求三角形周长的取值范围；
求三角形面积的最大值．
19.本小题分
年，法国数学家笛卡尔发表了几何学，在这本书中，笛卡尔提出了著名的笛卡尔坐标系统笛卡尔坐标系就是直角坐标系和斜坐标系的统称，相交于原点的两条数轴，构成了平面放射坐标系如两条数轴上的度量单位相等，则称此放射坐标系为笛卡尔坐标系，两条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系，称为笛卡尔直角坐标系，否则称为笛卡尔斜角坐标系，如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记．
在仿射坐标系中，若，求；
在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求；
如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值．
参考答案
1.
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4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，
所以，
所以；
由已知，
则，
解得：或．

16.解：，
令，解得，
所以的单调递增区间为．
由得，
因为函数的零点为，所以．

17.解：若四面体各棱长均为，
则长方体为棱长为的正方体，且四面体为正四面体，
所以，
；
由于四面体的四个顶点均为长方体的顶点，
所以四面体外接球与长方体的外接球是同一个球，
设此四面体所在长方体的棱长分别为，，，
则，解得
设长方体外接球的半径为，则，则，
所以外接球的表面积为．

18.解：由正弦定理：，
则，
所以，根据得：．
由正弦定理：，所以，
，
注意到，所以，
所以
所以
所以周长的取值范围是．
余弦定理：，
所以三角形面积为，
当且仅当时，即为等边三角形时，三角形面积取最大值．
19.解：由题意可知，、的夹角为，
由平面向量数量积的定义可得，
因为，则，
则，
所以．
由，，得，，
且，
所以，，，
则，，
因为与的夹角为，则，解得．
又，，所以；
依题意，设、，且，，，
因为为的中点，则，
因为为中点，同理可得，
所以，
由题意知，，
则，
在中，依据余弦定理得，所以，
代入上式得，．
在中，由正弦定理，
设，则，且，
所以，，
，为锐角，且，
因为，则，
故当时，取最大值，
则．

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