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2024-2025学年吉林省松原市吉林油田高级中学等三校高一下学期期中检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若点在直线上，直线在平面内，则下列关系表示正确的是( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.在平行四边形中，点为的中点，则( )
A. B. C. D.
4.已知向量满足，向量与的夹角为，则( )
A. B. C. D.
5.已知，，为三条不同的直线，，为两个不同的平面，若，，，且与异面，则( )
A. 至多与，中的一条相交 B. 与，均相交
C. 与，均平行 D. 至少与，中的一条相交
6.在中，内角，，的对边分别为，，，则“”是“为直角三角形”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
7.某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图所示，该几何体为上、下底面周长分别为，的正四棱台，若棱台的高为，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为( )
A. B. C. D.
8.如图，已知正四棱锥的侧棱长为，侧面等腰三角形的顶角为，则从点出发环绕侧面一周后回到点的最短路程为( )
B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数满足，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 复数在复平面内对应的点位于第一象限 D. 的共轭复数为
10.已知三个非零向量，则下列命题正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则或
D. 若，则
11.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是等边三角形，，，点是棱的中点，且，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 点到平面的距离为 D. 球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数为纯虚数，则实数的值为 ．
13.已知向量在向量上的投影向量，且，则 ．
14.棱长为的正方体中，是棱的中点，过、、作正方体的截面，则截面的面积是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知点．
若，求实数的值；
若，求实数的值．
16.本小题分
如图所示，为四边形的直观图，其中，，，．
画出四边形的平面图并标出边长，并求平面四边形的面积；
若该四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，，分别是，的中点．
证明：平面平面；
若三棱柱为直三棱柱，且棱长均为，求异面直线与所成角的正弦值．
18.本小题分
如图，，是海上相距海里的两个观测塔，位于的正南方向．观测塔发现其南偏东方向处有一艘轮船发出求救信号，同时，观测塔也发现其北偏东方向上处发出求救信号此时位于观测塔南偏西方向且与相距海里的处有一艘救援船，其航行的最大速度为海里时．
求处到观测塔的距离；
处的救援船应该朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援？至少航行多长时间才能到达处？
19.本小题分
如图，三棱锥中，是边长为的等边三角形，，平面平面，，，分别为，的中点．
证明：平面；
求与平面所成角的余弦值；
求二面角的正弦值．
参考答案
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15.【详解】由题知，．
若，则，
解得，故实数的值为．
若，则，整理得，
解得或．

16.【详解】在直观图中，，，，
则在平面图形中，，，，，
于是，
所以平面四边形的平面图形如下图所示：
由上图可知，平面四边形为直角梯形，所以面积为．
直角梯形以为轴，旋转一周而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥，
由可知几何体底面圆半径为，圆柱母线长和高都为，即；
圆锥的高为，母线长为，
所以体积；
所以表面积．

17.【详解】证明：因为，分别是，的中点，所以，，
所以四边形是平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，
连接，由棱柱的性质，可知所以四边形为平行四边形，所以，又，
所以，，
所以四边形是平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，
因为，平面，所以平面平面．
解：由知，所以异面直线与所成角为或其补角，
因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，
因为，平面，所以，，
所以，，，
所以，即，
所以在中，，
即异面直线与所成角的正弦值为．

18.【详解】由在的南偏东，在的北偏东方向，
得在中，，，，
由正弦定理，得，所以，
又，
所以海里，即处到观测塔的距离为海里．
在中，，，，
由余弦定理，得，
所以海里，航行时间至少为小时．
又，
且，所以，所以在的北偏东方向．
故处的救援船应该朝北偏东的方向沿直线前往处救援，至少航行小时才能到达处

19.【详解】取中点，连接．
因为是等边三角形，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以．
又因为，，、平面，
所以平面，而平面，所以．
因为为的中点，所以，
又，，平面，
所以平面．
过点作，垂足为．
因为平面，平面，所以，
又，，平面，所以平面，
所以为与平面所成的角．
因为，，，
所以，，
在中，由余弦定理得，
所以与平面所成角的余弦值为．
取的中点，连接，易知，，
过点作，垂足为，连接．
由知，平面，所以平面．
又，平面，所以，．
因为，，平面，所以平面．
又因为平面，所以，
所以为二面角的平面角．
由知平面，平面，所以，
所以在中，，
由知，平面，又平面，所以．
在中，，
即，解得，
在中，，
所以二面角的平面角的正弦值为．
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