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2024-2025学年内蒙古包头市景泰高级中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，，则( )
A. B. C. D.
2.( )
A. B. C. D.
3.已知是复数的共轭复数，为虚数单位，则的虚部是( )
A. B. C. D.
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 在菱形中一定有 D. 共线向量一定是在同一条直线上的向量
6.已知的部分图象如图所示，则的值为( )
A. B. C. D.
7.已知非零向量，满足，若，则与的夹角为 ．
A. B. C. D.
8.亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要点缀．重檐圆亭图是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥以及一个圆台图的组合体．已知某重檐凉亭的圆台部分的轴截面如图所示，则该圆台部分的侧面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，得到函数的图象，下列关于的结论，正确的是( )
A. 的图象关于直线对称 B. 的最小正周期为
C. 的图象关于点对称 D. 在上单调增
10.设，是两个非零向量，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则使得
C. 若，则与的夹角为锐角
D. 在方向上的投影向量的模为
11.如图，圆锥的底面半径为，侧面积为，是圆锥的一个轴截面，是底面圆周上异于，的一点，则下列说法正确的是( )
A. 的面积为
B. 圆锥的侧面展开图的圆心角为
C. 由点出发绕圆锥侧面旋转一周，又回到点的细绳长度最小值为
D. 若，则三棱锥的体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若向量满足，则在上的投影向量是 ．
13.已知圆锥底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为 ．
14.顶角为的等腰三角形被称为黄金三角形，其底边和腰之比正好为黄金比，用黄金比表示 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
的内角的对边分别为
求；
若的面积为，求的周长．
16.本小题分
如图，中，，，为中点，为上一点，且，设，．
请用，来表示，；
若，求的值；
当时，求与夹角的余弦值．
17.本小题分
已知，，与的夹角．
求；
若与共线，求的值．
18.本小题分
如图，长方体的三条棱的长分别为．

将此长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，求剩下的几何体的体积；
求长方体外接球的体积和表面积．
19.本小题分
已知函数的部分图象如图所示，且，的面积等于．
求函数的解析式；
求函数的对称轴和对称中心；
将图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对于任意的，当时，恒成立，求实数的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.【详解】由得，
因为，
所以，
即，
所以，
所以．
因为三角形的面积为，
所以，所以，
由余弦定理知，即，
所以，
故，
所以三角形的周长为．

16.【详解】由题意知点是的中点，故，
则；．
由题意，，
当时，
，，．
时，
，
．

17.【详解】，
与共线，
存在唯一实数，使得
即，
又与不共线，
解得

18.【详解】在长方体中，．
则．
，
所以剩余部分的体积为．
长方体的体对角线长为，
设长方体的外接球的半径为，可得，即，
所以外接球的体积为，
表面积为．

19.【详解】由图可得，则，，则，
解得或，，由，则，
由，则，由图可得周期，易得，
所以．
令，，解得，，
令，，解得，，
所以的对称轴为直线，，
对称中心为，．
由题意可得，
要证，只需证，
令，
由题意可得，则，即求函数的单调递减区间，
令，，解得，，
由题意可得，，
则，，解得，，
当时，令，则，此时，不合题意，
令，则，此时，符合题意；
当时，令，则，此时，不合题意，
令，则，不符合题意；易知当时，都不符合题意
所以的最大值为．

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