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2024-2025学年河南省濮阳市第一高级中学高一下学期5月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，若，则( )
A. B. C. D.
3.在中，，则( )
A. B. C. D.
4.已知是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
5.在中，若，且，那么一定是( )
A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形
6.已知正三棱台的体积为，，，则与平面所成角的正切值为( )
A. B. C. D.
7.在四面体中，平面，四面体的四个顶点都在球的表面上，则球的体积为( )
A. B. C. D.
8.在中，，，，为线段上的动点不包括端点，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知、都是复数，下列正确的是( )
A. 若，则 B.
C. 若，则 D.
10.已知的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则一定为锐角三角形
B. 若，则是锐角三角形
C. 若，则
D. 若，，，则有两解
11.如图，在棱长为的正方体中，分别是的中点，是线段上的动点，则下列说法中正确的是( )
A. 存在点，使四点共面
B. 存在点，使平面
C. 三棱锥的体积为
D. 经过四点的球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面向量，满足，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为 ．
13.在中，角的对边分别为，已知则角 ．
14.如图，在四面体中，与所成的角为，分别为的中点，则线段的长为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，已知三角形的内角的对边分别为，且．
求的大小；
若，设为三角形的角平分线，求的长．
16.本小题分
如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，交于点，，为中点．
求证：平面；
求直线与平面所成的角．
17.本小题分
的内角的对边分别为，已知，且的面积．
求；
若内一点满足，，求．
18.本小题分
如图所示正四棱锥，，为侧棱上的点．且，求：
设平面平面，求证：；
侧棱上是否存在一点，使得平面若存在，求的值；若不存在，试说明理由．
19.本小题分
南北朝时期的伟大科学家祖暅，于五世纪末提出了体积计算原理，即祖暅原理：“夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异”意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么，这两个几何体的体积相等．其最著名之处是解决了“牟合方盖”的体积问题．如图所示，正方体，棱长为．
求图中四分之一圆柱体的体积；
在图中画出四分之一圆柱体与四分之一圆柱体的一条交线不要求说明理由；
四分之一圆柱体与四分之一圆柱体公共部分是八分之一个“牟合方盖”点在棱上，设过点作一个与正方体底面平行的平面，求该截面位于八分之一“牟合方盖”内部分的面积；如果令，应用祖暅原理求出八分之一“牟合方盖”的体积．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.由得，
又因为，
所以，
又因为，
所以，
又因为，
所以．
因为，
所以，
又因为，
所以，
所以，
故答案为：．

16.在正方形中，，
因为，所以，
又因为侧面是正方形，所以，
因为平面，
所以平面，
而平面，则，而，
，而，
又平面，
平面
连接，如图所示：
为正方形，，
，
而平面，
平面，
为直线与平面所成的角，
，
，
所以直线与平面所成的角为．

17.解：根据题意知，
由余弦定理得，
又因为，所以，即，
因为，所以，
又由正弦定理且，所以，
又因为，所以．
解：由知，，所以，可得，所以，
设，因为，所以，
因为，所以，
在中，，所以，
在中，，所以，即，
所以，即，即，
因为，所以．


18.，平面，平面，
平面，
又平面，平面平面，
；
在侧棱上存在一点，使平面，满足，
理由如下：连接交于，连接，则为中点，
取中点，因为，则，
过作的平行线交于，连接，
在中，有，
平面，平面，平面，
由于，，
又由于，平面，平面，平面，
又，平面，
平面平面，又，得平面，
所以存在，且．

19.因为正方体的棱长为，
所以四分之一圆柱体的体积为：．
如图：
曲线是所求的一条交线．
如图：截面位于八分之一“牟合方盖”内的部分为正方形．
因为，所以，而正方体的棱长为，因此，
所以，因此正方形的面积为，
即该截面位于八分之一“牟合方盖”内部分的面积为．
用平行于八分之一“牟合方盖”底面，
且到“牟合方盖”底面的距离为的平面去截八分之一“牟合方盖”，
所得截面的面积为．
所得截面如图：
正方体的棱长为为底面的中心，
把正方体去掉正四棱锥后剩下的部分的底面与“牟合方盖”底面放到同一平面上，
则八分之一“牟合方盖”与所得几何体都夹在平面与平面之间，
则用平行于八分之一“牟合方盖”底面，且到“牟合方盖”底面的距离为的平面去截所得几何体，
截面为图中的阴影部分，且面积为，
因此八分之一“牟合方盖”的体积为，
所以当时，八分之一“牟合方盖”的体积为．

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