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2024-2025学年河北省辛集中学高一下学期期中素养练习
数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数( )
A. B. C. D.
2.在中，，，，则角的值为( )
A. B. C. D.
3.已知直线，若，且与相交，则与的位置关系是( )
A. 相交 B. 相交或异面 C. 平行或异面 D. 相交、平行或异面
4.下列向量中，与向量共线的一个单位向量是( )
A. B. C. D.
5.若为正方体，则异面直线与所成角的大小为( )
A. B. C. D.
6.已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若，是异面直线，，，，，则
7.在中，，，点在边上，且，则的值是( )
A. B. C. D.
8.如图，为正四棱锥的底面中心，，分别是，上的动点，若是边长为的正三角形，则的最小值为( )
A. B. C. D.
9.在三棱锥中，点，分别在棱，上，且，，则三棱锥和三棱锥的体积之比为( )
A. B. C. D.
10.古希腊的数学家海伦在他的著作测地术中最早记录了“海伦公式”：，其中，，，分别为的三个内角，，所对的边，该公式具有轮换对称的特点已知在中，，且的面积为，则边上的中线长度为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
11.下列说法正确的是( )
A. ，
B. 若，，则
C. 若，，则的最小值为
D. 若是关于的方程，的根，则
12.已知三棱台，上下底面边长之比为，棱的
中点为点，则下列结论错误的有( )
A. B. 与为异面直线
C. 面 D. 面面
13.已知四棱锥如图，且，，分别是，的中点，则下列说法正确的有( )
A. 平面
B. 四棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则
C. 平面与平面的交线记为，则直线平面
D. 平面与平面的交线记为，则直线平面
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
14.已知向量，的夹角为，且，，则 ．
15.在中，内角，，所对的边分别是，，，若，则的大小为 ．
16.如图，等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，直角边，则原图形的面积是 ．
17.一个圆柱的外接球的体积为，该圆柱的轴截面是一个正方形，则该圆柱的底面面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.本小题分
已知向量，为坐标原点．
若，求实数的值；
在的条件下，求向量与的夹角余弦值．
19.本小题分
已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
求；
若，且的面积为，求的周长．
20.本小题分
如图，中，，，，在三角形内挖去一个半圆圆心在边上，半圆与、分别相切于点，，与交于点，将绕直线旋转一周得到一个旋转体．
求该旋转体中间一个空心球的表面积的大小；
求图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积．
21.本小题分
如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点．

求证：；
求证：平面；
若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由．
22.本小题分
如图，在四边形中，，，，，．
求及的长度；
求的长度．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.．
16.
17.
18.解：由已知得，
，
，
，，．
，
设向量与的夹角为，
，
，
，，
19.解：因为，
由正弦定理得，，
因为，所以，则，
则，又，所以．
由知，又因为，
由余弦定理，得，
由题意知，即，
联立得，所以，故，
则的周长为．
20.解：连接，则，
设，，
在中，，
．
，，，，
．
21.解：在四棱锥中，平面，平面，平面，
平面平面，所以；
如下图，取为中点，连接，由是的中点，
所以且，由知，又，
所以且，所以四边形为平行四边形，故，
而平面，平面，则平面．

取中点，连接，，
因为，分别为，的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
线段存在点，使得平面，理由如下：
由知：平面，又，平面，平面，
所以平面平面，又是上的动点，平面，
所以平面，所以线段存在点，使得平面．
22.解：因为，，，，
所以，，
由于，又，，
，
则
，
，
所以．
在中，由正弦定理得，
所以，所以．
在中，由正弦定理得，可得，解得．
由于，，
在中，由余弦定理可得
．
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