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2024-2025学年广东省清远市华侨中学等四校联考高一下学期期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在四边形中，，若，且，则( )
A. B. C. D.
2.下列命题中，正确命题的个数是( )
四边相等的四边形为菱形；
若四边形有两个对角都为直角，则这个四边形是圆内接四边形；
“平面不经过直线”的等价说法是“直线上至多有一个点在平面内”；
若两个平面有一条公共直线，则这两平面的所有公共点都在这条公共直线上．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
3.若则( )
A. B. C. D.
4.已知复数，则在复平面内所对应的点位于( )
A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限
5.已知平面四边形，，若，则( )
A. B. C. D.
6.如图，在平面四边形中，为等边三角形，当点在对角线上运动时，的最小值为( )
A. B. C. D.
7.在平行四边形中，，，，分别为，的中点，将沿直线折起，构成如图所示的四棱锥，为的中点，则下列说法不正确的是( )
A. 平面平面
B. 四棱锥体积的最大值为
C. 无论如何折叠都无法满足
D. 三棱锥表面积的最大值为
8.如图，已知正方体的棱长为，点，，，，分别为线段，，，，的中点，连接，，，，，，则下列正确结论的个数是( )
点，，，在同一个平面上；
平面平面；
直线，，交于同一点；
直线与直线所成角的余弦值为．
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下面关于空间几何体的表述，正确的是( )
A. 棱柱的侧面都是平行四边形
B. 直角三角形以其一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体是圆锥
C. 正四棱柱一定是长方体
D. 用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台
10.下列命题中，正确的是( )
A. 对于任意向量，有 B. 若，则或
C. 对于任意向量，有 D. 若共线，则
11.正方体中，是正方形的中心，则下列说法正确的是( )
A.
B. 与平面的成角大于
C. 平面平面
D. 三棱锥的体积是正方体体积的
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设平面向量，，若，则实数 ．
13.若，向量在方向上的数量投影为，则向量与的夹角 ．
14.在中，三边长分别为，最大角的正弦值为，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数在复平面上对应点在第四象限，且，的虚部为．
求复数；
设复数、、在复平面上对应点分别为、、，求的值．
16.本小题分
如图，四棱锥中，底面为平行四边形，是上的点．
若、分别是和中点，求证：平面；
若平面，求证：是中点．
17.本小题分
在面积为的中，内角，所对的边分别为，且．
求角；
若，求的周长；
若为锐角三角形，且边上的高为，求面积的取值范围．
18.本小题分
设函数，曲线在点处的切线方程为．
求，的值；
设函数，求的单调区间；
求证：当时，有．
19.本小题分
如图，已知四面体中，平面，．
求证：；
若在此四面体中任取两条棱作为一组和视为同一组，则它们互相垂直的组数记为；任取两个面作为一组和视为同一组，则它们互相垂直的组数记为；任取一个面和不在此面上的一条棱作为一组和视为同一组，则它们互相垂直的组数记为，试求的值；
九章算术中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”若此“鳖臑”中，，，有一根彩带经过平面与平面，且彩带的两个端点分别固定在点和点处，求彩带的最小长度．
参考答案
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15.【详解】设，
，，
由题意得
解得或
又因为复数在复平面上对应点在第四象限，所以．
，，，
所以对应的点，，，
从而，，．

16.【详解】证明：取中点，连接，，
在中，因为，分别为所在边的中点，所以，且，
又因为底面为平行四边形，为的中点，
所以，且，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，因为平面，平面，
所以平面；
连接，交于，连接，
因为平面，平面，平面平面，
所以，在中，为中点，
所以为中点．

17.【详解】由正弦定理得，所以，
所以，由余弦定理，，
因，则．
由余弦定理，，即，
又，由条件知，所以，
所以，，．
所以周长为．
由可得：
由正弦定理，，即得：，
则
由为锐角三角形可得，，解得：，
则，，故得，
即面积的取值范围为．

18.【详解】由可得，
根据切线方程可得其斜率为，因此，解得；
又，
所以可得．
由可知，
所以可得，易知其定义域为；
则，
令，解得；
所以当时，；当时，；
因此的单调递增区间为，单调递减区间为．
证明：令函数，
可得，
令，
因此可得恒成立，所以在上单调递增，
可得，即恒成立，
所以在上单调递增，可得，
即，所以；
因此当时，有．

19.【详解】因为平面，平面，则，
又，，平面，所以平面，
因为平面，所以．
由可知：，，
且平面，平面，则，
且其余各棱均不垂直，可得；
由平面，且平面，平面，
可得平面平面，平面平面，
同理：由平面可得：平面平面，
且其余各面均不垂直，可得；
由平面，平面，且其余各线面均不垂直，可得；
综上所述：．
将平面与平面沿展开成如图所示的平面图形，连接，
所以彩带的最小长度为图平面图中的长，
．
由知，
在图中，因为平面，平面，所以，
又因为，所以，
故在图中，，
所以在图中，在中，由余弦定理得，
所以彩带的最小长度为．

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