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2024-2025学年广东省深圳市深圳科学高中高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数是纯虚数，则实数( )
A. B. C. D.
3.的值为( )
A. B. C. D.
4.已知函数，其中，则( )
A. B. C. D.
5.已知，，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.连掷两次骰子分别得到点数，，则向量与向量的夹角的概率是( )
A. B. C. D.
7.将一边长为的正方形沿对角线折起，若顶点落在同一个球面上，则该球的表面积为( )
A. B. C. D.
8.记的内角，的对边分别为，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是( )
A. 圆柱的侧面积为 B. 三个几何体的表面积中，球的表面积最小
C. 圆柱的侧面积与球面面积相等 D. 圆锥的侧面积为
10.四名同学各掷骰子次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可能出现点数的是( )
A. 甲同学：第百分位数为，众数为 B. 乙同学：平均数为，方差为
C. 丙同学：中位数为，极差为 D. 丁同学：平均数为，中位数为
11.已知函数的定义域为，对于任意非零实数，均有，且，则下列结论正确的为( )
A. B. 为奇函数 C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若的直观图是边长为的等边，则的面积是 ．
13.若是奇函数，则 ．
14.瑞士数学家欧拉在年提出定理：任意三角形的外心、重心和垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线也被称为欧拉线．已知在中，，，且，设的外心为，重心为，垂心为，若，则实数 ； ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知．
求与的夹角；
若向量为在上的投影向量，求．
16.本小题分
某校为了提高学生对数学学习的兴趣，举办了一场数学趣味知识答题比赛活动，共有名学生参加了此次答题活动．为了解本次比赛的成绩，从中抽取名学生的得分得分均为整数，满分为分进行统计．所有学生的得分都不低于分，将这名学生的得分进行分组，第一组，第二组，第三组，第四组单位：分，得到如下的频率分布直方图．

求图中的值，并估计此次答题活动学生得分的中位数；
根据频率分布直方图，估计此次答题活动得分的平均值．若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计参赛的学生中有多少名学生获奖．以每组中点作为该组数据的代表
17.本小题分
如图，在凸四边形中，，．
求证：；
若，求四边形面积的最大值．
18.本小题分
已知函数
若且的最大值为，求函数在上的单调递增区间；
若，函数在上有且仅有一个零点，求实数的取值范围；
已知的一条对称轴方程为，令，存在常数，使得函数为偶函数，求最小的正数的值．
19.本小题分
若函数满足：对于，都有，且，则称函数为“函数”
试判断函数与是否为“函数”，并说明理由
设函数为“函数”，且存在，使，求证：
试写出一个“函数”，满足，且使集合中元素最少只需写出你的结论
参考答案
1.
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10.
11.
12.
13.
14.或
15.【详解】因为，
所以，即，解得，
设与的夹角为，
则，所以，
故与的夹角为；
向量为在上的投影向量，
则，
故
．

16.【详解】由频率分布直方图知：，解得，
设此次竞赛活动学生得分的中位数为，
因数据落在内的频率为，落在内的频率为，从而可得，
由，得，
所以估计此次竞赛活动学生得分的中位数为．
由频率分布直方图及知：
数据落在，的频率分别为，，，，
，
此次竞赛活动学生得分不低于的频率为，
则，
所以估计此次竞赛活动得分的平均值为，在参赛的名学生中估计有名学生获奖

17.【详解】因为，所以，
由，则，
根据正弦定理得，则，
又根据余弦定理，
所以，
即，
再由正弦定理得，
即，
则，
所以，
因为，则，
所以或，
得或舍，
故；
根据，又，
所以，所以，，
所以，且，
在中，，
根据余弦定理，
即，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，
所以四边形面积的最大值为．

18.【详解】若且的最大值为，则，即，得，即，
则，
当时，，为增函数，此时，
即函数在上的单调递增区间是．
若，，
函数
由，得
，当，则

则要使在上有且仅有一个零点，
则或，即实数的取值范围．
因为的一条对称轴方程为，
所以
则满足，
平方得，得
，得得，则，
则，
则，
存在常数，使得函数为偶函数，
则
即且，
因为，所以当时，取得最小值，此时最小的正数．

19.【详解】在上恒成立，恒成立，
对于，则，，
，即成立；
，，
，即，又为增函数，
，
综上，是“函数”，不是“函数”．
令，且，，
，即，
对于在上，一定有．
为“函数”，
．
若，则不合题意；
若，则不合题意；
，得证．
当，，则，
当，，则，而此时，则，
，且，元素个数最少．
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