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2024-2025学年湖北省武汉市第六中学高一下学期第3次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列命题中正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
2.复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知且单位向量在方向上的投影向量为，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
4.如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，则平面四边形的周长为( )
A. B. C. D.
5.若是的边上的一点不包含端点，且，则的最小值是( )
A. B. C. D.
6.如图，该几何体为“四角反棱台”，它是由两个相互平行的正方形经过旋转，连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点．若下底面正方形边长为，“四角反棱台”高为，则该几何体体积为( )
A. B. C. D.
7.如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段的中点直线到平面的距离为( )
A. B. C. D.
8.已知与是平面内两个非零向量，，，，点是平分线上的动点当取最小值时，的值为 ．
A. B. ． C. D. ．
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.平面垂直于平面，且，下列命题正确的是( )
A. 平面内一定存在直线平行于平面
B. 平面内已知直线必垂直于平面内无数条直线
C. 平面内任一条直线必垂直于平面
D. 过平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面
10.在中，设，，，则下列说法正确的是( )
A. 的面积为
B. 外接圆的周长是
C. 若为的中点，则中线长度为
D. 内切圆的面积是
11.如图，多面体容器，底面水平放置，，，所在的平面均与底面垂直，且四个三角形均是边长为的等边三角形，下列选项正确的是 ．
A.
B. 平面平面
C. 经过直线的平面截该几何体，截面的最大面积为
D. 从上面往该容器注水，当水面是正多边形时未注满，注入的水的容积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数满足，则 ．
13.在中，角，，的对边分别是，，，若，且，则的面积最大值是 ．
14.在中，，，，为边上的动点，沿将折起形成直二面角，当最短时，此时三棱锥的体积为__ ___ ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
的内角、、的对边分别为、、，已知，的面积为．
求角的大小；
若，求的周长．
16.本小题分
如图所示，正四棱锥，，底面边长，为侧棱上的点，且．
求正四棱锥的体积；
若为的中点，证明：平面；
侧棱上是否存在一点，使平面，若存在，求出；若不存在，请说明理由．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，分别是，，的中点．
若，求证：平面；
若二面角的正切值为，且，，求与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
如图，在三棱锥中，底面，平面平面．
求证：；
若，，是的中点，、分别在线段、上移动．
求与平面所成角的正切值；
若平面，求线段长度取最小值时二面角平面角的正切值．
19.本小题分
离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．已知三棱锥如图所示．
求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和；
若平面，，，三棱锥在顶点处的离散曲率为，求点到平面的距离；
在的前提下，又知点在棱上，直线与平面所成角的余弦值为，求的长度．
参考答案
1.
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4.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.【详解】由余弦定理可得，即，
因为，即，所以，
因为，故．
由正弦定理可得，
由可得，可得，
所以，，则，故，
因为，所以，
故，
因此，的周长为．

16.【详解】连接，设，连接，则平面．
中，，，，
所以．
由正方形可得为的中点，而，，
又平面，平面，
平面．
存在，理由如下：作中点，连结，，．
，，
又平面，平面，
平面，
，，
又平面，平面，
平面，
又平面，
平面平面，而平面，
平面．

17.【详解】因为，又是的中点，所以，
又平面，平面，所以，
又底面是矩形，所以，又，平面，
所以平面，又平面，所以，
又，平面，所以平面．
连接，因为，分别是，的中点，所以，，
又是的中点，底面是矩形，所以，，
所以且，所以四边形是平行四边形，
所以，所以与平面所成角即为与平面所成角，
因为又平面，平面，所以，
过作于，连接，
又，平面，
所以平面，又平面，所以，
所以为二面角的平面角，所以，所以，
由，可得，所以，
设到平面的距离为，
由，所以，
又，所以，
所以，解得，
又，所以与平面所成角的正弦值为，
所以与平面所成角的正弦值为．

18.【详解】过点在平面内作，垂足为点，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，，因为平面，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，、平面，所以平面，
又平面，所以．
由得平面，
所以为在平面的射影，为与平面所成角，
在中，，
在直角中，，
所以与平面所成角的正切值为．
过在平面内作的垂线，垂足为，过作，交于点，
因为平面，平面，所以，
又因为，、平面，所以，
因为平面，平面，所以平面，同理平面，
因为，、平面，所以平面平面，
因为平面，所以平面，
设，，且，则，所以，，
所以，，，
因为平面，平面，所以，，
因为为的中点，则，所以，，
所以，，
所以，，
在直角中，，其中，
因为二次函数在上单调递增，
当时，，即，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为，，所以，
因为，、平面，所以平面，
因为平面，所以，故二面角的平面角为，
因为平面，平面，所以，
因为，所以，即为的中点，所以，，
，故二面角的正切值为．

19.【详解】根据离散曲率的定义得，
，
，
又因为
，
所以．
平面平面，，
又，平面，平面，
平面，，
，即
，，过点作于点，
由平面平面，得，
又平面，则平面，
因此点到平面的距离为线段的长，在中，，
点到平面的距离为．
过点作交于，连结，
平面，平面，
为直线与平面所成的角，
依题意可得，，
，
，，
设，则，
在中，，
又，所以，
则，
，解得：或舍
故．

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